Z tego filmu dowiesz się:

  • czym jest skala podobieństwa wielokątów,
  • jak wyznaczyć skalę podobieństwa wielokątów,
  • jak wykorzystać skalę podobieństwa wielokątów do wyznaczenia długości boków.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Taśma filmowa może być długa nawet na kilka kilometrów ale jej szerokość wynosi zaledwie 3,5 centymetra. Obrazy na niej są bardzo małe. Dzięki zastosowaniu projektora filmowego zawartość zapisana na taśmie jest wyświetlana na ekranie filmowym. Obrazy na taśmie i obrazy na ekranie są do siebie podobne. Na ekranie mamy narysowane dwie pary prostokątów. Pierwsza para prostokątów pomarańczowych i druga para prostokątów szarych. Mamy podane długości ich boków. Zastanówmy się teraz które z tych prostokątów są podobne. Czy pamiętasz czym charakteryzują się figury podobne? To takie, które mają ten sam kształt i różnią się jedynie wielkością. Dla wielokątów wystarczy aby spełnione były dwa warunki: odpowiednie boki proporcjonalne a odpowiednie kąty równe. Jeżeli nie pamiętasz czym były figury podobne, zachęcam Cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. To jak sądzisz które prostokąty są podobne? Pomarańczowe czy szare? Na pierwszy rzut oka widać że te dwa prostokąty mają różne kształty. W takim razie nie mogą być podobne. A co z tymi dwoma prostokątami? Rzeczywiście ich kształty wydają się nomen-omen podobne ale musimy to jakoś stwierdzić matematycznie. Ponieważ są to prostokąty to wszystkie ich kąty mają po 90 stopni czyli odpowiednie kąty w tych dwóch figurach są równe. Teraz należy sprawdzić proporcjonalność boków. W takim razie, jeśli odpowiednio powiększymy ten prostokąt powinniśmy otrzymać ten prostokąt. Co to znaczy odpowiednio powiększyć? Jeżeli pomnożymy krótszy bok przez pewną liczbę powinniśmy otrzymać długość krótszego boku w większym prostokącie. Z kolei, jeśli pomnożymy dłuższy bok tego prostokąta przez tę samą liczbę to powinniśmy otrzymać długość dłuższego boku dużego prostokąta. Słowo, którego szukamy to proporcjonalność. Odpowiadające boki w tych dwóch prostokątach powinny być proporcjonalne. Musimy więc najpierw wskazać odpowiadające boki. Zrobiliśmy to przecież przed chwilą. Krótszym bokom w większym prostokącie odpowiadają krótsze boki w mniejszym prostokącie z kolei dłuższym bokom w większym prostokącie, odpowiadają dłuższe boki w mniejszym prostokącie. W tych dwóch prostokątach również możemy wskazać odpowiadające boki. Mimo, że wiemy że te figury nie są podobne. Analogicznie jak w poprzednim przykładzie krótszemu bokowi odpowiada krótszy bok a dłuższemu bokowi odpowiada dłuższy bok. Mamy już zaznaczone odpowiadające boki. Należy teraz wyznaczyć odpowiednią proporcję. Jak sądzisz, jak to zrobić? Należy wyznaczyć stosunek długości odpowiadających boków. Zajmijmy się najpierw tymi dwoma prostokątami i wyznaczmy stosunek długości krótszych boków. To będzie 8 przez 2. To oczywiście 4. A jaki jest stosunek długości dłuższych boków? 16przez 8, czyli 2. Zauważ, że te dwa stosunki są różne. Udowodniliśmy, że te dwa prostokąty nie są podobne. A co z tymi dwoma prostokątami? To zadanie dla Ciebie. Zatrzymaj film i oblicz stosunki odpowiadających boków. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Stosunek długości krótszych boków to 8 przez 2, czyli 4. A stosunek długości dłuższych boków to 16 przez 4, czyli również 4. Zauważ, że mamy takie same stosunki. Udowodniliśmy, że te dwa prostokąty są podobne. Ten stosunek w figurach podobnych nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy poprzez literę k. Skala podobieństwa figur podobnych to stosunek odpowiadających boków. Przed nami kolejne zadanie. Mamy sprawdzić czy te dwa wielokąty są podobne. Jeśli tak należy wyznaczyć ich skalę podobieństwa. Jak sprawdzić czy te dwie figury są podobne? Pamiętasz, co zrobiliśmy w poprzednim przykładzie? Wyznaczyliśmy stosunki odpowiadających boków. Jeżeli te stosunki będą równe a miary odpowiednich kątów takie same, to oznacza że dwie figury są podobne. W treści zadania mamy napisane że wszystkie boki tych figur są prostopadłe. To oznacza, że wszystkie kąty w tych figurach mają tę samą miarę. Teraz pozostaje jedynie sprawdzić odpowiadające boki. Na samym początku zaznaczmy je. Zatrzymaj film i spróbuj zrobić to samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. To lecimy po kolei. Temu bokowi odpowiada ten bok temu bokowi ten bok temu bokowi ten bok i oczywiście pozostałe analogicznie. Zaznaczyliśmy już w obu wielokątach odpowiadające pary boków. Teraz należy wyznaczyć stosunki ich długości. Po raz kolejny zatrzymaj film i wyznacz te stosunki. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Stosunek zielonych boków to 12 przez 4 czyli 3. Różowych boków to 24 przez 8 czyli również 3. Żółtych boków 6 przez 2 czyli 3. Szarych boków 15 przez 5, czyli 3. Jasnozielonych 6 przez 2, czyli 3. I jasnoczerwonych 9 przez 3 czyli również 3. Wszystkie te stosunki są równe a ponieważ odpowiednie kąty mają tą samą miarę to oznacza, że te dwie figury są podobne. Jak ułożymy ten wielokąt w takiej pozycji to widać to trochę lepiej. Jaka jest w takim razie skala podobieństwa? Jest równa 3. Mniejszą figurę określę literą A a większą figurę literą B. Wykazaliśmy, że te dwie figury są podobne w skali k równej 3. Poprawnie należy powiedzieć że figura B jest podobna do figury A w skali k równej 3. To oznacza, że figura B jest 3 razy większa od figury A. Zauważ, że do tej pory skalę podobieństwa k wyznaczaliśmy jako stosunek długości boków większej figury do długości boków mniejszej figury. A co jeśli postąpilibyśmy na odwrót? To znaczy na przykład zamiast 12 przez 4 obliczyli 4 przez 12 i tak dalej? Sprawdźmy. 4 przez 12 to 1/3. To tyle samo co 8 przez 24 2 przez 6 i tak dalej. Zauważ, że wszystkie te stosunki są równe 1/3. To oznacza, że wyznaczyliśmy inną skalę podobieństwa niż poprzednio. Czy to jakiś błąd? Nie. Zauważ, że w pierwszym przypadku liczyliśmy stosunek boków większej figury do boków mniejszej figury a tutaj postąpiliśmy odwrotnie. Wyznaczyliśmy stosunek długości boków mniejszej figury do długości boków większej figury czyli możemy powiedzieć że figura A jest podobna do figury B w skali k równej 1/3. Jak widzisz, wszystko zależy od tego jaki stosunek wyznaczyłeś. Czy stosunek boków większej figury do mniejszej czy stosunek boków mniejszej figury do większej. I jeszcze jedno zadanie. Dwa równoległoboki są podobne w skali k równej 2. Oblicz obwód większego równoległoboku jeśli wiesz, że boki mniejszego mają długość 3 i 4 centymetry. Zadanie mówi o dwóch podobnych równoległobokach. Narysujmy je więc. Od razu zaznaczyłem długości boków mniejszego z nich. Mamy obliczyć obwód większego równoległoboku. Znamy skalę podobieństwa. Jak sądzisz, czy jest to stosunek długości boków większego równoległoboku do mniejszego czy stosunek długości boków mniejszego do większego? Oczywiście większego do mniejszego. Moglibyśmy powiedzieć że ten równoległobok jest podobny do tego w skali k równej 2. W takim razie odpowiednie boki w tym równoległoboku będą dwa razy dłuższe od odpowiednich boków w tym równoległoboku. Zatrzymaj teraz film i spróbuj rozwiązać to zadanie samodzielnie. Następnie włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Ten bok będzie miał długość 3 razy 2, czyli 6 a ten bok będzie miał długość 4 razy 2, czyli 8. W takim razie obwód większego równoległoboku to 6 razy 2 dodać 8 razy 2 czyli 12 dodać 16 czyli 28. Skala podobieństwa to stosunek odpowiadających boków figur podobnych. Oznaczamy ją małą literą k. Jeżeli boki figury G dzielimy przez odpowiadające boki figury F to otrzymujemy skalę podobieństwa figury G do figury F. Jeżeli postępujemy odwrotnie czyli boki figury F dzielimy przez odpowiadające boki figury G to otrzymujemy skalę podobieństwa figury F do figury G. Jeśli wielokąty są podobne to odpowiednie odcinki w tych wielokątach ich boki, wysokość i tak dalej są proporcjonalne. Zobaczyłeś właśnie kolejny film z playlisty o figurach podobnych. Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty a także do polubienia naszego fanpage na Facebooku PistacjaMatematyka

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Zofia Wiśniewska

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Agnieszka Banasikowska, Valeriia Malyk

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg