Z tego filmu dowiesz się:

  • które twierdzenia dotyczące logarytmów warto zastosować w podanej sytuacji,
  • jak zastosować twierdzenie o dodawaniu logarytmów,
  • jak zastosować twierdzenie o odejmowaniu logarytmów,
  • jak zastosować twierdzenie o potędze liczby logarytmowanej,
  • jak rozwiązać zadanie z logarytmami, których nie da się policzyć.

Podstawa programowa

Pobieranie materiałów

wideo ekran podsumowujący napisy

Licencja: cc-by-nc-sa.svg

Poniższe materiały są udostępnione na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.pl). Możesz je wykorzystywać wyłącznie jako całość, bez rozdzielania ich na indywidualne elementy składowe. Zabronione jest wycinanie, pobieranie, modyfikowanie, edytowanie i zmienianie elementów składowych (np. grafik, tekstów, dźwięków, logotypów). Licencja CC BY-NC-SA 4.0 nie obejmuje wykorzystywania elementów składowych w utworach pochodnych. Jeśli chcesz wykorzystać ten materiał w swoim niekomercyjnym projekcie, nie zapomnij wymienić jego autorów: Pi-stacja / Katalyst Education.

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Nie tylko chemicy posługują się w pracy pojęciem rzędu wielkości. Na przykład słoń jest większy od mrówki o 3 rzędy wielkości. Nie każdy jednak wie, że to pojęcie ściśle wiąże się z logarytmami. W tej lekcji zajmiemy się wykonywaniem działań na logarytmach. Nie będzie tutaj nic co mogłoby Cię zaskoczyć. Spróbuj zatem rozwiązać najpierw każde zadanie samodzielnie a następnie włącz z powrotem film i sprawdź, czy twój wynik jest taki sam jak mój. Zacznijmy od takiego przykładu. Logarytm o podstawie 12 z liczby 3 dodać logarytm o podstawie 12 z liczby 48. Zwróć uwagę, że nie jesteśmy w stanie powiedzieć, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 12 aby otrzymać 3. Tak samo nie jesteśmy w stanie powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 12, aby otrzymać 48. Musimy sobie poradzić jakoś inaczej. A jak? Zwróć uwagę że tutaj mamy takie same podstawy i mamy sumę dwóch logarytmów. Co robimy w takiej sytuacji? Sumę dwóch logarytmów o takich samych podstawach możemy zapisać jako jeden logarytm z iloczynu liczb logarytmowanych. 3 razy 48 to 144. Otrzymujemy logarytm o podstawie 12 z liczby 144. Aby obliczyć ten logarytm wystarczy zastanowić się do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 12 aby otrzymać liczbę 144. Tą liczbą jest 2 ponieważ 12 do potęgi drugiej to 144. Liczba 2 jest wynikiem tego działania. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć ile to jest logarytm o podstawie 5 z liczby 250 odjąć logarytm o podstawie 5 z liczby 2. Zwróć uwagę, że znowu nie jesteśmy w stanie podać, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5 aby otrzymać 250. Tak samo nie potrafimy powiedzieć do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5 aby otrzymać liczbę 2. Co zatem możemy zrobić? Zwróć uwagę, że tutaj mamy odejmowanie dwóch logarytmów o takich samych podstawach. Różnicę dwóch logarytmów o takich samych podstawach możemy zapisać jako jeden logarytm o takiej samej podstawie z ilorazu liczb logarytmowanych. Otrzymaliśmy logarytm o podstawie 5 z ułamka 250/2. 250/2 to inaczej 250 podzielić przez 2 czyli 125. Otrzymujemy zatem logarytm o podstawie 5 z liczby 125. Aby obliczyć ten logarytmu należy zastanowić się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5 aby otrzymać liczbę 125. Ta liczba to 3, ponieważ 5 podniesione do potęgi trzeciej to 125. Liczba 3 jest wynikiem tego działania. Kolejne zadanie dla Ciebie to logarytm o podstawie 2 z logarytmu o podstawie 5 z liczby 25. Co jesteśmy w stanie obliczyć? Jesteśmy w stanie podać, ile to jest logarytm o podstawie 5 z liczby 25. Logarytm o podstawie 5 z liczby 25 to 2 ponieważ 5 podniesione do potęgi drugiej da nam liczbę 25. Otrzymujemy zatem logarytm o podstawie 2 z liczby 2. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2 aby otrzymać 2? Do potęgi pierwszej. 2 podniesione do potęgi pierwszej da nam liczbę 2. Liczba 1 jest naszym wynikiem. Oto kolejny przykład dla Ciebie. Oblicz, ile to jest 1/7 podniesiona do potęgi logarytm o podstawie 1/7 z pierwiastka z pięciu. Ten przykład tylko wygląda na skomplikowany. Zwróć uwagę, że podstawą tej potęgi jest ułamek 1/7. Podstawą logarytmu jest również ułamek 1/7. Skoro ta liczba jest taka sama jak ta liczba to wynikiem tego potęgowania jest liczba logarytmowana czyli pierwiastek z pięciu. Oto nasz wynik. A teraz spróbuj samodzielnie obliczyć ile to jest 25 podniesione do potęgi logarytm o podstawie 5 z pierwiastka z pięciu. Chciałoby się od razu powiedzieć że wynikiem tego potęgowania jest pierwiastek z pięciu ale nie jest. Dlaczego? Zwróć uwagę, że podstawą logarytmu jest liczba 5, a podstawą potęgi liczba 25. Co zatem robimy? Liczbę 25 zapisujemy w postaci takiego potęgowania którego podstawą jest liczba 5. 25 to inaczej 5 do potęgi drugiej. Co otrzymamy? Otrzymamy 5 do potęgi drugiej do potęgi logarytm o podstawie 5 z pierwiastka z pięciu. A co robimy w sytuacji gdy potęgowanie podnosimy do jeszcze jednej potęgi? Otrzymamy 5 do potęgi 2 razy logarytm o podstawie 5 z pierwiastka z pięciu. Wiesz już, że jeśli logarytm mnożymy przez liczbę to tę liczbę możemy zapisać w wykładniku liczby logarytmowanej. Otrzymamy 5 do potęgi logarytm o podstawie 5 z liczby pierwiastek z pięciu do potęgi drugiej. A ile to jest pierwiastek z pięciu do potęgi drugiej? 5. Otrzymujemy 5 do potęgi logarytm o podstawie 5 z pięciu. Zwróć uwagę, że teraz podstawa potęgowania jest taka sama jak podstawa logarytmu. Co będzie zatem naszym wynikiem? Liczba logarytmowana, czyli liczba 5. To jest nasz wynik. Możemy przejść do ostatniego zadania. Wiedząc, że logarytm o podstawie 2 z liczby 3 równa się a i logarytm o podstawie 2 z liczby 5 równa się b oblicz, ile to jest logarytm o podstawie 2 z liczby 75. Tego typu zadania pojawiają się bardzo często na różnych egzaminach. Na przykład na egzaminach maturalnych. Pokażę Ci jak je rozwiązywać. Zastanówmy się najpierw, co wiemy. Wiemy, że logarytm o podstawie 2 z liczby 3 to pewna liczba a. Wiemy też, że logarytm o podstawie 2 z liczby 5 to pewna liczba b. Chcemy obliczyć ile to jest logarytm o podstawie 2 z liczby 75. Najpierw zaczynamy od zapisania logarytmu o podstawie 2 z liczby 75 czyli od tego, co chcemy obliczyć. Cały myk w tym zadaniu polega na tym aby liczbę 75 zapisać w postaci iloczynu lub ilorazu liczb logarytmowanych które mamy w treści zadania. Te liczby to liczby 3 oraz 5. Ostatnią cyfrą liczby 75 jest 5 czyli liczba 75 na pewno dzieli się przez 5. 75 to inaczej 25 razy 3. Zapiszę ten iloczyn w tym miejscu. 25 razy 3. To jeszcze nie wszystko. Wiemy, że liczba 25 to inaczej 5 razy 5. Otrzymujemy 5 razy 5 razy 3. Zaraz się dowiesz, po co to robimy. Zamieniając liczbę 75 na taki iloczyn otrzymujemy logarytm o podstawie 2 z iloczynu 5 razy 5 razy 3. Ten logarytm możemy rozbić na sumę trzech logarytmów. Czy wiesz jakich? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. Ten logarytm możemy zapisać jako sumę trzech logarytmów o podstawach równych 2 z liczb 5, 5 oraz 3. Zwróć uwagę, że każda z tych trzech liczb brała udział w tym mnożeniu. Zobacz. Tutaj mamy sumę dwóch identycznych logarytmów. Zapiszmy ją w postaci mnożenia jako 2 razy logarytm o podstawie 2 z liczby 5. Do tego dodajemy logarytm o podstawie 2 z liczby 3. Co nam to dało? Wiemy, że logarytm o podstawie 2 z liczby 3 to a. Zapiszmy to. Logarytm o podstawie 2 z liczby 3 to a. Wiemy też, że logarytm o podstawie 2 z liczby 5 to b. To również zapiszmy. No to, co otrzymamy, wstawiając w miejsce tego logarytmu literę b i w miejsce tego logarytmu literę a. Otrzymujemy 2b dodać a i to jest nasz wynik. Aby obliczać różne logarytmy wystarczy rozumieć, jak działa logarytm oraz jak działają różne wzory na logarytmach. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o logarytmach to obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty. Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi lekcjami zasubskrybuj nasz kanał na YouTubie.

Lista wszystkich autorów

Lektor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Maria Mędrzycka

Grafika podsumowania: Valeriia Malyk

Materiały: Valeriia Malyk, Krzysztof Chojecki

Kontrola jakości: Małgorzata Załoga

Napisy: Ewelina Łasa, Раїса Скорик

Produkcja:

Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie:

Licencja:

Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Na tych samych warunkach 4.0 Międzynarodowej

cc-by-nc-sa.svg