Z tego filmu dowiesz się:

  • co to jest przekrój osiowy stożka,
  • jak obliczyć pole przekroju osiowego,
  • co to jest kąt rozwarcia stożka.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Jedne z najniebezpieczniejszych miejsc na Ziemi mają kształt stożka. O czym mowa? Oczywiście o wulkanach. Wiesz pewnie jak wygląda wulkan z zewnątrz. Ale czy zastanawiałeś się jak wygląda w środku? Można to zobaczyć na specjalnych przekrojach tworzonych przez geologów. Na ekranie mamy narysowany pewien stożek. Wyobraź sobie, że jest to model wulkanu. Jak zobaczyć co jest w środku? To proste, przetnijmy go na pół i sprawdźmy to. Skupmy się teraz na miejscu przecięcia. Co tutaj widzimy? Oczywiście widzimy dwie połówki stożka. Ale chodzi mi o figurę która powstała w miejscu przecięcia. Jeżeli nadal nie widzisz to pozwól, że zaznaczę to wyraźniej. Czym jest ta żółta figura? To oczywiście trójkąt. Co możemy powiedzieć o tym trójkącie? Czy znamy na przykład długości jego boków? Zaraz się o tym przekonamy. Narysujmy najpierw charakterystyczne odcinki dla stożka. Promień, wysokość oraz tworzącą. Zatrzymaj film i spróbuj to zrobić samodzielnie. Jeżeli jednak nie pamiętasz o co w ogóle chodziło z tworzącymi promieniem czy wysokością zachęcam Cię najpierw do zobaczenia odpowiedniego filmu. Wysokość stożka jest tutaj. Promień stożka tutaj. Natomiast tworząca tutaj. Oczywiście ten odcinek to również promień stożka tak samo jak ten odcinek również jest tworzącą stożka. No właśnie. Skoro zarówno ten odcinek, jak i ten to tworzące stożka to z jakim trójkątem mamy tutaj do czynienia? To trójkąt równoramienny. Jego ramiona mają taką samą długość która jest równa długości tworzącej. Jaka jest długość podstawy tego trójkąta? To 2 razy promień czyli średnica stożka. Figurę, którą widać w miejscu przekrojenia stożka nazywamy przekrojem. Jeżeli ten przekrój zawiera w sobie oś obrotu to nazywamy go przekrojem osiowym. No właśnie, zawiera czy nie zawiera? Oś obrotu w stożku pokrywa się z jego wysokością. W takim razie przekrój o którym teraz rozmawiamy jest jednocześnie przekrojem osiowym stożka. Zapamiętaj, że przekrojem osiowym tej bryły zawsze jest trójkąt równoramienny. Zauważ też, że gdybyśmy obrócili ten przekrój osiowy wokół osi obrotu to otrzymalibyśmy w rezultacie nasz stożek. Skupmy się jeszcze na kątach w tym trójkącie. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe. Ja oznaczyłem je grecką literą alfa. Ten kąt, który znajduje się pomiędzy tworzącymi nazywamy kątem rozwarcia stożka. I jeszcze jedna porcja wiedzy. Mam nadzieję, że pamiętasz o tym że wysokość w trójkącie równoramiennym pokrywa się z dwusieczną tego kąta. Pamiętasz, czym była dwusieczna? To prosta dzieląca dany kąt na pół. W takim razie ten kąt między jedną tworzącą, a wysokością ma taką samą miarę jak ten kąt między wysokością, a drugą tworzącą. Ja oznaczyłem je greckimi literami beta. Świetnie, to chyba wszystko co musimy wiedzieć o przekrojach stożka. Sprawdźmy teraz naszą wiedzę w praktyce i przejdźmy do zadań. Mamy teraz takie zadanie. Jakie jest pole przekroju osiowego stożka o wysokości równej 6 centymetrom i promieniu równym 4 centymetrom? O co jesteśmy pytani? O wyznaczenie pola przekroju osiowego stożka. Co wiemy o tym stożku? Znamy jego wysokość oraz promień. No dobrze, to do roboty. Narysujemy ten stożek. Oto on. Zaznaczmy teraz przekrój osiowy. Jak mówiliśmy przed chwilą jest to trójkąt równoramienny. Dodatkowo wypisałem pozostałe dane z naszego zadania. Musimy więc obliczyć pole tego trójkąta. Jak to zrobić? Jak pamiętasz, we wzorze na pole trójkąta występuje wysokość oraz podstawa. Czy znamy jakąś z tej wielkości? Znamy wysokość. Wysokość tego trójkąta jest jednocześnie wysokością stożka. A podstawa tego trójkąta? To oczywiście średnica stożka. Czyli dwa razy promień. Średnica ma długość 8 centymetrów. Świetnie, znamy już wszystkie informacje potrzebne do wyznaczenia pola przekroju osiowego. Zatrzymaj teraz film i wyznacz go samodzielnie. Potem włącz film ponownie i porównaj swoją odpowiedź z moją. Pole przekroju to 1/2 razy podstawa trójkąta razy jego wysokość. W miejsce 2r podstawiam 8 centymetrów a w miejsce H 6 centymetrów. 8 razy 6 to 48 a całość razy 1/2 to 24. Pole przekroju osiowego tego stożka to 24 centymetry kwadratowe. A teraz kolejne zadanie. Kąt rozwarcia stożka jest kątem prostym a tworząca stożka ma długość 4 pierwiastki z dwóch centymetrów. Oblicz wysokość i promień tego stożka. Przeczytaj treść zadania jeszcze raz i spróbuj samodzielnie zrobić odpowiedni rysunek. Następnie porównaj go z moim. Oto nasz stożek. Zaznaczyłem na nim szukane wielkości. Jego wysokość oraz promień. Zaznaczyłem też tworzącą wraz z jej długością a także kąt rozwarcia stożka. To ten kąt. Nie jest to dowolny kąt, tylko kąt prosty. Jak możemy znaleźć promień i wysokość? Albo inaczej, jaka jest zależność wiążąca wysokość, promień oraz tworzącą? Tutaj jest trójkąt prostokątny. W takim razie możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa. I H kwadrat plus r kwadrat to l kwadrat. No dobrze, ale nie znamy ani H ani r. Mamy jedno równanie i dwie niewiadome. Nie damy rady go rozwiązać. To może skupmy się tym kącie rozwarcia. Informacja o nim raczej nie jest przypadkowa. Wiemy, że jego miara to 90 stopni. Pamiętasz, co mówiliśmy wcześniej o wysokości i kącie rozwarcia? Wysokość jest dwusieczną kąta rozwarcia. W takim razie ten kąt oraz ten mają miarę równą 90 przez 2. Czyli? Czyli 45 stopni. Zobacz teraz, znamy miary dwóch kątów w tym trójkącie. Możemy więc obliczyć miarę trzeciego kąta. Ile ona wynosi? To 180 minus 90 stopni minus 45 stopni czyli 45 stopni. No dobrze, znamy miary tych kątów ale czy to nam coś daje? Otóż tak i to bardzo dużo. Te dwa kąty mają taką samą miarę. W jakim trójkącie się tak dzieje? W trójkątach równoramiennych. W takim razie ten trójkąt nie dość że jest prostokątny to jest jeszcze równoramienny. Jakie są ramiona tego trójkąta? To H oraz r. W takim razie H jest równe r. Jak podstawimy w miejsce r kwadrat H kwadrat otrzymamy jedno równanie z jedną niewiadomą i będziemy mogli policzyć wysokość. Spróbuj ją wyznaczyć samodzielnie a potem porównaj swoją odpowiedź z moją. Otrzymujemy, że H kwadrat dodać H kwadrat to 4 pierwiastki z dwóch do kwadratu. 2H kwadrat to 4 do kwadratu czyli 16 razy pierwiastek z dwóch do kwadratu czyli 2. Aby wyznaczyć H kwadrat dzielę obustronnie to równanie przez 2. H kwadrat to 16 centymetrów kwadratowych czyli H równa się 4. Jeżeli zgubiłeś się gdzieś podczas mojego wywodu to przejrzyj go na spokojnie jeszcze raz. Czy to koniec zadania? Teoretycznie nie. Musimy jeszcze znaleźć długość promienia ale w praktyce tak ponieważ wiemy, że promień jest równy wysokości czyli wynosi 4 centymetry. Gratulacje. Zadania ze stożkami nie mają już przed tobą tajemnic. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoramienny. Podstawą tego trójkąta jest średnica stożka. Wysokością tego trójkąta—wysokość stożka a ramionami tego trójkąta są tworzące stożka. Kąt rozwarcia stożka to kąt pomiędzy ramionami tego trójkąta. Zobaczyłeś właśnie kolejny film o stożkach. Zachęcam Cię do zobaczenia pozostałych filmów z tej playlisty a także do zasubskrybowania naszego kanału na YouTube PistacjaMatematyka.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Damian Artyszak

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Joanna Mędrzycka

Materiały: Aleksandra Wojnicz

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Klaudia Abdeltawab, Татьяна Кравец

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Natalia_Kollegova (CC0)
InfiniteThought (CC0)
Jose F. Vigil. (Domena publiczna)

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg