1
00:00:00,683 --> 00:00:02,846
Czy wiesz, że wśród wszystkich 

2
00:00:02,946 --> 00:00:05,916
liczb naturalnych istnieje tylko 7 takich, 

3
00:00:06,016 --> 00:00:08,915
których pierwiastek sześcienny jest równy 

4
00:00:09,015 --> 00:00:11,557
sumie cyfr liczby podpierwiastkowej. 

5
00:00:11,657 --> 00:00:13,820
Szkoda, że nie ma ich więcej...

6
00:00:25,521 --> 00:00:28,928
Mamy pierwiastek sześcienny z 250.

7
00:00:29,069 --> 00:00:31,286
W poprzednim filmie mówiliśmy o tym 

8
00:00:31,386 --> 00:00:33,791
że nie wszystkie pierwiastki sześcienne

9
00:00:33,891 --> 00:00:35,584
są liczbami naturalnymi.

10
00:00:35,733 --> 00:00:38,656
W tym przykładzie mamy taką samą sytuację.

11
00:00:38,756 --> 00:00:41,331
Nie znamy liczby, która pomnożona 

12
00:00:41,431 --> 00:00:43,775
przez siebie trzy razy, da 250.

13
00:00:43,879 --> 00:00:46,393
Spróbujmy zatem zapisać ten przykład

14
00:00:46,493 --> 00:00:48,743
wyciągając jak największy czynnik

15
00:00:48,843 --> 00:00:50,431
przed znak pierwiastka.

16
00:00:52,992 --> 00:00:58,624
Liczbę 250 możemy zapisać jako 125 razy 2.

17
00:00:58,872 --> 00:01:01,171
Wiemy już, że pierwiastek sześcienny 

18
00:01:01,271 --> 00:01:06,835
ze 125 razy 2 to pierwiastek sześcienny ze 125

19
00:01:06,984 --> 00:01:09,374
razy pierwiastek sześcienny z dwóch.

20
00:01:09,632 --> 00:01:12,973
Pierwiastek sześcienny ze 125 wynosi 5

21
00:01:13,073 --> 00:01:15,382
więc ostatecznie zapisujemy

22
00:01:15,482 --> 00:01:19,358
 że nasz pierwiastek trzeciego stopnia z 250

23
00:01:19,460 --> 00:01:22,944
jest równy 5 pierwiastkom trzeciego stopnia z 2.

24
00:01:23,427 --> 00:01:25,006
Taki zabieg nazywamy 

25
00:01:25,106 --> 00:01:27,552
wyłączaniem czynnika przed pierwiastek.

26
00:01:28,064 --> 00:01:30,051
Pozwala on nam zapisać liczbę 

27
00:01:30,151 --> 00:01:31,391
w postaci iloczynu.

28
00:01:31,648 --> 00:01:33,409
Umiejętność ta jest przydatna 

29
00:01:33,509 --> 00:01:35,401
szczególnie wtedy, gdy planujemy 

30
00:01:35,501 --> 00:01:38,047
wykorzystać tę liczbę w innych działaniach.

31
00:01:38,703 --> 00:01:40,096
Teraz taki przykład.

32
00:01:40,219 --> 00:01:43,936
Pierwiastek sześcienny z 448.

33
00:01:44,067 --> 00:01:46,752
Aby było nam łatwiej, zapiszmy z boku

34
00:01:46,852 --> 00:01:49,312
sześciany kolejnych liczb naturalnych.

35
00:01:50,080 --> 00:01:51,616
Teraz możemy już zaczynać.

36
00:01:51,797 --> 00:01:54,130
Na jakie dwie liczby możemy rozłożyć

37
00:01:54,230 --> 00:01:55,967
ten pierwiastek sześcienny?

38
00:01:56,611 --> 00:01:59,040
Zapiszmy po kolei możliwe pary.

39
00:01:59,243 --> 00:02:04,928
Jeden razy 448 równa się 448

40
00:02:05,057 --> 00:02:07,256
ale to nie rozwiązuje naszego problemu.

41
00:02:07,356 --> 00:02:08,672
Szukajmy dalej.

42
00:02:08,772 --> 00:02:13,888
Dwa razy 224 równa się 448

43
00:02:13,988 --> 00:02:17,351
ale, jak widzimy, 224 nie występuje

44
00:02:17,451 --> 00:02:18,751
w naszej tabelce.

45
00:02:20,433 --> 00:02:23,841
Kolejna potencjalna para to 3 razy...

46
00:02:23,941 --> 00:02:26,114
ale nie ma takiej liczby całkowitej 

47
00:02:26,214 --> 00:02:30,345
która pomnożona przez 3 dałaby 448.

48
00:02:30,445 --> 00:02:36,176
Dlaczego? Bo suma cyfr liczby 448 to 16

49
00:02:36,276 --> 00:02:38,975
a 16 nie dzieli się przez trzy.

50
00:02:39,990 --> 00:02:45,120
Dalej mamy 4 razy 112 równa się 448.

51
00:02:45,376 --> 00:02:48,448
Liczby 112 także nie ma na naszej liście.

52
00:02:49,603 --> 00:02:53,267
5 razy co da nam 448?

53
00:02:53,551 --> 00:02:56,149
Taka liczba naturalna nie istnieje 

54
00:02:56,249 --> 00:02:59,966
bo liczba 448 nie dzieli się przez pięć.

55
00:03:00,481 --> 00:03:02,016
6 razy...?

56
00:03:02,463 --> 00:03:06,624
Liczba 448 nie dzieli się również przez 6

57
00:03:06,724 --> 00:03:09,421
bo musiałaby być wtedy podzielna przez 3 

58
00:03:09,521 --> 00:03:10,576
a nie jest.

59
00:03:10,693 --> 00:03:15,840
7 razy 64 równa się 448.

60
00:03:16,057 --> 00:03:18,144
Spójrz tylko, udało nam się.

61
00:03:18,400 --> 00:03:22,496
Rozłożyliśmy właśnie liczbę 448 na dwie liczby

62
00:03:22,596 --> 00:03:24,800
siedem i sześćdziesiąt cztery.

63
00:03:24,936 --> 00:03:28,384
Liczba 64 występuje na naszej liście

64
00:03:28,484 --> 00:03:30,176
jako sześcian liczby cztery.

65
00:03:30,276 --> 00:03:32,715
Zapiszmy zatem już przy naszym przykładzie

66
00:03:32,815 --> 00:03:36,397
że pierwiastek sześcienny z 448 to

67
00:03:36,497 --> 00:03:40,378
pierwiastek sześcienny z 7 razy 64.

68
00:03:41,012 --> 00:03:45,826
Wiemy już, że 64 to 4 do potęgi trzeciej.

69
00:03:45,926 --> 00:03:47,442
Zapisujemy zatem:

70
00:03:47,542 --> 00:03:49,632
Pierwiastek trzeciego stopnia

71
00:03:49,732 --> 00:03:52,960
z 7 razy 4 do potęgi trzeciej.

72
00:03:53,489 --> 00:03:55,688
Dzięki własnościom pierwiastkowania

73
00:03:55,788 --> 00:03:57,795
możemy ten pierwiastek zapisać

74
00:03:57,895 --> 00:04:00,383
jako pierwiastek sześcienny z siedmiu

75
00:04:00,483 --> 00:04:02,984
razy pierwiastek sześcienny z czterech

76
00:04:03,084 --> 00:04:04,736
do potęgi trzeciej.

77
00:04:05,017 --> 00:04:07,442
Pierwiastek trzeciego stopnia z liczby

78
00:04:07,542 --> 00:04:09,461
podniesionej do trzeciej potęgi

79
00:04:09,561 --> 00:04:10,879
to właśnie ta liczba.

80
00:04:10,980 --> 00:04:13,165
Otrzymujemy więc: 4 razy 

81
00:04:13,265 --> 00:04:16,255
pierwiastek trzeciego stopnia z 7.

82
00:04:16,761 --> 00:04:18,882
W takiej sytuacji możemy pominąć 

83
00:04:18,982 --> 00:04:21,185
znak mnożenia i zapisać po prostu: 

84
00:04:21,285 --> 00:04:23,933
cztery pierwiastki trzeciego stopnia z 7.

85
00:04:24,091 --> 00:04:27,006
Zauważ, że te działania nie zawsze są proste.

86
00:04:27,106 --> 00:04:30,050
Sposób na rozwiązywanie takich trudniejszych 

87
00:04:30,150 --> 00:04:32,894
przykładów pokażę ci na następnej planszy.

88
00:04:36,152 --> 00:04:37,948
Czy pamiętasz, jakie liczby 

89
00:04:38,048 --> 00:04:39,316
nazywamy pierwszymi?

90
00:04:42,332 --> 00:04:45,183
Liczby pierwsze, to takie liczby naturalne

91
00:04:45,283 --> 00:04:47,231
które mają dokładnie dwa dzielniki

92
00:04:47,331 --> 00:04:49,279
jedynkę i samą siebie.

93
00:04:49,379 --> 00:04:51,839
Zestaw początkowych liczb pierwszych

94
00:04:52,095 --> 00:04:58,239
To 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 i tak dalej...

95
00:04:59,508 --> 00:05:01,890
Umiejętność rozkładu liczby złożonej 

96
00:05:01,990 --> 00:05:04,124
na czynniki pierwsze wykorzystamy 

97
00:05:04,224 --> 00:05:07,197
do wyłączania czynnika przed znak pierwiastka.

98
00:05:07,299 --> 00:05:09,653
Weźmy znany już z poprzedniej planszy 

99
00:05:09,753 --> 00:05:12,830
pierwiastek trzeciego stopnia z 250.

100
00:05:13,468 --> 00:05:17,439
Zapisujemy liczbę spod pierwiastka, czyli 250

101
00:05:17,695 --> 00:05:19,487
a obok niej - długą kreskę.

102
00:05:19,743 --> 00:05:21,535
Będzie symbolizowała dzielenie.

103
00:05:21,747 --> 00:05:25,119
Wiemy, że 250 dzieli się przez dwa.

104
00:05:25,229 --> 00:05:27,494
Zapisujemy dwójkę po prawej stronie 

105
00:05:27,594 --> 00:05:31,518
a po lewej wynik dzielenia, czyli liczbę 125.

106
00:05:31,742 --> 00:05:35,524
125 nie dzieli się przez 2 ani przez 3

107
00:05:35,624 --> 00:05:37,151
ale dzieli się przez 5.

108
00:05:37,256 --> 00:05:40,735
125 podzielić na 5 to 25.

109
00:05:41,005 --> 00:05:45,599
Wiemy, że 25 dzieli się przez 5. wynik to 5.

110
00:05:45,699 --> 00:05:48,159
Możemy jeszcze 5 podzielić na 5

111
00:05:48,259 --> 00:05:49,695
i otrzymamy jeden.

112
00:05:49,917 --> 00:05:52,966
Zapisujemy więc, że nasz pierwiastek jest 

113
00:05:53,066 --> 00:05:54,798
równy pierwiastkowi sześciennemu 

114
00:05:54,898 --> 00:05:58,398
z 2 razy 5, razy 5, razy 5.

115
00:05:59,796 --> 00:06:01,471
Widzisz coś ciekawego?

116
00:06:02,045 --> 00:06:05,626
5 razy 5 razy 5, to 5 do potęgi trzeciej

117
00:06:05,743 --> 00:06:07,467
więc pod pierwiastkiem mamy 

118
00:06:07,567 --> 00:06:10,173
dwa razy pięć do potęgi trzeciej.

119
00:06:10,541 --> 00:06:12,898
Ostatecznie otrzymujemy, że nasz

120
00:06:12,998 --> 00:06:16,132
pierwiastek z 250 jest równy 5 pierwiastkom

121
00:06:16,232 --> 00:06:17,686
sześciennym z dwóch.

122
00:06:18,187 --> 00:06:20,159
Weźmy teraz nowy przykład.

123
00:06:20,415 --> 00:06:23,487
Pierwiastek sześcienny z 1080.

124
00:06:23,587 --> 00:06:25,684
Spróbuj rozwiązać go samodzielnie tak

125
00:06:25,784 --> 00:06:27,349
jak robiliśmy to przed chwilą

126
00:06:27,449 --> 00:06:28,757
a później sprawdź, 

127
00:06:28,857 --> 00:06:31,166
czy twój wynik zgadza się z moim.

128
00:06:35,196 --> 00:06:36,287
Zaczynamy!

129
00:06:36,512 --> 00:06:40,810
1080 podzielić na 2 to 540.

130
00:06:40,993 --> 00:06:46,424
Dalej: 540 podzielić na 2 to 270.

131
00:06:46,674 --> 00:06:51,538
270 podzielić na 2 to 135.

132
00:06:51,854 --> 00:06:54,836
135 nie dzieli się przez 2, 

133
00:06:54,936 --> 00:06:56,736
ale dzieli się przez 3.

134
00:06:56,837 --> 00:07:00,492
135 podzielić na 3 to 45.

135
00:07:00,592 --> 00:07:04,598
45 podzielić na 3 to 15.

136
00:07:04,932 --> 00:07:11,355
15 podzielić na 3 to 5, a 5 podzielić na 5 to 1.

137
00:07:12,778 --> 00:07:15,724
Wpisujemy nasze czynniki pod pierwiastki

138
00:07:15,824 --> 00:07:18,842
i otrzymujemy, że pierwiastek trzeciego stopnia

139
00:07:18,942 --> 00:07:22,856
z 1080 jest równy pierwiastkowi sześciennemu

140
00:07:22,956 --> 00:07:29,022
z 2 razy 2 razy 2 razy 3 razy 3 razy 3 razy 5.

141
00:07:29,253 --> 00:07:32,607
Widzimy, że jest to 2 do potęgi trzeciej

142
00:07:32,707 --> 00:07:36,191
razy 3 do potęgi trzeciej, razy 5.

143
00:07:36,617 --> 00:07:39,519
Teraz możemy rozdzielić otrzymany wynik

144
00:07:39,619 --> 00:07:41,055
na trzy pierwiastki.

145
00:07:41,155 --> 00:07:43,056
Mamy pierwiastek sześcienny 

146
00:07:43,156 --> 00:07:44,463
z 2 do potęgi trzeciej

147
00:07:44,563 --> 00:07:46,212
razy pierwiastek sześcienny 

148
00:07:46,312 --> 00:07:47,960
z 3 do potęgi trzeciej 

149
00:07:48,060 --> 00:07:50,270
razy pierwiastek sześcienny z pięciu.

150
00:07:50,370 --> 00:07:52,959
Pierwiastek sześcienny z 2 do potęgi trzeciej

151
00:07:53,059 --> 00:07:56,926
to 2, a z 3 do potęgi trzeciej, to 3.

152
00:07:57,124 --> 00:07:59,939
Otrzymujemy 2 razy 3 razy pierwiastek 

153
00:08:00,039 --> 00:08:03,106
trzeciego stopnia z pięciu, a to równa się

154
00:08:03,206 --> 00:08:06,398
sześciu pierwiastkom trzeciego stopnia z 5.

155
00:08:06,936 --> 00:08:09,509
Skracając sobie zapis, możemy po prostu 

156
00:08:09,609 --> 00:08:12,132
zakreślać liczby uzyskane w rozkładzie 

157
00:08:12,232 --> 00:08:14,334
na czynniki, w kółeczka po trzy.

158
00:08:14,632 --> 00:08:16,930
Wtedy od razu otrzymujemy liczby

159
00:08:17,030 --> 00:08:20,379
które będą pod pierwiastkiem w trzeciej potędze

160
00:08:20,479 --> 00:08:22,580
więc można je będzie wyłączyć 

161
00:08:22,680 --> 00:08:24,317
przed znak pierwiastka.

162
00:08:25,044 --> 00:08:28,138
Pozostałe liczby, które nie będą występować 

163
00:08:28,238 --> 00:08:30,974
trójkami, zapisujemy pod pierwiastkiem.

164
00:08:34,339 --> 00:08:35,839
Spójrz na planszę.

165
00:08:35,939 --> 00:08:39,039
Mamy tu pierwiastek sześcienny z 750

166
00:08:39,139 --> 00:08:42,365
dodać pierwiastek sześcienny z sześciu

167
00:08:42,465 --> 00:08:45,565
dodać pierwiastek z sześcienny z 48.

168
00:08:45,667 --> 00:08:47,615
Czy wiesz, jaki będzie wynik?

169
00:08:47,866 --> 00:08:49,599
Nie można dodawać do siebie 

170
00:08:49,699 --> 00:08:51,365
tych pierwiastków, bo mają różne 

171
00:08:51,465 --> 00:08:53,730
liczby podpierwiastkowe, ale możemy 

172
00:08:53,830 --> 00:08:56,379
wyłączyć czynniki przed znaki pierwiastków

173
00:08:56,495 --> 00:08:58,861
i sprawdzić, czy wtedy będziemy mogli 

174
00:08:58,961 --> 00:09:00,667
tę sumę zapisać inaczej.

175
00:09:01,010 --> 00:09:02,409
Zajmijmy się najpierw 

176
00:09:02,509 --> 00:09:05,724
pierwiastkiem sześciennym z 750.

177
00:09:05,891 --> 00:09:10,552
750 podzielić na 2 to 375.

178
00:09:10,652 --> 00:09:13,909
375 nie dzieli się przez 2, 

179
00:09:14,009 --> 00:09:17,685
ale dzieli się przez 3. Otrzymujemy 125.

180
00:09:17,785 --> 00:09:22,217
125 dzieli się przez 5. Mamy 25.

181
00:09:22,642 --> 00:09:25,420
25 podzielić na 5 to 5, 

182
00:09:25,520 --> 00:09:28,827
a 5 podzielić na 5 to jeden.

183
00:09:29,163 --> 00:09:32,159
Teraz pierwiastek trzeciego stopnia z 6

184
00:09:32,512 --> 00:09:35,487
6 podzielić na 2 to 3.

185
00:09:35,810 --> 00:09:39,839
3 podzielić na 3 to jeden. I już.

186
00:09:40,408 --> 00:09:43,935
Teraz pierwiastek sześcienny z 48.

187
00:09:44,035 --> 00:09:48,238
48 dzieli się przez 2, a wynik to 24.

188
00:09:48,454 --> 00:09:52,019
24 podzielić na 2 to 12.

189
00:09:52,436 --> 00:09:56,367
12 znowu dzielimy przez 2 i mamy 6.

190
00:09:56,467 --> 00:09:58,829
Dalej jest jak w poprzednim pierwiastku:

191
00:09:58,929 --> 00:10:03,900
6 podzielić na 2 to 3 i 3 podzielić na 3 to 1.

192
00:10:05,396 --> 00:10:07,778
W każdym z rozłożonych pierwiastków

193
00:10:07,878 --> 00:10:10,394
znajdujemy trójki liczb i zaznaczamy je

194
00:10:10,494 --> 00:10:11,514
w kółeczkach. 

195
00:10:11,614 --> 00:10:15,391
Widzimy, że pierwiastek sześcienny z 750

196
00:10:15,491 --> 00:10:19,485
 to 5 pierwiastków trzeciego stopnia z 2 razy 3.

197
00:10:19,585 --> 00:10:22,588
Dalej mamy pierwiastek sześcienny z 6.

198
00:10:22,691 --> 00:10:24,137
Nie udało nam się znaleźć trzech

199
00:10:24,237 --> 00:10:25,936
takich samych liczb w rozkładzie

200
00:10:26,036 --> 00:10:27,186
dlatego zapisujemy go 

201
00:10:27,286 --> 00:10:30,526
jako pierwiastek sześcienny z 2 razy 3.

202
00:10:30,951 --> 00:10:34,623
Ostatni mamy pierwiastek sześcienny z 48.

203
00:10:34,723 --> 00:10:36,629
Możemy go zapisać jako 

204
00:10:36,729 --> 00:10:39,742
2 pierwiastki sześcienne z 2 razy 3.

205
00:10:40,296 --> 00:10:42,995
W takim zapisie dobrze widać że wszędzie

206
00:10:43,095 --> 00:10:45,511
mamy pierwiastki z tej samej liczby:

207
00:10:45,611 --> 00:10:48,701
dwa razy trzy, czyli sześć.

208
00:10:48,826 --> 00:10:50,726
W takiej sytuacji bez problemu 

209
00:10:50,826 --> 00:10:52,286
możemy wykonać dodawanie.

210
00:10:52,386 --> 00:10:55,871
5 dodać 1 dodać 2 to 8

211
00:10:55,971 --> 00:10:57,919
więc wartość naszego wyrażenia

212
00:10:58,019 --> 00:11:00,991
to 8 pierwiastków sześciennych z sześciu.

213
00:11:05,868 --> 00:11:09,182
W tej lekcji dowiedzieliśmy się, jak wyłączać

214
00:11:09,282 --> 00:11:11,715
czynnik przed pierwiastek sześcienny.

215
00:11:11,865 --> 00:11:14,226
Wyłączanie czynnika zawsze ułatwia

216
00:11:14,326 --> 00:11:17,133
a czasem wręcz umożliwia dalsze działania

217
00:11:17,233 --> 00:11:20,445
na liczbach, które mieliśmy pod pierwiastkiem.

218
00:11:23,243 --> 00:11:24,748
Obejrzyj pozostałe filmy 

219
00:11:24,848 --> 00:11:26,540
o pierwiastkach sześciennych

220
00:11:26,641 --> 00:11:29,723
a po więcej materiałów zajrzyj na naszą stronę

221
00:11:29,823 --> 00:11:33,037
pistacja.tv