Z tego filmu dowiesz się:

  • jak obliczać objętości graniastosłupów.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Niektóre namioty mają kształt graniastosłupa. Dzięki tej lekcji dowiesz się, ile powietrza zmieści się w Twoim namiocie. Spójrzmy na taki prostopadłościan. Czy z tego rysunku dowiemy się jaką ma on objętość? Aby dowiedzieć się, jaką ma objętość wystarczy obliczyć, ile sześcianów jednostkowych zmieści się wewnątrz niego. Załóżmy, że nasz prostopadłościan ma wymiary 3 decymetry na 2 decymetry na 2 decymetry. W tym przypadku zmieści nam się 6 kostek jako dolna warstwa oraz 6 kostek jako górna warstwa. Łącznie w tym prostopadłościanie zmieściło nam się 12 kostek o objętości jednego decymetra sześciennego. Oznacza to, że nasz prostopadłościan ma objętość 12 decymetrów sześciennych. Przypomnieliśmy sobie, jak możemy wyznaczyć objętość prostopadłościanu. Spróbuj zapamiętać, że liczba określająca objętość bryły zawsze mówi nam ilu sześcianom jednostkowym odpowiada przestrzeń, która jest w jej środku. Niezależnie od tego, jaka to bryła. To znaczy, jeśli będziemy mieli graniastosłup o objętości piętnastu centymetrów sześciennych to znaczy, że w jego środku zmieści się taka ilość na przykład lodu jak w piętnastu kostkach o boku jednego centymetra. Zastanówmy się teraz od czego zależy objętość graniastosłupa? Czy potrafisz samodzielnie odpowiedzieć na to pytanie? Spróbuję Ci pomóc. Popatrzmy na prostopadłościan na rysunku. Spróbujmy go rozciąć wzdłuż przekątnych obu podstaw. Powstały nam teraz 2 graniastosłupy proste trójkątne, prawda? Skoro cięcia dokonaliśmy wzdłuż przekątnych podstaw, to otrzymane bryły są identyczne, więc i ich objętości są takie same i stanowią połowę objętości prostopadłościanu. Możemy zatem zauważyć, że objętość graniastosłupa zależy na pewno od jego podstawy, bo skoro podstawy prostopadłościanu podzieliliśmy na dwie połowy, to także objętość graniastosłupa podzieliliśmy na dwie połowy. Spróbujmy teraz dokonać cięcia w połowie wysokości naszych graniastosłupów trójkątnych. Z każdego graniastosłupa powstały nam po dwie identyczne bryły. Każda z brył ma teraz objętość równą połowie oryginalnej objętości. Znaleźliśmy zatem drugi czynnik od którego zależy objętość. Tym drugim czynnikiem jest wysokość. Pokazaliśmy, że objętość graniastosłupa prostego zależy od pola podstawy i jego wysokości. Ta zależność obowiązuje dla wszystkich graniastosłupów i wyraża się wzorem: V równa się Pp razy H gdzie V oznacza objętość Pp — pole podstawy a H — wysokość. Zwróć uwagę, że jest to wspólny wzór dla wszystkich graniastosłupów zarówno prostych, jak i pochyłych. I nie zależy od tego, jaka figura znajduje się w ich podstawie. Objętość sześcianu i prostopadłościanu także możemy liczyć z tego wzoru bo te bryły też należą do graniastosłupów. Spróbujmy rozwiązać takie zadanie: oblicz objętość poniższego graniastosłupa prostego. Jakich wartości potrzebujemy do obliczenia objętości? Jak pamiętasz, wzór na objętość graniastosłupa to: V równa się Pp razy H. Zacznijmy od odczytania wysokości z rysunku. Widzimy, że wysokość ma 6 centymetrów. Brakuje nam jednak jeszcze pola podstawy. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć pole podstawy tego graniastosłupa. Widzimy, że w podstawie mamy trójkąt prostokątny. Obliczymy zatem pole tej figury mnożąc długości obu przyprostokątnych a następnie dzieląc otrzymaną liczbę przez 2. To do dzieła! Mamy pole podstawy równa się 3 razy 4 przez 2. Da nam to 12 przez 2 i otrzymujemy ostatecznie, że pole podstawy ma 6 centymetrów kwadratowych. Mamy już zatem obie wartości niezbędne do obliczenia objętości. Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie obliczyć objętość tego graniastosłupa. Po podstawieniu do wzoru na objętość otrzymamy: V równa się 6, bo tyle wynosi pole podstawy, razy 6, bo tyle wynosi wysokość i da nam to 36 centymetrów sześciennych. Pamiętaj, żeby przy mnożeniu pamiętać o jednostkach! Je też trzeba wymnożyć! Wszystkie muszą być tego samego rodzaju a na końcu musisz otrzymać jednostkę objętości, na przykład centymetr sześcienny czy litr. Możemy zatem sformułować już odpowiedź! Może ona brzmieć na przykład tak: objętość tego graniastosłupa wynosi 36 centymetrów sześciennych. I na koniec rozwiążmy jeszcze takie zadanie: oblicz długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości dwudziestu pięciu centymetrów i objętości dziesięciu litrów. Wykonajmy rysunek do tego zadania. Skoro wiemy, że mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym czworokątnym to wiemy, że w jego podstawie na pewno będzie kwadrat. Narysujmy podstawę oraz podpiszmy długości jej boków. Dokończmy rysunek naszej bryły i podpiszmy wysokość. Z polecenia wiemy że wysokość wynosi 25 centymetrów. Wiemy również, że objętość tej bryły to 10 litrów. 10 litrów to to samo co 10 decymetrów sześciennych. Ale skoro długości wszystkich krawędzi podano nam w centymetrach to 10 decymetrów sześciennych zamieńmy na centymetry sześcienne. Aby to zrobić, 10 musimy pomnożyć razy 1000. Da nam to 10 000 centymetrów sześciennych. Napiszmy wzór na objętość i podstawmy do niego dane. Za V podstawimy 10 000. Za pole podstawy podstawimy a kwadrat. A za wysokość podstawimy 25. Dzieląc obustronnie przez 25 otrzymamy a kwadrat równa się 400. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 400? a równa się 20 lub a równa się –20. Wiemy jednak, że a to długość krawędzi zatem możemy odrzucić ujemną odpowiedź. Świetnie! Udało nam się obliczyć że długość krawędzi podstawy wynosi 20 centymetrów. Zapiszmy jeszcze odpowiedź. Może ona brzmieć na przykład tak: długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 20 centymetrów. Objętość każdego graniastosłupa możemy obliczyć mnożąc pole podstawy przez wysokość. Zachęcam Cię do odwiedzenia strony pistacja.tv! Znajdziesz tam setki filmów, które na pewno pomogą Ci w nauce matematyki.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Arkadiusz Sas

Konsultacja: Krystyna Parszuto

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Agnieszka Opalińska, Arkadiusz Sas

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Grzegorz Jakubiec, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

David Cline/U.S. Fish and Wildlife Service (domena publiczna)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg