1
00:00:00,256 --> 00:00:03,585
Na początku pięciolinii zawsze znajduje się 

2
00:00:03,685 --> 00:00:07,167
odpowiedni klucz, który określa położenie nut.

3
00:00:07,936 --> 00:00:09,951
Najpopularniejsze klucze to 

4
00:00:10,051 --> 00:00:12,287
klucz wiolinowy i klucz basowy.

5
00:00:12,800 --> 00:00:15,522
Jeżeli obie linie melodyczne mają być

6
00:00:15,622 --> 00:00:18,943
zagrane jednocześnie, to spina się je klamrą.

7
00:00:19,456 --> 00:00:21,749
Podobnej klamry matematycy używają 

8
00:00:21,849 --> 00:00:23,807
do zapisywania układów równań.

9
00:00:38,656 --> 00:00:40,448
Mamy następujące zadanie.

10
00:00:42,240 --> 00:00:45,339
Janek wraz z kolegą kupili w sklepie

11
00:00:45,439 --> 00:00:49,151
dwa batoniki i cztery paczki gumy do żucia.

12
00:00:50,176 --> 00:00:52,480
Razem zapłacili 10 zł.

13
00:00:54,528 --> 00:00:56,832
Czy jesteśmy w stanie stwierdzić

14
00:00:57,088 --> 00:00:58,880
ile kosztuje jeden batonik

15
00:00:59,136 --> 00:01:00,672
i jedna paczka gumy?

16
00:01:02,464 --> 00:01:05,315
Sprawdźmy, jakie dane zostały podane

17
00:01:05,415 --> 00:01:06,815
 w naszym zadaniu.

18
00:01:08,352 --> 00:01:11,424
Wiemy, że chłopcy kupili dwa batoniki.

19
00:01:12,192 --> 00:01:16,288
Jeżeli cenę jednego batonika oznaczymy jako b

20
00:01:17,568 --> 00:01:21,152
to za dwa batoniki należy zapłacić 2b.

21
00:01:21,408 --> 00:01:25,504
Wiemy też, że kupili 4 paczki gumy do żucia.

22
00:01:26,016 --> 00:01:28,832
Jeżeli cenę jednej paczki gumy do żucia

23
00:01:29,088 --> 00:01:33,026
oznaczymy jako p, to za cztery paczki

24
00:01:33,126 --> 00:01:35,231
 należy zapłacić 4p.

25
00:01:36,768 --> 00:01:39,584
Za to wszystko zapłacili 10 złotych.

26
00:01:40,864 --> 00:01:43,680
Czy wiesz, jak zapisać to za pomocą równania?

27
00:01:46,496 --> 00:01:48,032
Cena dwóch batoników

28
00:01:48,544 --> 00:01:50,592
i czterech paczek gum do żucia

29
00:01:51,104 --> 00:01:53,920
ma nam łącznie dać 10 złotych.

30
00:01:55,200 --> 00:01:59,309
Zauważ, że otrzymaliśmy jedno równanie

31
00:01:59,490 --> 00:02:04,671
z dwoma niewiadomymi: b oraz p.

32
00:02:05,696 --> 00:02:08,768
Jeżeli jeden batonik kosztuje złotówkę

33
00:02:10,560 --> 00:02:14,400
to dwa batoniki będą kosztowały 2 złote.

34
00:02:16,192 --> 00:02:20,640
W takim razie cztery paczki gumy do żucia

35
00:02:20,740 --> 00:02:23,103
 będą kosztowały 8 zł.

36
00:02:26,176 --> 00:02:30,545
Skoro 4p równa się 8, to ile wynosi p?

37
00:02:30,893 --> 00:02:32,832
Czy znasz odpowiedź na to pytanie?

38
00:02:37,696 --> 00:02:39,744
Wtedy p równa się 2.

39
00:02:42,048 --> 00:02:44,096
Czy jest to jedyne rozwiązanie?

40
00:02:46,144 --> 00:02:49,216
Co jeśli batonik kosztuje 3 złote?

41
00:02:53,056 --> 00:02:56,896
Wtedy dwa batoniki kosztują 6 zł.

42
00:03:00,224 --> 00:03:02,528
Wtedy cztery paczki gumy do żucia

43
00:03:03,552 --> 00:03:07,136
Kosztują 10 minus 6, czyli 4 złote.

44
00:03:09,440 --> 00:03:11,744
Skoro 4p wynosi 4

45
00:03:12,256 --> 00:03:13,792
to ile równa się p?

46
00:03:14,564 --> 00:03:15,779
Czy wiesz?

47
00:03:16,096 --> 00:03:18,107
Jeśli tak, zapisz odpowiedź

48
00:03:18,207 --> 00:03:20,447
 a później porównaj ją z moją.

49
00:03:24,391 --> 00:03:25,936
P równa się 1.

50
00:03:28,128 --> 00:03:30,695
Czy jesteś w stanie podać inne liczby

51
00:03:30,795 --> 00:03:33,503
które są rozwiązaniem naszego równania?

52
00:03:36,832 --> 00:03:39,136
Takich liczb jest bardzo dużo.

53
00:03:39,919 --> 00:03:42,740
Zauważ, że nie jesteśmy w stanie 

54
00:03:42,840 --> 00:03:45,052
podać jedynego rozwiązania.

55
00:03:46,444 --> 00:03:49,310
Potrzebujemy dodatkowych informacji.

56
00:03:51,424 --> 00:03:54,966
Dodatkowo wiemy, że następnego dnia 

57
00:03:55,066 --> 00:03:59,057
Janek kupił jeden batonik i jedną paczkę 

58
00:03:59,157 --> 00:04:03,198
gumy do żucia. Za wszystko zapłacił 3 zł.

59
00:04:03,712 --> 00:04:06,784
Jeden batonik kosztował b

60
00:04:08,064 --> 00:04:12,160
a jedna paczka gumy do żucia kosztowała p.

61
00:04:13,534 --> 00:04:15,872
Zapiszmy to za pomocą równania.

62
00:04:18,303 --> 00:04:23,423
Otrzymujemy, że b plus p równa się 3.

63
00:04:24,191 --> 00:04:26,751
Jakie liczby są rozwiązaniem tego równania?

64
00:04:27,775 --> 00:04:32,461
Jeżeli batonik kosztował złotówkę, to paczka 

65
00:04:32,561 --> 00:04:37,247
gumy będzie kosztowała 3 minus 1, czyli 2 zł.

66
00:04:37,759 --> 00:04:42,463
Natomiast, jeżeli batonik kosztuje 2 zł

67
00:04:42,563 --> 00:04:47,998
to 1 paczka gumy kosztuje 3 minus 2, czyli 1.

68
00:04:49,791 --> 00:04:53,828
Zauważ, że tak, jak w poprzednim przypadku

69
00:04:53,953 --> 00:04:55,929
nie jesteśmy w stanie podać 

70
00:04:56,082 --> 00:05:00,841
jedynego rozwiązania, ale tym razem 

71
00:05:00,941 --> 00:05:07,453
mamy dwa równania i dwie niewiadome: b i p.

72
00:05:08,563 --> 00:05:11,779
To oznacza, że rozwiązaniem całego 

73
00:05:11,879 --> 00:05:15,325
naszego zadania będzie taka para liczb

74
00:05:15,425 --> 00:05:19,244
która jest rozwiązaniem zarówno pierwszego

75
00:05:19,344 --> 00:05:21,533
jak i drugiego równania.

76
00:05:23,583 --> 00:05:25,375
Czy widzisz tę parę liczb?

77
00:05:30,495 --> 00:05:32,287
Będzie to taka para liczb

78
00:05:32,799 --> 00:05:36,383
która powtarza się jednocześnie tutaj i tutaj.

79
00:05:39,455 --> 00:05:45,114
Rozwiązaniem będzie b równe 1 i p równe 2.

80
00:05:47,903 --> 00:05:51,743
Zauważ, że rozwiązaliśmy układ dwóch równań

81
00:05:53,279 --> 00:05:56,351
2b plus 4p równa się 10

82
00:05:56,863 --> 00:05:59,679
oraz b plus p równa się 3.

83
00:06:03,062 --> 00:06:06,847
Układy równań spinane są klamerką.

84
00:06:10,451 --> 00:06:14,198
Zapamiętaj: rozwiązaniem układu równań 

85
00:06:14,298 --> 00:06:15,806
jest para liczb.

86
00:06:16,319 --> 00:06:20,415
W tym przypadku b równe 1 i p równe 2.

87
00:06:24,255 --> 00:06:27,071
Oto kolejne zadanie.

88
00:06:28,607 --> 00:06:31,935
Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 14

89
00:06:32,447 --> 00:06:35,007
a ich różnica wynosi 6.

90
00:06:36,233 --> 00:06:37,819
Jakie to liczby?

91
00:06:40,127 --> 00:06:46,015
Pierwszą liczbę oznaczmy jako x, a drugą jako y.

92
00:06:47,039 --> 00:06:48,943
Przyjrzyjmy się, jakie dane 

93
00:06:49,043 --> 00:06:50,878
są podane w naszym zadaniu.

94
00:06:51,391 --> 00:06:54,719
Wiemy, że suma tych liczb wynosi 14.

95
00:06:56,255 --> 00:07:01,072
Skoro jedna z nich to x, a druga z nich to y

96
00:07:01,172 --> 00:07:05,214
to suma tych dwóch liczb to x plus y.

97
00:07:07,691 --> 00:07:10,850
Wiemy też, że ich różnica wynosi 6.

98
00:07:14,857 --> 00:07:19,295
Różnica tych dwóch liczb, to x minus y.

99
00:07:20,575 --> 00:07:22,367
Zatrzymaj teraz film

100
00:07:23,391 --> 00:07:25,951
ułóż odpowiedni układ dwóch równań

101
00:07:26,207 --> 00:07:28,511
i porównaj swój wynik z moim.

102
00:07:33,119 --> 00:07:35,935
Czy otrzymałeś taki sam układ równań?

103
00:07:37,219 --> 00:07:38,399
Zobacz

104
00:07:38,751 --> 00:07:42,211
Suma dwóch liczb, czyli x plus y

105
00:07:42,311 --> 00:07:44,126
ma się równać 14.

106
00:07:44,895 --> 00:07:46,175
To pierwsze równanie.

107
00:07:47,199 --> 00:07:52,575
Różnica dwóch liczb: x minus y ma wynosić 6.

108
00:07:53,599 --> 00:07:54,879
To drugie równanie.

109
00:07:56,751 --> 00:07:59,854
Pamiętaj, że rozwiązaniem układu równań

110
00:07:59,954 --> 00:08:01,278
 jest para liczb.

111
00:08:02,559 --> 00:08:05,119
Można je zapisać w następujący sposób:

112
00:08:08,959 --> 00:08:12,543
pierwsza liczba w nawiasie to jedna niewiadoma

113
00:08:13,311 --> 00:08:16,639
druga liczba w nawiasie to druga niewiadoma.

114
00:08:17,151 --> 00:08:18,943
Tak, jak w poprzednim przykładzie

115
00:08:19,277 --> 00:08:21,515
wypiszmy przykładowe rozwiązania

116
00:08:21,615 --> 00:08:23,806
pierwszego oraz drugiego równania.

117
00:08:25,855 --> 00:08:28,671
Przykładowe rozwiązania pierwszego równania

118
00:08:28,927 --> 00:08:33,975
to pary liczb: x równe 2, y równe 12

119
00:08:34,075 --> 00:08:37,798
albo x równe 10 i y równe 4

120
00:08:37,898 --> 00:08:42,238
albo x równe 8 i y równe 6.

121
00:08:44,031 --> 00:08:46,591
Przykładowe rozwiązania drugiego równania

122
00:08:47,103 --> 00:08:51,334
to pary liczb: x równe 10, y równe 4

123
00:08:51,459 --> 00:08:56,113
albo x równe 16, y równe 10

124
00:08:56,213 --> 00:08:59,902
albo x równe 8, y równe 2.

125
00:09:01,695 --> 00:09:04,255
Rozwiązaniem całego układu równań

126
00:09:04,767 --> 00:09:08,491
będzie taka para liczb, która powtarza się 

127
00:09:08,591 --> 00:09:10,910
jednocześnie tutaj i tutaj.

128
00:09:12,447 --> 00:09:13,727
Jakie to liczby?

129
00:09:17,979 --> 00:09:22,751
To oczywiście x równe 10 oraz y równe 4.

130
00:09:23,711 --> 00:09:25,907
Ta para liczb jest rozwiązaniem

131
00:09:26,007 --> 00:09:27,550
naszego układu równań.

132
00:09:28,575 --> 00:09:32,798
Zauważ, że 10 plus 4 daje 14

133
00:09:32,898 --> 00:09:36,510
a 10 minus 4 daje nam 6.

134
00:09:42,911 --> 00:09:45,366
Układy równań pozwalają nam znaleźć 

135
00:09:45,466 --> 00:09:48,080
rozwiązania zadań, w których występuje 

136
00:09:48,180 --> 00:09:50,078
więcej niż jedna niewiadoma.

137
00:09:55,711 --> 00:09:58,786
Zachęcam cię do zobaczenia kolejnych filmów

138
00:09:58,886 --> 00:10:01,598
z playlisty dotyczącej układów równań.

139
00:10:02,111 --> 00:10:05,299
Zasubskrybuj również nasz kanał.