1
00:00:01,024 --> 00:00:04,046
Co łączy Euklidesa, greckiego matematyka 

2
00:00:04,146 --> 00:00:07,168
żyjącego w czwartym wieku przed naszą erą

3
00:00:07,424 --> 00:00:09,984
z szynami kolejowymi i położoną na nich deską?

4
00:00:10,496 --> 00:00:13,451
Okazuje się, że dawno temu Euklides wymyślił 

5
00:00:13,551 --> 00:00:16,639
pewne twierdzenie, które znane jest w geometrii

6
00:00:16,896 --> 00:00:18,807
pod nazwą postulatu Euklidesa

7
00:00:18,907 --> 00:00:20,479
o prostych równoległych.

8
00:00:20,736 --> 00:00:22,664
Za chwilę zobaczysz, co się stanie 

9
00:00:22,764 --> 00:00:25,087
gdy dwie proste przetniemy trzecią prostą.

10
00:00:37,266 --> 00:00:39,030
Wyobraź sobie, że ta prosta 

11
00:00:39,130 --> 00:00:40,959
to na przykład tory kolejowe.

12
00:00:41,216 --> 00:00:45,056
Prostą przecina inna prosta, na przykład droga.

13
00:00:45,312 --> 00:00:47,549
W wyniku przecięcia dwóch prostych 

14
00:00:47,649 --> 00:00:49,183
powstają nam cztery kąty.

15
00:00:49,283 --> 00:00:51,455
Skupimy się na razie na tym kącie.

16
00:00:51,968 --> 00:00:54,016
Oznaczyłem go numerem pierwszym.

17
00:00:54,784 --> 00:00:56,940
Zobacz, co się stanie, gdy równolegle 

18
00:00:57,040 --> 00:00:58,681
do tej linii torów kolejowych 

19
00:00:58,781 --> 00:01:00,414
wybudujemy drugą linię torów.

20
00:01:00,928 --> 00:01:02,898
Powiedziałem przed chwilą, że te dwie 

21
00:01:02,998 --> 00:01:05,022
linie kolejowe są do siebie równoległe.

22
00:01:06,048 --> 00:01:10,144
Tę linię oznaczyłem literą k, a tę - literą p.

23
00:01:10,656 --> 00:01:12,428
Zapiszmy jeszcze, że te dwie linie 

24
00:01:12,528 --> 00:01:13,727
są do siebie równoległe.

25
00:01:13,984 --> 00:01:15,776
Robimy to w taki oto sposób.

26
00:01:16,032 --> 00:01:18,080
To jest symbol równoległości.

27
00:01:19,104 --> 00:01:20,974
Skupmy się teraz na tym kącie.

28
00:01:21,074 --> 00:01:23,406
Domyślasz się pewnie, że w tym miejscu

29
00:01:23,506 --> 00:01:26,030
jest taki sam kąt, jak tutaj. I słusznie.

30
00:01:26,130 --> 00:01:28,526
Dzieje się tak, ponieważ te dwie proste

31
00:01:28,626 --> 00:01:30,112
są do siebie równoległe.

32
00:01:30,297 --> 00:01:32,724
Skoro te dwie proste są do siebie równoległe 

33
00:01:32,824 --> 00:01:34,975
i te dwie proste przecina trzecia prosta

34
00:01:35,232 --> 00:01:37,536
to w tych miejscach mamy takie same kąty.

35
00:01:37,792 --> 00:01:39,920
Ta prosta przecina obie proste 

36
00:01:40,020 --> 00:01:41,375
pod tym samym kątem.

37
00:01:41,888 --> 00:01:44,448
Ten kąt oznaczyłem numerem drugim.

38
00:01:44,960 --> 00:01:46,366
Możemy zatem zapisać 

39
00:01:46,466 --> 00:01:48,288
że kąt z numerem pierwszym 

40
00:01:48,544 --> 00:01:50,592
jest taki sam, jak kąt z numerem drugim.

41
00:01:51,360 --> 00:01:52,469
Spójrz teraz na kąt 

42
00:01:52,569 --> 00:01:54,431
który oznaczyłem numerem trzecim.

43
00:01:54,688 --> 00:01:57,024
Jak myślisz, czy ten kąt jest taki sam

44
00:01:57,124 --> 00:01:58,782
jak kąt z numerem pierwszym?

45
00:01:58,882 --> 00:02:01,343
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

46
00:02:05,897 --> 00:02:08,196
Zauważ, że te dwa kąty powstały 

47
00:02:08,296 --> 00:02:10,815
w wyniku przecięcia dwóch prostych.

48
00:02:11,072 --> 00:02:12,321
Dodatkowo te dwa kąty 

49
00:02:12,421 --> 00:02:14,143
znajdują się naprzeciw siebie.

50
00:02:14,656 --> 00:02:16,960
Takie kąty nazywamy kątami wierzchołkowymi.

51
00:02:17,472 --> 00:02:20,288
Te kąty mają zatem identyczną miarę.

52
00:02:20,800 --> 00:02:22,910
Kąt z numerem trzecim jest taki sam 

53
00:02:23,010 --> 00:02:24,640
jak kąt z numerem pierwszym.

54
00:02:24,896 --> 00:02:27,643
Dodatkowo kąt z numerem trzecim jest taki sam

55
00:02:27,743 --> 00:02:29,247
jak kąt z numerem drugim.

56
00:02:29,760 --> 00:02:31,848
W tym miejscu możemy zatem dopisać 

57
00:02:31,948 --> 00:02:34,230
taką równość: kąty z numerami 1, 2 i 3 

58
00:02:34,330 --> 00:02:35,594
są identyczne.

59
00:02:36,160 --> 00:02:37,257
Spójrz jeszcze na kąt 

60
00:02:37,357 --> 00:02:38,975
który oznaczyłem numerem czwartym.

61
00:02:39,488 --> 00:02:41,294
Te dwa kąty również powstały 

62
00:02:41,394 --> 00:02:43,584
w wyniku przecięcia dwóch prostych.

63
00:02:43,840 --> 00:02:45,966
Znajdują się one naprzeciw siebie.

64
00:02:46,066 --> 00:02:48,270
Oznacza to, że mają takie same miary

65
00:02:48,370 --> 00:02:49,550
są identyczne.

66
00:02:49,773 --> 00:02:51,294
Można również zauważyć 

67
00:02:51,394 --> 00:02:53,958
że kąt z numerem czwartym jest taki sam

68
00:02:54,058 --> 00:02:57,150
jak kąt z numerem trzecim, drugim i pierwszym.

69
00:02:57,920 --> 00:03:00,789
Widzisz zatem, że jeżeli dwie proste równoległe

70
00:03:00,889 --> 00:03:03,397
przetniemy trzecią prostą, to kąty, które 

71
00:03:03,497 --> 00:03:06,366
znajdują się w tych miejscach, będą identyczne.

72
00:03:06,734 --> 00:03:08,629
Można zastanawiać się nad tym 

73
00:03:08,729 --> 00:03:10,898
czy takie równości będą zachodziły 

74
00:03:10,998 --> 00:03:13,167
bez względu na to jakie dwie proste

75
00:03:13,267 --> 00:03:15,566
równoległe przetniemy trzecią prostą.

76
00:03:15,666 --> 00:03:17,885
to udowodnię ci już za kilka chwil.

77
00:03:18,400 --> 00:03:21,216
Teraz zajmę się tymi czterema kątami.

78
00:03:21,728 --> 00:03:23,627
Skupmy się najpierw na tym kącie 

79
00:03:23,727 --> 00:03:25,567
który oznaczyłem numerem piątym.

80
00:03:26,080 --> 00:03:28,384
Możemy zauważyć bardzo ciekawą rzecz.

81
00:03:28,484 --> 00:03:30,846
Kąty z numerem piątym i pierwszym 

82
00:03:30,946 --> 00:03:32,223
tworzą kąt półpełny.

83
00:03:32,736 --> 00:03:34,528
Są to zatem kąty przyległe.

84
00:03:35,040 --> 00:03:37,447
Kąty z numerem piątym i z numerem trzecim 

85
00:03:37,547 --> 00:03:39,135
również tworzą kąt półpełny.

86
00:03:39,392 --> 00:03:41,696
Te dwa kąty również są przyległe.

87
00:03:42,123 --> 00:03:44,768
Spójrz teraz na kąt z numerem szóstym.

88
00:03:45,024 --> 00:03:47,470
Jak myślisz, czy ten kąt jest taki sam 

89
00:03:47,570 --> 00:03:49,120
jak kąt z numerem piątym?

90
00:03:52,704 --> 00:03:55,414
Oczywiście że tak bo kąty z numerem piątym

91
00:03:55,514 --> 00:03:57,567
i szóstym to kąty wierzchołkowe.

92
00:03:57,824 --> 00:04:00,444
Powstały w wyniku przecięcia dwóch prostych 

93
00:04:00,544 --> 00:04:02,447
i znajdują się naprzeciw siebie. 

94
00:04:02,547 --> 00:04:03,711
Są zatem identyczne.

95
00:04:04,480 --> 00:04:06,443
Skoro te dwa kąty są identyczne 

96
00:04:06,543 --> 00:04:08,393
to możemy zapisać taką równość:

97
00:04:08,493 --> 00:04:10,469
kąt z numerem 5 jest taki sam, jak

98
00:04:10,569 --> 00:04:11,903
kąt z numerem szóstym.

99
00:04:12,672 --> 00:04:14,976
Teraz patrzymy na kąt z numerem siódmym.

100
00:04:15,232 --> 00:04:18,559
Zauważmy, że ten i ten kąt to kąty przyległe.

101
00:04:19,071 --> 00:04:21,197
Wiemy już, że kąt z numerem drugim

102
00:04:21,297 --> 00:04:23,935
jest taki sam jak kąt z numerem pierwszym.

103
00:04:24,447 --> 00:04:26,637
Wiemy również, że kątem przyległym 

104
00:04:26,737 --> 00:04:29,453
do kąta pierwszego jest kąt z numerem piątym

105
00:04:29,553 --> 00:04:30,591
czyli kąt różowy.

106
00:04:31,359 --> 00:04:34,673
Co za tym idzie? Kąt z numerem 7 jest taki sam

107
00:04:34,773 --> 00:04:37,502
jak kąt z numerem 5 i kąt z numerem 6.

108
00:04:38,783 --> 00:04:41,343
Popatrzmy jeszcze na kąt z numerem 8.

109
00:04:41,599 --> 00:04:43,870
Widzimy, że kąty z numerami 7 i 8 

110
00:04:43,970 --> 00:04:45,694
są kątami wierzchołkowymi.

111
00:04:46,207 --> 00:04:47,487
Jaki z tego wniosek?

112
00:04:47,743 --> 00:04:49,791
Ten kąt jest taki sam, jak ten kąt.

113
00:04:50,303 --> 00:04:53,856
Można zatem zauważyć, że kąty z numerami:

114
00:04:53,956 --> 00:04:56,190
5, 6, 7 i 8 są takie same.

115
00:04:57,215 --> 00:05:00,140
Zobacz: jeżeli dwie proste równoległe

116
00:05:00,240 --> 00:05:03,356
przetniemy trzecią prostą, to otrzymamy 

117
00:05:03,456 --> 00:05:07,135
aż 8 kątów. Widzisz jednak, że ten kąt, ten kąt

118
00:05:07,235 --> 00:05:09,758
ten kąt i ten kąt są identyczne.

119
00:05:10,271 --> 00:05:12,258
Widzisz również, że te 4 kąty

120
00:05:12,358 --> 00:05:13,854
mają takie same miary.

121
00:05:14,275 --> 00:05:16,821
Sprawdzimy teraz, czy tak dzieje się zawsze 

122
00:05:16,921 --> 00:05:18,414
gdy dwie proste równoległe 

123
00:05:18,514 --> 00:05:19,998
przetniemy trzecią prostą.

124
00:05:20,511 --> 00:05:22,883
Widzisz, że nie ma znaczenia, w jaki sposób 

125
00:05:22,983 --> 00:05:24,149
dwie proste równoległe 

126
00:05:24,249 --> 00:05:25,630
przetniemy trzecią prostą.

127
00:05:26,143 --> 00:05:28,518
Patrząc na kolory widzisz, że w dalszym ciągu

128
00:05:28,618 --> 00:05:30,238
odpowiednie kąty są identyczne.

129
00:05:31,519 --> 00:05:34,118
Jeżeli jednak zmienimy ustawienie prostej p tak

130
00:05:34,218 --> 00:05:36,485
że nie będzie ona równoległa do prostej k 

131
00:05:36,585 --> 00:05:37,662
to kąty się zmienią.

132
00:05:42,961 --> 00:05:44,831
Spójrz teraz na takie pytanie.

133
00:05:45,062 --> 00:05:47,135
Jaką miarę ma kąt beta?

134
00:05:47,647 --> 00:05:50,126
Odpowiedzi na to pytanie poszukamy dzięki

135
00:05:50,226 --> 00:05:52,766
wiedzy, którą zdobyliśmy kilka chwil temu.

136
00:05:52,950 --> 00:05:58,619
Zobacz: proste k i p są do siebie równoległe.

137
00:05:59,019 --> 00:06:01,143
Kąt beta, czyli kąt którego miary szukamy

138
00:06:01,243 --> 00:06:03,627
znajduje się w tym miejscu.

139
00:06:03,727 --> 00:06:07,358
Wiemy jedynie, że ten kąt ma 110 stopni.

140
00:06:08,127 --> 00:06:09,413
Czy masz jakiś pomysł 

141
00:06:09,513 --> 00:06:11,710
jak możemy wyznaczyć miarę kąta beta?

142
00:06:12,223 --> 00:06:13,759
Spróbuj zrobić to samodzielnie.

143
00:06:18,245 --> 00:06:19,647
Spójrz na ten kąt.

144
00:06:19,903 --> 00:06:21,803
Co możemy powiedzieć o tym kącie

145
00:06:21,903 --> 00:06:23,742
i o kącie, który ma 110 stopni?

146
00:06:23,999 --> 00:06:26,694
Razem te dwa kąty tworzą kąt półpełny

147
00:06:26,794 --> 00:06:29,118
czyli taki, który ma 180 stopni.

148
00:06:29,887 --> 00:06:32,191
Skoro ten kąt ma 110 stopni

149
00:06:32,447 --> 00:06:34,239
to ten kąt ma 70 stopni.

150
00:06:35,263 --> 00:06:37,837
Z poprzedniej części lekcji wiesz, że kąt

151
00:06:37,937 --> 00:06:39,885
który znajduje się w tym miejscu

152
00:06:39,985 --> 00:06:41,407
jest taki sam, jak ten.

153
00:06:42,175 --> 00:06:44,991
Oznacza to, że kąt beta ma 70 stopni.

154
00:06:46,521 --> 00:06:48,485
A czy potrafisz powiedzieć 

155
00:06:48,585 --> 00:06:51,390
gdzie jeszcze są kąty, które mają 70 stopni?

156
00:06:51,533 --> 00:06:53,863
Kąt który ma 70 stopni 

157
00:06:53,963 --> 00:06:57,534
znajduje się również tutaj i tutaj.

158
00:06:58,540 --> 00:07:02,143
Pokaż jeszcze kąty, które mają 110 stopni.

159
00:07:06,239 --> 00:07:09,261
Kąt który ma 110 stopni znajduje się 

160
00:07:09,361 --> 00:07:12,383
w tym miejscu. Ten kąt ma 110 stopni.

161
00:07:12,639 --> 00:07:15,140
I kąty, które są tutaj oraz tutaj 

162
00:07:15,240 --> 00:07:16,990
również mają 110 stopni.

163
00:07:23,483 --> 00:07:26,630
Jeśli dwie proste równoległe przetniemy trzecią 

164
00:07:26,730 --> 00:07:29,278
prostą, to otrzymamy kąty parami równe.

165
00:07:29,516 --> 00:07:31,898
Kąty parami równe zapisano na planszy 

166
00:07:31,998 --> 00:07:34,474
z podsumowaniem. Kolory pomogą ci

167
00:07:34,574 --> 00:07:36,407
je zapamiętać. Ten przypadek 

168
00:07:36,507 --> 00:07:38,740
najczęściej znajdziesz w zadaniach.

169
00:07:38,840 --> 00:07:41,473
Pamiętaj, że podane równości nie zachodzą

170
00:07:41,573 --> 00:07:44,951
gdy proste nie są do siebie równoległe.

171
00:07:48,223 --> 00:07:50,751
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji 

172
00:07:50,851 --> 00:07:52,890
z tego tematu oraz do zasubskrybowania

173
00:07:52,990 --> 00:07:55,515
kanału PistacjaMatematyka.