Z tego filmu dowiesz się:

  • jak rozróżniać potęgi o tych samych podstawach,
  • jak mnożyć potęgi o tych samych podstawach.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Jesteśmy w sklepie z guzikami „Potęga guzików ”. W każdej z szuflad którą widzisz przed sobą znajduje się pewna liczba guzików. W pierwszej szufladzie mamy 2 do potęgi pierwszej w drugiej 2 do potęgi drugiej a w ostatniej, ósmej 2 do potęgi ósmej guzików. Chcemy się dowiedzieć w której szufladzie jest 2 razy więcej guzików niż w czwartej. W czwartej szufladzie mamy 2 do potęgi czwartej guzików co możemy zapisać jako 2 razy 2 razy 2 razy 2. 4-krotnie przemnożona przez siebie liczba 2. Wynika to z definicji potęgi. Gdy przemnożymy tę liczbę guzików przez 2 ponieważ chcemy się dowiedzieć w której szufladzie jest 2 razy więcej guzików niż w czwartej otrzymamy przemnożoną przez siebie pewną liczbę dwójek. Zauważ, że mnożenie tych dwójek możesz zapisać w postaci potęgi liczby 2 jako 2 do której potęgi? Spójrz tutaj mamy 4 wymnożone przez siebie dwójki tutaj mamy jeszcze jedną. Razem mamy mnożenie ilu dwójek? 4 plus 1 czyli razem jest ich 5. Możemy zatem zapisać że mnożenie 2 do potęgi czwartej razy 2 to to samo co 2 do potęgi 4 plus 1 czyli 2 do potęgi piątej. Zatem w piątej szufladzie jest 2 razy więcej guzików niż w czwartej szufladzie. To teraz drugie pytanie: w której szufladzie jest 8 razy więcej guzików niż w czwartej szufladzie? W czwartej szufladzie mamy 2 do potęgi 4 guzików. Gdy przemnożymy tę liczbę razy 8 dowiemy się, w której szufladzie jest 8 razy więcej guzików niż w czwartej. Obliczmy to. 2 do potęgi czwartej na razie przepiszę a teraz zastanów się czy liczbę 8 możemy zapisać jako potęgę liczby 2? Tak, możemy. Zauważ, że 8 to 2 razy 2 razy 2 3-krotnie przemnożona przez siebie liczba 2 czyli mogę napisać, że jest to to samo co 2 do potęgi trzeciej. Mamy tutaj mnożenie 2 do potęgi czwartej razy 2 do potęgi trzeciej. Co dalej? 2 do potęgi czwartej to 4-krotnie przemnożona przez siebie liczba 2. To już wiesz. Teraz tę liczbę mnożymy przez 2 do potęgi trzeciej czyli 3-krotnie przemnożoną przez siebie liczbę 2. Mamy zatem mnożenie pewnej liczby dwójek. Zauważ, że to mnożenie możesz zapisać w postaci potęgi liczby 2 jako 2 do której potęgi? Zastanówmy się ile mamy przemnożonych przez siebie dwójek. Tutaj są 4 a tutaj jeszcze 3. Razem przemnożonych dwójek jest tutaj 4 dodać 3, czyli 7. Mnożenie tych dwójek możesz zapisać jako 2 do potęgi 4 plus 3 a to jest to samo co 2 do potęgi siódmej. Zatem w siódmej szufladzie jest 8 razy więcej guzików niż w czwartej. Takie mnożenie wykonaliśmy przed chwilą. 2 do potęgi czwartej przemnożyliśmy przez 2 do potęgi trzeciej a w wyniku otrzymaliśmy 2 do potęgi 4 plus 3. To działanie to mnożenie potęg o tej samej podstawie. Istnieje wzór, dzięki któremu możesz rozwiązywać takie przykłady o wiele szybciej. Gdy mnożymy 2 potęgi o tej samej podstawie w wyniku otrzymamy potęgę o takiej samej podstawie a jej wykładnik to suma wcześniejszych wykładników. Spójrz na przykład wyżej. Podstawą a była liczba 2 b to było 4, a c to było 3. W wyniku otrzymaliśmy potęgę o tej samej podstawie czyli 2, a wykładnik to suma wcześniejszych wykładników, czyli 4 dodać 3. W tym wzorze a może być dowolną liczbą różną od zera, natomiast b i c to dowolne liczby całkowite. Pokażę Ci teraz, jak zastosować ten wzór w kilku przykładach. Polecenie brzmi: zapisz w postaci potęgi jednej liczby. Pierwszy przykład dla Ciebie: 4 do potęgi trzeciej przemnożone przez 4 do potęgi piątej. Rozwiąż przykład po zatrzymaniu filmu a następnie odtwórz film ponownie. Zauważ, że masz tutaj mnożenie 2 potęg o tej samej podstawie 4 zatem możesz skorzystać z powyższego wzoru. Podstawa a to 4 b to 3, a c to 5. W wyniku otrzymasz potęgę o tej samej podstawie, co wcześniej czyli 4, a wykładnik to suma wcześniejszych wykładników czyli 3 dodać 5 a to jest równe 4 do potęgi ósmej. Następny przykład dla Ciebie: 1/2 do potęgi dziesiątej razy 1/2 do potęgi dwunastej. Tutaj także mamy mnożenie 2 potęg o tej samej podstawie 1/2 czyli możemy skorzystać z powyższego wzoru i wyniku otrzymamy potęgę której podstawa jest taka sama czyli 1/2, a wykładnik to suma wcześniejszych wykładników czyli 10 dodać 12. Ostatecznie otrzymamy 1/2 do potęgi dwudziestej drugiej. Chciałbym Ci jeszcze pokazać że podobna zależność istnieje gdy mnożysz więcej niż 2 potęgi o tej samej podstawie. Spójrz na przykład: 5 do potęgi drugiej razy 5 do potęgi trzeciej razy 5 do potęgi czwartej. Rozpiszmy potęgi. 5 do potęgi drugiej razy 5 do potęgi trzeciej razy 5 do potęgi czwartej. Zauważ, że mamy przemnożoną przez siebie pewną ilość piątek. Możesz to zapisać w postaci potęgi liczby 5 jako 5 do której potęgi? Musimy zastanowić się ile mamy przemnożonych piątek. Tutaj mamy 2 tutaj 3 a tutaj 4. Razem jest ich 2 plus 3 plus 4, czyli 9. Czyli mnożenie tych piątek możemy zapisać jako 5 do potęgi dziewiątej. Wynika z tego, że 5 do potęgi drugiej razy 5 do potęgi trzeciej razy 5 do potęgi czwartej to to samo co 5 do potęgi 2 plus 3 plus 4 czyli 5 do potęgi dziewiątej. Kiedy mnożysz 2 potęgi o tej samej podstawie podstawa pozostaje bez zmian a wykładniki do siebie dodajemy. Głodny wiedzy? Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty i polub nas na Facebooku.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Tymoteusz Zdunek

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Joanna Zalewska, Katarzyna Szczepańska, Angela Getler

Kontrola jakości: Andrzej Pieńkowski

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

OpenClipartVectors (CC0)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg