1
00:00:00,096 --> 00:00:01,920
Oto dwie wagi z owocami.

2
00:00:02,021 --> 00:00:03,258
Przerzućmy zawartość

3
00:00:03,258 --> 00:00:04,680
jednej z nich na drugą.

4
00:00:04,921 --> 00:00:07,666
Na każdej szalce jest teraz jedno jabłko.

5
00:00:07,666 --> 00:00:09,036
Jeżeli je zabierzemy

6
00:00:09,080 --> 00:00:11,270
to waga pozostanie w równowadze.

7
00:00:11,310 --> 00:00:14,020
W prosty sposób zwolniliśmy jedną wagę

8
00:00:14,066 --> 00:00:16,290
i zdobyliśmy dwa jabłka na deser.

9
00:00:16,370 --> 00:00:18,260
Jak to wytłumaczyć matematycznie

10
00:00:18,261 --> 00:00:20,324
dowiesz się z tego filmu.

11
00:00:31,554 --> 00:00:33,602
Oto zadanie na dobry początek.

12
00:00:34,656 --> 00:00:36,960
Suma dwóch liczb wynosi 5

13
00:00:37,482 --> 00:00:40,042
a ich różnica wynosi 9.

14
00:00:40,810 --> 00:00:42,090
Jakie to liczby?

15
00:00:43,410 --> 00:00:45,458
Ciężko to rozwiązać w pamięci.

16
00:00:45,824 --> 00:00:48,640
Dlatego utwórzmy odpowiedni układ równań.

17
00:00:50,006 --> 00:00:51,566
Jak będzie wyglądał?

18
00:00:53,324 --> 00:00:55,240
Oznaczyłem dwie szukane liczby

19
00:00:55,240 --> 00:00:57,520
poprzez x i y.

20
00:00:58,198 --> 00:01:00,246
Ich suma równa się 5.

21
00:01:01,004 --> 00:01:03,308
A ich różnica 9.

22
00:01:04,518 --> 00:01:06,410
Wiesz już, jak rozwiązywać

23
00:01:06,451 --> 00:01:09,386
układ równań metodą podstawiania.

24
00:01:10,320 --> 00:01:13,136
Teraz pokażę Ci inną metodę.

25
00:01:14,286 --> 00:01:15,560
Jak pamiętasz

26
00:01:15,842 --> 00:01:17,890
każde równanie ma dwie strony.

27
00:01:18,432 --> 00:01:19,432
Lewą

28
00:01:20,450 --> 00:01:21,474
oraz prawą.

29
00:01:23,296 --> 00:01:24,576
Lewa strona

30
00:01:25,138 --> 00:01:27,442
jest równa prawej stronie równania.

31
00:01:30,012 --> 00:01:31,548
W układach równań

32
00:01:31,904 --> 00:01:34,720
równania możemy dodawać stronami.

33
00:01:36,512 --> 00:01:39,584
Dodajemy lewą stronę pierwszego równania

34
00:01:40,096 --> 00:01:42,144
do lewej strony drugiego równania.

35
00:01:43,510 --> 00:01:44,534
Tak samo

36
00:01:44,670 --> 00:01:46,718
postępujemy z prawymi stronami.

37
00:01:48,776 --> 00:01:49,776
Zobacz sam.

38
00:01:52,645 --> 00:01:53,701
Na początku

39
00:01:53,701 --> 00:01:55,880
lewa strona pierwszego równania.

40
00:01:56,350 --> 00:01:58,310
x dodać y.

41
00:01:59,160 --> 00:02:00,100
Dodajemy do niej

42
00:02:00,100 --> 00:02:02,159
lewą stronę drugiego równania

43
00:02:02,430 --> 00:02:04,950
czyli x minus y.

44
00:02:05,600 --> 00:02:08,360
Lewe strony muszą równać się prawym

45
00:02:09,320 --> 00:02:14,380
czyli 5 sumujemy z dziewiątką.

46
00:02:16,960 --> 00:02:19,264
Uporządkujmy otrzymane równanie.

47
00:02:20,288 --> 00:02:21,312
Zauważ

48
00:02:21,568 --> 00:02:23,872
że y nam się skrócą.

49
00:02:25,664 --> 00:02:28,736
x dodać x to 2x

50
00:02:31,046 --> 00:02:33,606
a 5 plus 9 to 14.

51
00:02:35,136 --> 00:02:37,260
Skoro 2x wynosi 14

52
00:02:37,690 --> 00:02:39,664
to ile wynosi x?

53
00:02:42,300 --> 00:02:43,836
x będzie równe 7.

54
00:02:45,442 --> 00:02:47,234
A ile będzie wynosić y?

55
00:02:50,306 --> 00:02:52,354
y będzie równe -2.

56
00:02:53,824 --> 00:02:55,104
Sprawdź to sam.

57
00:02:57,660 --> 00:02:59,880
Właśnie rozwiązaliśmy układ równań

58
00:02:59,920 --> 00:03:02,628
metodą przeciwnych współczynników.

59
00:03:03,296 --> 00:03:04,296
Zobacz.

60
00:03:04,632 --> 00:03:05,980
Jeśli przy niewiadomych

61
00:03:05,980 --> 00:03:08,316
masz przeciwne współczynniki

62
00:03:08,542 --> 00:03:10,590
to dodawaj równania stronami.

63
00:03:11,534 --> 00:03:14,094
Wtedy zostanie Ci tylko jedno równanie

64
00:03:14,400 --> 00:03:16,070
z jedną niewiadomą.

65
00:03:16,910 --> 00:03:19,550
Pamiętaj, zadbaj o to

66
00:03:19,861 --> 00:03:22,340
aby jedna niewiadoma się skróciła.

67
00:03:22,788 --> 00:03:25,604
Inaczej nie uda Ci się rozwiązać zadania.

68
00:03:31,712 --> 00:03:33,504
Oto drugi układ równań.

69
00:03:34,082 --> 00:03:36,386
x plus y równa się 4

70
00:03:37,088 --> 00:03:39,904
oraz x równa się 8 plus y.

71
00:03:40,160 --> 00:03:42,800
Pozornie te równania nie nadają się

72
00:03:42,800 --> 00:03:45,279
na metodę przeciwnych współczynników.

73
00:03:45,552 --> 00:03:46,832
Czy aby na pewno?

74
00:03:47,690 --> 00:03:49,890
Przenieśmy y z drugiego równania

75
00:03:50,141 --> 00:03:51,780
na lewą stronę.

76
00:03:51,936 --> 00:03:53,216
Aby to zrobić

77
00:03:53,528 --> 00:03:55,832
należy odjąć y stronami.

78
00:03:56,620 --> 00:03:57,944
Co otrzymamy?

79
00:03:59,270 --> 00:04:00,806
Po przekształceniu

80
00:04:00,962 --> 00:04:03,522
drugie równanie wygląda następująco:

81
00:04:04,290 --> 00:04:06,850
x minus y równa się 8.

82
00:04:08,672 --> 00:04:11,488
Zauważ, że w obu równaniach

83
00:04:11,714 --> 00:04:15,042
przy y występują przeciwne współczynniki.

84
00:04:15,910 --> 00:04:18,213
Dodajmy teraz równania stronami

85
00:04:18,625 --> 00:04:20,417
tak jak w poprzednim przypadku.

86
00:04:21,381 --> 00:04:23,483
Co otrzymasz po lewej stronie?

87
00:04:27,695 --> 00:04:29,231
Suma lewych stron

88
00:04:29,527 --> 00:04:33,367
to x plus y dodać x minus y.

89
00:04:34,477 --> 00:04:36,269
Natomiast po prawej stronie

90
00:04:36,791 --> 00:04:39,095
otrzymamy 4 dodać 8.

91
00:04:40,425 --> 00:04:43,497
Zauważ, że w otrzymanym równaniu

92
00:04:43,889 --> 00:04:45,425
y się zredukuje.

93
00:04:47,839 --> 00:04:50,143
Uporządkujmy otrzymane równanie.

94
00:04:52,733 --> 00:04:55,805
x dodać x to 2x

95
00:04:56,543 --> 00:04:59,615
a 4 dodać 8 to 12.

96
00:05:01,055 --> 00:05:03,359
Skoro 2x wynosi 12

97
00:05:03,455 --> 00:05:04,991
to ile wynosi x?

98
00:05:06,597 --> 00:05:09,925
12 przez 2, czyli 6.

99
00:05:11,255 --> 00:05:13,303
Trzeba jedynie wyliczyć y.

100
00:05:14,147 --> 00:05:17,780
Wystarczy podstawić szóstkę w miejsce x

101
00:05:17,780 --> 00:05:20,726
w pierwszym albo w drugim równaniu.

102
00:05:24,161 --> 00:05:26,977
y jest równe -2.

103
00:05:27,263 --> 00:05:28,963
Sprawdź to sam.

104
00:05:36,795 --> 00:05:38,260
Oprócz przenoszenia liczb

105
00:05:38,260 --> 00:05:39,410
albo niewiadomych

106
00:05:39,410 --> 00:05:41,859
z jednej strony równania na drugą

107
00:05:42,051 --> 00:05:43,270
można również mnożyć

108
00:05:43,270 --> 00:05:44,831
równania przez liczby.

109
00:05:45,469 --> 00:05:46,469
Zobacz.

110
00:05:46,719 --> 00:05:48,767
W pierwszym równaniu mamy 2x

111
00:05:49,289 --> 00:05:50,313
oraz y

112
00:05:50,825 --> 00:05:54,409
a w drugim y oraz -x.

113
00:05:55,333 --> 00:05:56,760
Jeżeli dodamy do siebie

114
00:05:56,760 --> 00:05:58,359
te równania stronami

115
00:05:58,385 --> 00:05:59,875
to żadna z niewiadomych

116
00:05:59,875 --> 00:06:01,521
nam się nie zredukuje.

117
00:06:01,813 --> 00:06:03,150
Nie będziemy mogli użyć

118
00:06:03,150 --> 00:06:05,497
metody przeciwnych współczynników.

119
00:06:06,853 --> 00:06:11,170
Ale zauważ, możemy obustronnie

120
00:06:11,651 --> 00:06:14,881
pomnożyć drugie równanie przez 2.

121
00:06:15,551 --> 00:06:17,855
Wtedy otrzymamy -2x

122
00:06:18,367 --> 00:06:20,640
które zredukuje się z 2x

123
00:06:20,871 --> 00:06:22,563
z pierwszego równania.

124
00:06:25,335 --> 00:06:26,695
Po przemnożeniu

125
00:06:26,740 --> 00:06:29,475
drugie równanie wygląda następująco:

126
00:06:30,249 --> 00:06:34,601
2y minus 2x równa się 6.

127
00:06:35,645 --> 00:06:36,669
Pamiętaj

128
00:06:37,055 --> 00:06:39,359
gdy mnożysz równanie przez liczbę

129
00:06:39,359 --> 00:06:40,894
musisz pomnożyć przez nią

130
00:06:40,894 --> 00:06:42,787
obie strony tego równania.

131
00:06:43,275 --> 00:06:44,555
Zarówno lewą

132
00:06:45,017 --> 00:06:46,041
jak i prawą.

133
00:06:47,361 --> 00:06:48,790
Możemy już wykorzystać

134
00:06:48,821 --> 00:06:51,115
metodę przeciwnych współczynników.

135
00:06:51,793 --> 00:06:53,073
Zatrzymaj film.

136
00:06:53,585 --> 00:06:55,633
Wyznacz x oraz y

137
00:06:55,759 --> 00:06:57,917
i porównaj swój wynik z moim.

138
00:07:02,299 --> 00:07:04,091
Po dodaniu lewych stron

139
00:07:04,317 --> 00:07:06,877
otrzymujemy 2x plus y

140
00:07:07,635 --> 00:07:09,939
dodać 2y minus 2x.

141
00:07:10,597 --> 00:07:13,157
Ma to się równać 9 plus 6.

142
00:07:16,223 --> 00:07:19,295
x się zredukują.

143
00:07:20,671 --> 00:07:22,463
Po lewej stronie równania

144
00:07:22,965 --> 00:07:24,757
otrzymamy 3y

145
00:07:26,333 --> 00:07:28,381
a po prawej 15.

146
00:07:31,709 --> 00:07:32,733
W takim razie

147
00:07:33,933 --> 00:07:37,005
y równa się 5.

148
00:07:37,657 --> 00:07:39,449
Aby wyznaczyć x

149
00:07:40,087 --> 00:07:41,623
należy wstawić piątkę

150
00:07:41,939 --> 00:07:44,499
w miejsce y w pierwszym równaniu

151
00:07:45,197 --> 00:07:46,993
albo w drugim równaniu.

152
00:07:49,885 --> 00:07:51,165
Ile wynosi x?

153
00:07:55,979 --> 00:07:57,515
x równa się 2.

154
00:07:59,337 --> 00:08:02,665
Zauważ, 2 razy 2 to 4.

155
00:08:03,313 --> 00:08:06,485
Po dodaniu pięciu, otrzymujemy 9.

156
00:08:07,283 --> 00:08:09,813
Pierwsze równanie jest spełnione.

157
00:08:11,821 --> 00:08:14,125
Jeśli od pięciu odejmiemy 2

158
00:08:14,747 --> 00:08:16,283
otrzymamy 3.

159
00:08:16,961 --> 00:08:20,033
Drugie równanie również jest spełnione.

160
00:08:22,397 --> 00:08:24,189
Rozwiązaniem układu równań

161
00:08:24,255 --> 00:08:25,569
jest para liczb

162
00:08:26,207 --> 00:08:27,597
y równe 5

163
00:08:27,989 --> 00:08:29,525
i x równe 2.

164
00:08:31,593 --> 00:08:32,593
Pamiętaj

165
00:08:33,139 --> 00:08:34,750
gdy korzystasz z metody

166
00:08:34,750 --> 00:08:36,836
przeciwnych współczynników

167
00:08:36,879 --> 00:08:38,299
jedna z niewiadomych

168
00:08:38,365 --> 00:08:39,901
musi Ci się skrócić.

169
00:08:46,019 --> 00:08:48,000
Rozwiązywanie układu równań

170
00:08:48,061 --> 00:08:51,043
metodą przeciwnych współczynników

171
00:08:51,185 --> 00:08:52,890
polega na dodawaniu do siebie

172
00:08:52,890 --> 00:08:56,505
osobno lewych i prawych stron obu równań.

173
00:08:57,655 --> 00:08:59,240
Przy takim dodawaniu

174
00:08:59,280 --> 00:09:02,047
jedna z niewiadomych musi się skrócić.

175
00:09:05,611 --> 00:09:06,781
Był to kolejny film

176
00:09:06,781 --> 00:09:08,597
poświęcony układom równań.

177
00:09:08,597 --> 00:09:10,098
Zachęcam Cię do zobaczenia

178
00:09:10,098 --> 00:09:12,188
innych filmów z tej playlisty i do

179
00:09:12,188 --> 00:09:15,285
odwiedzenia naszej strony internetowej.