1
00:00:00,668 --> 00:00:02,835
Jeśli ktoś z was kiedykolwiek wątpił

2
00:00:02,835 --> 00:00:04,436
że matematyka jest piękna

3
00:00:04,436 --> 00:00:06,096
z pewnością nigdy nie słyszał

4
00:00:06,096 --> 00:00:07,548
o krzywych Lissajous.

5
00:00:07,548 --> 00:00:09,622
Pokazują one ruch punktu, który drga

6
00:00:09,632 --> 00:00:11,537
w dwóch prostopadłych kierunkach.

7
00:00:11,537 --> 00:00:12,715
W zależności od tego

8
00:00:12,715 --> 00:00:14,456
jak szybkie są te drgania

9
00:00:14,456 --> 00:00:15,848
powstaje cały zestaw

10
00:00:15,908 --> 00:00:17,518
niesamowitych krzywych.

11
00:00:17,534 --> 00:00:18,866
Kilka przykładowych

12
00:00:18,866 --> 00:00:20,746
możesz podziwiać na ekranie.

13
00:00:32,166 --> 00:00:33,713
Do tej pory wielokrotnie

14
00:00:33,713 --> 00:00:35,906
zajmowaliśmy się wykresami funkcji.

15
00:00:36,664 --> 00:00:39,224
Teraz spróbujemy stworzyć taki wykres.

16
00:00:40,514 --> 00:00:43,330
Mamy funkcję opisaną następującym wzorem:

17
00:00:43,882 --> 00:00:46,698
y równa się x plus 3.

18
00:00:48,962 --> 00:00:51,010
Jak można to inaczej odczytać?

19
00:00:51,316 --> 00:00:52,877
Każdemu argumentowi

20
00:00:52,887 --> 00:00:55,744
przypisujemy liczbę o 3 większą.

21
00:00:56,672 --> 00:00:58,208
Czyli x plus 3.

22
00:00:59,006 --> 00:01:00,286
Nasze y.

23
00:01:00,808 --> 00:01:02,325
Spróbujemy teraz narysować

24
00:01:02,325 --> 00:01:03,804
wykres tej funkcji.

25
00:01:03,830 --> 00:01:06,162
Wybierzmy przykładowe argumenty.

26
00:01:06,172 --> 00:01:07,025
Na początek

27
00:01:07,025 --> 00:01:08,810
niech x będzie równe zero.

28
00:01:11,866 --> 00:01:13,914
Ile będzie wynosiło y?

29
00:01:14,838 --> 00:01:16,630
y jest większe o 3.

30
00:01:16,956 --> 00:01:19,516
Czyli do zera musimy dodać 3.

31
00:01:21,966 --> 00:01:23,502
y równa się 3.

32
00:01:25,580 --> 00:01:27,870
Nanieśmy punkt o współrzędnych

33
00:01:27,870 --> 00:01:28,710
zero oraz 3

34
00:01:28,880 --> 00:01:30,942
na nasz układ współrzędnych.

35
00:01:30,952 --> 00:01:32,642
Ten punkt będzie tutaj.

36
00:01:34,570 --> 00:01:38,154
Obliczmy teraz y, dla x równego 1.

37
00:01:40,870 --> 00:01:44,454
To będzie 1 plus 3, czyli 4.

38
00:01:46,040 --> 00:01:48,185
Zaznaczę teraz punkt o współrzędnych

39
00:01:48,215 --> 00:01:51,316
1 oraz 4, w układzie współrzędnych.

40
00:01:52,204 --> 00:01:53,228
Jest tutaj.

41
00:01:53,956 --> 00:01:57,796
A ile wynosi y dla x równego minus 1?

42
00:01:58,850 --> 00:02:02,946
Wtedy y to minus 1 plus 3, czyli 2.

43
00:02:03,980 --> 00:02:06,589
Punkt o współrzędnych minus 1 oraz 2

44
00:02:06,619 --> 00:02:09,510
również naniosłem na układ współrzędnych.

45
00:02:09,580 --> 00:02:11,183
Zauważ, że te punkty

46
00:02:11,203 --> 00:02:12,966
leżą na jednej prostej.

47
00:02:14,732 --> 00:02:15,506
Naniosę teraz

48
00:02:15,516 --> 00:02:17,542
jeszcze więcej takich punktów.

49
00:02:18,446 --> 00:02:21,284
Odpowiednio dla:

50
00:02:21,284 --> 00:02:25,540
x równego 2, x równego 3

51
00:02:26,260 --> 00:02:28,539
x równego minus 2

52
00:02:28,539 --> 00:02:31,220
i x równego minus 3.

53
00:02:32,446 --> 00:02:33,952
Zatrzymaj teraz film

54
00:02:34,102 --> 00:02:36,256
i oblicz współrzędne y

55
00:02:36,342 --> 00:02:38,134
dla takich współrzędnych x.

56
00:02:39,052 --> 00:02:40,964
Nanieś te punkty na wykres

57
00:02:41,040 --> 00:02:43,122
i porównaj swój wynik z moim.

58
00:02:46,456 --> 00:02:49,238
Dla x równego 2, y jest równe

59
00:02:49,268 --> 00:02:51,199
2 dodać 3, czyli 5.

60
00:02:51,259 --> 00:02:52,572
Należy nanieść punkt

61
00:02:52,572 --> 00:02:54,512
o współrzędnych 2 i 5.

62
00:02:55,938 --> 00:02:57,818
Czyli ten właśnie punkt.

63
00:03:00,280 --> 00:03:03,134
Dla x równego 3, y jest równy

64
00:03:03,174 --> 00:03:05,359
3 dodać 3, czyli 6.

65
00:03:05,519 --> 00:03:09,400
Punkt o współrzędnych 3 i 6, jest tutaj.

66
00:03:10,846 --> 00:03:12,931
Dla x równego minus 2

67
00:03:12,931 --> 00:03:14,122
y jest równe

68
00:03:14,152 --> 00:03:16,387
minus 2 plus 3, czyli 1.

69
00:03:16,467 --> 00:03:19,318
Punkt o współrzędnych minus 2 i 1

70
00:03:19,318 --> 00:03:20,268
jest tutaj.

71
00:03:20,986 --> 00:03:23,160
A dla x równego minus 3

72
00:03:23,160 --> 00:03:24,294
y jest równe

73
00:03:24,324 --> 00:03:26,392
minus 3 dodać 3, czyli zero.

74
00:03:27,260 --> 00:03:29,303
Nasz ostatni punkt

75
00:03:29,303 --> 00:03:31,800
ma współrzędne minus 3 i 0.

76
00:03:31,990 --> 00:03:32,886
Zobacz.

77
00:03:33,018 --> 00:03:35,295
Wszystkie naniesione przez nas punkty

78
00:03:35,325 --> 00:03:37,542
wyraźnie leżą na jednej prostej.

79
00:03:39,192 --> 00:03:41,784
Połączmy je zatem jedną prostą.

80
00:03:41,924 --> 00:03:44,602
Otrzymaliśmy wykres naszej funkcji.

81
00:03:44,684 --> 00:03:46,732
Jaki kształt ma ten wykres?

82
00:03:48,870 --> 00:03:50,150
To linia prosta.

83
00:03:53,508 --> 00:03:56,239
Nasza funkcja należy do tak zwanych

84
00:03:56,269 --> 00:03:57,634
funkcji liniowych.

85
00:03:58,698 --> 00:04:01,167
Funkcje liniowe to takie funkcje

86
00:04:01,207 --> 00:04:03,854
których wykres jest linią prostą.

87
00:04:08,602 --> 00:04:10,297
Wiesz już, jak można tworzyć

88
00:04:10,297 --> 00:04:11,644
wykresy funkcji.

89
00:04:13,024 --> 00:04:15,158
Mamy funkcję opisaną wzorem:

90
00:04:15,474 --> 00:04:19,057
y równa się 1/2x minus 1.

91
00:04:19,925 --> 00:04:21,721
Teraz zadanie dla Ciebie.

92
00:04:22,169 --> 00:04:23,996
Samodzielnie wybierz kilka

93
00:04:24,046 --> 00:04:27,083
przykładowych argumentów, czyli x.

94
00:04:28,057 --> 00:04:30,628
Wyznacz odpowiadające im wartości

95
00:04:30,738 --> 00:04:31,677
czyli y.

96
00:04:32,439 --> 00:04:34,159
I nanieś odpowiednie punkty

97
00:04:34,189 --> 00:04:35,941
na układ współrzędnych.

98
00:04:36,645 --> 00:04:38,949
Potem narysuj wykres tej funkcji.

99
00:04:43,005 --> 00:04:44,212
Na początku wybieram

100
00:04:44,212 --> 00:04:46,275
kilka przykładowych argumentów

101
00:04:46,275 --> 00:04:48,973
dla których obliczę wartość funkcji.

102
00:04:51,137 --> 00:04:54,628
U mnie to będzie x równe minus 4

103
00:04:54,628 --> 00:04:56,265
x równe minus 2

104
00:04:57,055 --> 00:05:00,689
x równe zero, x równe 2

105
00:05:00,689 --> 00:05:03,059
oraz x równe 4.

106
00:05:05,599 --> 00:05:07,868
Teraz podstawiam kolejno te liczby

107
00:05:07,868 --> 00:05:10,917
w miejsce x do naszego wzoru i obliczam

108
00:05:10,947 --> 00:05:13,675
odpowiednie wartości funkcji, czyli y.

109
00:05:14,147 --> 00:05:16,617
Dla x równego minus 4

110
00:05:16,617 --> 00:05:18,499
y jest równy minus 3.

111
00:05:19,287 --> 00:05:21,778
Dla x równego minus 2

112
00:05:21,778 --> 00:05:24,151
y również wynosi minus 2.

113
00:05:24,929 --> 00:05:27,097
Dla x równego zero

114
00:05:27,097 --> 00:05:29,025
y jest równe minus 1.

115
00:05:29,803 --> 00:05:31,723
Dla x równego 2

116
00:05:31,723 --> 00:05:33,643
y jest równe zero.

117
00:05:34,105 --> 00:05:36,436
A dla x równego 4

118
00:05:36,436 --> 00:05:37,945
y wynosi 1.

119
00:05:38,813 --> 00:05:41,438
Teraz nanoszę punkty o odpowiednich

120
00:05:41,448 --> 00:05:45,079
współrzędnych na nasz układ współrzędnych.

121
00:05:48,069 --> 00:05:50,664
Pierwszy punkt ma współrzędne

122
00:05:50,664 --> 00:05:52,185
minus 4, minus 3.

123
00:05:52,315 --> 00:05:55,927
Drugi minus 2, minus 2.

124
00:05:55,953 --> 00:05:59,043
Trzeci zero i minus 1.

125
00:05:59,219 --> 00:06:02,322
Czwarty 2 oraz zero

126
00:06:02,502 --> 00:06:05,437
a ostatni 4 i 1.

127
00:06:06,105 --> 00:06:09,655
Jak widzisz, naniesione przeze mnie punkty

128
00:06:09,665 --> 00:06:12,003
układają się w jedną prostą.

129
00:06:13,549 --> 00:06:15,604
Teraz wystarczy je połączyć.

130
00:06:15,654 --> 00:06:18,041
Otrzymaliśmy wykres naszej funkcji.

131
00:06:18,965 --> 00:06:20,757
I jest to linia prosta.

132
00:06:21,781 --> 00:06:23,788
To oznacza, że nasza funkcja

133
00:06:24,338 --> 00:06:26,203
jest funkcją liniową.

134
00:06:26,811 --> 00:06:27,779
Pamiętaj!

135
00:06:28,101 --> 00:06:30,311
Funkcja liniowa to taka funkcja

136
00:06:30,331 --> 00:06:32,971
której wykresem jest linia prosta.

137
00:06:39,751 --> 00:06:41,314
Powiedzieliśmy wcześniej

138
00:06:41,314 --> 00:06:43,954
że funkcja liniowa to taka funkcja

139
00:06:43,954 --> 00:06:46,215
której wykres jest linią prostą.

140
00:06:46,799 --> 00:06:49,871
Ten wykres jest wykresem funkcji liniowej.

141
00:06:51,241 --> 00:06:53,033
Ponieważ jest to linia prosta.

142
00:06:53,495 --> 00:06:56,199
Ten wykres również jest wykresem

143
00:06:56,229 --> 00:06:57,535
funkcji liniowej.

144
00:06:58,203 --> 00:06:59,367
Prosta pozioma

145
00:06:59,407 --> 00:07:02,003
również jest wykresem funkcji liniowej.

146
00:07:02,139 --> 00:07:02,911
Zobacz.

147
00:07:02,947 --> 00:07:04,635
Dla każdego argumentu

148
00:07:04,635 --> 00:07:06,865
czyli dla dowolnego x

149
00:07:06,865 --> 00:07:09,413
przyjmuje jedną wartość.

150
00:07:09,859 --> 00:07:12,982
Równą w tym przypadku minus 5.

151
00:07:13,052 --> 00:07:15,719
Mówiąc ogólnie, każda prosta

152
00:07:15,719 --> 00:07:18,393
narysowana w układzie współrzędnych

153
00:07:18,423 --> 00:07:20,838
będzie wykresem funkcji liniowej.

154
00:07:20,958 --> 00:07:22,448
Z jednym wyjątkiem.

155
00:07:22,508 --> 00:07:24,750
Czy prosta pionowa może być

156
00:07:24,750 --> 00:07:26,719
wykresem funkcji liniowej?

157
00:07:27,829 --> 00:07:29,731
Przecież jest to linia prosta.

158
00:07:29,877 --> 00:07:32,949
Ale zauważ jedną bardzo ważną rzecz.

159
00:07:33,145 --> 00:07:35,705
Naniosę teraz kilka punktów na ten wykres.

160
00:07:36,307 --> 00:07:38,099
Oto przykładowe punkty.

161
00:07:39,083 --> 00:07:41,135
Co można o nich powiedzieć?

162
00:07:41,899 --> 00:07:45,291
Wszystkie mają taką samą współrzędną x

163
00:07:45,413 --> 00:07:47,717
ale różne współrzędne y.

164
00:07:48,163 --> 00:07:50,973
To oznacza, że na jeden argument

165
00:07:51,033 --> 00:07:52,615
w tym przypadku 2

166
00:07:52,675 --> 00:07:55,095
przypadają różne wartości.

167
00:07:55,949 --> 00:07:58,509
Takie przyporządkowanie nie jest funkcją.

168
00:07:59,543 --> 00:08:01,043
Funkcja przyporządkowuje

169
00:08:01,043 --> 00:08:02,848
jednemu argumentowi

170
00:08:02,848 --> 00:08:05,015
dokładnie jedną wartość.

171
00:08:05,923 --> 00:08:09,451
Tutaj, argumentowi x równe 2

172
00:08:09,531 --> 00:08:11,360
przyporządkowaliśmy ich

173
00:08:11,360 --> 00:08:13,325
nieskończenie wiele.

174
00:08:14,833 --> 00:08:18,029
To oznacza, że prosta pionowa

175
00:08:18,639 --> 00:08:21,563
w ogóle nie jest wykresem funkcji.

176
00:08:22,553 --> 00:08:24,857
Zapamiętaj ten bardzo ważny fakt.

177
00:08:31,543 --> 00:08:33,337
Wykresem funkcji liniowej

178
00:08:33,367 --> 00:08:34,867
jest linia prosta.

179
00:08:36,211 --> 00:08:37,296
Każda linia prosta

180
00:08:37,296 --> 00:08:39,546
narysowana w układzie współrzędnych

181
00:08:39,546 --> 00:08:40,961
jest wykresem funkcji.

182
00:08:41,763 --> 00:08:43,811
Za wyjątkiem prostej pionowej.

183
00:08:44,569 --> 00:08:48,409
Prosta pionowa nie jest wykresem funkcji.

184
00:08:52,003 --> 00:08:54,100
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

185
00:08:54,140 --> 00:08:57,169
z playlisty dotyczącej własności funkcji.

186
00:08:57,921 --> 00:09:00,490
Zachęcam Cię do zobaczenia innych filmów

187
00:09:00,510 --> 00:09:02,664
z tej playlisty oraz do odwiedzenia

188
00:09:02,664 --> 00:09:06,004
naszej strony internetowej pistacja.tv