1
00:00:00,479 --> 00:00:02,463
Rozkładanie coraz to większych liczb

2
00:00:02,563 --> 00:00:05,655
na czynniki pierwsze może okazać się kłopotliwe.

3
00:00:05,755 --> 00:00:08,704
Zaraz przećwiczymy sobie tę umiejętność.

4
00:00:21,369 --> 00:00:24,064
Już na początku mam dla ciebie zadanie.

5
00:00:24,485 --> 00:00:26,660
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

6
00:00:26,760 --> 00:00:29,993
rozłożyć liczbę 18 na czynniki pierwsze.

7
00:00:33,536 --> 00:00:36,437
Naszym zadaniem jest rozłożenie liczby 18

8
00:00:36,537 --> 00:00:39,424
na czynniki pierwsze. Co to oznacza?

9
00:00:41,144 --> 00:00:43,038
Oznacza to, że będziemy chcieli zapisać

10
00:00:43,138 --> 00:00:46,600
liczbę 18 w postaci iloczynu liczb pierwszych.

11
00:00:46,701 --> 00:00:49,031
Przyda się nam do tego pionowa linia.

12
00:00:49,131 --> 00:00:52,071
W tym miejscu zapisuję liczbę 18.

13
00:00:52,171 --> 00:00:54,112
Pomocniczo zapiszę sobie tutaj

14
00:00:54,212 --> 00:00:58,112
cztery najmniejsze liczby pierwsze: 2, 3, 5 i 7.

15
00:00:58,788 --> 00:01:00,444
Po prawej stronie pionowej kreski

16
00:01:00,544 --> 00:01:02,138
będziemy chcieli mieć wyłącznie

17
00:01:02,238 --> 00:01:04,187
liczby pierwsze. Sprawdzamy najpierw,

18
00:01:04,287 --> 00:01:06,505
czy liczba 18 dzieli się przez 2.

19
00:01:06,683 --> 00:01:09,888
Tak, ponieważ ostatnią cyfrą tej liczby jest 8.

20
00:01:10,103 --> 00:01:12,960
Liczbę 18 podzielimy więc przez 2.

21
00:01:13,143 --> 00:01:16,032
Zauważ, że 2 jest liczbą pierwszą.

22
00:01:16,132 --> 00:01:19,372
18 podzielić przez 2 to 9 i wynik tego dzielenia

23
00:01:19,472 --> 00:01:22,676
zapisuję w tym miejscu, pod liczbą 18.

24
00:01:22,862 --> 00:01:25,133
Czy liczba 9 dzieli się przez 2?

25
00:01:25,233 --> 00:01:27,815
Nie. A czy dzieli się przez 3?

26
00:01:27,915 --> 00:01:28,915
Tak.

27
00:01:29,015 --> 00:01:31,648
Podzielimy więc liczbę 9 przez 3.

28
00:01:32,057 --> 00:01:34,251
9 podzielić przez 3 to 3.

29
00:01:34,351 --> 00:01:36,768
Liczbę 3 zapisuję pod dziewiątką.

30
00:01:37,027 --> 00:01:40,202
Zwróć uwagę, że trójka jest liczbą pierwszą.

31
00:01:40,302 --> 00:01:43,302
Dzieli się wyłącznie przez 1 i przez samą siebie.

32
00:01:43,402 --> 00:01:45,051
W takim przypadku przepisujemy

33
00:01:45,151 --> 00:01:46,800
tutaj tę liczbę, czyli trójkę.

34
00:01:47,285 --> 00:01:49,390
Teraz dzielimy liczbę 3 przez 3.

35
00:01:49,491 --> 00:01:51,581
3 podzielić przez 3 to 1.

36
00:01:51,877 --> 00:01:53,799
Jeśli na końcu otrzymaliśmy 1,

37
00:01:53,899 --> 00:01:55,494
to kończymy nasze rozważania.

38
00:01:55,594 --> 00:01:58,066
Zobacz: po prawej stronie pionowej kreski

39
00:01:58,166 --> 00:02:01,223
mamy liczby: 2, 3 i 3.

40
00:02:01,372 --> 00:02:03,136
Są to liczby pierwsze.

41
00:02:03,382 --> 00:02:05,485
Jeśli pomnożę przez siebie te trzy liczby,

42
00:02:05,585 --> 00:02:07,290
to otrzymam 18.

43
00:02:07,830 --> 00:02:10,423
Zapiszę iloczyn tych czynników w tym miejscu.

44
00:02:10,696 --> 00:02:12,464
2 razy 3 razy 3.

45
00:02:13,096 --> 00:02:15,927
Sprawdźmy, czy to rzeczywiście jest 18.

46
00:02:16,027 --> 00:02:17,574
2 razy 3 to 6.

47
00:02:17,674 --> 00:02:19,885
6 razy 3 to 18.

48
00:02:20,240 --> 00:02:22,612
Wszystkie czynniki są liczbami pierwszymi,

49
00:02:22,712 --> 00:02:26,074
czyli 18 rozłożyliśmy na czynniki pierwsze.

50
00:02:26,286 --> 00:02:28,422
Pokażę ci teraz jeszcze jeden sposób,

51
00:02:28,522 --> 00:02:30,639
który ułatwi nam rozłożenie liczby 18

52
00:02:30,739 --> 00:02:34,112
na czynniki pierwsze. Zapiszę ją w tym miejscu.

53
00:02:34,583 --> 00:02:37,875
Jakie dwie liczby, różne od jednego i 18

54
00:02:37,975 --> 00:02:40,941
pomnożone przez siebie dadzą liczbę 18?

55
00:02:41,170 --> 00:02:44,096
18 to na przykład 3 razy 6.

56
00:02:44,721 --> 00:02:47,936
Zobacz: liczba 6 jest złożona.

57
00:02:48,290 --> 00:02:51,400
Jakie dwie liczby, różne od jednego i sześciu

58
00:02:51,500 --> 00:02:54,285
pomnożone przez siebie dadzą liczbę 6?

59
00:02:55,081 --> 00:02:58,944
Takie liczby to 2 i 3. 2 razy 3 to 6.

60
00:02:59,263 --> 00:03:02,016
To, co tu otrzymaliśmy, nazywamy drzewkiem.

61
00:03:02,524 --> 00:03:04,255
Po pierwszym kroku zapisaliśmy

62
00:03:04,355 --> 00:03:06,934
liczbę 18 w postaci iloczynu dwóch liczb.

63
00:03:07,034 --> 00:03:09,372
Jedna z nich jest liczbą pierwszą,

64
00:03:09,800 --> 00:03:11,485
druga jest złożona.

65
00:03:11,751 --> 00:03:14,053
Następnie liczbę złożoną zamieniliśmy

66
00:03:14,153 --> 00:03:16,196
na iloczyn dwóch liczb pierwszych.

67
00:03:16,296 --> 00:03:18,656
Popatrzmy raz jeszcze na to drzewko.

68
00:03:18,787 --> 00:03:21,472
18 to inaczej 3 razy 6.

69
00:03:21,742 --> 00:03:23,664
3 jest liczbą pierwszą.

70
00:03:23,764 --> 00:03:25,824
6 jest liczbą złożoną.

71
00:03:26,084 --> 00:03:29,920
Zwróć jednak uwagę, że 6 to inaczej 2 razy 3.

72
00:03:30,718 --> 00:03:34,016
18 to inaczej 3 razy 2 razy 3.

73
00:03:34,793 --> 00:03:37,695
Zauważ, że tutaj mamy takie same czynniki.

74
00:03:37,795 --> 00:03:40,672
Występują one tylko w innej kolejności.

75
00:03:40,843 --> 00:03:43,424
Pamiętaj jednak, że mnożenie jest przemienne.

76
00:03:43,524 --> 00:03:45,525
Kolejność występowania czynników

77
00:03:45,625 --> 00:03:47,523
w mnożeniu nie ma znaczenia.

78
00:03:48,234 --> 00:03:50,517
Używając drzewka pokażę ci, jak jeszcze

79
00:03:50,617 --> 00:03:54,067
możemy rozłożyć 18 na czynniki pierwsze.

80
00:03:54,584 --> 00:03:57,286
Ktoś może zauważyć, że liczba 18

81
00:03:57,386 --> 00:03:59,486
to inaczej 2 razy 9.

82
00:04:00,828 --> 00:04:03,712
2 jest liczbą pierwszą, a 9 nie.

83
00:04:04,566 --> 00:04:06,361
Czy da się zapisać liczbę 9

84
00:04:06,461 --> 00:04:08,821
w postaci iloczynu dwóch liczb pierwszych?

85
00:04:08,921 --> 00:04:09,921
Da się.

86
00:04:10,021 --> 00:04:12,124
9 to inaczej 3 razy 3.

87
00:04:12,550 --> 00:04:15,232
Te dwa czynniki są liczbami pierwszymi.

88
00:04:15,332 --> 00:04:18,638
Zobacz: 18 to inaczej 2 razy 9.

89
00:04:18,765 --> 00:04:21,764
Jeśli liczbę 9 zastąpimy iloczynem 3 razy 3

90
00:04:21,864 --> 00:04:23,700
to otrzymamy wyłącznie czynniki,

91
00:04:23,800 --> 00:04:25,902
które są liczbami pierwszymi.

92
00:04:26,114 --> 00:04:28,925
18 to inaczej 2 razy 3 razy 3.

93
00:04:29,025 --> 00:04:30,362
Akurat w tym przypadku

94
00:04:30,462 --> 00:04:32,360
tutaj mamy identyczny iloczyn.

95
00:04:32,497 --> 00:04:35,455
Czynniki ustawione są w takiej samej kolejności.

96
00:04:35,833 --> 00:04:38,271
Przejdźmy teraz do kolejnego ćwiczenia.

97
00:04:42,903 --> 00:04:44,649
Mam dla ciebie kolejne zadanie.

98
00:04:44,749 --> 00:04:46,717
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

99
00:04:46,817 --> 00:04:49,642
rozłożyć liczbę 90 na czynniki pierwsze.

100
00:04:53,105 --> 00:04:54,379
Skorzystaj z metody,

101
00:04:54,479 --> 00:04:56,564
która jest dla ciebie łatwiejsza.

102
00:04:56,664 --> 00:04:58,682
Ja rozłożę liczbę 90 na czynniki

103
00:04:58,782 --> 00:05:00,784
pierwsze tylko jednym sposobem.

104
00:05:00,886 --> 00:05:02,833
Skorzystam z pionowej kreski.

105
00:05:03,316 --> 00:05:06,038
Naszym zadaniem jest zapisanie liczby 90

106
00:05:06,138 --> 00:05:08,437
w postaci iloczynu czynników pierwszych.

107
00:05:08,537 --> 00:05:10,900
W tym miejscu zapisuję liczbę 90.

108
00:05:11,095 --> 00:05:12,637
Pomocniczo zapiszę sobie

109
00:05:12,737 --> 00:05:14,677
4 najmniejsze liczby pierwsze.

110
00:05:15,034 --> 00:05:17,514
Sprawdźmy, czy liczba 90 dzieli się

111
00:05:17,614 --> 00:05:20,012
przez którąś z tych liczb pierwszych.

112
00:05:20,122 --> 00:05:22,387
Ostatnią cyfrą tej liczby jest 0,

113
00:05:22,487 --> 00:05:25,523
czyli liczba 90 na pewno dzieli się przez 2.

114
00:05:26,074 --> 00:05:29,471
Wynikiem tego dzielenia jest liczba 45.

115
00:05:29,935 --> 00:05:32,128
Ta liczba na pewno dzieli się przez 5,

116
00:05:32,228 --> 00:05:34,094
które jest liczbą pierwszą, ponieważ

117
00:05:34,194 --> 00:05:36,784
ostatnią cyfrą tej liczby jest piątka.

118
00:05:37,106 --> 00:05:39,455
W tym miejscu zapisuję 5.

119
00:05:40,440 --> 00:05:43,388
45 podzielić przez 5 to 9.

120
00:05:43,488 --> 00:05:45,855
9 zapisuję w tym miejscu.

121
00:05:45,955 --> 00:05:48,546
Wiemy, że 9 dzieli się przez 3.

122
00:05:48,646 --> 00:05:51,220
Liczba 3 jest również liczbą pierwszą.

123
00:05:51,465 --> 00:05:54,047
Wynikiem tego dzielenia jest trójka.

124
00:05:54,378 --> 00:05:56,267
Trójka jest liczbą pierwszą,

125
00:05:56,367 --> 00:05:58,553
bo dzieli się przez 1 i przez samą siebie.

126
00:05:58,653 --> 00:06:01,234
Tutaj zapisuję więc liczbę 3.

127
00:06:01,956 --> 00:06:04,543
3 podzielić przez 3 to 1.

128
00:06:04,961 --> 00:06:08,895
Koniec rozkładu liczby 90 na czynniki pierwsze.

129
00:06:09,093 --> 00:06:13,006
90 to inaczej 2 razy 5 razy 3 razy 3.

130
00:06:13,106 --> 00:06:15,411
Zapiszę ten iloczyn w tym miejscu.

131
00:06:15,511 --> 00:06:17,789
2 razy 5 razy 3 razy 3.

132
00:06:17,889 --> 00:06:21,053
Sprawdźmy, czy to rzeczywiście jest 90.

133
00:06:21,153 --> 00:06:23,043
2 razy 5 to 10.

134
00:06:23,181 --> 00:06:25,333
10 razy 3 to 30.

135
00:06:25,686 --> 00:06:28,397
30 razy 3 to właśnie 90.

136
00:06:28,498 --> 00:06:32,191
Rozłożyliśmy liczbę 90 na czynniki pierwsze.

137
00:06:32,410 --> 00:06:34,751
Przejdźmy teraz do kolejnego ćwiczenia.

138
00:06:38,973 --> 00:06:40,426
Tym razem zatrzymaj lekcję

139
00:06:40,526 --> 00:06:43,810
i spróbuj samodzielnie rozłożyć liczbę 235

140
00:06:43,910 --> 00:06:45,665
na czynniki pierwsze.

141
00:06:49,690 --> 00:06:52,213
Najpierw zapiszę tę liczbę w tym miejscu,

142
00:06:52,313 --> 00:06:54,249
żebym później mógł zapisać, jak wygląda

143
00:06:54,349 --> 00:06:56,692
rozkład tej liczby na czynniki pierwsze.

144
00:06:56,870 --> 00:06:59,071
Tym razem skorzystam z drzewka.

145
00:06:59,171 --> 00:07:01,782
Teraz musimy się zastanowić, jakie dwie liczby

146
00:07:01,882 --> 00:07:04,481
inne niż 1 i 235,

147
00:07:04,581 --> 00:07:07,190
po pomnożeniu przez siebie dadzą tę liczbę.

148
00:07:07,540 --> 00:07:09,524
W znalezieniu tych liczb pomogą nam

149
00:07:09,624 --> 00:07:10,984
cechy podzielności.

150
00:07:11,084 --> 00:07:13,763
Ostatnią cyfrą tej liczby jest piątka.

151
00:07:13,863 --> 00:07:16,735
Oznacza to, że ta liczba dzieli się przez 5.

152
00:07:17,012 --> 00:07:20,939
Co za tym idzie? Liczbę 235 możemy zapisać

153
00:07:21,039 --> 00:07:23,903
w postaci iloczynu piątki i innej liczby.

154
00:07:24,480 --> 00:07:28,255
Narysuję tutaj pierwszą gałąź i zapiszę liczbę 5.

155
00:07:28,696 --> 00:07:33,163
Pięć razy jaka liczba da nam liczbę 235?

156
00:07:33,358 --> 00:07:36,447
Zobacz: 5 razy 40 to 200.

157
00:07:36,703 --> 00:07:39,381
5 razy 7 to 35.

158
00:07:39,907 --> 00:07:42,590
40 i 7 to 47.

159
00:07:43,005 --> 00:07:47,045
235 to inaczej 5 razy 47.

160
00:07:47,145 --> 00:07:48,892
Teraz pewnie zastanawiasz się,

161
00:07:48,992 --> 00:07:52,013
czy liczba 47 jest pierwsza czy złożona.

162
00:07:52,309 --> 00:07:55,622
Okazuje się, że liczba 47 dzieli się wyłącznie

163
00:07:55,722 --> 00:07:57,566
przez 1 i przez samą siebie.

164
00:07:57,666 --> 00:08:00,254
Oznacza to, że to jest liczba pierwsza.

165
00:08:00,514 --> 00:08:03,257
Spójrz jeszcze na sito Eratostenesa.

166
00:08:03,493 --> 00:08:06,281
Na różowych polach są liczby pierwsze.

167
00:08:06,381 --> 00:08:08,736
Tutaj mamy liczbę 47.

168
00:08:08,836 --> 00:08:12,799
Widzisz więc, że liczba 47 jest liczbą pierwszą.

169
00:08:13,053 --> 00:08:15,223
Okazuje się, że już rozłożyliśmy

170
00:08:15,323 --> 00:08:18,201
liczbę 235 na czynniki pierwsze.

171
00:08:18,331 --> 00:08:22,270
235 to inaczej 5 razy 47.

172
00:08:26,430 --> 00:08:29,088
Mam dla ciebie ostatnie zadanie w tej lekcji.

173
00:08:29,188 --> 00:08:31,165
Zatrzymaj ją i spróbuj samodzielnie

174
00:08:31,265 --> 00:08:35,017
rozłożyć liczbę 640 na czynniki pierwsze.

175
00:08:39,198 --> 00:08:43,407
Zapiszę najpierw tę liczbę w tym miejscu. 640.

176
00:08:43,507 --> 00:08:45,313
Tu zapiszemy rozkład tej liczby

177
00:08:45,413 --> 00:08:46,801
na czynniki pierwsze.

178
00:08:46,987 --> 00:08:49,151
Ja skorzystam z pionowej kreseczki.

179
00:08:49,251 --> 00:08:52,812
W tym miejscu zapisuję liczbę 640.

180
00:08:54,107 --> 00:08:57,944
Przez jaką liczbę pierwszą dzieli się 640?

181
00:08:58,044 --> 00:08:59,831
Jej ostatnią cyfrą jest 0,

182
00:08:59,931 --> 00:09:01,822
więc na pewno dzieli się przez 2.

183
00:09:01,922 --> 00:09:03,741
2 zapisuję tutaj.

184
00:09:03,929 --> 00:09:07,874
640 podzielić przez 2 to 320.

185
00:09:08,221 --> 00:09:10,755
Ostatnią cyfrą tej liczby też jest 0,

186
00:09:10,855 --> 00:09:13,166
czyli ona na pewno dzieli się przez 2.

187
00:09:13,284 --> 00:09:16,799
320 podzielić przez 2 to 160.

188
00:09:16,984 --> 00:09:18,781
Znowu otrzymaliśmy liczbę,

189
00:09:18,881 --> 00:09:20,599
której ostatnia cyfra to 0.

190
00:09:20,913 --> 00:09:23,455
Dzielimy 160 przez 2.

191
00:09:23,571 --> 00:09:26,783
Wynikiem tego dzielenia jest liczba 80.

192
00:09:27,223 --> 00:09:28,825
Tutaj też na końcu mamy 0,

193
00:09:28,925 --> 00:09:31,337
więc liczbę 80 dzielimy przez 2.

194
00:09:31,933 --> 00:09:33,694
Otrzymamy 40.

195
00:09:34,552 --> 00:09:37,279
Tę liczbę również dzielimy przez 2.

196
00:09:38,111 --> 00:09:39,693
Otrzymamy 20.

197
00:09:40,363 --> 00:09:43,166
Tę liczbę też dzielimy przez 2.

198
00:09:44,222 --> 00:09:45,834
Otrzymamy 10.

199
00:09:46,876 --> 00:09:48,517
Znowu na końcu mamy 0.

200
00:09:48,618 --> 00:09:50,580
Znowu dzielimy przez 2.

201
00:09:50,933 --> 00:09:52,482
Otrzymamy 5.

202
00:09:53,009 --> 00:09:55,455
Liczba 5 nie dzieli się przez 2.

203
00:09:55,753 --> 00:09:57,503
5 to liczba pierwsza.

204
00:09:57,641 --> 00:09:59,690
Przepisujemy ją zatem tutaj.

205
00:10:00,223 --> 00:10:02,623
5 podzielić przez 5 to 1.

206
00:10:02,924 --> 00:10:06,975
To cały rozkład liczby 640 na czynniki pierwsze.

207
00:10:07,200 --> 00:10:09,572
Policzmy, ile mamy tych czynników.

208
00:10:09,672 --> 00:10:13,414
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

209
00:10:14,586 --> 00:10:16,626
7 czynników to dwójki.

210
00:10:16,796 --> 00:10:19,007
Ósmy czynnik to liczba 5.

211
00:10:19,358 --> 00:10:21,949
Zapiszmy teraz liczbę 640

212
00:10:22,049 --> 00:10:24,405
w postaci iloczynu czynników pierwszych.

213
00:10:24,505 --> 00:10:27,967
Aż siedem razy mnożymy przez siebie liczbę 2.

214
00:10:28,154 --> 00:10:31,039
Taki iloczyn mnożymy jeszcze przez 5.

215
00:10:31,245 --> 00:10:33,343
Wykonaliśmy nasze zadanie.

216
00:10:39,136 --> 00:10:41,226
Rozkład liczby na czynniki pierwsze

217
00:10:41,326 --> 00:10:43,210
to inaczej zapisanie tej liczby w postaci

218
00:10:43,310 --> 00:10:45,428
iloczynu liczb pierwszych, czyli takich,

219
00:10:45,528 --> 00:10:48,703
które dzielą się tylko przez 1 i samą siebie.

220
00:10:48,931 --> 00:10:52,031
Rozkładu możesz dokonać na kilka sposobów.

221
00:10:55,578 --> 00:10:57,242
Dzięki tej playliście poznasz

222
00:10:57,342 --> 00:10:58,779
liczby pierwsze i złożone.

223
00:10:58,879 --> 00:11:00,671
Jeśli chcesz dostawać informacje

224
00:11:00,771 --> 00:11:03,263
o nowych lekcjach, zasubskrybuj nasz kanał.