1
00:00:00,256 --> 00:00:02,226
Standardowa płyta kompaktowa

2
00:00:02,226 --> 00:00:04,864
mieści 74 minuty muzyki.

3
00:00:05,120 --> 00:00:06,325
Dlaczego akurat tyle

4
00:00:06,325 --> 00:00:08,192
a nie na przykład jedną godzinę?

5
00:00:08,704 --> 00:00:10,089
Ponoć jest to zasługa

6
00:00:10,089 --> 00:00:11,640
austriackiego dyrygenta

7
00:00:11,640 --> 00:00:13,056
Herberta von Karajana

8
00:00:13,312 --> 00:00:15,724
który nalegał, aby na jednym krążku

9
00:00:15,724 --> 00:00:17,388
dało się zmieścić całą

10
00:00:17,388 --> 00:00:19,200
IX Symfonię Beethovena.

11
00:00:31,232 --> 00:00:32,576
Przyjrzyjmy się teraz

12
00:00:32,576 --> 00:00:34,048
standardowej płycie CD.

13
00:00:34,560 --> 00:00:35,840
Jaki ma ona kształt?

14
00:00:37,120 --> 00:00:39,088
Na pierwszy rzut oka może się wydawać

15
00:00:39,088 --> 00:00:40,704
że ma ona kształt koła.

16
00:00:41,216 --> 00:00:44,288
Jednak płyta CD ma w środku pewien otwór.

17
00:00:45,312 --> 00:00:47,188
Jaki jest kształt tego utworu?

18
00:00:47,872 --> 00:00:49,408
Ten otwór jest okrągły.

19
00:00:49,920 --> 00:00:52,064
Możemy tutaj zaznaczyć dwa okręgi.

20
00:00:52,064 --> 00:00:54,360
Pierwszy okrąg wewnętrzny

21
00:00:54,360 --> 00:00:55,808
ograniczający otwór

22
00:00:56,320 --> 00:00:58,546
i drugi okrąg, zewnętrzny

23
00:00:58,546 --> 00:01:00,460
ograniczający płytę CD.

24
00:01:00,460 --> 00:01:02,464
Jak sądzisz, czy te dwa okręgi

25
00:01:02,720 --> 00:01:06,048
zielony i pomarańczowy mają coś wspólnego?

26
00:01:07,072 --> 00:01:08,338
Powinieneś już wiedzieć

27
00:01:08,338 --> 00:01:10,163
że okręgi opisujemy za pomocą

28
00:01:10,163 --> 00:01:12,335
ich promienia oraz środka.

29
00:01:12,335 --> 00:01:13,371
Te dwa okręgi mają

30
00:01:13,371 --> 00:01:14,922
na pewno różne promienie.

31
00:01:15,008 --> 00:01:16,032
A środki?

32
00:01:16,800 --> 00:01:19,417
Środki tych okręgów pokrywają się.

33
00:01:19,417 --> 00:01:20,994
O takich okręgach mówimy

34
00:01:20,994 --> 00:01:22,944
że są one współśrodkowe.

35
00:01:23,712 --> 00:01:26,675
Okręgi współśrodkowe to takie okręgi

36
00:01:26,675 --> 00:01:28,206
których środki znajdują się

37
00:01:28,206 --> 00:01:29,600
 w tym samym punkcie.

38
00:01:29,856 --> 00:01:31,432
Jak powiedzieliśmy wcześniej

39
00:01:31,432 --> 00:01:34,850
te dwa okręgi ograniczają obszar płyty CD.

40
00:01:34,850 --> 00:01:36,888
Płyta CD jest przykładem figury

41
00:01:36,888 --> 00:01:38,527
geometrycznej, którą nazywamy

42
00:01:38,527 --> 00:01:40,300
pierścieniem kołowym.

43
00:01:40,608 --> 00:01:42,555
Pierścień kołowy to taka figura

44
00:01:42,555 --> 00:01:43,936
która jest ograniczona

45
00:01:44,192 --> 00:01:46,496
dwoma okręgami współśrodkowymi

46
00:01:46,752 --> 00:01:48,032
o różnych promieniach.

47
00:01:48,288 --> 00:01:50,636
Jak policzyć pole pierścienia kołowego?

48
00:01:50,728 --> 00:01:51,998
Możemy inaczej powiedzieć

49
00:01:51,998 --> 00:01:54,038
że jest to koło z dziurką.

50
00:01:54,038 --> 00:01:55,778
Czyli wystarczy policzyć

51
00:01:55,778 --> 00:01:57,760
pole tego dużego koła

52
00:01:58,016 --> 00:02:00,064
i odjąć pole tego małego koła.

53
00:02:00,320 --> 00:02:02,400
Policzmy pole naszej płyty CD.

54
00:02:02,400 --> 00:02:03,648
Oto dane jakie znamy.

55
00:02:03,904 --> 00:02:06,440
Ten odcinek ma długość dwóch centymetrów

56
00:02:06,440 --> 00:02:08,250
a ten pięciu centymetrów.

57
00:02:08,256 --> 00:02:09,700
Co musimy policzyć?

58
00:02:09,792 --> 00:02:11,538
Tak jak powiedzieliśmy przed chwilą

59
00:02:11,538 --> 00:02:13,120
pole tego dużego koła

60
00:02:13,376 --> 00:02:14,903
i pole tego małego koła.

61
00:02:14,903 --> 00:02:17,003
Zacznijmy od pola otworu.

62
00:02:17,003 --> 00:02:19,146
Wiesz już, że aby obliczyć pole koła

63
00:02:19,146 --> 00:02:21,160
musimy znać jego promień.

64
00:02:21,312 --> 00:02:23,078
Jaki jest promień tego koła?

65
00:02:23,360 --> 00:02:25,920
Promień tego koła to 1 centymetr.

66
00:02:26,176 --> 00:02:27,200
A dlaczego?

67
00:02:27,968 --> 00:02:30,304
Ten odcinek o długości dwóch centymetrów

68
00:02:30,304 --> 00:02:31,952
stanowi średnicę tego koła

69
00:02:31,952 --> 00:02:33,600
a promień jest 2 razy krótszy.

70
00:02:33,856 --> 00:02:35,648
Pamiętasz wzór na pole koła?

71
00:02:36,416 --> 00:02:38,494
To oczywiście pi r kwadrat.

72
00:02:38,494 --> 00:02:41,280
W miejsce r podstawiamy 1 centymetr.

73
00:02:41,536 --> 00:02:43,760
Obliczamy i otrzymujemy

74
00:02:43,760 --> 00:02:45,017
że pole tego koła

75
00:02:45,017 --> 00:02:47,168
to pi centymetrów kwadratowych.

76
00:02:47,680 --> 00:02:48,888
To teraz musimy policzyć

77
00:02:48,888 --> 00:02:50,696
pole tego większego koła.

78
00:02:51,008 --> 00:02:52,544
Jaki jest jego promień?

79
00:02:53,312 --> 00:02:55,171
Na pierwszy rzut oka może się wydawać

80
00:02:55,171 --> 00:02:56,784
że 5 centymetrów.

81
00:02:56,896 --> 00:02:58,625
Ale zauważ, że ten odcinek

82
00:02:58,625 --> 00:03:00,727
to nie jest promień okręgu.

83
00:03:00,727 --> 00:03:02,920
Aby otrzymać promień dużego koła

84
00:03:02,920 --> 00:03:05,162
do tego odcinka musimy dodać jeszcze

85
00:03:05,162 --> 00:03:07,932
promień małego koła, czyli ten promień

86
00:03:07,932 --> 00:03:09,594
ma długość sześciu centymetrów.

87
00:03:09,594 --> 00:03:11,450
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie

88
00:03:11,450 --> 00:03:13,121
oblicz pole większego koła.

89
00:03:13,121 --> 00:03:14,565
Następnie włącz film ponownie

90
00:03:14,565 --> 00:03:17,284
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

91
00:03:19,936 --> 00:03:21,496
Podstawiamy 6 centymetrów

92
00:03:21,496 --> 00:03:23,008
w miejsce r do wzoru.

93
00:03:23,008 --> 00:03:24,578
Obliczamy i otrzymujemy

94
00:03:24,578 --> 00:03:26,080
że pole większego koła

95
00:03:26,080 --> 00:03:28,358
to 36pi centymetrów kwadratowych.

96
00:03:28,560 --> 00:03:29,639
To jak teraz policzyć

97
00:03:29,639 --> 00:03:31,630
pole pierścienia kołowego?

98
00:03:31,712 --> 00:03:33,237
Od pola dużego koła

99
00:03:33,237 --> 00:03:35,040
odejmujemy pole małego koła.

100
00:03:35,296 --> 00:03:37,862
36pi centymetrów kwadratowych

101
00:03:37,862 --> 00:03:40,094
minus pi centymetrów kwadratowych

102
00:03:40,094 --> 00:03:43,488
daje nam 35pi centymetrów kwadratowych.

103
00:03:48,352 --> 00:03:49,632
A teraz zadanie.

104
00:03:50,400 --> 00:03:52,027
Największy znak zakazu ruchu

105
00:03:52,027 --> 00:03:53,728
ma średnicę jednego metra

106
00:03:53,984 --> 00:03:55,605
a czerwony pasek na tym znaku

107
00:03:55,605 --> 00:03:57,848
ma szerokość dziesięciu centymetrów.

108
00:03:58,336 --> 00:04:00,049
Jaki procent powierzchni tego znaku

109
00:04:00,049 --> 00:04:02,470
jest biały, a jaki czerwony?

110
00:04:03,712 --> 00:04:05,760
Tak wygląda znak zakazu ruchu.

111
00:04:07,040 --> 00:04:08,320
Co musimy obliczyć?

112
00:04:09,344 --> 00:04:10,950
Jak dużą powierzchnię tego znaku

113
00:04:10,950 --> 00:04:14,570
stanowi biały obszar i czerwony obszar.

114
00:04:16,512 --> 00:04:18,559
Biały obszar to oczywiście koło

115
00:04:19,071 --> 00:04:21,375
a czerwony, jaka to figura?

116
00:04:22,143 --> 00:04:23,935
To oczywiście pierścień kołowy.

117
00:04:25,471 --> 00:04:27,200
Co musimy znać, żeby obliczyć pola

118
00:04:27,200 --> 00:04:28,817
powierzchni tych figur?

119
00:04:28,817 --> 00:04:30,468
Na pewno będzie nam potrzebny

120
00:04:30,468 --> 00:04:32,061
promień białego obszaru

121
00:04:32,061 --> 00:04:33,599
i promień całego znaku.

122
00:04:33,599 --> 00:04:34,646
Jakie informacje

123
00:04:34,646 --> 00:04:36,479
mamy podane w treści zadania?

124
00:04:37,503 --> 00:04:40,319
Wiemy, że średnica znaku wynosi 1 metr

125
00:04:40,831 --> 00:04:42,628
a szerokość czerwonego paska

126
00:04:42,628 --> 00:04:44,159
10 centymetrów.

127
00:04:45,951 --> 00:04:47,830
Na rysunku zaznaczyłem

128
00:04:47,830 --> 00:04:49,654
promień białego obszaru

129
00:04:49,654 --> 00:04:51,583
oraz szerokość czerwonego paska.

130
00:04:51,839 --> 00:04:53,375
Jak wyznaczyć ten promień?

131
00:04:54,143 --> 00:04:56,717
Zauważ, że ten cały odcinek

132
00:04:56,717 --> 00:04:58,751
stanowi promień całego znaku.

133
00:04:59,263 --> 00:05:00,783
Czy znamy jego długość?

134
00:05:01,055 --> 00:05:03,854
To 50 centymetrów, czyli połowa średnicy.

135
00:05:03,854 --> 00:05:06,175
Możemy ułożyć następujące równanie:

136
00:05:06,687 --> 00:05:08,735
10 centymetrów dodać x

137
00:05:08,991 --> 00:05:10,783
daje nam 50 centymetrów.

138
00:05:12,063 --> 00:05:13,343
To ile wynosi x?

139
00:05:14,367 --> 00:05:16,159
To 40 centymetrów.

140
00:05:17,183 --> 00:05:18,067
Znając promień

141
00:05:18,067 --> 00:05:20,514
możemy policzyć pole białego obszaru.

142
00:05:20,514 --> 00:05:22,467
Zrób to teraz samodzielnie.

143
00:05:25,119 --> 00:05:26,314
To pole wynosi

144
00:05:26,314 --> 00:05:29,471
1600 razy pi centymetrów kwadratowych.

145
00:05:29,727 --> 00:05:31,007
Czy to koniec zadania?

146
00:05:31,775 --> 00:05:32,543
Nie.

147
00:05:32,799 --> 00:05:34,286
Pamiętaj, że mieliśmy policzyć

148
00:05:34,286 --> 00:05:36,271
jaki procent powierzchni całego znaku

149
00:05:36,271 --> 00:05:38,109
jest biały, a jaki czerwony.

150
00:05:38,109 --> 00:05:39,195
Na razie znamy tylko

151
00:05:39,195 --> 00:05:40,889
powierzchnię białego obszaru.

152
00:05:40,889 --> 00:05:42,646
Żeby obliczyć jaki procent całej

153
00:05:42,646 --> 00:05:44,386
powierzchni stanowi, musimy znać

154
00:05:44,386 --> 00:05:46,175
powierzchnię całego znaku.

155
00:05:46,175 --> 00:05:48,643
Również oblicz ją samodzielnie.

156
00:05:51,487 --> 00:05:54,114
Skoro średnica ma długość jednego metra

157
00:05:54,114 --> 00:05:56,351
to promień wynosi 50 centymetrów

158
00:05:56,607 --> 00:05:58,143
a pole całego znaku

159
00:05:58,399 --> 00:06:01,370
to 2500 razy pi centymetrów kwadratowych.

160
00:06:01,370 --> 00:06:02,480
Możemy teraz policzyć

161
00:06:02,480 --> 00:06:04,287
jaki odsetek znaku jest biały.

162
00:06:04,453 --> 00:06:06,050
Wystarczy podzielić powierzchnię

163
00:06:06,050 --> 00:06:07,847
białego obszaru przez powierzchnię

164
00:06:07,847 --> 00:06:09,063
całego znaku.

165
00:06:09,063 --> 00:06:12,011
Otrzymujemy, że to 64%.

166
00:06:12,223 --> 00:06:13,234
Jak teraz wyznaczyć

167
00:06:13,234 --> 00:06:15,745
jaka powierzchnia znaku jest czerwona?

168
00:06:16,063 --> 00:06:18,433
Oczywiście można postąpić analogicznie

169
00:06:18,433 --> 00:06:20,927
czyli policzyć pole czerwonego obszaru

170
00:06:21,003 --> 00:06:22,513
i podzielić przez powierzchnię

171
00:06:22,513 --> 00:06:23,677
całego znaku.

172
00:06:23,999 --> 00:06:26,081
Ale jest o wiele prostsze rozwiązanie.

173
00:06:26,081 --> 00:06:27,291
Wiesz jakie?

174
00:06:28,607 --> 00:06:31,423
Pamiętaj, że pole całego znaku to 100%

175
00:06:31,679 --> 00:06:34,239
a białego obszaru to 64%.

176
00:06:34,751 --> 00:06:37,567
Jeżeli od stu procent odejmiemy 64%

177
00:06:37,823 --> 00:06:39,294
to otrzymamy jaki procent

178
00:06:39,294 --> 00:06:41,151
powierzchni znaku jest czerwony.

179
00:06:41,407 --> 00:06:42,943
To 36%.

180
00:06:47,551 --> 00:06:49,357
A teraz mamy takie zadanie.

181
00:06:49,855 --> 00:06:51,278
Średnica tarczy łuczniczej

182
00:06:51,278 --> 00:06:53,183
wynosi 96 centymetrów.

183
00:06:53,695 --> 00:06:55,451
Średnica żółtego obszaru tarczy

184
00:06:55,451 --> 00:06:57,279
wynosi 16 centymetrów.

185
00:06:58,047 --> 00:06:59,792
Szerokości pierścieni kołowych

186
00:06:59,792 --> 00:07:00,993
są takie same.

187
00:07:01,119 --> 00:07:02,310
Oblicz pole różowego

188
00:07:02,310 --> 00:07:03,679
i niebieskiego obszaru.

189
00:07:05,471 --> 00:07:07,296
W tym zadaniu musimy policzyć

190
00:07:07,296 --> 00:07:10,266
pole niebieskiego oraz różowego obszaru

191
00:07:10,266 --> 00:07:11,615
tarczy strzelniczej.

192
00:07:11,871 --> 00:07:14,049
Jakie dane są zamieszczone w zadaniu?

193
00:07:14,687 --> 00:07:16,537
Wiemy, że średnica całej tarczy

194
00:07:16,537 --> 00:07:18,527
ma 96 centymetrów

195
00:07:19,039 --> 00:07:20,691
a średnica żółtego obszaru

196
00:07:20,691 --> 00:07:22,753
wynosi 16 centymetrów.

197
00:07:23,135 --> 00:07:24,671
Zaznaczmy to na rysunku.

198
00:07:25,439 --> 00:07:26,975
Średnica całej tarczy

199
00:07:27,231 --> 00:07:29,049
i średnica żółtego obszaru.

200
00:07:29,049 --> 00:07:30,509
Co musimy znać, aby obliczyć

201
00:07:30,509 --> 00:07:32,947
pole różowego i niebieskiego obszaru?

202
00:07:33,375 --> 00:07:34,627
Na pewno musimy znać

203
00:07:34,627 --> 00:07:36,719
promień tego różowo-żółtego koła

204
00:07:36,719 --> 00:07:39,007
i promień całej tarczy strzelniczej.

205
00:07:40,291 --> 00:07:42,430
Zauważ, że w treści zadanie jest

206
00:07:42,430 --> 00:07:44,523
powiedziane, że szerokości pierścieni

207
00:07:44,523 --> 00:07:46,099
kołowych są takie same.

208
00:07:46,175 --> 00:07:48,687
To oznacza, że ten odcinek

209
00:07:48,687 --> 00:07:49,964
ma taką samą długość

210
00:07:49,964 --> 00:07:51,039
jak ten odcinek

211
00:07:51,551 --> 00:07:53,343
ten odcinek i ten odcinek.

212
00:07:53,855 --> 00:07:55,903
To również zaznaczmy na rysunku.

213
00:07:55,903 --> 00:07:57,951
Czy jesteśmy w stanie policzyć x?

214
00:07:58,463 --> 00:08:00,987
Ile wynosi suma tych wszystkich odcinków?

215
00:08:01,535 --> 00:08:03,327
To średnica tarczy łuczniczej.

216
00:08:04,863 --> 00:08:06,186
Spróbuj teraz samodzielnie

217
00:08:06,186 --> 00:08:07,854
ułożyć odpowiednie równanie

218
00:08:07,854 --> 00:08:10,239
a następnie samodzielnie wyznaczyć x.

219
00:08:13,585 --> 00:08:17,367
Wiemy, że x dodać x dodać 16 centymetrów

220
00:08:17,367 --> 00:08:19,069
dodać x i dodać x

221
00:08:19,069 --> 00:08:20,999
daje 96 centymetrów.

222
00:08:21,247 --> 00:08:23,039
Równanie wygląda w taki sposób.

223
00:08:23,295 --> 00:08:24,346
Można je uprościć

224
00:08:24,346 --> 00:08:25,954
i zapisać w takiej postaci:

225
00:08:25,954 --> 00:08:29,489
4x plus 16 centymetrów to 96 centymetrów.

226
00:08:30,207 --> 00:08:32,511
Odejmuję 16 centymetrów stronami.

227
00:08:33,535 --> 00:08:35,839
4x to 80 centymetrów.

228
00:08:36,095 --> 00:08:37,330
Aby wyznaczyć x

229
00:08:37,330 --> 00:08:39,248
dzielę obustronnie przez 4

230
00:08:39,248 --> 00:08:41,727
czyli x to 20 centymetrów.

231
00:08:41,983 --> 00:08:43,847
Możemy teraz obliczyć średnicę

232
00:08:43,847 --> 00:08:45,567
różowo-żółtego koła.

233
00:08:45,823 --> 00:08:48,895
To 20 centymetrów dodać 16 centymetrów

234
00:08:49,151 --> 00:08:50,943
dodać znowu 20 centymetrów

235
00:08:51,455 --> 00:08:53,247
czyli 56 centymetrów.

236
00:08:53,759 --> 00:08:56,224
Znając średnicę, możemy policzyć promień.

237
00:08:56,224 --> 00:08:57,753
Ile on wynosi?

238
00:08:57,913 --> 00:09:00,051
Jest 2 razy krótszy, czyli ma długość

239
00:09:00,051 --> 00:09:01,719
dwudziestu ośmiu centymetrów.

240
00:09:01,951 --> 00:09:03,078
Czy możemy już policzyć

241
00:09:03,078 --> 00:09:06,129
pole tego różowo-żółtego pierścienia?

242
00:09:06,361 --> 00:09:07,121
Tak.

243
00:09:07,121 --> 00:09:08,455
Jesteśmy w stanie policzyć

244
00:09:08,455 --> 00:09:10,207
pole tego całego obszaru.

245
00:09:10,399 --> 00:09:11,868
I wystarczy od niego odjąć

246
00:09:11,868 --> 00:09:13,215
pole tego żółtego koła.

247
00:09:13,471 --> 00:09:15,317
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

248
00:09:18,335 --> 00:09:20,895
Pole tego całego różowo-żółtego koła

249
00:09:21,151 --> 00:09:24,991
to 784 razy pi centymetrów kwadratowych.

250
00:09:25,503 --> 00:09:27,476
Przy liczeniu pola żółtego koła

251
00:09:27,476 --> 00:09:30,063
należy pamiętać, aby zamienić średnicę

252
00:09:30,063 --> 00:09:32,007
16 centymetrów na promień

253
00:09:32,007 --> 00:09:33,639
czyli 8 centymetrów.

254
00:09:33,951 --> 00:09:35,412
Pole tego żółtego koła

255
00:09:35,412 --> 00:09:38,720
to 64 razy pi centymetrów kwadratowych.

256
00:09:38,720 --> 00:09:41,215
Ostatecznie pole różowego pierścienia

257
00:09:41,255 --> 00:09:44,061
to 720pi centymetrów kwadratowych.

258
00:09:44,621 --> 00:09:45,399
Świetnie!

259
00:09:45,471 --> 00:09:47,338
To teraz spróbuj samodzielnie policzyć

260
00:09:47,338 --> 00:09:49,931
pole tego niebieskiego pierścienia.

261
00:09:53,151 --> 00:09:55,249
Aby to zrobić musimy od pola

262
00:09:55,249 --> 00:09:57,616
całej tarczy strzelniczej odjąć

263
00:09:57,616 --> 00:09:59,546
pole tego różowo-żółtego koła

264
00:09:59,546 --> 00:10:01,703
które już wcześniej wyznaczyliśmy.

265
00:10:02,111 --> 00:10:03,373
Należy jedynie pamiętać

266
00:10:03,373 --> 00:10:05,483
aby zamienić średnicę na promień.

267
00:10:06,463 --> 00:10:08,468
Promień to 48 centymetrów.

268
00:10:08,468 --> 00:10:10,121
I w ten sposób obliczyliśmy

269
00:10:10,121 --> 00:10:12,073
powierzchnię całej tarczy.

270
00:10:12,095 --> 00:10:15,167
Od tej wartości odejmujemy to pole

271
00:10:15,423 --> 00:10:16,602
i otrzymujemy pole

272
00:10:16,602 --> 00:10:18,717
niebieskiego pierścienia.

273
00:10:24,639 --> 00:10:27,357
Pierścieniem kołowym nazywamy obszar

274
00:10:27,357 --> 00:10:28,942
ograniczony przez dwa

275
00:10:28,942 --> 00:10:30,527
współśrodkowe okręgi.

276
00:10:31,039 --> 00:10:33,219
Pole pierścienia kołowego liczymy

277
00:10:33,219 --> 00:10:35,638
poprzez odjęcie pola mniejszego koła

278
00:10:35,638 --> 00:10:37,183
od pola większego koła.

279
00:10:41,023 --> 00:10:43,235
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

280
00:10:43,235 --> 00:10:45,375
z playlisty o kołach i okręgach.

281
00:10:45,887 --> 00:10:47,279
Zachęcam Cię do zobaczenia

282
00:10:47,279 --> 00:10:49,159
innych filmów z tej playlisty

283
00:10:49,159 --> 00:10:50,744
a także do zasubskrybowania

284
00:10:50,744 --> 00:10:52,791
naszego kanału na YouTubie

285
00:10:52,791 --> 00:10:54,861
PistacjaMatematyka.