1
00:00:00,382 --> 00:00:04,705
W 499. roku naszej ery Arjabhata, 

2
00:00:04,805 --> 00:00:07,075
hinduski matematyk i astronom

3
00:00:07,175 --> 00:00:10,124
opisał w swoim dziele "Arjasiddhanta" metodę

4
00:00:10,232 --> 00:00:13,476
znajdowania pierwiastków sześciennych z liczb

5
00:00:13,576 --> 00:00:16,746
wielocyfrowych. Miał wtedy zaledwie 23 lata 

6
00:00:16,846 --> 00:00:19,421
nic więc dziwnego, że jest uznawany 

7
00:00:19,521 --> 00:00:23,038
za jednego z najwybitniejszych w historii Indii.

8
00:00:34,928 --> 00:00:37,756
Matematyk Arjabhata potrafił znajdować

9
00:00:37,856 --> 00:00:41,215
pierwiastki sześcienne z bardzo dużych liczb.

10
00:00:41,471 --> 00:00:46,336
A co z małymi liczbami takim jak 2, 5 czy 7?

11
00:00:46,670 --> 00:00:48,767
Czy da się znaleźć taki pierwiastek 

12
00:00:48,867 --> 00:00:53,247
dla każdej liczby? Zaraz się przekonamy.

13
00:00:53,616 --> 00:00:56,576
Mamy dwie kostki ulepione z plasteliny.

14
00:00:56,832 --> 00:00:58,979
Każda z nich ma objętość równą 

15
00:00:59,079 --> 00:01:01,439
jednemu centymetrowi sześciennemu.

16
00:01:01,819 --> 00:01:05,280
Chcemy z nich ulepić jedną, większą kostkę.

17
00:01:05,423 --> 00:01:07,892
Będzie ona miała objętość 

18
00:01:07,992 --> 00:01:10,655
V równa się 2 cm sześcienne.

19
00:01:10,906 --> 00:01:13,728
Jakie wymiary będzie miała ta kostka?

20
00:01:14,314 --> 00:01:17,518
Aby obliczyć długość krawędzi dużej kostki

21
00:01:17,618 --> 00:01:20,157
potrzebna nam będzie znajomość pierwiastka 

22
00:01:20,257 --> 00:01:23,117
sześciennego z objętości tej kostki 

23
00:01:23,217 --> 00:01:26,013
czyli z dwóch cm sześciennych.

24
00:01:26,328 --> 00:01:28,064
Czy wiesz jaka to liczba?

25
00:01:29,583 --> 00:01:32,272
Pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

26
00:01:32,372 --> 00:01:33,951
to liczba niewymierna.

27
00:01:34,051 --> 00:01:36,383
Dlatego nie potrafimy precyzyjnie 

28
00:01:36,483 --> 00:01:38,905
odpowiedzieć na pytanie, jaka będzie

29
00:01:39,005 --> 00:01:41,127
długość krawędzi naszej kostki.

30
00:01:41,455 --> 00:01:44,167
Jak widzisz, nie z każdej liczby da się 

31
00:01:44,267 --> 00:01:46,495
wyciągnąć pierwiastek sześcienny.

32
00:01:46,643 --> 00:01:49,973
Należy jednak zapamiętać, że każda liczba

33
00:01:50,073 --> 00:01:53,105
ma swój pierwiastek sześcienny i każdy

34
00:01:53,205 --> 00:01:56,979
pierwiastek sześcienny jest liczbą, bo przecież

35
00:01:57,079 --> 00:02:00,574
liczba niewymierna to nadal liczba. Prawda?

36
00:02:05,156 --> 00:02:08,150
Poprzednio zobaczyliśmy, że nie zawsze da się

37
00:02:08,250 --> 00:02:09,841
znaleźć dokładną wartość 

38
00:02:09,941 --> 00:02:11,582
pierwiastka sześciennego.

39
00:02:11,884 --> 00:02:14,656
Czasami jest on liczbą niewymierną.

40
00:02:15,237 --> 00:02:17,895
W takim razie, gdzie na osi liczbowej

41
00:02:17,995 --> 00:02:19,775
znajdzie się taka liczba?

42
00:02:20,578 --> 00:02:24,348
Narysujmy sobie teraz oś i zaznaczmy na niej 

43
00:02:24,448 --> 00:02:27,199
liczby od minus dwóch do sześciu.

44
00:02:27,372 --> 00:02:29,980
Wcześniej mówiliśmy o pierwiastku 

45
00:02:30,080 --> 00:02:32,063
trzeciego stopnia z dwóch.

46
00:02:32,320 --> 00:02:35,561
Jeżeli chcemy ten pierwiastek umieścić na osi

47
00:02:35,661 --> 00:02:38,463
musimy najpierw oszacować jego wartość.

48
00:02:39,232 --> 00:02:41,839
Szacowanie polega na przybliżonym 

49
00:02:41,939 --> 00:02:44,290
określeniu wartości liczby na osi 

50
00:02:44,390 --> 00:02:46,655
lub w przedziale liczbowym.

51
00:02:47,480 --> 00:02:50,006
Najłatwiej to będzie wytłumaczyć

52
00:02:50,106 --> 00:02:51,263
na przykładzie.

53
00:02:51,805 --> 00:02:55,157
Jak myślisz, gdzie na osi będzie się znajdować

54
00:02:55,257 --> 00:02:58,175
nasz pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch?

55
00:03:01,886 --> 00:03:04,556
Na pewno będzie większy od jednego 

56
00:03:04,656 --> 00:03:08,415
czyli od pierwiastka trzeciego stopnia z jednego.

57
00:03:08,516 --> 00:03:11,630
Z drugiej strony nasz szukany pierwiastek 

58
00:03:11,730 --> 00:03:14,040
jest na pewno mniejszy od dwóch 

59
00:03:14,140 --> 00:03:17,630
czyli od pierwiastka trzeciego stopnia z ośmiu.

60
00:03:18,018 --> 00:03:21,142
Dlaczego? Bo porównując pierwiastki

61
00:03:21,242 --> 00:03:24,309
tego samego stopnia, porównujemy liczby 

62
00:03:24,409 --> 00:03:26,898
które znajdują się pod pierwiastkiem.

63
00:03:27,007 --> 00:03:31,710
2 jest większe od 1, ale mniejsze od 8.

64
00:03:32,577 --> 00:03:35,509
Widzimy zatem, że nasz pierwiastek 

65
00:03:35,609 --> 00:03:38,746
znajduje się w przedziale między 1 a 2

66
00:03:38,846 --> 00:03:40,414
czyli gdzieś tutaj.

67
00:03:41,096 --> 00:03:44,347
A jak myślisz, będzie bliżej jedynki

68
00:03:44,447 --> 00:03:46,047
czy bliżej dwójki?

69
00:03:47,366 --> 00:03:51,014
Można spokojnie założyć, że bliżej jedynki

70
00:03:51,424 --> 00:03:55,776
bo dwójka jest bliższa jedynce niż ósemce.

71
00:03:56,191 --> 00:03:58,465
Bardzo ciężko będzie nam wyznaczyć 

72
00:03:58,565 --> 00:04:00,639
odpowiednią wartość samodzielnie

73
00:04:00,896 --> 00:04:03,456
ale możemy się posłużyć kalkulatorem.

74
00:04:04,022 --> 00:04:07,491
Sprawdźmy teraz, ile będzie wynosiła 

75
00:04:07,591 --> 00:04:11,391
przybliżona wartość pierwiastka 3 stopnia

76
00:04:11,491 --> 00:04:13,438
z dwóch. Wynosi tyle.

77
00:04:14,682 --> 00:04:16,768
Weźmy inny przykład.

78
00:04:16,921 --> 00:04:20,607
Pierwiastek trzeciego stopnia z 36.

79
00:04:21,891 --> 00:04:24,855
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

80
00:04:24,955 --> 00:04:27,518
oszacować wartość tego pierwiastka.

81
00:04:32,507 --> 00:04:35,455
Postępujemy analogicznie jak poprzednio.

82
00:04:36,439 --> 00:04:40,950
Pierwiastek trzeciego stopnia z 36 jest mniejszy

83
00:04:41,050 --> 00:04:44,412
od pierwiastka trzeciego stopnia z 64

84
00:04:44,512 --> 00:04:48,685
który jest równy czterem. Jest też większy 

85
00:04:48,785 --> 00:04:52,154
od pierwiastka trzeciego stopnia z 27

86
00:04:52,254 --> 00:04:54,360
który jest równy trzem.

87
00:04:55,847 --> 00:04:59,771
Na osi liczbowej ten pierwiastek możemy zatem

88
00:04:59,871 --> 00:05:03,088
umieścić w przedziale pomiędzy 3 a 4.

89
00:05:04,192 --> 00:05:07,444
Sprawdźmy sobie na kalkulatorze, ile wynosi 

90
00:05:07,544 --> 00:05:10,270
przybliżona wartość tego pierwiastka.

91
00:05:11,772 --> 00:05:13,855
Wynosi ona tyle.

92
00:05:14,535 --> 00:05:17,415
Widzimy więc, że umieściliśmy go 

93
00:05:17,515 --> 00:05:18,974
w dobrym miejscu.

94
00:05:23,055 --> 00:05:25,523
A co w sytuacji, gdy będziemy chcieli 

95
00:05:25,623 --> 00:05:27,718
dodać dwie liczby niewymierne, 

96
00:05:27,818 --> 00:05:29,892
na przykład wspomniany pierwiastek

97
00:05:29,992 --> 00:05:32,644
trzeciego stopnia z 2 i pierwiastek 

98
00:05:32,744 --> 00:05:35,357
trzeciego stopnia z 36?

99
00:05:36,128 --> 00:05:38,356
Czy można dodać do siebie dwie liczby

100
00:05:38,456 --> 00:05:40,770
niewymierne tak samo, jak dodajemy 

101
00:05:40,870 --> 00:05:43,992
na przykład owoce lub liczby naturalne?

102
00:05:46,498 --> 00:05:49,652
Zazwyczaj nie. Sami potrafimy tylko

103
00:05:49,752 --> 00:05:52,282
oszacować wynik takiego dodawania 

104
00:05:52,382 --> 00:05:56,860
w przybliżeniu, ale od czego mamy kalkulator.

105
00:05:57,612 --> 00:06:00,047
Z jego pomocą możemy sprawdzić

106
00:06:00,147 --> 00:06:03,112
ile będzie wynosiła suma pierwiastka 

107
00:06:03,212 --> 00:06:05,651
trzeciego stopnia z dwóch i pierwiastka 

108
00:06:05,751 --> 00:06:08,381
trzeciego stopnia z 36.

109
00:06:08,545 --> 00:06:11,516
Zgodnie z kolejnością wykonywania działań

110
00:06:11,616 --> 00:06:14,389
obliczyliśmy najpierw przybliżoną wartość 

111
00:06:14,489 --> 00:06:16,518
pierwiastka sześciennego z dwóch 

112
00:06:16,618 --> 00:06:18,615
a następnie przybliżoną wartość 

113
00:06:18,715 --> 00:06:21,597
pierwiastka sześciennego z 36.

114
00:06:21,761 --> 00:06:24,513
Później dodaliśmy te przybliżenia.

115
00:06:24,830 --> 00:06:27,581
Przybliżony wynik wynosi tyle.

116
00:06:28,063 --> 00:06:31,423
Liczby naturalne dodaje się dużo łatwiej.

117
00:06:31,523 --> 00:06:35,519
Od razu wiemy, że 1 dodać 3 to 4.

118
00:06:41,454 --> 00:06:44,206
Aby znaleźć długość krawędzi sześcianu, 

119
00:06:44,306 --> 00:06:46,227
kiedy mamy daną jego objętość,

120
00:06:46,327 --> 00:06:49,044
korzystamy z pierwiastka sześciennego.

121
00:06:49,274 --> 00:06:51,262
Czasami nie udaje nam się uzyskać 

122
00:06:51,362 --> 00:06:54,254
dokładnego wyniku, ponieważ dany pierwiastek 

123
00:06:54,354 --> 00:06:57,553
jest liczbą niewymierną. Jeżeli chcemy znać 

124
00:06:57,653 --> 00:06:59,912
jego przybliżenie, możemy spróbować 

125
00:07:00,012 --> 00:07:02,479
go oszacować. Wtedy wiemy, 

126
00:07:02,579 --> 00:07:04,707
w jakim przedziale się znajduje.

127
00:07:04,849 --> 00:07:08,096
Najdokładniejszą wartość poda nam jednak 

128
00:07:08,196 --> 00:07:11,071
kalkulator. Z jego pomocą możemy też 

129
00:07:11,171 --> 00:07:12,920
dodawać albo odejmować 

130
00:07:13,020 --> 00:07:16,217
przybliżone wartości liczb niewymiernych.

131
00:07:16,317 --> 00:07:18,519
Sami nie umiemy tego zrobić.

132
00:07:22,838 --> 00:07:24,609
Obejrzyj pozostałe filmy 

133
00:07:24,709 --> 00:07:26,038
o pierwiastkach sześciennych 

134
00:07:26,138 --> 00:07:28,310
a po więcej materiałów zajrzyj 

135
00:07:28,410 --> 00:07:31,069
na naszą stronę: pistacja.tv