1
00:00:00,918 --> 00:00:02,410
W swojej pracy naukowej 

2
00:00:02,510 --> 00:00:04,195
o tytule "Traktat o okręgu"

3
00:00:04,296 --> 00:00:06,936
al-Kashi jako pierwszy policzył liczbę pi 

4
00:00:07,036 --> 00:00:09,726
z dokładnością do 16. miejsca po przecinku.

5
00:00:22,340 --> 00:00:23,998
Wiesz już, że ułamki zwykłe 

6
00:00:24,098 --> 00:00:26,367
możemy zamieniać na liczby dziesiętne.

7
00:00:26,624 --> 00:00:29,440
4/10 to inaczej zero, przecinek, cztery.

8
00:00:29,952 --> 00:00:32,214
Mówimy, że rozwinięciem dziesiętnym

9
00:00:32,314 --> 00:00:34,047
tego ułamka jest ta liczba.

10
00:00:34,724 --> 00:00:36,065
Czy potrafisz powiedzieć

11
00:00:36,165 --> 00:00:38,143
ile cyfr po przecinku ma ta liczba?

12
00:00:38,460 --> 00:00:39,680
Na pewno tak.

13
00:00:39,936 --> 00:00:42,240
Ta liczba ma jedną cyfrę po przecinku.

14
00:00:42,527 --> 00:00:45,005
W tym przypadku liczba cyfr po przecinku

15
00:00:45,105 --> 00:00:47,912
jest skończona. Potrafimy dokładnie powiedzieć

16
00:00:48,012 --> 00:00:50,174
ile cyfr po przecinku ma ta liczba.

17
00:00:50,346 --> 00:00:54,016
Znajdźmy rozwinięcie dziesiętne ułamka 1/5.

18
00:00:54,248 --> 00:00:56,235
Ten ułamek możemy rozszerzyć 

19
00:00:56,335 --> 00:00:58,111
do ułamka o mianowniku 10.

20
00:00:58,211 --> 00:01:00,928
Starczy licznik i mianownik pomnożyć przez 2.

21
00:01:01,177 --> 00:01:03,744
1/5 to inaczej 2/10.

22
00:01:04,763 --> 00:01:07,272
Ten ułamek z kolei możemy bez problemu 

23
00:01:07,372 --> 00:01:09,041
zapisać w postaci liczby dziesiętnej.

24
00:01:09,141 --> 00:01:12,703
2/10 to nic innego, jak zero, przecinek, dwa.

25
00:01:12,868 --> 00:01:15,412
Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1/5 

26
00:01:15,512 --> 00:01:16,543
jest ta liczba.

27
00:01:16,815 --> 00:01:18,805
Zwróć uwagę, że tutaj również 

28
00:01:18,905 --> 00:01:20,895
mamy jedną cyfrę po przecinku.

29
00:01:21,213 --> 00:01:24,480
Znowu liczba cyfr po przecinku jest skończona.

30
00:01:24,580 --> 00:01:27,100
Wiem to, bo potrafię dokładnie powiedzieć

31
00:01:27,200 --> 00:01:29,343
ile cyfr po przecinku ma ta liczba.

32
00:01:29,740 --> 00:01:31,488
Z poprzednich lekcji wiesz 

33
00:01:31,588 --> 00:01:34,018
że każdy ułamek zwykły da się zapisać 

34
00:01:34,118 --> 00:01:35,999
w postaci liczby dziesiętnej.

35
00:01:36,112 --> 00:01:37,830
Liczby dziesiętne mają jednak

36
00:01:37,930 --> 00:01:40,096
różne rozwinięcia dziesiętne.

37
00:01:40,541 --> 00:01:42,347
W tym przypadku mamy do czynienia

38
00:01:42,447 --> 00:01:44,703
z rozwinięciami dziesiętnymi skończonymi.

39
00:01:44,803 --> 00:01:47,367
Dlaczego? Bo potrafimy dokładnie powiedzieć

40
00:01:47,467 --> 00:01:50,335
ile cyfr po przecinku mają te liczby dziesiętne.

41
00:01:50,650 --> 00:01:52,384
Mam teraz dla ciebie zadanie.

42
00:01:52,488 --> 00:01:54,946
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie 

43
00:01:55,046 --> 00:01:56,678
zapisać kilka liczb dziesiętnych 

44
00:01:56,778 --> 00:01:59,038
których rozwinięcia dziesiętne są skończone.

45
00:02:03,364 --> 00:02:06,208
Takie liczby to na przykład: 15 setnych

46
00:02:06,649 --> 00:02:08,833
125 tysięcznych 

47
00:02:09,029 --> 00:02:12,607
oraz 7035 dziesięciotysięcznych.

48
00:02:12,946 --> 00:02:15,392
W każdym z tych trzech przykładów potrafimy

49
00:02:15,492 --> 00:02:16,553
dokładnie powiedzieć

50
00:02:16,653 --> 00:02:18,751
ile cyfr po przecinku ma dana liczba.

51
00:02:19,393 --> 00:02:21,427
Ta ma dwie cyfry po przecinku

52
00:02:21,548 --> 00:02:23,401
ta ma trzy cyfry po przecinku 

53
00:02:23,501 --> 00:02:25,663
a ta ma cztery cyfry po przecinku.

54
00:02:25,796 --> 00:02:27,457
Już za momencik pokażę ci 

55
00:02:27,557 --> 00:02:30,271
inne rozwinięcia dziesiętne różnych liczb.

56
00:02:33,313 --> 00:02:35,904
Spójrz teraz na ułamek 1/3.

57
00:02:36,004 --> 00:02:37,878
Nie da się go rozszerzyć do ułamka 

58
00:02:37,978 --> 00:02:41,536
o mianowniku 10, 100, czy też 1000.

59
00:02:41,795 --> 00:02:43,918
Aby zamienić go na liczbę dziesiętną

60
00:02:44,018 --> 00:02:45,888
musimy poradzić sobie jakoś inaczej.

61
00:02:45,988 --> 00:02:47,278
Czy pamiętasz jak?

62
00:02:47,378 --> 00:02:49,728
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

63
00:02:53,184 --> 00:02:56,640
1/3 to inaczej 1 podzielić przez 3.

64
00:02:56,814 --> 00:02:59,265
Aby zamienić ten ułamek na liczbę dziesiętną

65
00:02:59,365 --> 00:03:01,247
wystarczy wykonać takie dzielenie.

66
00:03:01,544 --> 00:03:03,552
Zrobimy to sposobem pisemnym.

67
00:03:03,652 --> 00:03:05,856
Podzielimy liczbę jeden przez trzy.

68
00:03:05,956 --> 00:03:07,883
U góry rysujemy poziomą kreskę 

69
00:03:07,983 --> 00:03:09,695
bo nad nią znajdzie się wynik.

70
00:03:09,951 --> 00:03:13,024
Liczba 3 mieści się w liczbie 1 zero razy.

71
00:03:13,385 --> 00:03:17,120
Obok zapisuję przecinek. 0 razy 3 to 0.

72
00:03:17,220 --> 00:03:19,667
Teraz od liczby 1 odejmujemy liczbę 0

73
00:03:19,767 --> 00:03:23,519
i otrzymamy liczbę jeden. Obok dopisuję 0.

74
00:03:24,096 --> 00:03:27,104
Ile razy liczba 3 mieści się w liczbie 10?

75
00:03:27,364 --> 00:03:30,432
Trzy razy. 3 razy 3 to 9.

76
00:03:30,785 --> 00:03:33,545
Od liczby 10 odejmujemy liczbę 9 

77
00:03:33,645 --> 00:03:37,087
i otrzymujemy 1. Obok dopisuję kolejne 0.

78
00:03:37,624 --> 00:03:40,009
Zwróć uwagę, że otrzymaliśmy tutaj 

79
00:03:40,109 --> 00:03:41,695
to samo, co w tym miejscu.

80
00:03:41,963 --> 00:03:44,512
Powtarzamy więc tę samą czynność.

81
00:03:44,612 --> 00:03:47,871
Wiemy już, że liczba 3 mieści się w liczbie 10

82
00:03:47,971 --> 00:03:50,655
trzy razy. Liczbę trzy zapisuję tutaj.

83
00:03:50,756 --> 00:03:53,686
3 razy 3 to 9. Tym razem otrzymaliśmy 

84
00:03:53,786 --> 00:03:55,775
to samo, co w tym miejscu.

85
00:03:55,875 --> 00:03:58,848
Znowu od liczby 10 odejmujemy liczbę 9.

86
00:03:58,948 --> 00:04:00,640
Ponownie otrzymamy 1.

87
00:04:00,749 --> 00:04:03,200
Kolejny raz obok dopisujemy 0.

88
00:04:03,445 --> 00:04:07,902
No i znowu: liczba 3 mieści się w liczbie 10 

89
00:04:08,002 --> 00:04:12,159
trzy razy. 3 razy 3 to 9. 10 odjąć 9 to 1.

90
00:04:12,260 --> 00:04:13,696
Obok dopisujemy zero.

91
00:04:13,810 --> 00:04:15,694
Zwróć uwagę, że cały czas 

92
00:04:15,794 --> 00:04:17,280
powtarza nam się ten krok.

93
00:04:18,043 --> 00:04:20,548
Po pierwszym kroku, po prawej stronie 

94
00:04:20,648 --> 00:04:21,886
przecinka zapisaliśmy 3.

95
00:04:21,986 --> 00:04:24,174
Po drugim kroku zapisaliśmy znowu 3.

96
00:04:24,274 --> 00:04:27,007
Po trzecim kroku zapisaliśmy ponownie 3.

97
00:04:27,383 --> 00:04:30,335
Skoro takich kroków będzie nieskończenie wiele

98
00:04:30,435 --> 00:04:31,898
to po prawej stronie przecinka

99
00:04:31,998 --> 00:04:33,662
będzie nieskończenie wiele trójek.

100
00:04:35,292 --> 00:04:42,403
1/3 to inaczej 0, przecinek, 3, 3, 3 i tak dalej.

101
00:04:42,503 --> 00:04:44,927
Tych trójek będzie nieskończenie wiele.

102
00:04:45,235 --> 00:04:46,976
Czy potrafisz powiedzieć 

103
00:04:47,076 --> 00:04:49,534
ile cyfr po przecinku ma ta liczba dziesiętna?

104
00:04:49,935 --> 00:04:52,370
Nie, ponieważ po prawej stronie przecinka 

105
00:04:52,470 --> 00:04:54,263
jest nieskończenie wiele trójek.

106
00:04:54,363 --> 00:04:57,213
Nie potrafimy dokładnie powiedzieć, ile ich jest.

107
00:04:57,663 --> 00:04:59,138
Liczba 1/3 ma więc 

108
00:04:59,238 --> 00:05:02,078
rozwinięcie dziesiętne nieskończone.

109
00:05:02,318 --> 00:05:03,871
To jeszcze nie wszystko.

110
00:05:03,971 --> 00:05:06,175
Spójrz raz jeszcze na tę liczbę.

111
00:05:06,275 --> 00:05:08,342
Co się powtarza? Trójka.

112
00:05:08,442 --> 00:05:11,165
Ten zapis możemy sobie uprościć.

113
00:05:11,265 --> 00:05:13,597
Przepisujemy 0 i przecinek.

114
00:05:14,099 --> 00:05:16,965
Przyjęło się, że tę cyfrę, która się powtarza

115
00:05:17,065 --> 00:05:18,844
czyli w tym przypadku trójkę 

116
00:05:18,944 --> 00:05:19,974
zapisywać w nawiasie.

117
00:05:20,074 --> 00:05:21,791
Otrzymamy coś takiego:

118
00:05:21,891 --> 00:05:25,119
zero, przecinek i w nawiasie cyfra 3.

119
00:05:25,548 --> 00:05:26,648
To, co się powtarza, 

120
00:05:26,748 --> 00:05:28,958
w matematyce nazywa się okresem.

121
00:05:29,103 --> 00:05:31,829
Okresem rozwinięcia dziesiętnego tej liczby

122
00:05:31,929 --> 00:05:34,590
jest trójka, ponieważ trójka się powtarza.

123
00:05:35,009 --> 00:05:37,832
Aby być jak najbardziej precyzyjnym mówimy

124
00:05:37,932 --> 00:05:39,874
że jest to rozwinięcie dziesiętne 

125
00:05:39,974 --> 00:05:41,245
nieskończone okresowe.

126
00:05:41,743 --> 00:05:44,334
Sprawdźmy jeszcze, co pokaże nam kalkulator

127
00:05:44,434 --> 00:05:48,670
 gdy podzielimy liczbę 1 przez 3. Do dzieła!

128
00:05:49,260 --> 00:05:53,023
Liczbę 1 dzielimy przez 3. Co otrzymamy?

129
00:05:53,388 --> 00:05:57,119
0, przecinek, 3, 3, 3, 3 i tak dalej...

130
00:05:57,219 --> 00:05:59,679
Widzisz, że trójka się powtarza.

131
00:05:59,779 --> 00:06:01,983
Na końcu nie ma jednak trzech kropek.

132
00:06:02,321 --> 00:06:04,799
Kalkulatory nie mają takiej funkcji.

133
00:06:04,899 --> 00:06:07,565
Akurat ten kalkulator wyświetlił tyle trójek 

134
00:06:07,665 --> 00:06:09,663
ponieważ tyle miejsca ma na ekranie.

135
00:06:09,919 --> 00:06:12,896
Dzieląc pisemnie liczbę 1 przez 3 wiesz, że takie 

136
00:06:12,996 --> 00:06:15,550
dzielenie można wykonywać w nieskończoność.

137
00:06:15,650 --> 00:06:17,762
Wykonując dzielenia na kalkulatorze 

138
00:06:17,862 --> 00:06:21,481
musimy uważać. A na co? Na to, aby pamiętać

139
00:06:21,581 --> 00:06:24,509
że tych trójek jest nieskończenie wiele.

140
00:06:25,099 --> 00:06:27,579
Jeśli jakaś cyfra na ekranie powtarza się 

141
00:06:27,679 --> 00:06:30,230
to możemy mieć pewność, że takie powtarzanie

142
00:06:30,330 --> 00:06:31,726
będzie w nieskończoność.

143
00:06:31,826 --> 00:06:34,008
Gdyby ten kalkulator miał większy ekran

144
00:06:34,108 --> 00:06:35,774
to byłoby tutaj więcej trójek.

145
00:06:40,127 --> 00:06:42,701
Pokażę ci teraz inne przykłady rozwinięć 

146
00:06:42,801 --> 00:06:45,090
dziesiętnych, nieskończonych, okresowych.

147
00:06:45,190 --> 00:06:48,063
Spójrz na taki ułamek: 5/11.

148
00:06:48,223 --> 00:06:50,634
Sprawdźmy, co otrzymamy na kalkulatorze 

149
00:06:50,734 --> 00:06:53,451
gdy podzielimy liczbę 5 przez 11.

150
00:06:54,776 --> 00:06:59,431
5 dzielimy przez 11. Co otrzymamy?

151
00:06:59,531 --> 00:07:06,450
0, kropka, 45, 45, 45, 45, 45 i 45.

152
00:07:06,617 --> 00:07:08,813
Pamiętaj, że kropka na kalkulatorze 

153
00:07:08,913 --> 00:07:11,358
oznacza dokładnie to samo, co przecinek.

154
00:07:11,559 --> 00:07:13,434
Zwróć uwagę, że w tym przypadku 

155
00:07:13,534 --> 00:07:15,710
nie powtarza się jedna, a dwie cyfry.

156
00:07:15,810 --> 00:07:19,709
Jakie? 4 i 5. Gdyby ten kalkulator miał 

157
00:07:19,859 --> 00:07:21,712
większy ekran, to moglibyśmy tutaj 

158
00:07:21,812 --> 00:07:23,264
w nieskończoność zapisywać:

159
00:07:23,364 --> 00:07:27,103
45, 45, 45 i tak dalej...

160
00:07:27,205 --> 00:07:29,770
To jak za pomocą liczby dziesiętnej

161
00:07:29,870 --> 00:07:31,838
możemy zapisać ułamek 5/11?

162
00:07:31,938 --> 00:07:35,767
5/11 to jest to samo, co 0, przecinek, 4 5

163
00:07:35,867 --> 00:07:39,262
4 5, 4 5 i trzy kropeczki.

164
00:07:39,489 --> 00:07:41,117
Dlaczego trzy kropki? 

165
00:07:41,217 --> 00:07:43,119
Ponieważ w nieskończoność moglibyśmy 

166
00:07:43,219 --> 00:07:46,430
zapisywać taką parę cyfr: 4 i 5.

167
00:07:46,689 --> 00:07:49,491
W tym przypadku to jest nasz okres.

168
00:07:49,597 --> 00:07:50,848
Jeszcze raz przypomnę 

169
00:07:50,948 --> 00:07:53,086
że okres to jest to, co się powtarza.

170
00:07:53,408 --> 00:07:56,159
A jak jeszcze inaczej możemy to zapisać?

171
00:07:56,361 --> 00:07:58,033
Zatrzymaj lekcję i spróbuj 

172
00:07:58,133 --> 00:07:59,742
odpowiedzieć samodzielnie.

173
00:08:03,426 --> 00:08:06,143
Najpierw przepisujemy 0 i przecinek.

174
00:08:06,243 --> 00:08:08,127
Okres, czyli to, co się powtarza 

175
00:08:08,227 --> 00:08:09,754
zapisujemy w nawiasie.

176
00:08:09,854 --> 00:08:13,055
Otrzymamy 0 i w nawiasie 45.

177
00:08:13,505 --> 00:08:14,968
Jeszcze raz przypomnę 

178
00:08:15,068 --> 00:08:17,150
że okres zapisujemy w nawiasie.

179
00:08:18,416 --> 00:08:20,766
Spójrz teraz na taki zapis.

180
00:08:20,866 --> 00:08:23,613
Zwróć uwagę, że tutaj mamy 0, przecinek, 

181
00:08:23,713 --> 00:08:27,390
2, 0, 8 i dopiero w nawiasie mamy trójkę.

182
00:08:27,491 --> 00:08:29,695
Jak inaczej możemy to zapisać?

183
00:08:29,835 --> 00:08:32,305
Najpierw przepiszemy tę część czyli 

184
00:08:32,405 --> 00:08:34,550
zero, przecinek, 2, zero, 8.

185
00:08:35,243 --> 00:08:40,214
Zero, przecinek, 2, zero, 8.

186
00:08:40,591 --> 00:08:43,007
W nawiasie znajduje się trójka.

187
00:08:43,227 --> 00:08:45,468
Oznacza to, że trójka od tego momentu 

188
00:08:45,568 --> 00:08:47,686
będzie powtarzała się w nieskończoność.

189
00:08:47,822 --> 00:08:49,919
Możemy zapisać to w taki sposób:

190
00:08:50,019 --> 00:08:56,063
3, 3, 3, 3 i  tak dalej, czyli trzy kropeczki.

191
00:08:56,454 --> 00:08:59,647
Trójka jest tym elementem, który się powtarza.

192
00:09:03,550 --> 00:09:06,482
Istnieją też liczby które mają rozwinięcie 

193
00:09:06,582 --> 00:09:09,168
dziesiętne, nieskończone, nieokresowe.

194
00:09:09,335 --> 00:09:10,479
Co to oznacza?

195
00:09:10,579 --> 00:09:12,440
Oznacza to, że nic po przecinku 

196
00:09:12,540 --> 00:09:13,982
nie będzie się powtarzać.

197
00:09:14,351 --> 00:09:16,287
Spójrz teraz na ten symbol.

198
00:09:16,387 --> 00:09:19,103
To jest logo naszego kanału na YouTube.

199
00:09:19,398 --> 00:09:21,663
Tę liczbę nazywamy pi.

200
00:09:22,155 --> 00:09:24,611
Czym ona jest i w jaki sposób powstaje 

201
00:09:24,711 --> 00:09:27,038
dowiesz się w kolejnych latach nauki.

202
00:09:27,138 --> 00:09:32,805
Liczba pi to inaczej 3, przecinek, 14, 15, 92, 

203
00:09:32,905 --> 00:09:42,654
65, 35, 89, 79, 32, 38, 46 i tak dalej.

204
00:09:42,838 --> 00:09:45,471
Ta liczba jest bardzo charakterystyczna.

205
00:09:45,806 --> 00:09:48,503
Żaden ciąg po prawej stronie przecinka

206
00:09:48,603 --> 00:09:49,822
się nie powtarza.

207
00:09:50,250 --> 00:09:52,576
Skoro się nie powtarza, to ta liczba 

208
00:09:52,676 --> 00:09:54,408
ma rozwinięcie dziesiętne, nieskończone 

209
00:09:54,508 --> 00:09:55,965
nieokresowe.

210
00:10:02,573 --> 00:10:05,196
Rozwinięcie dziesiętne to postać dziesiętna 

211
00:10:05,296 --> 00:10:07,322
ułamka zwykłego, którą otrzymujemy 

212
00:10:07,422 --> 00:10:10,045
dzieląc licznik ułamka przez jego mianownik.

213
00:10:10,145 --> 00:10:12,921
Rozwinięcie dziesiętne może być skończone

214
00:10:13,021 --> 00:10:14,881
lub nieskończone.

215
00:10:16,960 --> 00:10:18,873
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej 

216
00:10:18,973 --> 00:10:21,285
o przekształcaniu ułamków, to zapraszam cię

217
00:10:21,385 --> 00:10:24,084
do obejrzenia pozostałych lekcji z tej playlisty.

218
00:10:24,184 --> 00:10:26,040
Wszystkie playlisty znajdziesz 

219
00:10:26,140 --> 00:10:29,479
na naszej stronie internetowej: pistacja.tv