1
00:00:00,512 --> 00:00:04,352
Kto i bada, i liczy, myśliciel to wielki.

2
00:00:04,608 --> 00:00:07,936
Mylić się zwykł jednakże matematyk wszelki.

3
00:00:08,704 --> 00:00:11,008
Ot, taki ciekawy wierszyk o matematyce

4
00:00:11,520 --> 00:00:14,145
ale z tego filmu dowiesz się, jakie jest

5
00:00:14,245 --> 00:00:16,218
głębsze powiązanie tego wiersza

6
00:00:16,318 --> 00:00:18,943
z matematyką i okręgami w szczególności.

7
00:00:30,208 --> 00:00:33,247
Być może wiesz o tym, że aby dobrać oponę

8
00:00:33,347 --> 00:00:36,763
do koła rowerowego, trzeba znać jego średnicę.

9
00:00:36,864 --> 00:00:38,340
Średnicę kół rowerowych

10
00:00:38,440 --> 00:00:40,447
zwyczajowo podaje się w calach.

11
00:00:40,704 --> 00:00:42,496
Jest to inna jednostka długości.

12
00:00:42,752 --> 00:00:45,396
Przyjmijmy, że średnica naszego koła wynosi

13
00:00:45,496 --> 00:00:49,919
28 cali, albo mówiąc inaczej, 77 cm.

14
00:00:50,688 --> 00:00:53,775
Jak myślisz, jaka będzie średnica opony

15
00:00:53,875 --> 00:00:56,319
gdy średnica koła wynosi 71 cm?

16
00:00:56,832 --> 00:00:58,291
Będzie taka sama.

17
00:00:59,136 --> 00:01:02,558
Zauważ, że opona rowerowa to pewien okrąg.

18
00:01:02,658 --> 00:01:05,286
Jak pamiętasz, obwód koła stanowi

19
00:01:05,386 --> 00:01:08,427
długość okręgu. Zmierzmy w takim razie

20
00:01:08,527 --> 00:01:09,799
obwód tego koła.

21
00:01:10,144 --> 00:01:14,982
W naszym przypadku ten obwód to 223 cm.

22
00:01:15,145 --> 00:01:17,043
Gdybyśmy teraz rozcięli oponę

23
00:01:17,143 --> 00:01:19,429
i ją rozprostowali, to miałaby ona

24
00:01:19,529 --> 00:01:21,918
długość 223 cm.

25
00:01:22,176 --> 00:01:25,009
Spróbujmy teraz policzyć stosunek obwodu

26
00:01:25,109 --> 00:01:27,387
do średnicy, czyli mówiąc inaczej

27
00:01:27,487 --> 00:01:29,599
dzielimy obwód przez średnicę.

28
00:01:30,624 --> 00:01:35,744
To 223 przez 71, czyli około 3,14.

29
00:01:36,256 --> 00:01:38,304
Czy otrzymaliśmy coś wyjątkowego?

30
00:01:38,560 --> 00:01:41,572
Ot, zwykła liczba, 3 i 14 setnych.

31
00:01:42,144 --> 00:01:44,568
Ale teraz weźmy jakiś inny, okrągły przedmiot

32
00:01:44,668 --> 00:01:45,983
i zróbmy tak samo.

33
00:01:46,496 --> 00:01:47,776
Weźmy ten zegarek.

34
00:01:48,800 --> 00:01:50,592
Zmierzmy jego średnicę.

35
00:01:51,104 --> 00:01:53,152
To 15,5 centymetra.

36
00:01:53,664 --> 00:01:55,456
Zmierzmy również jego obwód.

37
00:01:56,224 --> 00:02:00,075
To 48 i 7/10 cm. I znowu wyznaczamy

38
00:02:00,175 --> 00:02:02,045
stosunek obwodu do średnicy.

39
00:02:03,136 --> 00:02:05,952
Tym razem mamy dokładniejsze pomiary

40
00:02:06,208 --> 00:02:08,256
czyli uzyskaliśmy dokładniejszy wynik

41
00:02:08,512 --> 00:02:11,072
3 i 142 tysięczne.

42
00:02:11,584 --> 00:02:14,307
Zauważ, że uzyskaliśmy niemal identyczny

43
00:02:14,407 --> 00:02:16,387
wynik, chociaż mierzyliśmy dwa

44
00:02:16,487 --> 00:02:18,239
zupełnie różne przedmioty.

45
00:02:19,776 --> 00:02:22,533
Okazuje się, że w każdym kole 

46
00:02:22,633 --> 00:02:25,621
i w każdym okręgu stosunek obwodu

47
00:02:25,721 --> 00:02:28,478
do średnicy zawsze jest stały.

48
00:02:28,992 --> 00:02:32,785
Matematycy oznaczają tę liczbę grecką literą Pi.

49
00:02:33,088 --> 00:02:35,648
Jestem pewien, że kiedyś o niej słyszałeś.

50
00:02:36,672 --> 00:02:37,952
Ile wynosi pi?

51
00:02:38,720 --> 00:02:40,256
Nie potrafimy tego powiedzieć.

52
00:02:40,512 --> 00:02:42,048
Jest liczbą niewymierną.

53
00:02:42,816 --> 00:02:44,731
W zadaniach najczęściej wykorzystywać

54
00:02:44,831 --> 00:02:48,405
będziemy jej przybliżenia: albo 3 i 14 setnych

55
00:02:48,505 --> 00:02:50,383
albo 22/7.

56
00:02:50,752 --> 00:02:52,925
Zachęcam Cię, abyś przeprowadził 

57
00:02:53,025 --> 00:02:54,591
swój własny eksperyment.

58
00:02:55,104 --> 00:02:56,896
Znajdź jakiś okrągły przedmiot

59
00:02:57,152 --> 00:02:58,331
zmierz jego obwód

60
00:02:58,431 --> 00:03:00,479
na przykład za pomocą sznurka

61
00:03:00,736 --> 00:03:03,553
i jego średnicę, i wyznacz ich stosunek.

62
00:03:03,653 --> 00:03:06,111
Następnie wstaw wynik w komentarzu.

63
00:03:06,624 --> 00:03:08,354
Powinieneś otrzymać liczbę Pi 

64
00:03:08,454 --> 00:03:10,719
tylko z różnie dokładnym przybliżeniem.

65
00:03:11,488 --> 00:03:13,486
Dokładność wyniku będzie zależeć

66
00:03:13,586 --> 00:03:16,174
od dokładności pomiarów. Jaki jest związek

67
00:03:16,274 --> 00:03:18,656
wiersza z początku lekcji z liczbą pi?

68
00:03:19,168 --> 00:03:21,058
Zauważ, że każde kolejne słowo

69
00:03:21,158 --> 00:03:22,933
w tym wierszyku ma tyle liter

70
00:03:23,033 --> 00:03:25,311
ile wynosi kolejna cyfra rozwinięcia

71
00:03:25,568 --> 00:03:29,920
dziesiętnego liczby pi: 3, 1, 4, 1, 5...

72
00:03:30,176 --> 00:03:31,712
i tak dalej, i tak dalej.

73
00:03:32,480 --> 00:03:34,699
Za pomocą tych wierszyków można się

74
00:03:34,799 --> 00:03:37,343
lepiej nauczyć rozwinięcia dziesiętnego.

75
00:03:37,856 --> 00:03:39,506
Wystarczy jednak, że zapamiętasz

76
00:03:39,606 --> 00:03:40,893
 te dwa przybliżenia.

77
00:03:45,536 --> 00:03:47,328
Dowiedzieliśmy się przed chwilą

78
00:03:47,584 --> 00:03:50,242
że stosunek obwodu do średnicy jest równy

79
00:03:50,342 --> 00:03:53,148
liczbie pi i wiemy też, że jest to prawdziwe

80
00:03:53,248 --> 00:03:55,774
dla każdego, dowolnego koła czy okręgu.

81
00:03:56,544 --> 00:03:59,140
Koła i okręgi najczęściej charakteryzujemy

82
00:03:59,240 --> 00:04:00,639
za pomocą ich promienia

83
00:04:00,896 --> 00:04:03,200
który oznaczamy małą literą r.

84
00:04:03,712 --> 00:04:07,040
Średnica jest dwa razy większa od promienia.

85
00:04:07,552 --> 00:04:09,856
Możemy ją oznaczyć jako 2r

86
00:04:10,112 --> 00:04:12,672
i podstawić do wzoru w odpowiednim miejscu.

87
00:04:14,464 --> 00:04:18,506
W takim razie obwód przez 2 r daje nam pi.

88
00:04:18,682 --> 00:04:21,321
Czy możemy wyznaczyć obwód znając średnicę

89
00:04:21,421 --> 00:04:23,265
a tak naprawdę promień koła?

90
00:04:23,679 --> 00:04:26,751
Tak. Musimy obustronnie pomnożyć przez 2 r.

91
00:04:27,007 --> 00:04:28,757
Otrzymujemy bardzo ważny wzór

92
00:04:28,857 --> 00:04:31,358
na obwód koła: dwa pi er.

93
00:04:31,871 --> 00:04:33,801
No dobrze, a jaki jest obwód

94
00:04:33,901 --> 00:04:36,734
koła o promieniu 4 cm?

95
00:04:37,759 --> 00:04:41,087
Podstawiamy do wzoru: w miejsce r - 4 cm.

96
00:04:41,343 --> 00:04:44,838
Dwa pi razy 4 cm to 8 pi centymetrów. 

97
00:04:44,987 --> 00:04:46,853
Jeżeli w zadaniu nie jest powiedziane

98
00:04:46,953 --> 00:04:48,816
żeby w miejsce pi podstawić jej przybliżenie

99
00:04:48,916 --> 00:04:51,837
liczbowe, to wynik pozostawiamy tak, jak tutaj.

100
00:04:52,241 --> 00:04:55,423
To jaki jest obwód koła o promieniu 8 cm?

101
00:04:55,679 --> 00:04:58,395
Zatrzymaj film i policz to samodzielnie.

102
00:04:58,495 --> 00:05:00,005
Następnie włącz film ponownie 

103
00:05:00,105 --> 00:05:01,823
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

104
00:05:04,895 --> 00:05:08,223
Do wzoru w miejsce R podstawiamy 8 cm.

105
00:05:08,735 --> 00:05:12,767
2 razy 8 to 16, czyli obwód tego koła

106
00:05:12,867 --> 00:05:15,645
to 16 pi centymetrów.

107
00:05:19,231 --> 00:05:21,535
Wracamy do naszego wzoru na obwód.

108
00:05:22,047 --> 00:05:23,839
A wyobraź sobie taką sytuację.

109
00:05:24,095 --> 00:05:25,773
Czy możemy wyznaczyć promień

110
00:05:25,873 --> 00:05:28,010
znając obwód koła?

111
00:05:29,215 --> 00:05:31,821
Pewnie, że tak. Musimy obustronnie podzielić

112
00:05:31,921 --> 00:05:34,750
przez 2 pi. Otrzymamy, że promień

113
00:05:34,850 --> 00:05:37,773
to obwód koła przez dwa pi. To pytanie:

114
00:05:37,873 --> 00:05:41,814
jaki musi być promień, by obwód wyniósł 20 pi?

115
00:05:42,527 --> 00:05:44,205
Podstawiamy 20 pi do wzoru 

116
00:05:44,305 --> 00:05:45,599
w odpowiednim miejscu

117
00:05:45,855 --> 00:05:47,391
i otrzymujemy odpowiedź.

118
00:05:47,903 --> 00:05:50,463
Promień musiałby mieć długość 10.

119
00:05:51,231 --> 00:05:53,279
A teraz zastanów się i powiedz

120
00:05:53,535 --> 00:05:57,209
jaki musiałby być promień, aby obwód koła

121
00:05:57,309 --> 00:05:59,166
wyniósł dokładnie pi?

122
00:06:03,007 --> 00:06:06,004
Podstawiamy pi do wzoru i otrzymujemy

123
00:06:06,104 --> 00:06:10,405
że promień to 1/2, albo inaczej mówiąc

124
00:06:10,505 --> 00:06:13,502
że średnica tego koła wynosi dokładnie jeden.

125
00:06:14,271 --> 00:06:16,648
Wiedząc to, możemy przedstawić pi

126
00:06:16,748 --> 00:06:19,296
na osi liczbowej. Zobacz: tutaj mamy

127
00:06:19,396 --> 00:06:20,670
koło o średnicy 1.

128
00:06:20,927 --> 00:06:23,326
Spróbujmy je teraz tak jakby rozwinąć

129
00:06:23,426 --> 00:06:25,054
wzdłuż osi liczbowej.

130
00:06:29,375 --> 00:06:32,447
Jak widzisz, wylądowaliśmy tuż za trójką

131
00:06:32,703 --> 00:06:35,590
w okolicy liczby 3 i 14 setnych.

132
00:06:39,871 --> 00:06:41,663
A teraz mamy takie zadanie.

133
00:06:42,431 --> 00:06:46,109
Ile osób o rozpiętości ramion równej 150 cm

134
00:06:46,209 --> 00:06:49,230
potrzeba, aby objąć pień dębu Bartek

135
00:06:49,330 --> 00:06:53,678
którego średnica wynosi 3 i 14 setnych metra?

136
00:06:54,207 --> 00:06:57,990
Przyjmij przybliżenie pi jako 3 i 14 setnych.

137
00:06:58,559 --> 00:07:00,351
Czego szukamy w tym zadaniu?

138
00:07:01,375 --> 00:07:04,712
Musimy policzyć, ile osób jest potrzebnych

139
00:07:04,812 --> 00:07:07,262
aby móc objąć pień dębu Bartek.

140
00:07:08,287 --> 00:07:10,079
W jaki sposób to zrobić?

141
00:07:10,335 --> 00:07:12,912
Zauważ, że znamy rozpiętość ramion

142
00:07:13,012 --> 00:07:14,430
każdej z tych osób.

143
00:07:15,199 --> 00:07:17,878
Jeżeli wszystkie te osoby staną wokół drzewa

144
00:07:17,978 --> 00:07:20,782
i złapią się za ręce, to utworzą pewien okrąg.

145
00:07:21,087 --> 00:07:23,135
Jaka będzie długość tego okręgu?

146
00:07:23,903 --> 00:07:26,735
To będzie liczba osób razy rozpiętość ramion.

147
00:07:26,835 --> 00:07:28,510
Rozpiętość ramion znamy.

148
00:07:29,279 --> 00:07:31,828
Szukamy więc takiej liczby osób, aby

149
00:07:31,928 --> 00:07:34,910
utworzony okrąg był równy obwodowi drzewa.

150
00:07:36,191 --> 00:07:37,983
A jak wyznaczyć ten obwód?

151
00:07:39,519 --> 00:07:42,335
Ze wzoru, który już znamy: dwa pi er.

152
00:07:43,359 --> 00:07:45,151
Musimy znać promień drzewa.

153
00:07:45,407 --> 00:07:46,943
Czy wiemy, ile on wynosi?

154
00:07:47,967 --> 00:07:50,783
Nie, ale znamy średnicę drzewa.

155
00:07:51,295 --> 00:07:53,343
To 3 i 14 setnych metra.

156
00:07:53,599 --> 00:07:56,050
Średnicę oznaczaliśmy jako 2 r.

157
00:07:56,159 --> 00:07:59,231
Znając średnicę, możemy już obliczyć obwód.

158
00:07:59,487 --> 00:08:01,023
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

159
00:08:04,351 --> 00:08:07,167
Pamiętaj, że średnica to 2 r

160
00:08:07,423 --> 00:08:11,519
czyli 3 i 14 setnych wstawiamy w miejsce 2r.

161
00:08:12,287 --> 00:08:16,126
Obwód drzewa to w takim razie 3,14 metra

162
00:08:16,226 --> 00:08:19,966
razy przybliżenie pi, czyli też 3 i 14 setnych.

163
00:08:20,223 --> 00:08:22,016
Otrzymujemy taki wynik.

164
00:08:22,271 --> 00:08:24,186
Podstawiamy do pierwszego równania

165
00:08:24,286 --> 00:08:25,755
brakujące dane:

166
00:08:25,855 --> 00:08:29,420
obwód drzewa oraz rozpiętość ramion.

167
00:08:29,695 --> 00:08:31,333
Pamiętaj, aby rozpiętość ramion

168
00:08:31,433 --> 00:08:32,579
podać w metrach.

169
00:08:33,023 --> 00:08:35,902
Dobrze. A teraz samodzielnie wyznacz liczbę

170
00:08:36,002 --> 00:08:39,154
osób, które są potrzebne, aby objąć dąb Bartek.

171
00:08:42,495 --> 00:08:44,610
Wystarczy, że obustronnie podzielimy

172
00:08:44,710 --> 00:08:46,585
to równanie przez półtora metra.

173
00:08:47,236 --> 00:08:48,999
Otrzymujemy taką liczbę.

174
00:08:49,407 --> 00:08:51,199
Czy jest to poprawna odpowiedź?

175
00:08:51,967 --> 00:08:54,783
Nie. Liczba osób powinna być liczbą naturalną.

176
00:08:55,039 --> 00:08:58,477
Musimy więc zaokrąglić w górę, do siedmiu

177
00:08:59,135 --> 00:09:01,907
bo trzeba siedmiu osób o takiej rozpiętości

178
00:09:02,007 --> 00:09:04,254
ramion, aby objąć pień dębu Bartek.

179
00:09:09,887 --> 00:09:13,863
Liczbą pi nazywamy stosunek długości okręgu

180
00:09:13,963 --> 00:09:15,411
i jego średnicy.

181
00:09:15,775 --> 00:09:19,103
Jest on taki sam dla dowolnego okręgu.

182
00:09:20,383 --> 00:09:21,919
Pi jest liczbą niewymierną.

183
00:09:22,175 --> 00:09:23,580
Najczęściej posługujemy się

184
00:09:23,680 --> 00:09:25,460
jednym z jej dwóch przybliżeń.

185
00:09:26,527 --> 00:09:28,653
Dzięki tej stałej możemy obliczyć

186
00:09:28,753 --> 00:09:31,616
długość okręgu, czyli obwód koła.

187
00:09:34,719 --> 00:09:37,438
Zobaczyłeś właśnie film z playlisty

188
00:09:37,538 --> 00:09:39,070
o kołach i okręgach.

189
00:09:39,583 --> 00:09:41,772
Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów

190
00:09:41,872 --> 00:09:43,995
z tej playlisty, a także do odwiedzenia 

191
00:09:44,095 --> 00:09:48,212
naszej strony internetowej pistacja.tv