1
00:00:00,258 --> 00:00:02,608
Najbliższą naszego słońca gwiazdą 

2
00:00:02,708 --> 00:00:04,210
jest Proxima Centauri.

3
00:00:04,311 --> 00:00:06,078
Jej odległość od ziemi wynosi około 

4
00:00:06,178 --> 00:00:09,322
40 bilionów kilometrów – koszmarna liczba.

5
00:00:09,422 --> 00:00:11,690
Aby to uprościć, naukowcy wprowadzili 

6
00:00:11,790 --> 00:00:13,966
jednostkę długości o nazwie parsek.

7
00:00:14,066 --> 00:00:16,101
Ta sama odległość podana w parsekach 

8
00:00:16,201 --> 00:00:19,845
to 1 i 29 setnych. Od razu lepiej, prawda?

9
00:00:31,744 --> 00:00:33,547
Pozostańmy jeszcze w kosmosie 

10
00:00:33,647 --> 00:00:35,327
i porozmawiajmy o gwiazdach.

11
00:00:35,638 --> 00:00:38,348
Najjaśniejszą gwiazdą na nocnym niebie

12
00:00:38,448 --> 00:00:41,398
 jest Syriusz. Drugą najjaśniejszą gwiazdą

13
00:00:41,498 --> 00:00:43,577
jest Kanopus, widoczny tutaj, 

14
00:00:43,677 --> 00:00:46,119
w otoczeniu milionów innych gwiazd.

15
00:00:46,219 --> 00:00:49,024
Tutaj podane są ich odległości od Ziemi.

16
00:00:49,124 --> 00:00:50,912
Która z tych dwóch gwiazd 

17
00:00:51,012 --> 00:00:53,504
znajduje się bliżej naszej planety?

18
00:00:54,091 --> 00:00:55,858
W jaki sposób można porównać 

19
00:00:55,958 --> 00:00:57,599
te dwie bardzo duże liczby?

20
00:00:59,320 --> 00:01:01,191
Możemy na przykład porównać 

21
00:01:01,291 --> 00:01:03,231
liczbę cyfr w każdej liczbie.

22
00:01:04,264 --> 00:01:06,304
Sprawdźmy, ile cyfr jest tutaj.

23
00:01:06,407 --> 00:01:12,960
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

24
00:01:13,060 --> 00:01:16,297
Ta liczba składa się z 14 cyfr.

25
00:01:16,647 --> 00:01:18,080
A ta liczba?

26
00:01:18,707 --> 00:01:21,642
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie policz,

27
00:01:21,742 --> 00:01:24,992
ile cyfr składa się na tę liczbę.

28
00:01:28,354 --> 00:01:31,904
Ta liczba składa się z 16 cyfr.

29
00:01:32,599 --> 00:01:34,976
Która z tych dwóch liczb jest większa?

30
00:01:36,001 --> 00:01:39,494
Ta, która ma więcej cyfr – czyli ta.

31
00:01:40,387 --> 00:01:42,988
To oznacza, że odległość Kanopusa od Ziemi

32
00:01:43,088 --> 00:01:45,331
jest większa niż odległość Syriusza, 

33
00:01:45,431 --> 00:01:47,841
czyli Syriusz znajduje się bliżej.

34
00:01:47,941 --> 00:01:50,176
Jak widzisz, w astronomii porównywanie 

35
00:01:50,276 --> 00:01:53,228
tak wielkich wartości jest bardzo kłopotliwe.

36
00:01:53,662 --> 00:01:55,712
Czy istnieje jakiś prostszy sposób?

37
00:01:55,921 --> 00:01:57,656
Pewnie się domyślasz, że tak. 

38
00:01:57,756 --> 00:01:59,514
W zapisywaniu dużych liczb 

39
00:01:59,614 --> 00:02:01,774
pomocna jest notacja wykładnicza.

40
00:02:01,875 --> 00:02:03,735
Polega ona na zapisie liczby

41
00:02:03,835 --> 00:02:05,695
 w postaci pewnego iloczynu.

42
00:02:05,796 --> 00:02:07,862
Pierwszym czynnikiem tego mnożenia 

43
00:02:07,962 --> 00:02:10,456
jest liczba nie mniejsza niż 1 

44
00:02:10,556 --> 00:02:12,147
i nie większa od 10.

45
00:02:12,323 --> 00:02:14,316
Jest ona przemnożona przez 10 

46
00:02:14,416 --> 00:02:16,542
podniesione do odpowiedniej potęgi. 

47
00:02:16,642 --> 00:02:18,152
Sprawdźmy, jak to się robi. 

48
00:02:18,252 --> 00:02:20,820
Na samym początku musimy znaleźć 

49
00:02:20,920 --> 00:02:24,406
pierwszą niezerową cyfrę licząc od lewej strony.

50
00:02:25,365 --> 00:02:28,583
To oczywiście 8 – pierwsza niezerowa cyfra.

51
00:02:28,908 --> 00:02:32,832
Następnie tuż za tą cyfrą stawiamy przecinek.

52
00:02:33,545 --> 00:02:36,405
Żeby ta liczba była równa tej liczbie

53
00:02:36,538 --> 00:02:38,454
musimy ją pomnożyć przez 10 

54
00:02:38,554 --> 00:02:40,540
podniesione do pewnej potęgi.

55
00:02:40,641 --> 00:02:44,018
Liczymy, ile cyfr znajduje się za przecinkiem, 

56
00:02:44,118 --> 00:02:47,324
albo inaczej, ile cyfr znajduje się na prawo

57
00:02:47,424 --> 00:02:49,728
od pierwszej niezerowej cyfry.

58
00:02:49,828 --> 00:02:51,520
Jest ich 13.

59
00:02:52,390 --> 00:02:55,104
10 podnosimy do 13. potęgi.

60
00:02:55,316 --> 00:02:57,676
Zauważ, że po wymnożeniu tej liczby 

61
00:02:57,776 --> 00:03:00,605
przez 10 do potęgi 13., przesunęlibyśmy 

62
00:03:00,705 --> 00:03:02,870
przecinek o 13 miejsc w prawo,

63
00:03:02,971 --> 00:03:04,622
czyli otrzymalibyśmy tę liczbę.

64
00:03:04,722 --> 00:03:06,693
Na samym końcu pozbywamy się 

65
00:03:06,793 --> 00:03:08,415
tych niepotrzebnych zer.

66
00:03:08,928 --> 00:03:11,543
Ostatecznie odległość Syriusza od Ziemi

67
00:03:11,643 --> 00:03:13,023
w notacji wykładniczej 

68
00:03:13,123 --> 00:03:14,815
jest zapisana w taki sposób.

69
00:03:15,012 --> 00:03:17,606
Zapiszmy teraz odległość Kanopusa od Ziemi

70
00:03:17,706 --> 00:03:19,167
 w notacji wykładniczej.

71
00:03:19,390 --> 00:03:21,472
Pamiętasz, co robiliśmy najpierw?

72
00:03:21,875 --> 00:03:24,544
Szukaliśmy pierwszej niezerowej cyfry.

73
00:03:24,918 --> 00:03:28,896
Jaka to cyfra? To dwójka.

74
00:03:29,488 --> 00:03:32,348
Następnie tuż za tą cyfrą stawialiśmy przecinek 

75
00:03:32,448 --> 00:03:33,920
i mnożyliśmy tę liczbę 

76
00:03:34,020 --> 00:03:35,690
przez 10 do pewnej potęgi.

77
00:03:36,409 --> 00:03:40,094
Za tą cyfrą znajduje się jeszcze 15 cyfr,

78
00:03:40,261 --> 00:03:43,232
czyli 10 podnosimy do potęgi 15.

79
00:03:43,638 --> 00:03:45,589
Pozbywamy się niepotrzebnych zer 

80
00:03:45,689 --> 00:03:47,424
i otrzymujemy odległość Kanopusa 

81
00:03:47,524 --> 00:03:49,400
od Ziemi w notacji wykładniczej.

82
00:03:50,042 --> 00:03:52,192
Jak porównywać takie liczby?

83
00:03:52,493 --> 00:03:53,985
Zauważ, że jeżeli poprawnie 

84
00:03:54,085 --> 00:03:55,411
zapisaliśmy nasze liczby 

85
00:03:55,512 --> 00:03:57,455
w notacji wykładniczej, czyli w obu 

86
00:03:57,555 --> 00:03:59,556
przecinek jest po pierwszej niezerowej cyfrze,

87
00:03:59,656 --> 00:04:02,432
to wystarczy porównać jej wykładniki.

88
00:04:02,708 --> 00:04:06,519
10 do 15. jest na pewno większe niż 10 do 13. 

89
00:04:06,619 --> 00:04:08,887
Gdybyśmy jednak nie dbali o odpowiednie

90
00:04:08,987 --> 00:04:10,922
postawienie przecinka, to porównanie 

91
00:04:11,022 --> 00:04:13,048
wykładników niewiele by nam dało.

92
00:04:13,148 --> 00:04:14,976
O wiele szybciej, prawda?

93
00:04:15,076 --> 00:04:17,219
Zajmijmy się jeszcze jedną gwiazdą

94
00:04:17,319 --> 00:04:18,559
 – Gwiazdą Barnarda.

95
00:04:19,027 --> 00:04:20,520
Oto jej odległość od Ziemi 

96
00:04:20,620 --> 00:04:22,398
zapisana w notacji wykładniczej.

97
00:04:22,499 --> 00:04:25,215
Czy znajduje się ona bliżej Ziemi niż Syriusz?

98
00:04:27,007 --> 00:04:28,649
Sprawdźmy wykładniki.

99
00:04:29,508 --> 00:04:33,869
Tutaj mamy 10 do 13. i tutaj również 10 do 13.

100
00:04:34,920 --> 00:04:36,991
Co robić w takiej sytuacji?

101
00:04:37,091 --> 00:04:39,698
Porównujemy te dwie liczby przed dziesiątkami. 

102
00:04:39,798 --> 00:04:41,124
Która jest mniejsza? 

103
00:04:41,224 --> 00:04:43,508
Ta czy ta?

104
00:04:45,918 --> 00:04:48,255
Mniejsza jest oczywiście ta liczba,

105
00:04:48,553 --> 00:04:50,801
czyli Gwiazda Barnarda znajduje się 

106
00:04:50,901 --> 00:04:52,446
bliżej Ziemi niż Syriusz.

107
00:04:52,547 --> 00:04:54,399
Oto notacja wykładnicza.

108
00:04:54,782 --> 00:04:56,191
Czas na zadania.

109
00:05:00,586 --> 00:05:02,704
Teraz naszym celem jest zapisanie 

110
00:05:02,804 --> 00:05:04,919
temperatury wnętrza Słońca 

111
00:05:05,019 --> 00:05:06,813
w notacji wykładniczej.

112
00:05:07,482 --> 00:05:09,759
Pamiętasz, jaki był pierwszy krok?

113
00:05:10,684 --> 00:05:12,927
Szukamy pierwszej niezerowej cyfry

114
00:05:13,035 --> 00:05:14,879
– tutaj jest to jedynka –

115
00:05:14,979 --> 00:05:16,927
i stawiamy za nią przecinek.

116
00:05:17,196 --> 00:05:18,734
Następnie liczymy, ile cyfr

117
00:05:18,834 --> 00:05:20,254
 jest za tym przecinkiem.

118
00:05:21,198 --> 00:05:22,683
Tutaj jest 7 cyfr,

119
00:05:22,783 --> 00:05:25,631
czyli 10 podnosimy do potęgi 7.

120
00:05:26,343 --> 00:05:28,153
Pozbywamy się niepotrzebnych zer 

121
00:05:28,253 --> 00:05:29,849
i otrzymujemy temperaturę

122
00:05:29,949 --> 00:05:31,479
 w notacji wykładniczej.

123
00:05:31,580 --> 00:05:33,998
Spróbuj teraz samodzielnie zapisać 

124
00:05:34,098 --> 00:05:36,151
średnią odległość Ziemi od Słońca 

125
00:05:36,251 --> 00:05:37,624
w notacji wykładniczej.

126
00:05:40,852 --> 00:05:43,807
Pierwszą niezerową cyfrą jest 1.

127
00:05:44,179 --> 00:05:50,463
Po prawej stronie od przecinka znajduje się
8 cyfr, czyli 10 do potęgi 8.

128
00:05:50,858 --> 00:05:52,593
Pozbywamy się tych zer

129
00:05:52,693 --> 00:05:55,839
i otrzymujemy taki zapis w notacji wykładniczej.

130
00:05:56,195 --> 00:05:58,399
To jeszcze 2 przykłady z kosmosu:

131
00:05:58,530 --> 00:06:00,959
szacowany wiek naszego Wszechświata

132
00:06:01,740 --> 00:06:03,775
oraz masa Księżyca.

133
00:06:05,459 --> 00:06:07,514
Spróbuj samodzielnie zapisać te liczby

134
00:06:07,614 --> 00:06:08,894
 w notacji wykładniczej.

135
00:06:12,479 --> 00:06:15,115
Tutaj pierwszą niezerową cyfrą jest 1, 

136
00:06:15,215 --> 00:06:17,402
a na prawo od niej znajduje się 

137
00:06:17,502 --> 00:06:18,850
10 dodatkowych cyfr.

138
00:06:20,393 --> 00:06:22,719
Zapisujemy 10 do potęgi 10.

139
00:06:23,287 --> 00:06:25,129
Oto szacowany wiek Wszechświata 

140
00:06:25,229 --> 00:06:27,071
zapisany w notacji wykładniczej.

141
00:06:27,915 --> 00:06:29,887
A jak z masą Księżyca?

142
00:06:30,475 --> 00:06:32,959
W tej liczbie jest bardzo dużo cyfr.

143
00:06:33,510 --> 00:06:36,245
Powinno ci wyjść, że na prawo od 7, 

144
00:06:36,345 --> 00:06:38,271
czyli pierwszej niezerowej cyfry,

145
00:06:38,371 --> 00:06:40,383
jest ich aż 19.

146
00:06:41,573 --> 00:06:42,729
Oto masa Księżyca 

147
00:06:42,829 --> 00:06:44,991
zapisana w notacji wykładniczej. 

148
00:06:45,092 --> 00:06:46,715
Kosmiczne liczby nie mają już

149
00:06:46,815 --> 00:06:47,976
 przed nami tajemnic.

150
00:06:52,363 --> 00:06:54,281
Oto nasze kolejne zadanie.

151
00:06:54,723 --> 00:06:58,047
Mamy zapisać parę liczb w notacji wykładniczej.

152
00:06:58,717 --> 00:07:00,135
Może cię to zaskoczyć.

153
00:07:00,235 --> 00:07:02,620
Przecież są one zapisane w postaci iloczynu 

154
00:07:02,720 --> 00:07:04,763
i przemnożone przez 10 podniesione 

155
00:07:04,863 --> 00:07:07,419
do pewnej potęgi. Zawsze pamiętaj, że 

156
00:07:07,519 --> 00:07:10,025
pierwsza liczba w notacji wykładniczej

157
00:07:10,125 --> 00:07:13,111
musi być nie mniejsza niż 1 i mniejsza od 10.

158
00:07:13,211 --> 00:07:16,110
Trzeba te liczby „naprawić”. W jaki sposób?

159
00:07:16,311 --> 00:07:19,655
Zapiszmy tę liczbę w notacji wykładniczej.

160
00:07:19,939 --> 00:07:25,609
103 to inaczej 1,03 razy 10 do potęgi 2.

161
00:07:26,201 --> 00:07:28,727
Pamiętajmy jeszcze o tej liczbie.

162
00:07:30,604 --> 00:07:32,863
Jaką liczbę ostatecznie otrzymamy?

163
00:07:33,497 --> 00:07:36,307
Mnożymy 10 do potęgi 2. razy 10 do potęgi 2. 

164
00:07:36,407 --> 00:07:38,692
Mamy potęgę o takiej samej podstawie; 

165
00:07:38,792 --> 00:07:40,551
wystarczy dodać wykładniki.

166
00:07:40,651 --> 00:07:43,573
Otrzymujemy 10 do potęgi 2 plus 2, 

167
00:07:43,673 --> 00:07:45,406
czyli 10 do potęgi 4.

168
00:07:45,507 --> 00:07:47,923
Ostatecznie otrzymujemy daną liczbę 

169
00:07:48,023 --> 00:07:49,949
w poprawnej notacji wykładniczej.

170
00:07:50,274 --> 00:07:52,309
A jak byśmy zapisali tę liczbę?

171
00:07:54,018 --> 00:07:56,572
Zaczynamy tak samo, od tej liczby 

172
00:07:56,672 --> 00:07:59,712
po lewej stronie. W notacji wykładniczej 

173
00:07:59,812 --> 00:08:02,163
jest ona zapisana w taki sposób:

174
00:08:02,263 --> 00:08:05,840
10 do 3. razy 10 do 4. to 10 do potęgi 3 plus 4,

175
00:08:05,940 --> 00:08:09,210
 czyli 10 do 7. Spróbuj samodzielnie zapisać

176
00:08:09,310 --> 00:08:12,860
pozostałe liczby w pełnej notacji wykładniczej.

177
00:08:17,141 --> 00:08:19,517
W tym przypadku mamy już przecinek, 

178
00:08:19,617 --> 00:08:21,443
ale musimy go postawić za pierwszą 

179
00:08:21,543 --> 00:08:23,520
niezerową cyfrą, czyli tutaj.

180
00:08:23,620 --> 00:08:25,905
Przestawimy go o 2 miejsca w lewo,

181
00:08:26,005 --> 00:08:27,296
dlatego tę liczbę 

182
00:08:27,396 --> 00:08:29,581
z nowo postawionym przecinkiem

183
00:08:29,865 --> 00:08:32,817
musimy pomnożyć przez 10 do 2., by otrzymać 

184
00:08:32,917 --> 00:08:35,269
tę samą liczbę, co tutaj.

185
00:08:35,369 --> 00:08:38,437
10 do potęgi drugiej razy 10 do potęgi 7.

186
00:08:38,537 --> 00:08:44,287
to 10 do 9. A tutaj?

187
00:08:45,383 --> 00:08:49,407
Tutaj za przecinkiem będą stały 4 cyfry.

188
00:08:49,819 --> 00:08:52,331
Mamy 10 do 4 razy 10 do 4, 

189
00:08:52,431 --> 00:08:55,038
co ostatecznie daje 10 do 8.

190
00:08:56,056 --> 00:08:58,367
Na samym końcu ten przykład.

191
00:08:59,200 --> 00:09:01,673
Tutaj, po postawieniu przecinka,

192
00:09:01,773 --> 00:09:05,270
 z prawej strony mamy 2 cyfry, czyli 10 do 2.

193
00:09:05,371 --> 00:09:09,375
10 do 2 razy 10 do 3 daje 10 do 5.

194
00:09:09,982 --> 00:09:12,447
Na koniec zróbmy jeszcze jedną rzecz.

195
00:09:12,959 --> 00:09:16,202
Do tych pięciu liczb dopisałem jeszcze jedną:

196
00:09:16,302 --> 00:09:19,103
7 razy 10 do 7.

197
00:09:19,359 --> 00:09:21,631
Spróbuj teraz samodzielnie uszeregować 

198
00:09:21,731 --> 00:09:24,404
wszystkie te liczby zapisane w notacji 

199
00:09:24,504 --> 00:09:27,038
wykładniczej, w kolejności malejącej.

200
00:09:30,128 --> 00:09:32,104
Tak jak mówiliśmy na początku, 

201
00:09:32,204 --> 00:09:33,435
gdy mamy liczby zapisane 

202
00:09:33,535 --> 00:09:34,663
w notacji wykładniczej 

203
00:09:34,764 --> 00:09:36,615
wystarczy porównać wykładniki.

204
00:09:36,857 --> 00:09:39,327
Największy wykładnik jest tutaj.

205
00:09:39,427 --> 00:09:41,119
to 10 do 9.

206
00:09:41,726 --> 00:09:44,959
Następnie tutaj mamy 10 do 8.

207
00:09:46,037 --> 00:09:50,890
Ta liczba oraz ta są pomnożone przez 10 do 7.

208
00:09:50,990 --> 00:09:53,663
Musimy porównać liczbę przed 10.

209
00:09:53,784 --> 00:09:58,271
7 jest większe od 5,601,

210
00:09:58,371 --> 00:10:02,264
czyli ta liczba jest większa od tej liczby.

211
00:10:03,632 --> 00:10:06,463
Potem mamy 10 do potęgi 5

212
00:10:07,684 --> 00:10:09,889
i najmniejsza jest ta liczba 

213
00:10:09,989 --> 00:10:12,350
pomnożona przez 10 do potęgi 4.

214
00:10:12,451 --> 00:10:13,646
Gratulacje!

215
00:10:13,746 --> 00:10:15,185
Zapisywanie dużych liczb 

216
00:10:15,285 --> 00:10:16,605
w notacji wykładniczej 

217
00:10:16,706 --> 00:10:18,558
nie powinno ci już sprawiać problemów.

218
00:10:26,638 --> 00:10:28,806
Notacja wykładnicza pozwala nam 

219
00:10:28,906 --> 00:10:31,549
zapisywać duże liczby w wygodny sposób.

220
00:10:31,649 --> 00:10:33,750
Liczby zapisane w notacji wykładniczej 

221
00:10:33,850 --> 00:10:35,259
łatwo jest porównywać. 

222
00:10:35,359 --> 00:10:37,402
Najpierw porównujemy wykładniki. 

223
00:10:37,503 --> 00:10:39,486
Jeżeli wykładniki są równe, 

224
00:10:39,586 --> 00:10:41,278
to porównujemy czynniki.

225
00:10:45,207 --> 00:10:47,349
Zobaczyłeś właśnie film z playlisty 

226
00:10:47,449 --> 00:10:48,800
o notacji wykładniczej.

227
00:10:48,901 --> 00:10:51,019
Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów 

228
00:10:51,119 --> 00:10:53,129
z tej playlisty, a także do odwiedzenia 

229
00:10:53,229 --> 00:10:56,056
naszej strony internetowej, pistacja.tv.