1 00:00:00,230 --> 00:00:02,578 Jeśli lubisz czytać i chcesz dowiedzieć się 2 00:00:02,678 --> 00:00:04,391 więcej o równaniach, zerknij do 3 00:00:04,491 --> 00:00:06,812 książki dla młodzieży autorstwa Iana Stewarta 4 00:00:06,912 --> 00:00:09,346 pod tytułem: "Matematyka życia. 5 00:00:09,446 --> 00:00:11,360 Jak równania pomagają odkrywać 6 00:00:11,460 --> 00:00:12,772 tajemnice natury". 7 00:00:24,936 --> 00:00:27,031 W tej lekcji poćwiczymy sobie 8 00:00:27,131 --> 00:00:28,419 rozwiązywanie równań. 9 00:00:28,519 --> 00:00:30,697 Pierwsze równanie, które mamy rozwiązać 10 00:00:30,797 --> 00:00:32,068 jest następujące: 11 00:00:32,168 --> 00:00:35,693 2x odjąć 1 równa się x dodać 4. 12 00:00:35,975 --> 00:00:38,432 Rozwiązanie równania to nic innego 13 00:00:38,532 --> 00:00:40,165 jak doprowadzenie do sytuacji 14 00:00:40,265 --> 00:00:42,056 w której na końcu po jednej stronie 15 00:00:42,156 --> 00:00:43,923 znaku równości będzie niewiadoma 16 00:00:44,023 --> 00:00:45,724 a po drugiej liczba, która będzie 17 00:00:45,824 --> 00:00:47,526 rozwiązaniem tego równania. 18 00:00:47,626 --> 00:00:49,753 Rozwiązując równanie musimy zawsze 19 00:00:49,853 --> 00:00:52,411 pamiętać o tym, aby zachodziła równowaga. 20 00:00:52,511 --> 00:00:53,692 Co to oznacza? 21 00:00:53,792 --> 00:00:56,037 Zobacz, z lewej strony równania mamy: 22 00:00:56,137 --> 00:00:57,677 2x odjąć 1. 23 00:00:57,803 --> 00:00:59,985 Zróbmy tak, aby po tej stronie równania 24 00:01:00,085 --> 00:01:02,144 występowało wyłącznie 2x. 25 00:01:02,244 --> 00:01:04,779 Aby to zrobić, należy do lewej strony równania 26 00:01:04,879 --> 00:01:06,297 dodać liczbę 1. 27 00:01:06,397 --> 00:01:08,203 Skoro do lewej strony równania 28 00:01:08,303 --> 00:01:10,822 dodajemy liczbę 1, to dodajemy liczbę 1 29 00:01:10,922 --> 00:01:12,883 również do prawej strony równania. 30 00:01:12,983 --> 00:01:14,162 Co otrzymujemy: 31 00:01:14,262 --> 00:01:17,539 z lewej strony: 2x odjąć 1 dodać 1 32 00:01:17,639 --> 00:01:21,152 a z prawej strony: x dodać 4 dodać 1. 33 00:01:21,776 --> 00:01:24,502 -1 dodać 1 to właśnie 0. 34 00:01:24,602 --> 00:01:27,816 Z lewej strony równania otrzymujemy 2x. 35 00:01:27,916 --> 00:01:29,934 A co otrzymamy po stronie prawej? 36 00:01:30,034 --> 00:01:31,904 4 dodać 1 to 5. 37 00:01:32,004 --> 00:01:34,720 Otrzymujemy zatem x dodać 5. 38 00:01:35,115 --> 00:01:37,773 Widzimy, że w tym równaniu liczba występuje 39 00:01:37,873 --> 00:01:39,687 wyłącznie po jego prawej stronie. 40 00:01:39,787 --> 00:01:41,842 Teraz chcemy doprowadzić do tego 41 00:01:41,942 --> 00:01:44,300 aby po lewej stronie występowała wyłącznie 42 00:01:44,400 --> 00:01:45,769 niewiadoma x. 43 00:01:46,294 --> 00:01:48,691 Aby do tego doprowadzić, wystarczy od lewej 44 00:01:48,791 --> 00:01:52,879 strony odjąć x oraz od prawej strony odjąć x. 45 00:01:53,425 --> 00:01:57,248 Z lewej strony otrzymamy zatem 2x odjąć x 46 00:01:57,348 --> 00:02:00,320 a z prawej: x odjąć x dodać 5. 47 00:02:01,458 --> 00:02:04,160 2x odjąć x to x 48 00:02:04,260 --> 00:02:05,967 x odjąć x to 0 49 00:02:06,067 --> 00:02:08,945 Z prawej strony zapisujemy zatem liczbę 5. 50 00:02:09,407 --> 00:02:11,840 To jest to rozwiązanie naszego równania. 51 00:02:12,469 --> 00:02:16,045 Aby upewnić się, że to poprawne rozwiązanie 52 00:02:16,145 --> 00:02:18,341 do tego, co mieliśmy na początku 53 00:02:18,441 --> 00:02:20,597 w miejsce litery x wstawiamy liczbę 5. 54 00:02:20,758 --> 00:02:22,571 Następnie sprawdzimy po wykonaniu 55 00:02:22,671 --> 00:02:24,890 obliczeń, czy lewa strona będzie równała się 56 00:02:24,990 --> 00:02:26,039 stronie prawej. 57 00:02:26,521 --> 00:02:29,621 Jeżeli w miejsce tego iksa wstawię liczbę 5 58 00:02:29,721 --> 00:02:31,974 otrzymam: 2 razy 5 odjąć 1. 59 00:02:32,074 --> 00:02:35,382 Zapisuję: 2 razy 5 odjąć 1. 60 00:02:36,379 --> 00:02:39,572 Jeżeli w miejsce tego iksa wstawię liczbę 5 61 00:02:39,672 --> 00:02:41,370 otrzymam: 5 dodać 4 62 00:02:41,470 --> 00:02:44,245 Pięć dodać cztery. 63 00:02:44,527 --> 00:02:48,192 2 razy 5 to 10, a 10 odjąć 1 to 9. 64 00:02:48,292 --> 00:02:50,240 Z lewej strony otrzymujemy 9. 65 00:02:50,641 --> 00:02:53,312 5 dodać 4 to również 9. 66 00:02:53,412 --> 00:02:55,872 Lewa strona równa się stronie prawej. 67 00:02:56,157 --> 00:02:58,224 Wiemy zatem, że to jest na pewno 68 00:02:58,324 --> 00:02:59,827 poprawne rozwiązanie. 69 00:02:59,927 --> 00:03:02,414 Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu. 70 00:03:06,476 --> 00:03:08,457 Pierwszy przykład był przypomnieniem 71 00:03:08,557 --> 00:03:10,167 jak rozwiązywać równania. 72 00:03:10,267 --> 00:03:12,453 Drugi przykład jest już dla ciebie. 73 00:03:12,553 --> 00:03:15,180 Spróbuj samodzielnie rozwiązać takie równanie: 74 00:03:15,280 --> 00:03:18,912 9y dodać 5 równa się 6y odjąć 7. 75 00:03:19,012 --> 00:03:21,074 Następnie sprawdź, czy twój wynik 76 00:03:21,174 --> 00:03:22,374 jest taki sam, jak mój. 77 00:03:22,474 --> 00:03:24,571 Pamiętaj, że równania można rozwiązywać 78 00:03:24,671 --> 00:03:26,002 na kilka sposobów. 79 00:03:29,232 --> 00:03:33,196 Ja zacznę od odjęcia od obu stron liczby 5. 80 00:03:33,296 --> 00:03:35,972 Odejmuję od lewej strony równania liczbę 5 81 00:03:36,072 --> 00:03:37,433 i od strony prawej. 82 00:03:37,533 --> 00:03:41,696 Z lewej strony otrzymam: 9y dodać 5 odjąć 5. 83 00:03:42,467 --> 00:03:46,816 Z prawej strony otrzymam: 6y odjąć 7 odjąć 5. 84 00:03:47,081 --> 00:03:50,435 5 odjąć 5 to 0. Z lewej strony równania 85 00:03:50,535 --> 00:03:52,765 zostanie mi zatem 9y. 86 00:03:53,058 --> 00:03:56,141 -7 minus 5 to -12. 87 00:03:56,477 --> 00:04:00,384 Z prawej strony zapisuję zatem: 6y odjąć 12. 88 00:04:00,672 --> 00:04:04,736 Teraz od obu stron tego równania odejmę 6y. 89 00:04:05,412 --> 00:04:09,600 Z lewej strony otrzymuję 9y odjąć 6y 90 00:04:09,816 --> 00:04:14,451 a z prawej strony: 6y odjąć 6y odjąć 12. 91 00:04:14,892 --> 00:04:18,303 9y odjąć 6y to 3y. 92 00:04:18,403 --> 00:04:20,730 Z prawej strony równania zostanie mi 93 00:04:20,830 --> 00:04:22,631 wyłącznie -12. 94 00:04:22,820 --> 00:04:26,490 Zobacz: 3 razy y równa się -12. 95 00:04:26,590 --> 00:04:28,384 Zastanów się teraz, jaką liczbę 96 00:04:28,484 --> 00:04:30,076 należy pomnożyć przez 3 97 00:04:30,176 --> 00:04:32,384 aby otrzymać -12? 98 00:04:32,803 --> 00:04:35,047 Tą liczbą jest -4. 99 00:04:35,147 --> 00:04:38,527 Zapisujemy zatem, że y równa się -4. 100 00:04:38,802 --> 00:04:40,794 Na końcu sprawdzę poprawność 101 00:04:40,894 --> 00:04:42,640 tego rozwiązania, wstawiając 102 00:04:42,740 --> 00:04:46,719 w tym równaniu w miejsce litery y liczbę -4. 103 00:04:46,856 --> 00:04:50,501 Otrzymujemy: 9 razy -4 dodać 5 104 00:04:50,601 --> 00:04:53,609 równa się 6 razy -4 minus 7. 105 00:04:54,133 --> 00:04:55,706 Wykonujemy obliczenia: 106 00:04:55,806 --> 00:04:58,878 9 razy -4 to -36 107 00:04:58,978 --> 00:05:02,775 a -36 dodać 5 to -31. 108 00:05:03,173 --> 00:05:05,228 A co otrzymamy po stronie prawej? 109 00:05:05,328 --> 00:05:08,509 6 razy -4 to -24. 110 00:05:08,609 --> 00:05:10,682 Jeżeli od tego odejmiemy jeszcze 7 111 00:05:10,782 --> 00:05:12,779 to otrzymamy -31. 112 00:05:13,849 --> 00:05:16,806 Po obu stronach otrzymaliśmy taką samą liczbę. 113 00:05:16,906 --> 00:05:20,371 Oznacza to, że rozwiązanie jest poprawne. 114 00:05:24,650 --> 00:05:27,419 Teraz pokażę ci, jak rozwiązać takie równanie: 115 00:05:27,519 --> 00:05:29,390 W nawiasie mamy: m dodać 7. 116 00:05:29,490 --> 00:05:31,550 Ten nawias mnożymy przez 2. 117 00:05:31,650 --> 00:05:33,346 To co jest po stronie lewej 118 00:05:33,446 --> 00:05:35,850 ma się równać liczbie -4. 119 00:05:36,123 --> 00:05:37,465 Zastanówmy się najpierw 120 00:05:37,565 --> 00:05:39,711 co możemy zrobić, aby zniknął nawias. 121 00:05:39,811 --> 00:05:41,946 Możemy każdy element tego nawiasu 122 00:05:42,046 --> 00:05:44,009 pomnożyć przez liczbę 2. 123 00:05:44,512 --> 00:05:46,623 2 razy m to 2m. 124 00:05:47,763 --> 00:05:51,349 Przez 2 musimy pomnożyć jeszcze liczbę 7. 125 00:05:51,449 --> 00:05:53,294 2 razy 7 to 14. 126 00:05:53,394 --> 00:05:55,239 Do wyrażenia 2m 127 00:05:55,340 --> 00:05:57,096 dodajemy zatem 14. 128 00:05:57,348 --> 00:06:00,959 2m dodać 14 równa się -4. 129 00:06:01,564 --> 00:06:04,063 Teraz od lewej strony tego równania 130 00:06:04,163 --> 00:06:07,407 odejmujemy liczbę 14 i liczbę 14 131 00:06:07,507 --> 00:06:09,663 odejmujemy od prawej strony tego równania. 132 00:06:09,763 --> 00:06:12,362 Z lewej strony otrzymamy zatem: 133 00:06:12,462 --> 00:06:15,262 2 razy m dodać 14 odjąć 14 134 00:06:15,362 --> 00:06:18,623 a z prawej strony: -4 minus 14. 135 00:06:19,349 --> 00:06:22,076 14 odjąć 14 to 0. 136 00:06:22,176 --> 00:06:25,023 Z lewej strony równania zostaje nam 2m. 137 00:06:25,872 --> 00:06:29,631 -4 minus 14 to -18. 138 00:06:30,381 --> 00:06:32,546 Zastanów się teraz, jaką liczbę 139 00:06:32,646 --> 00:06:36,464 należy pomnożyć przez 2, aby otrzymać -18? 140 00:06:36,820 --> 00:06:39,127 Tą liczbą jest -9. 141 00:06:39,924 --> 00:06:42,483 Spróbuj teraz samodzielnie sprawdzić 142 00:06:42,583 --> 00:06:44,350 czy to jest poprawne rozwiązanie 143 00:06:44,450 --> 00:06:45,755 tego równania. 144 00:06:48,503 --> 00:06:50,714 W celu sprawdzenia, w tym równaniu 145 00:06:50,814 --> 00:06:53,809 w miejsce litery m wstawiamy liczbę -9. 146 00:06:53,909 --> 00:06:55,088 Co otrzymamy? 147 00:06:55,188 --> 00:06:57,899 2 razy: w nawiasie: 148 00:06:57,999 --> 00:07:00,295 -9 dodać 7 149 00:07:00,395 --> 00:07:02,554 równa się -4. 150 00:07:02,840 --> 00:07:05,727 Najpierw wykonujemy działanie w nawiasie. 151 00:07:05,827 --> 00:07:08,543 -9 dodać 7 to -2. 152 00:07:08,643 --> 00:07:12,014 Otrzymujemy zatem: 2 razy -2. 153 00:07:12,114 --> 00:07:14,111 A ile to jest 2 razy -2? 154 00:07:14,211 --> 00:07:16,174 -4, czyli to samo 155 00:07:16,295 --> 00:07:18,672 co mamy po stronie prawej w tym miejscu. 156 00:07:18,772 --> 00:07:20,969 Skoro po stronie lewej mamy to samo 157 00:07:21,069 --> 00:07:23,386 co po stronie prawej, to możemy mieć pewność 158 00:07:23,486 --> 00:07:26,004 że to rozwiązanie jest na pewno poprawne. 159 00:07:26,104 --> 00:07:29,535 m równa się -9 to rozwiązanie tego równania. 160 00:07:33,680 --> 00:07:35,995 Ostatnie równanie, bardzo podobne 161 00:07:36,095 --> 00:07:38,372 do poprzedniego, jest zadaniem dla ciebie. 162 00:07:38,472 --> 00:07:39,863 Zatrzymaj lekcję i spróbuj 163 00:07:39,963 --> 00:07:41,797 samodzielnie je rozwiązać. 164 00:07:45,635 --> 00:07:47,275 Tak jak w poprzednim przykładzie 165 00:07:47,375 --> 00:07:49,137 możemy najpierw pozbyć się nawiasu. 166 00:07:49,237 --> 00:07:51,551 Pomnożymy zatem liczbę 3 przez 4 167 00:07:51,651 --> 00:07:53,842 i do wyniku tego mnożenia dodamy 168 00:07:53,942 --> 00:07:55,387 iloczyn 3 razy p. 169 00:07:55,487 --> 00:07:58,032 Przepisujemy zatem najpierw lewą stronę 170 00:07:58,132 --> 00:08:00,046 równania oraz znak równości 171 00:08:00,146 --> 00:08:02,099 a po prawej stronie zapisujemy: 172 00:08:02,199 --> 00:08:04,767 3 razy 4 173 00:08:04,867 --> 00:08:07,552 dodać 3 razy p, czyli 3p. 174 00:08:07,652 --> 00:08:08,873 Co otrzymamy? 175 00:08:08,973 --> 00:08:11,390 Otrzymamy: 6 równa się 176 00:08:11,490 --> 00:08:14,977 3 razy 4, czyli 12, dodać 3p. 177 00:08:15,077 --> 00:08:17,329 Teraz od prawej strony równania 178 00:08:17,429 --> 00:08:20,551 odejmujemy 12 i liczbę 12 odejmujemy 179 00:08:20,651 --> 00:08:22,527 również od lewej strony równania. 180 00:08:22,627 --> 00:08:23,807 Co otrzymamy? 181 00:08:23,907 --> 00:08:26,764 Z lewej strony: 6 odjąć 12 182 00:08:26,864 --> 00:08:30,376 a z prawej strony: 12 odjąć 12 183 00:08:30,476 --> 00:08:32,175 dodać 3p. 184 00:08:32,490 --> 00:08:35,327 6 odjąć 12 to -6. 185 00:08:35,427 --> 00:08:39,002 12 odjąć 12 to 0, więc z prawej strony 186 00:08:39,102 --> 00:08:40,418 zostanie nam 3p. 187 00:08:40,518 --> 00:08:42,910 Teraz zastanawiamy się, jaką liczbę 188 00:08:43,010 --> 00:08:46,353 należy pomnożyć przez 3, aby otrzymać -6. 189 00:08:46,453 --> 00:08:48,702 Tą liczbą jest liczba -2. 190 00:08:48,802 --> 00:08:50,943 p równa się zatem -2. 191 00:08:51,387 --> 00:08:53,626 Sprawdzimy teraz, czy to jest na pewno 192 00:08:53,726 --> 00:08:55,015 poprawne rozwiązanie. 193 00:08:55,115 --> 00:08:57,252 W tym równaniu w miejsce litery p 194 00:08:57,352 --> 00:08:58,665 wstawimy liczbę -2. 195 00:08:58,765 --> 00:09:00,927 Sprawdzimy zatem, czy 6 to jest 196 00:09:01,027 --> 00:09:04,342 to samo, co 3 razy, w nawiasie: 197 00:09:04,442 --> 00:09:06,559 4 dodać -2. 198 00:09:06,949 --> 00:09:11,151 4 dodać -2 to inaczej 4 minus 2, czyli 2. 199 00:09:11,251 --> 00:09:15,779 Otrzymujemy zatem: 6 równa się 3 razy 2. 200 00:09:15,879 --> 00:09:18,335 3 razy 2 to nic innego jak 6. 201 00:09:18,435 --> 00:09:21,663 Otrzymujemy, że 6 równa się 6. 202 00:09:21,763 --> 00:09:24,253 Skoro z lewej strony mamy to samo 203 00:09:24,353 --> 00:09:25,616 co po stronie prawej 204 00:09:25,716 --> 00:09:29,433 to znaczy, że to rozwiązanie jest poprawne. 205 00:09:33,900 --> 00:09:36,087 Pokażę ci jeszcze nieco inny sposób 206 00:09:36,187 --> 00:09:37,718 na rozwiązanie tego równania. 207 00:09:37,818 --> 00:09:39,668 Z lewej strony mamy liczbę 6. 208 00:09:39,768 --> 00:09:41,848 Z prawej strony nawias mnożymy 209 00:09:41,948 --> 00:09:44,346 przez liczbę 3. No to jaką liczbę należy 210 00:09:44,446 --> 00:09:47,263 pomnożyć przez 3, aby otrzymać liczbę 6? 211 00:09:47,363 --> 00:09:48,876 Liczbę 2. 212 00:09:48,976 --> 00:09:51,235 Oznacza to, że w miejsce litery p 213 00:09:51,335 --> 00:09:53,819 należy wstawić taką liczbę, aby 214 00:09:53,919 --> 00:09:56,991 nawias przyjął wartość równą 2. 215 00:09:57,091 --> 00:09:59,252 Dla ułatwienia możemy zapisać jeszcze 216 00:09:59,352 --> 00:10:01,963 pod spodem: 4 dodać p równa się 2. 217 00:10:02,236 --> 00:10:04,837 Jaką liczbę należy zatem wstawić w miejsce 218 00:10:04,937 --> 00:10:08,192 litery p, aby 4 dodać p równało się 2? 219 00:10:08,292 --> 00:10:09,765 -2. 220 00:10:09,996 --> 00:10:12,350 p równa się zatem -2. 221 00:10:12,807 --> 00:10:15,935 Widzisz, że otrzymaliśmy taką samą liczbę. 222 00:10:16,035 --> 00:10:18,710 Jak już mówiłem, istnieje wiele sposobów 223 00:10:18,810 --> 00:10:20,168 na rozwiązywanie równań. 224 00:10:20,336 --> 00:10:21,973 Staraj się wybierać sposoby 225 00:10:22,073 --> 00:10:24,342 które są dla ciebie najlepsze. 226 00:10:29,984 --> 00:10:31,722 Aby rozwiązać równanie 227 00:10:31,822 --> 00:10:33,334 możesz do jego obu stron 228 00:10:33,434 --> 00:10:34,583 dodać te same liczby 229 00:10:34,683 --> 00:10:36,033 lub takie same wyrażenia. 230 00:10:36,133 --> 00:10:37,967 Podobnie jest z odejmowaniem. 231 00:10:38,067 --> 00:10:40,182 Od obu stron równania możesz odjąć 232 00:10:40,282 --> 00:10:42,946 takie same liczby lub takie same wyrażenia. 233 00:10:46,991 --> 00:10:49,206 Zapraszam do obejrzenia pozostałych lekcji 234 00:10:49,306 --> 00:10:51,140 o równaniach oraz do odwiedzenia 235 00:10:51,240 --> 00:10:53,880 naszej strony internetowej pistacja.tv.