1
00:00:00,777 --> 00:00:02,821
Czy wiesz, że znak równości

2
00:00:02,921 --> 00:00:04,948
został po raz pierwszy użyty

3
00:00:05,048 --> 00:00:09,242
przez Roberta Recorda w 1557 roku?

4
00:00:23,997 --> 00:00:26,336
Na tablicy widzisz wagę szalkową.

5
00:00:26,436 --> 00:00:28,710
Część wagi, na której kładziemy przedmioty

6
00:00:28,810 --> 00:00:29,810
nazywamy szalką.

7
00:00:29,910 --> 00:00:31,386
To jest szalka lewa

8
00:00:31,486 --> 00:00:33,206
a to jest szalka prawa.

9
00:00:33,306 --> 00:00:34,955
Waga jest w równowadze

10
00:00:35,055 --> 00:00:36,989
gdy masa przedmiotów na szalce lewej

11
00:00:37,089 --> 00:00:39,075
jest taka sama, jak masa przedmiotów

12
00:00:39,175 --> 00:00:40,199
na szalce prawej.

13
00:00:40,299 --> 00:00:42,063
Mówiąc nieco bardziej matematycznie

14
00:00:42,163 --> 00:00:44,107
możemy powiedzieć, że masa przedmiotów

15
00:00:44,207 --> 00:00:46,816
na szalce lewej równa się masie przedmiotów

16
00:00:46,916 --> 00:00:48,010
na szalce prawej.

17
00:00:48,174 --> 00:00:50,429
Sytuację, która ma miejsce na wadze

18
00:00:50,529 --> 00:00:53,100
możemy zapisać za pomocą dwóch wyrażeń

19
00:00:53,200 --> 00:00:54,288
które zawierają:

20
00:00:54,388 --> 00:00:57,344
symbole matematyczne, liczby oraz litery.

21
00:00:57,444 --> 00:00:59,136
Pokażę ci, jak to zrobić.

22
00:00:59,236 --> 00:01:01,587
Zaczynamy od szalki lewej.

23
00:01:01,687 --> 00:01:05,792
Na tej szalce mamy odważnik, który waży 1 kg.

24
00:01:06,218 --> 00:01:08,181
Oprócz tego na szalce lewej

25
00:01:08,281 --> 00:01:10,216
znajduje się worek z pomarańczami.

26
00:01:10,316 --> 00:01:12,192
Nie wiemy, ile on waży.

27
00:01:12,292 --> 00:01:13,365
To jest niewiadoma.

28
00:01:13,465 --> 00:01:15,408
W matematyce niewiadome zapisuje się

29
00:01:15,508 --> 00:01:16,882
za pomocą liter.

30
00:01:16,982 --> 00:01:18,312
Skoro mamy do czynienia

31
00:01:18,412 --> 00:01:19,561
z workiem pomarańczy

32
00:01:19,661 --> 00:01:21,933
to do odważnika, który waży 1 kg

33
00:01:22,033 --> 00:01:24,857
dodajemy worek z pomarańczami

34
00:01:24,957 --> 00:01:27,296
którego masę oznaczamy literą p.

35
00:01:27,396 --> 00:01:29,194
Kilka chwil temu powiedziałem

36
00:01:29,294 --> 00:01:31,118
że masa przedmiotów na szalce lewej

37
00:01:31,218 --> 00:01:33,853
równa się masie przedmiotów na szalce prawej.

38
00:01:33,953 --> 00:01:36,224
Możemy zatem w tym miejscu zapisać

39
00:01:36,324 --> 00:01:37,779
symbol równości.

40
00:01:37,879 --> 00:01:39,994
Teraz zabieramy się za masę przedmiotów

41
00:01:40,094 --> 00:01:41,215
na szalce prawej.

42
00:01:41,315 --> 00:01:43,241
Czy potrafimy powiedzieć, jaką masę

43
00:01:43,341 --> 00:01:44,825
mają łącznie te odważniki?

44
00:01:44,925 --> 00:01:47,614
Tak. Każdy z nich waży 1 kg

45
00:01:47,714 --> 00:01:50,804
więc razem ich masa wynosi 3 kg.

46
00:01:51,050 --> 00:01:53,623
Właśnie w taki sposób zapisuje się sytuację

47
00:01:53,723 --> 00:01:55,940
na wadze szalkowej, gdy masa przedmiotów

48
00:01:56,040 --> 00:01:57,660
na szalce lewej jest taka sama

49
00:01:57,760 --> 00:01:59,944
jak masa przedmiotów na szalce prawej.

50
00:02:00,044 --> 00:02:02,224
Przejdźmy zatem do kolejnego przykładu

51
00:02:02,324 --> 00:02:05,690
z wagą, na której będą nieco inne przedmioty.

52
00:02:12,111 --> 00:02:15,137
Znowu widzimy wagę, która jest w równowadze.

53
00:02:15,237 --> 00:02:17,502
Tym razem na szalce lewej znajdują się

54
00:02:17,602 --> 00:02:19,615
dwa odważniki po 2 kg każdy

55
00:02:19,715 --> 00:02:21,864
oraz dwie figurki krasnali.

56
00:02:21,964 --> 00:02:24,886
Na szace prawej znajduje się 1 odważnik

57
00:02:24,986 --> 00:02:27,855
którego masa to 2 kg i są tutaj również

58
00:02:27,955 --> 00:02:29,760
cztery figurki krasnali.

59
00:02:29,860 --> 00:02:31,681
Spróbuj teraz samodzielnie

60
00:02:31,781 --> 00:02:34,951
w sposób matematyczny zapisać tę równowagę.

61
00:02:37,793 --> 00:02:39,858
Zacznijmy od szalki lewej.

62
00:02:39,958 --> 00:02:42,874
Mamy tutaj dwa odważniki po 2 kg każdy

63
00:02:42,974 --> 00:02:45,820
więc te 2 odważniki razem mają masę

64
00:02:45,920 --> 00:02:47,873
która wynosi 4 kg.

65
00:02:47,973 --> 00:02:51,008
Oprócz tego mamy figurki dwóch krasnali.

66
00:02:51,108 --> 00:02:53,568
Nie wiemy, ile waży jedna taka figurka.

67
00:02:53,668 --> 00:02:56,660
Zapisujemy zatem: dodać 2k

68
00:02:56,760 --> 00:02:58,944
bo mamy dwie figurki krasnali.

69
00:02:59,044 --> 00:03:00,823
Skoro waga jest w równowadze

70
00:03:00,923 --> 00:03:02,684
to w tym miejscu zapisujemy

71
00:03:02,784 --> 00:03:04,006
symbol równości.

72
00:03:04,106 --> 00:03:06,636
Teraz zabieramy się za szalkę prawą.

73
00:03:06,736 --> 00:03:08,324
Mamy tutaj jeden odważnik

74
00:03:08,424 --> 00:03:10,620
którego masa wynosi 2 kg.

75
00:03:10,720 --> 00:03:13,698
Zapisujemy zatem: 2 kilogramy.

76
00:03:13,798 --> 00:03:15,866
A ile mamy figurek krasnali?

77
00:03:15,966 --> 00:03:16,966
Cztery.

78
00:03:17,066 --> 00:03:19,675
Do dwóch kilogramów dodajemy zatem 4k

79
00:03:19,775 --> 00:03:22,102
bo mamy cztery figurki krasnali.

80
00:03:22,675 --> 00:03:24,474
Wykonaliśmy nasze zadanie.

81
00:03:24,574 --> 00:03:25,574
Gratulacje!

82
00:03:25,674 --> 00:03:28,093
Przejdźmy zatem do kolejnej wagi.

83
00:03:33,144 --> 00:03:35,823
Ta waga również jest w równowadze.

84
00:03:35,923 --> 00:03:38,113
Spróbuj teraz samodzielnie zapisać

85
00:03:38,213 --> 00:03:40,923
sytuację na tej wadze za pomocą działań

86
00:03:41,023 --> 00:03:43,429
liter oraz symboli matematycznych.

87
00:03:46,517 --> 00:03:48,608
Zaczynamy od szalki lewej.

88
00:03:48,708 --> 00:03:51,751
Mamy tutaj trzy odważniki po 2 kg każdy.

89
00:03:51,851 --> 00:03:54,573
Razem ich masa wynosi 6 kg.

90
00:03:54,673 --> 00:03:57,333
Zapisujemy zatem 6 kg.

91
00:03:57,456 --> 00:04:00,168
Na szalce lewej znajduje się również arbuz

92
00:04:00,268 --> 00:04:01,935
którego masy nie znamy.

93
00:04:02,035 --> 00:04:04,124
Do 6 kg dodajemy zatem

94
00:04:04,224 --> 00:04:07,040
literę a, która oznacza masę arbuza.

95
00:04:07,140 --> 00:04:09,201
Skoro waga jest w równowadze

96
00:04:09,301 --> 00:04:12,137
to w tym miejscu zapisujemy symbol równości.

97
00:04:12,237 --> 00:04:13,920
Z prawej strony tego znaku

98
00:04:14,020 --> 00:04:15,170
zapiszemy sytuację

99
00:04:15,271 --> 00:04:17,004
która jest na szalce prawej.

100
00:04:17,104 --> 00:04:20,277
Mamy tutaj odważnik, którego masa to 2 kg.

101
00:04:20,395 --> 00:04:22,606
Zapisujemy zatem: 2 kg.

102
00:04:23,281 --> 00:04:25,776
A ile mamy tutaj arbuzów? Dwa.

103
00:04:25,876 --> 00:04:28,027
Dodajemy zatem do tego 2a

104
00:04:28,127 --> 00:04:29,743
bo mamy dwa arbuzy.

105
00:04:29,843 --> 00:04:31,808
Znowu wykonaliśmy zadanie.

106
00:04:31,908 --> 00:04:33,403
Dobra robota!

107
00:04:38,699 --> 00:04:40,896
Wiesz już, że gdy waga szalkowa

108
00:04:40,996 --> 00:04:42,860
jest w równowadze, to taką sytuację

109
00:04:42,960 --> 00:04:45,773
możemy zapisać za pomocą dwóch wyrażeń.

110
00:04:45,873 --> 00:04:48,005
Równość dwóch wyrażeń

111
00:04:48,105 --> 00:04:50,190
w których znajdują się liczby

112
00:04:50,290 --> 00:04:51,696
oraz litery

113
00:04:51,797 --> 00:04:53,298
nazywamy równaniem.

114
00:04:53,398 --> 00:04:55,153
To jest pierwsze równanie

115
00:04:55,253 --> 00:04:56,646
to jest drugie równanie

116
00:04:56,746 --> 00:04:58,495
a to jest trzecie równanie.

117
00:04:58,595 --> 00:05:01,319
Masy przedmiotów, których nie znamy

118
00:05:01,419 --> 00:05:03,165
zapisujemy właśnie za pomocą

119
00:05:03,265 --> 00:05:04,381
symboli literowych.

120
00:05:04,481 --> 00:05:06,333
Tutaj nie znaliśmy masy worka

121
00:05:06,433 --> 00:05:07,841
z pomarańczami, więc tę masę

122
00:05:07,941 --> 00:05:09,267
oznaczyliśmy literą p.

123
00:05:09,367 --> 00:05:10,939
Tutaj nie wiedzieliśmy

124
00:05:11,039 --> 00:05:12,831
ile waży jedna figurka krasnala.

125
00:05:12,931 --> 00:05:16,415
Masę takiej jednej figurki oznaczyliśmy literą k.

126
00:05:16,772 --> 00:05:19,251
W tym przykładzie nie wiedzieliśmy

127
00:05:19,351 --> 00:05:21,168
ile waży jeden arbuz.

128
00:05:21,268 --> 00:05:24,174
Masę arbuza oznaczyliśmy literą a.

129
00:05:24,274 --> 00:05:26,668
Te litery, które występują w równaniu

130
00:05:26,768 --> 00:05:28,570
nazywają się niewiadomymi.

131
00:05:28,670 --> 00:05:31,355
W tym równaniu niewiadomą jest litera a

132
00:05:31,455 --> 00:05:33,718
w tym równaniu niewiadomą jest litera k

133
00:05:33,818 --> 00:05:36,816
a w tym równaniu niewiadomą jest litera p.

134
00:05:37,056 --> 00:05:39,080
Zastanów się teraz, czy wybór litery

135
00:05:39,180 --> 00:05:40,809
ma znaczenie? Nie ma.

136
00:05:40,909 --> 00:05:42,765
Tak naprawdę, w miejsce litery p

137
00:05:42,865 --> 00:05:45,235
moglibyśmy wpisać każdą inną literę.

138
00:05:45,335 --> 00:05:48,104
W matematyce niewiadome najczęściej

139
00:05:48,204 --> 00:05:51,083
oznacza się literami x lub y.

140
00:05:51,183 --> 00:05:54,176
Nie zapisuje się również jednostek.

141
00:05:54,293 --> 00:05:56,580
Takie równanie moglibyśmy zapisać

142
00:05:56,680 --> 00:05:58,178
również w taki sposób:

143
00:05:58,278 --> 00:06:01,430
jeden dodać x

144
00:06:01,530 --> 00:06:03,515
równa się 3.

145
00:06:03,615 --> 00:06:05,913
Ten zapis przedstawia w gruncie rzeczy

146
00:06:06,013 --> 00:06:08,422
taką samą sytuację, jak na wadze.

147
00:06:08,606 --> 00:06:10,844
Z równaniami tak naprawdę miałeś

148
00:06:10,944 --> 00:06:13,575
czy też miałaś do czynienia w poprzedniej lekcji.

149
00:06:13,675 --> 00:06:16,831
Za pomocą równań można zapisywać zagadki.

150
00:06:16,931 --> 00:06:17,931
Zobacz:

151
00:06:18,031 --> 00:06:22,743
Jeżeli do liczby 2 dodamy pewną liczbę

152
00:06:22,843 --> 00:06:25,066
to otrzymamy dziesięć.

153
00:06:25,166 --> 00:06:26,559
Jaka to liczba?

154
00:06:26,659 --> 00:06:30,444
Tę zagadkę zapisaliśmy w postaci równania.

155
00:06:30,544 --> 00:06:34,072
Tutaj zamiast litery, która oznacza niewiadomą

156
00:06:34,172 --> 00:06:35,965
zapisaliśmy pustą budkę.

157
00:06:36,065 --> 00:06:38,637
W myśl tego, co powiedziałem przed chwilą

158
00:06:38,737 --> 00:06:41,261
tę budkę moglibyśmy zastąpić jakąś literą.

159
00:06:41,361 --> 00:06:43,223
Na przykład literą x.

160
00:06:43,323 --> 00:06:44,492
No to zróbmy to.

161
00:06:44,592 --> 00:06:46,783
W tym miejscu wpiszę x.

162
00:06:47,109 --> 00:06:49,843
Jaką liczbę należy zatem dodać do liczby 2

163
00:06:49,943 --> 00:06:51,301
aby otrzymać 10?

164
00:06:51,401 --> 00:06:52,875
Osiem.

165
00:06:53,652 --> 00:06:57,382
Rozwiązywaniem równań, czyli takich zagadek

166
00:06:57,482 --> 00:06:59,193
zajmiemy się w kolejnych lekcjach.

167
00:06:59,293 --> 00:07:02,143
Teraz chciałbym przejść do czegoś innego.

168
00:07:02,243 --> 00:07:04,677
Wiesz już, że sytuację na wadze

169
00:07:04,777 --> 00:07:07,263
możemy zapisać w postaci równania.

170
00:07:07,489 --> 00:07:08,538
Co za tym idzie?

171
00:07:08,638 --> 00:07:10,545
Równanie możemy przedstawić

172
00:07:10,645 --> 00:07:11,993
za pomocą wagi.

173
00:07:12,093 --> 00:07:13,897
I tym właśnie będziemy zajmowali się

174
00:07:13,997 --> 00:07:15,183
w kolejnym przykładzie.

175
00:07:15,283 --> 00:07:17,312
Będziemy mieli do czynienia z równaniami

176
00:07:17,412 --> 00:07:19,582
i będziemy mieli przedstawić takie równanie

177
00:07:19,682 --> 00:07:22,156
za pomocą równowagi na wadze.

178
00:07:22,256 --> 00:07:24,927
Myślę, że może być całkiem niezła zabawa.

179
00:07:30,069 --> 00:07:32,429
Tym razem mamy przedstawić równanie:

180
00:07:32,529 --> 00:07:34,711
2x + 1 =5

181
00:07:34,811 --> 00:07:36,859
za pomocą odpowiedniej sytuacji na wadze.

182
00:07:36,959 --> 00:07:38,493
Pokażę ci, jak to zrobić.

183
00:07:38,593 --> 00:07:41,172
Pamiętaj, że symbol równości mówi o tym

184
00:07:41,272 --> 00:07:43,269
że to co znajduje się na szalce lewej

185
00:07:43,369 --> 00:07:44,832
ma taką samą masę, jak to

186
00:07:44,932 --> 00:07:46,943
co znajduje się na szalce prawej.

187
00:07:47,061 --> 00:07:50,271
Niewiadomą w tym równaniu jest litera x.

188
00:07:50,639 --> 00:07:53,379
Litera x jest pomnożona przez 2.

189
00:07:53,479 --> 00:07:55,780
Będziemy mieli zatem dwa przedmioty

190
00:07:55,880 --> 00:07:57,837
których masy nie znamy.

191
00:07:57,937 --> 00:07:59,881
Te przedmioty mogą być dowolne.

192
00:07:59,981 --> 00:08:02,274
Ja wybiorę na przykład pudełka.

193
00:08:02,374 --> 00:08:04,746
Widzisz, że na lewej szalce znalazły się

194
00:08:04,846 --> 00:08:07,079
dwa pudełka. Masa jednego pudełka

195
00:08:07,179 --> 00:08:09,430
jest oznaczona właśnie literą x.

196
00:08:09,530 --> 00:08:13,055
Zwróć uwagę, że do tego dodajemy jeszcze 1.

197
00:08:13,275 --> 00:08:14,706
Co to oznacza?

198
00:08:14,806 --> 00:08:16,791
Oznacza to, że na lewej szalce

199
00:08:16,891 --> 00:08:20,227
stawiamy odważnik, którego masa to 1 kg.

200
00:08:20,327 --> 00:08:23,376
Teraz zabieramy się za prawą stronę równania.

201
00:08:23,476 --> 00:08:25,216
Tutaj mamy 5 kg.

202
00:08:25,316 --> 00:08:28,038
Oznacza to, że na prawej szalce musimy

203
00:08:28,138 --> 00:08:30,786
postawić takie odważniki, aby ich masa

204
00:08:30,886 --> 00:08:32,843
sumowała się do 5 kg.

205
00:08:32,943 --> 00:08:35,327
Nie ma znaczenia, jakie to będą odważniki.

206
00:08:35,427 --> 00:08:37,341
Możemy postawić jeden odważnik

207
00:08:37,441 --> 00:08:39,427
którego masa wynosi 5 kg.

208
00:08:39,527 --> 00:08:41,778
A możemy też postawić dwa odważniki

209
00:08:41,878 --> 00:08:44,436
po 2 kg każdy oraz 1 odważnik

210
00:08:44,536 --> 00:08:46,665
którego masa to 1 kg.

211
00:08:47,033 --> 00:08:51,366
Równanie: 2x + 1 = 5 przedstawiliśmy

212
00:08:51,466 --> 00:08:54,026
za pomocą odpowiedniej sytuacji na wadze.

213
00:08:54,126 --> 00:08:55,126
Brawo!

214
00:08:55,226 --> 00:08:57,502
Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu.

215
00:09:01,735 --> 00:09:04,332
Teraz przyszła pora na zadanie dla ciebie.

216
00:09:04,432 --> 00:09:08,033
Przedstaw równanie: x + 2 = 2x + 1

217
00:09:08,133 --> 00:09:10,732
za pomocą odpowiedniej sytuacji na wadze.

218
00:09:10,832 --> 00:09:13,472
Weź kartkę i długopis, i narysuj wagę.

219
00:09:13,572 --> 00:09:14,572
Po swojemu.

220
00:09:14,672 --> 00:09:17,936
Ważne, aby miała ona dwie szalki.

221
00:09:18,036 --> 00:09:20,993
Narysuj przedmioty oraz odważniki tak

222
00:09:21,093 --> 00:09:23,368
aby przedstawić na tej wadze to równanie.

223
00:09:23,468 --> 00:09:24,922
Do dzieła!

224
00:09:27,683 --> 00:09:30,955
Zabierzmy się najpierw za lewą stronę równania

225
00:09:31,055 --> 00:09:32,917
Mamy tu x + 2.

226
00:09:33,017 --> 00:09:35,514
x oznacza masę jakiegoś przedmiotu.

227
00:09:35,614 --> 00:09:37,682
Do tego dodajemy 2 kg.

228
00:09:37,782 --> 00:09:40,156
Na lewej szalce możemy zatem narysować

229
00:09:40,256 --> 00:09:43,898
kapustę oraz odważnik, którego masa to 2 kg.

230
00:09:43,998 --> 00:09:46,422
Teraz musimy ustawić odpowiednie przedmioty

231
00:09:46,522 --> 00:09:47,599
na prawej szalce.

232
00:09:47,699 --> 00:09:50,502
Pamiętaj, że x oznacza masę kapusty.

233
00:09:50,602 --> 00:09:54,326
Po prawej stronie znaku równości mamy 2x + 1.

234
00:09:54,426 --> 00:09:56,447
Oznacza to, że na prawej szalce

235
00:09:56,547 --> 00:09:58,526
postawimy dwie kapusty oraz odważnik

236
00:09:58,626 --> 00:10:00,481
którego masa to 1 kg.

237
00:10:00,581 --> 00:10:04,027
Voila! Za pomocą sytuacji na tej wadze

238
00:10:04,127 --> 00:10:08,487
przedstawiliśmy równanie x + 2 = 2x + 1.

239
00:10:12,872 --> 00:10:15,775
Równość dwóch wyrażeń jest zawierających

240
00:10:15,875 --> 00:10:18,536
symbole literowe i liczby nazywamy równaniem.

241
00:10:18,636 --> 00:10:20,572
Litery występujące w równaniu

242
00:10:20,672 --> 00:10:22,196
nazywamy niewiadomymi.

243
00:10:25,733 --> 00:10:28,330
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji

244
00:10:28,430 --> 00:10:30,314
o równaniach oraz do odwiedzenia

245
00:10:30,414 --> 00:10:32,297
naszej strony pistacja.tv.

246
00:10:32,397 --> 00:10:34,623
Znajdziesz tam wszystkie lekcje.