Z tego filmu dowiesz się:

  • co to znaczy, że okrąg jest opisany na kwadracie i że kwadrat jest wpisany w okrąg,
  • co to znaczy, że kwadrat jest opisany na okręgu i że okrąg jest wpisany w kwadrat,
  • jaka jest zależność między promieniem okręgu wpisanego w kwadrat, a długością boku kwadratu,
  • jaka jest zależność między promieniem okręgu opisanego na kwadracie, a długością boku kwadratu.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Jak myślisz czy da się skonstruować kwadrat którego pole jest takie samo jak pole pewnego koła? Na to pytanie starożytni matematycy próbowali odpowiedzieć przez wiele setek lat. Do dziś pojęcie kwadratura koła jest synonimem problemu nie do rozwiązania. Wyobraź sobie, że prowadzisz pizzerię. Masz zapas opakowań w kształcie kwadratu o bokach 22 centymetry 30 centymetrów i 38 centymetrów. Ktoś ukradł Ci formy do pieczenia pizzy. Chcesz zamówić nowe. Jaki promień powinny mieć aby pizze były maksymalnie duże ale mieściły się w opakowaniach? Spróbujmy zobrazować sobie ten problem. Skoro opakowanie jest w kształcie kwadratu to narysujmy kwadrat. Załóżmy, że długość jego boku to 22 centymetry. W ten kwadrat ma się zmieścić maksymalnie duże koło bo pizza ma kształt koła. Zastanów się teraz jaki jest najdłuższy odcinek w kole. Najdłuższym odcinkiem w kole jest średnica. A jaki najdłuższy odcinek możesz narysować w kwadracie? Takim odcinkiem jest przekątna. Zobacz, co by się stało, gdyby pizza miała średnicę równą przekątnej. Pizza byłaby większa niż opakowanie. My chcemy, aby zmieściła się w środku. Jaka zatem może być jej maksymalna średnica? Pizza musi zmieścić się między ściankami pudełka a te są oddalone od siebie 22 centymetry. Odległość punktów na okręgu koła musi zatem wynosić maksymalnie 22 centymetry. Średnica takiej pizzy musi mieć taką samą długość jak bok tego kwadratu. Sprawdźmy, czy to prawda. Widzisz, że tak. Promień formy tej pizzy będzie równy zatem połowie średnicy czyli jedenastu centymetrom. A jak to będzie w przypadku opakowania o boku trzydziestu centymetrów? Średnica największej pizzy mieszczącej się w nim będzie miała również 30 centymetrów czyli jej promień to 15 centymetrów. Taki powinien być promień drugiej formy. A jaki promień powinna mieć forma do pizzy która zmieści się w kwadratowym opakowaniu o boku równym 38 centymetrom? Odpowiedz samodzielnie. Promień formy dla opakowania o boku 38 centymetrów to połowa tej długości czyli 19 centymetrów. Koło, które znajduje się wewnątrz kwadratu i które dotyka każdego z czterech jego boków, nazywa się kołem wpisanym w kwadrat. Zapamiętaj słowo „wpisane”. Skoro wpisujemy koło w kwadrat to koło ma być w kwadracie i ma dotykać każdego z jego boków. Moglibyśmy też to wyrazić nieco inaczej. Kwadrat jest opisany na kole. Spróbujmy sobie to wszystko uogólnić. Jeśli w kwadrat o długości boku a wpiszemy koło to promień tego koła będzie równy połowie długości boku tego kwadratu czyli a przez 2. r, czyli promień tego koła równa się zatem a/2. Wróćmy teraz do nieco innej sytuacji czyli takiej, w której średnica koła jest taka sama jak przekątna kwadratu. Co możemy zaobserwować? Każdy z czterech wierzchołków kwadratowego opakowania dotyka krawędzi koła. O takiej sytuacji mówimy że kwadrat jest wpisany w koło. Możemy też powiedzieć że koło jest opisane na kwadracie. Załóżmy zatem, że bok tego kwadratu to 38 centymetrów. Jaką długość ma średnica tego koła? Średnica tego koła jest przekątną kwadratu, czyli jej długość to 38 pierwiastków z dwóch. Promień to połowa tej długości czyli 19 pierwiastków z dwóch. Jak to uogólnić? Jeżeli na kwadracie o długości boku a opiszemy koło to jego średnica będzie miała długość równą a pierwiastków z dwóch. Promień koła będzie z kolei równy połowie tej długości co możemy zapisać jako 1/2a pierwiastków z dwóch lub a pierwiastków z dwóch podzielić przez 2. Jeżeli wierzchołki kwadratu znajdują się na okręgu to mówimy, że taki kwadrat jest wpisany w okrąg. Możemy też powiedzieć że okrąg jest opisany na kwadracie. Długość promienia takiego okręgu jest równa połowie przekątnej kwadratu. Jeżeli okrąg dotyka każdego z boków kwadratu dokładnie w jednym punkcie to taki okrąg jest wpisany w kwadrat albo inaczej kwadrat jest opisany na okręgu. Długość promienia okręgu to połowa długości boku kwadratu. Ten dział jest poświęcony zależnościom między długościami boków w trójkącie o kątach 45, 45 i 90 stopni. Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg