1
00:00:00,156 --> 00:00:01,687
Wśród wielu interesujących

2
00:00:01,687 --> 00:00:03,418
przedstawicieli świata liczb

3
00:00:03,418 --> 00:00:06,043
można wyróżnić liczby palindromiczne.

4
00:00:06,400 --> 00:00:08,939
Są to takie liczby, które czytane od lewej

5
00:00:09,039 --> 00:00:11,776
i od prawej strony są jednakowe.

6
00:00:12,088 --> 00:00:14,784
Co ciekawe, każda liczba palindromiczna

7
00:00:14,884 --> 00:00:17,257
o parzystej liczbie cyfr jest podzielna

8
00:00:17,257 --> 00:00:20,068
przez 11 — sprawdź to samemu!

9
00:00:32,568 --> 00:00:34,816
Na początku mamy takie zadanie:

10
00:00:35,128 --> 00:00:37,599
znajdź dwie liczby, których suma

11
00:00:37,699 --> 00:00:40,904
wynosi 15, a różnica 7.

12
00:00:42,496 --> 00:00:44,588
Czego szukamy w danym zadaniu?

13
00:00:47,104 --> 00:00:48,840
Szukamy dwóch liczb.

14
00:00:50,176 --> 00:00:51,400
Jakich liczb?

15
00:00:51,712 --> 00:00:54,286
Takich, których suma wynosi 15

16
00:00:54,286 --> 00:00:56,520
a różnica 7.

17
00:00:56,988 --> 00:00:59,712
Skoro szukamy dwóch liczb, to trzeba

18
00:00:59,712 --> 00:01:02,554
wprowadzić dwie odpowiednie niewiadome.

19
00:01:02,554 --> 00:01:05,068
Ja wykorzystam następujące oznaczenie:

20
00:01:05,280 --> 00:01:08,552
literą p oznaczę pierwszą liczbę

21
00:01:08,864 --> 00:01:11,468
a literą d — drugą liczbę.

22
00:01:11,680 --> 00:01:15,620
Wiemy, że suma tych dwóch liczb wynosi 15.

23
00:01:15,776 --> 00:01:18,636
Jak zapisać sumę liczb p i d?

24
00:01:21,208 --> 00:01:23,712
To będzie oczywiście p plus d.

25
00:01:25,248 --> 00:01:27,752
Różnica tych liczb wynosi 7.

26
00:01:28,576 --> 00:01:31,336
Jak zapisać różnicę liczb p i d?

27
00:01:33,084 --> 00:01:36,200
To będzie oczywiście p minus d.

28
00:01:36,382 --> 00:01:38,847
Zatrzymaj teraz film i spróbuj ułożyć

29
00:01:38,847 --> 00:01:40,908
odpowiedni układ równań.

30
00:01:41,056 --> 00:01:43,282
Potem porównaj go z moim.

31
00:01:47,320 --> 00:01:49,810
Suma tych dwóch liczb wynosi 15

32
00:01:49,910 --> 00:01:52,072
to nasze pierwsze równanie.

33
00:01:52,540 --> 00:01:55,220
A różnica tych dwóch liczb wynosi 7

34
00:01:55,220 --> 00:01:57,049
pamiętaj, aby oba równania

35
00:01:57,149 --> 00:01:59,752
w układzie równań, spinać klamerką!

36
00:02:00,632 --> 00:02:03,315
Zatrzymaj teraz film ponownie i spróbuj

37
00:02:03,315 --> 00:02:05,998
rozwiązać samodzielnie ten układ równań

38
00:02:06,098 --> 00:02:08,712
następnie porównaj swój wynik z moim.

39
00:02:11,896 --> 00:02:14,536
Zauważ, że przy d w obu równaniach

40
00:02:14,636 --> 00:02:17,160
stoją przeciwne współczynniki.

41
00:02:17,428 --> 00:02:19,000
Dlatego wykorzystam metodę

42
00:02:19,100 --> 00:02:20,672
przeciwnych współczynników

43
00:02:20,771 --> 00:02:23,204
i dodaję oba równania stronami.

44
00:02:26,744 --> 00:02:28,580
Otrzymuję takie równanie.

45
00:02:30,840 --> 00:02:34,056
Zauważ, że d nam się skróci.

46
00:02:35,448 --> 00:02:36,956
Po uproszczeniu otrzymuję

47
00:02:36,956 --> 00:02:39,944
że 2p równa się 22.

48
00:02:40,412 --> 00:02:42,310
Aby policzyć p, należy teraz

49
00:02:42,410 --> 00:02:44,808
podzielić obustronnie przez 2.

50
00:02:45,432 --> 00:02:47,624
p równa się 11.

51
00:02:48,248 --> 00:02:51,976
Suma p i d ma nam dać 15.

52
00:02:52,544 --> 00:02:54,948
Skoro p równa się 11

53
00:02:55,104 --> 00:02:58,888
to d będzie równe 15 minus 11

54
00:02:59,000 --> 00:03:00,168
czyli 4.

55
00:03:00,792 --> 00:03:02,984
Oto nasze dwie szukane liczby:

56
00:03:03,608 --> 00:03:06,056
11 i 4.

57
00:03:06,680 --> 00:03:09,184
Ich suma wynosi 15

58
00:03:09,220 --> 00:03:10,956
a ich różnica 7.

59
00:03:16,684 --> 00:03:18,600
Oto kolejne zadanie.

60
00:03:18,968 --> 00:03:21,748
Cyfra dziesiątek liczby dwucyfrowej

61
00:03:21,748 --> 00:03:25,456
jest 2 razy mniejsza od cyfry jedności.

62
00:03:25,980 --> 00:03:28,976
Jeżeli cyfry tej liczby przestawimy to

63
00:03:28,976 --> 00:03:33,036
otrzymamy liczbę o 27 większą od szukanej.

64
00:03:33,504 --> 00:03:35,084
Znajdź tę liczbę.

65
00:03:35,296 --> 00:03:37,288
Czego szukamy w danym zadaniu?

66
00:03:38,624 --> 00:03:41,128
Szukamy pewnej liczby dwucyfrowej.

67
00:03:42,364 --> 00:03:44,201
Możesz pomyśleć, że skoro szukamy

68
00:03:44,201 --> 00:03:46,518
jednej liczby to będziemy mieć jedną

69
00:03:46,518 --> 00:03:49,320
niewiadomą, ale tak nie jest.

70
00:03:49,788 --> 00:03:51,880
O czym mówi treść zadania?

71
00:03:52,192 --> 00:03:54,596
Jest mowa o cyfrze dziesiątek

72
00:03:54,752 --> 00:03:57,000
i o cyfrze jedności danej liczby.

73
00:03:57,212 --> 00:03:59,621
To oznacza, że naszymi niewiadomymi

74
00:03:59,721 --> 00:04:01,263
będą cyfra dziesiątek

75
00:04:01,363 --> 00:04:03,856
i cyfra jedności szukanej liczby

76
00:04:04,280 --> 00:04:06,528
a nie sama liczba jako całość.

77
00:04:07,096 --> 00:04:10,980
Literą d oznaczę cyfrę dziesiątek

78
00:04:11,704 --> 00:04:14,820
a literą j — cyfrę jedności.

79
00:04:14,976 --> 00:04:17,011
Jak zapisać liczbę dwucyfrową

80
00:04:17,111 --> 00:04:19,783
jako sumę dziesiątek i jedności?

81
00:04:21,019 --> 00:04:24,035
Pokażmy to na przykładzie liczby 28.

82
00:04:25,215 --> 00:04:28,487
Cyfrą dziesiątek jest w tym wypadku 2

83
00:04:28,855 --> 00:04:31,615
a cyfrą jedności 8.

84
00:04:32,951 --> 00:04:36,479
28 możemy zapisać w następujący sposób

85
00:04:37,815 --> 00:04:41,699
że jest to 2 razy 10 dodać 8

86
00:04:42,111 --> 00:04:44,103
czyli 20 dodać 8.

87
00:04:44,671 --> 00:04:47,302
Dwójka jest cyfrą dziesiątek

88
00:04:47,402 --> 00:04:50,503
a ósemka cyfrą jedności.

89
00:04:51,895 --> 00:04:53,887
Każdą liczbę dwucyfrową

90
00:04:54,043 --> 00:04:56,291
możesz zapisać w takiej postaci.

91
00:04:56,959 --> 00:04:59,387
Cyfra dziesiątek razy 10

92
00:04:59,387 --> 00:05:01,511
dodać cyfra jedności.

93
00:05:01,723 --> 00:05:05,507
W zadaniu jest mowa o przestawieniu cyfr.

94
00:05:05,663 --> 00:05:08,735
Jeśli przestawimy cyfry w liczbie 28

95
00:05:08,991 --> 00:05:11,495
to otrzymamy liczbę 82.

96
00:05:12,319 --> 00:05:14,804
Zauważ, że cyfra jedności — 8

97
00:05:15,054 --> 00:05:17,739
stała się teraz cyfrą dziesiątek.

98
00:05:18,363 --> 00:05:21,123
Natomiast cyfra dziesiątek, czyli 2

99
00:05:21,279 --> 00:05:23,527
stała się teraz cyfrą jedności.

100
00:05:24,407 --> 00:05:27,779
82 również możemy zapisać w taki sposób

101
00:05:28,303 --> 00:05:32,231
że jest to 8 razy 10 dodać 2.

102
00:05:33,311 --> 00:05:34,889
8 jest cyfrą jedności

103
00:05:34,989 --> 00:05:37,663
naszej pierwotnej liczby — 28

104
00:05:38,075 --> 00:05:40,385
Natomiast 2 jest cyfrą dziesiątek

105
00:05:40,485 --> 00:05:42,471
naszej pierwotnej liczby.

106
00:05:44,375 --> 00:05:46,879
Jeśli teraz w miejsce dwójki

107
00:05:47,191 --> 00:05:49,283
podstawimy literę d

108
00:05:50,463 --> 00:05:52,255
a w miejsce ósemki

109
00:05:52,411 --> 00:05:54,403
podstawimy literę j

110
00:05:55,583 --> 00:05:57,575
to otrzymamy 2 równania.

111
00:05:58,967 --> 00:06:00,647
Oto te 2 równania.

112
00:06:02,551 --> 00:06:04,697
Skoro wiemy już jak zapisać liczbę

113
00:06:04,697 --> 00:06:08,583
dwucyfrową jako sumę dziesiątek i jedności

114
00:06:08,775 --> 00:06:09,985
uporządkujemy zebrane

115
00:06:09,985 --> 00:06:12,359
dotychczas dane w jednej tabeli.

116
00:06:12,735 --> 00:06:15,751
Dotychczasowe informacje zebraliśmy tutaj.

117
00:06:18,223 --> 00:06:19,966
Czas ułożyć układ równań.

118
00:06:20,066 --> 00:06:22,450
Wiemy, że cyfra dziesiątek liczby

119
00:06:22,450 --> 00:06:24,506
dwucyfrowej jest 2 razy mniejsza

120
00:06:24,506 --> 00:06:26,147
od cyfry jedności.

121
00:06:26,559 --> 00:06:28,863
Jak to zapisać w postaci równania?

122
00:06:31,479 --> 00:06:33,727
Równanie wygląda następująco

123
00:06:34,239 --> 00:06:36,593
cyfra dziesiątek jest 2 razy

124
00:06:36,693 --> 00:06:39,047
mniejsza od cyfry jedności.

125
00:06:39,515 --> 00:06:42,786
Wiemy też, że po przestawieniu cyfr

126
00:06:42,786 --> 00:06:44,579
w tej liczbie dwucyfrowej

127
00:06:44,735 --> 00:06:48,263
otrzymamy liczbę o 27 większą od szukanej.

128
00:06:48,475 --> 00:06:50,823
Zastanówmy się, jak to zapisać.

129
00:06:51,547 --> 00:06:53,133
Po przestawieniu cyfr

130
00:06:53,133 --> 00:06:55,331
otrzymamy liczbę daną równaniem:

131
00:06:56,055 --> 00:06:58,347
10j plus d.

132
00:06:59,895 --> 00:07:02,595
Nasza pierwotna liczba jest opisana

133
00:07:02,595 --> 00:07:06,027
równaniem 10d plus j.

134
00:07:07,675 --> 00:07:10,801
Wiemy, że ta liczba jest większa

135
00:07:10,801 --> 00:07:12,839
o 27 od tej.

136
00:07:13,407 --> 00:07:15,399
To również trzeba dopisać.

137
00:07:17,815 --> 00:07:20,063
Otrzymaliśmy nasz układ równań.

138
00:07:22,267 --> 00:07:23,813
Zatrzymaj teraz film

139
00:07:23,813 --> 00:07:25,895
i rozwiąż go samodzielnie.

140
00:07:26,463 --> 00:07:29,223
Potem porównaj swój wynik z moim.

141
00:07:33,431 --> 00:07:35,998
Ja wykorzystam metodę podstawiania

142
00:07:36,098 --> 00:07:38,649
i w miejsce d do drugiego równania

143
00:07:38,649 --> 00:07:41,099
podstawię 1/2j.

144
00:07:42,135 --> 00:07:45,407
Otrzymuję 10j plus 1/2j

145
00:07:45,563 --> 00:07:51,595
równa się 10 razy 1/2j dodać j dodać 27.

146
00:07:51,595 --> 00:07:53,843
Teraz upraszam drugie równanie.

147
00:07:54,423 --> 00:07:58,507
10j dodać 1/2j to 10,5j.

148
00:07:58,975 --> 00:08:02,303
10 razy 1/2j to 5j.

149
00:08:02,559 --> 00:08:05,831
Dodać j daje w rezultacie 6j.

150
00:08:06,711 --> 00:08:09,555
Teraz obustronnie odejmuję 6j

151
00:08:10,165 --> 00:08:11,611
w drugim równaniu.

152
00:08:11,631 --> 00:08:13,015
W ten sposób pozbędę się

153
00:08:13,015 --> 00:08:15,915
niewiadomej z prawej strony równania.

154
00:08:16,127 --> 00:08:20,067
Otrzymuję, że 4,5j równa się 27.

155
00:08:20,223 --> 00:08:22,035
Aby wyliczyć teraz j

156
00:08:22,035 --> 00:08:23,551
muszę podzielić obustronnie

157
00:08:23,551 --> 00:08:25,699
drugie równanie przez 4,5.

158
00:08:28,315 --> 00:08:31,431
Ostatecznie j równa się 6.

159
00:08:32,155 --> 00:08:37,831
Skoro d to 1/2j to d równa się 3.

160
00:08:38,299 --> 00:08:41,315
Cyfra dziesiątek naszej liczby to 3

161
00:08:41,471 --> 00:08:44,231
a cyfra jedności to 6.

162
00:08:45,055 --> 00:08:47,103
Czy to koniec naszego zadania?

163
00:08:48,539 --> 00:08:52,323
Nie! Mieliśmy znaleźć liczbę dwucyfrową.

164
00:08:55,251 --> 00:08:56,651
Jaka liczba dwucyfrowa

165
00:08:56,751 --> 00:08:58,651
ma cyfrę dziesiątek 3

166
00:08:58,752 --> 00:09:00,871
a cyfrę jedności 6?

167
00:09:01,183 --> 00:09:03,431
To oczywiście 36!

168
00:09:03,999 --> 00:09:06,247
To jest nasza szukana liczba.

169
00:09:12,503 --> 00:09:14,835
Liczbę dwucyfrową możemy zapisać

170
00:09:14,935 --> 00:09:17,667
jako sume dziesiątek i jedności.

171
00:09:17,667 --> 00:09:19,435
Dowolna liczba dwucyfrowa

172
00:09:19,435 --> 00:09:21,763
to cyfra dziesiątek razy 10

173
00:09:21,975 --> 00:09:23,711
dodać cyfra jedności.

174
00:09:24,535 --> 00:09:26,935
Liczba o 2 mniejsza od x

175
00:09:27,035 --> 00:09:28,875
to x minus 2.

176
00:09:29,087 --> 00:09:32,459
A liczba 2 razy większa od x to 2x.

177
00:09:35,799 --> 00:09:38,103
Był to kolejny film z playlisty

178
00:09:38,103 --> 00:09:39,578
o zadaniach tekstowych

179
00:09:39,578 --> 00:09:41,831
wykorzystujących układy równań.

180
00:09:42,087 --> 00:09:43,479
Zachęcam Cię do zobaczenia

181
00:09:43,479 --> 00:09:45,671
innych filmów z tej playlisty

182
00:09:45,671 --> 00:09:48,394
oraz do zasubskrybowania naszego kanału

183
00:09:48,394 --> 00:09:51,299
na Youtubie — PistacjaMatematyka!