1
00:00:00,301 --> 00:00:03,105
Myli się ten, kto myśli, że najbardziej znane 

2
00:00:03,205 --> 00:00:05,566
twierdzenie na świecie dotyczące geometrii, 

3
00:00:05,666 --> 00:00:07,324
czyli twierdzenie Pitagorasa,

4
00:00:07,424 --> 00:00:10,240
 zawdzięczamy tylko Pitagorasowi.

5
00:00:10,340 --> 00:00:12,345
Dokumenty pozostałe po niezależnie 

6
00:00:12,445 --> 00:00:15,323
rozwijających się cywilizacjach Babilonu 

7
00:00:15,423 --> 00:00:18,251
czy Egiptu pokazują, że zależności boków 

8
00:00:18,351 --> 00:00:20,536
w trójkątach prostokątnych były 

9
00:00:20,636 --> 00:00:22,014
znane już dużo wcześniej.

10
00:00:34,208 --> 00:00:36,608
Widzisz plan boiska do siatkonogi.

11
00:00:36,708 --> 00:00:39,168
To boisko ma kształt prostokąta.

12
00:00:39,268 --> 00:00:42,752
Jego rzeczywiste wymiary to 4m na 6m.

13
00:00:42,852 --> 00:00:45,532
Ta linia oznacza siatkę, która dzieli boisko 

14
00:00:45,632 --> 00:00:47,440
na dwie jednakowe części.

15
00:00:47,540 --> 00:00:49,583
Połowa tego boiska jest zatem 

16
00:00:49,683 --> 00:00:53,157
prostokątem o wymiarach 4m na 3m.

17
00:00:53,257 --> 00:00:55,810
Przed rozpoczęciem treningu jedna z drużyn, 

18
00:00:55,910 --> 00:00:57,794
która składała się z 3 zawodników, 

19
00:00:57,894 --> 00:00:59,903
ustawiła się w taki oto sposób.

20
00:01:00,003 --> 00:01:02,590
Łatwo zauważyć, że zawodnicy znajdują się 

21
00:01:02,690 --> 00:01:04,758
na przekątnej swojej połowy.

22
00:01:04,858 --> 00:01:06,901
W jakiej odległości od siebie 

23
00:01:07,001 --> 00:01:09,470
znajdują się zawodnicy stojący na końcach 

24
00:01:09,570 --> 00:01:12,157
przekątnej swojej połowy boiska?

25
00:01:12,257 --> 00:01:14,752
Zastanawia cię, czy da się znaleźć odległość 

26
00:01:14,852 --> 00:01:16,601
między tymi dwoma zawodnikami 

27
00:01:16,701 --> 00:01:18,970
bez korzystania z przyrządów do mierzenia?

28
00:01:19,070 --> 00:01:21,548
Sposób na to wynalazł w 6. wieku 

29
00:01:21,648 --> 00:01:24,754
przed naszą erą grecki matematyk Pitagoras.

30
00:01:24,854 --> 00:01:28,110
Sposób nazywa się twierdzeniem Pitagorasa.

31
00:01:28,210 --> 00:01:30,839
W tej lekcji poznasz to twierdzenie.

32
00:01:30,939 --> 00:01:33,696
Dowiesz się również, kiedy i jak je stosować.

33
00:01:34,965 --> 00:01:37,761
Przypomnę, że przekątna prostokąta dzieli go 

34
00:01:37,861 --> 00:01:40,699
na 2 identyczne trójkąty prostokątne.

35
00:01:40,799 --> 00:01:42,400
Skupmy się na jednym z nich.

36
00:01:42,908 --> 00:01:45,728
W tym miejscu znajduje się kąt prosty.

37
00:01:45,972 --> 00:01:47,796
Zauważ, że znamy długości

38
00:01:47,896 --> 00:01:49,645
dwóch przyprostokątnych.

39
00:01:49,822 --> 00:01:52,316
Odległość między tymi dwoma zawodnikami 

40
00:01:52,416 --> 00:01:54,835
jest niczym innym, jak długością

41
00:01:54,935 --> 00:01:57,248
 przeciwprostokątnej tego trójkąta.

42
00:01:57,472 --> 00:01:59,958
Wykonajmy teraz pewien eksperyment.

43
00:02:00,058 --> 00:02:03,392
Zbudujmy kwadrat na boku o długości 3m.

44
00:02:03,492 --> 00:02:07,357
Teraz zbudujmy kwadrat na boku o długości 4m.

45
00:02:07,734 --> 00:02:09,399
Zbudujmy jeszcze kwadrat

46
00:02:09,499 --> 00:02:12,404
na przeciwprostokątnej, której długości nie znamy.

47
00:02:12,672 --> 00:02:15,685
Pitagoras zauważył, że suma pól kwadratów 

48
00:02:15,785 --> 00:02:17,771
zbudowanych na przyprostokątnych 

49
00:02:17,871 --> 00:02:19,869
jest taka sama, jak pole kwadratu 

50
00:02:19,969 --> 00:02:22,079
zbudowanego na przeciwprostokątnej.

51
00:02:22,641 --> 00:02:25,152
Obliczmy najpierw pole tego kwadratu.

52
00:02:25,252 --> 00:02:27,763
Skoro długość jego boku to 4m, 

53
00:02:27,863 --> 00:02:30,935
pole tego kwadratu wynosi 4m do kwadratu,

54
00:02:31,035 --> 00:02:33,344
czyli 16m kwadratowych.

55
00:02:33,444 --> 00:02:35,648
A ile wynosi pole tego kwadratu?

56
00:02:35,748 --> 00:02:37,952
Długość jego boku to 3m.

57
00:02:38,052 --> 00:02:39,891
Pole tego kwadratu wynosi zatem 

58
00:02:39,991 --> 00:02:43,038
3m do kwadratu, czyli 9m kwadratowych.

59
00:02:44,068 --> 00:02:46,177
Skoro pole kwadratu zbudowanego 

60
00:02:46,277 --> 00:02:48,361
na przeciwprostokątnej jest równe 

61
00:02:48,461 --> 00:02:50,278
sumie pól kwadratów zbudowanych 

62
00:02:50,378 --> 00:02:52,692
na przyprostokątnych, to pole 

63
00:02:52,792 --> 00:02:55,608
tego kwadratu wynosi 16m kwadratowych

64
00:02:55,708 --> 00:02:57,420
dodać 9m kwadratowych, 

65
00:02:57,520 --> 00:02:59,282
czyli 25m kwadratowych.

66
00:02:59,945 --> 00:03:02,247
Jeszcze raz powtórzę, że taką zależność 

67
00:03:02,347 --> 00:03:04,130
geometryczną odkrył Pitagoras 

68
00:03:04,230 --> 00:03:06,533
już w 6. wieku przed naszą erą.

69
00:03:07,010 --> 00:03:09,044
Skoro znamy pole tego kwadratu, 

70
00:03:09,144 --> 00:03:10,383
to czy jesteśmy w stanie 

71
00:03:10,483 --> 00:03:11,929
podać  długość jego boku?    

72
00:03:12,031 --> 00:03:14,099
Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie.

73
00:03:17,924 --> 00:03:20,890
Aby powiedzieć, jaką długość ma bok tego 

74
00:03:20,990 --> 00:03:23,538
kwadratu, wystarczy zastanowić się, 

75
00:03:23,638 --> 00:03:26,628
jaką długość należy podnieść do kwadratu, 

76
00:03:26,728 --> 00:03:28,835
aby otrzymać 25m kwadratowych.

77
00:03:28,935 --> 00:03:30,430
Tą długością jest 5m.

78
00:03:30,532 --> 00:03:34,915
Oznacza to, że długość boku kwadratu to 5m.

79
00:03:36,907 --> 00:03:39,594
Zauważ, że znaleźliśmy przy okazji 

80
00:03:39,694 --> 00:03:42,473
długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. 

81
00:03:42,573 --> 00:03:44,398
Wynosi ona 5m.

82
00:03:44,498 --> 00:03:45,537
Co to oznacza? 

83
00:03:45,637 --> 00:03:49,437
Odległość między tymi zawodnikami to 5m.

84
00:03:50,609 --> 00:03:53,397
Pokażę ci teraz, jak swoje przemyślenia 

85
00:03:53,497 --> 00:03:55,007
sformułował Pitagoras.

86
00:03:56,409 --> 00:03:58,811
W dowolnym trójkącie prostokątnym 

87
00:03:58,911 --> 00:04:02,051
suma kwadratów długości przyprostokątnych 

88
00:04:02,151 --> 00:04:04,219
jest równa kwadratowi długości

89
00:04:04,319 --> 00:04:07,040
przeciwprostokątnej tego trójkąta.

90
00:04:08,035 --> 00:04:09,821
Twierdzenie Pitagorasa można 

91
00:04:09,921 --> 00:04:11,391
opisać jednym równaniem.

92
00:04:11,492 --> 00:04:15,183
Oznaczmy długość tej przyprostokątnej literą a, 

93
00:04:15,283 --> 00:04:18,481
a długość tej przyprostokątnej literą b.

94
00:04:18,581 --> 00:04:22,607
Długość przeciwprostokątnej oznaczmy literą c.

95
00:04:22,850 --> 00:04:25,727
Jeszcze raz przeczytam twierdzenie Pitagorasa.

96
00:04:25,827 --> 00:04:28,282
W dowolnym trójkącie prostokątnym 

97
00:04:28,382 --> 00:04:31,404
suma kwadratów długości przyprostokątnych 

98
00:04:31,504 --> 00:04:33,204
jest równa kwadratowi długości

99
00:04:33,304 --> 00:04:34,744
przeciwprostokątnej.

100
00:04:34,844 --> 00:04:37,255
Jak zatem możemy zapisać sumę 

101
00:04:37,355 --> 00:04:40,042
kwadratów długości przyprostokątnych?

102
00:04:40,310 --> 00:04:43,208
Kwadrat długości tej przyprostokątnej 

103
00:04:43,308 --> 00:04:44,577
to a do kwadratu.

104
00:04:44,678 --> 00:04:46,997
Do tego dodajemy kwadrat długości 

105
00:04:47,097 --> 00:04:49,843
tej przyprostokątnej, czyli b do kwadratu.

106
00:04:49,943 --> 00:04:52,647
Suma kwadratów długości przyprostokątnych 

107
00:04:52,747 --> 00:04:54,781
trójkąta prostokątnego jest równa 

108
00:04:54,881 --> 00:04:57,661
kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

109
00:04:57,761 --> 00:05:01,034
Skoro ta przeciwprostokątna ma długość c,

110
00:05:01,134 --> 00:05:03,871
to kwadrat tej długości to c do kwadratu.

111
00:05:03,971 --> 00:05:06,431
Jak łatwo zapamiętać to równanie?

112
00:05:06,531 --> 00:05:08,851
a do kwadratu oznacza pole kwadratu 

113
00:05:08,951 --> 00:05:11,279
zbudowanego na tej przyprostokątnej.

114
00:05:11,379 --> 00:05:13,689
b do kwadratu oznacza pole kwadratu 

115
00:05:13,789 --> 00:05:16,075
zbudowanego na tej przyprostokątnej.

116
00:05:16,175 --> 00:05:18,975
Suma pól tych dwóch kwadratów jest

117
00:05:19,075 --> 00:05:20,553
taka sama, jak pole kwadratu 

118
00:05:20,653 --> 00:05:23,072
zbudowanego na przeciwprostokątnej.

119
00:05:23,172 --> 00:05:25,700
Pole tego kwadratu to c do kwadratu.

120
00:05:26,060 --> 00:05:28,848
Zwróć uwagę na ten fragment twierdzenia 

121
00:05:28,948 --> 00:05:32,161
"w dowolnym trójkącie prostokątnym...".

122
00:05:32,262 --> 00:05:34,109
To równanie zachodzi w każdym 

123
00:05:34,209 --> 00:05:35,614
trójkącie prostokątnym.

124
00:05:35,715 --> 00:05:37,841
Pokażę ci jeden z wielu dowodów 

125
00:05:37,941 --> 00:05:39,455
twierdzenia Pitagorasa.

126
00:05:43,762 --> 00:05:45,855
Spójrz na tę ilustrację.

127
00:05:45,955 --> 00:05:48,592
4 identyczne trójkąty prostokątne 

128
00:05:48,692 --> 00:05:51,873
ustawiono w taki sposób, że powstał kwadrat.

129
00:05:51,973 --> 00:05:54,303
Wewnątrz mamy drugą figurę.

130
00:05:54,403 --> 00:05:56,351
Zaraz dowiemy się, jaka to figura.

131
00:05:56,878 --> 00:05:59,481
Długość dłuższej przyprostokątnej 

132
00:05:59,581 --> 00:06:01,900
każdego z 4 identycznych trójkątów 

133
00:06:02,000 --> 00:06:04,679
prostokątnych oznaczmy literą a.

134
00:06:04,779 --> 00:06:07,062
Długość krótszej przyprostokątnej 

135
00:06:07,162 --> 00:06:09,464
każdego z 4 identycznych trójkątów 

136
00:06:09,564 --> 00:06:11,710
prostokątnych oznaczmy literą b.

137
00:06:11,911 --> 00:06:15,895
Długość przeciwprostokątnej oznaczmy literą c.

138
00:06:16,556 --> 00:06:18,707
Figura, która znajduje się wewnątrz 

139
00:06:18,807 --> 00:06:20,935
dużego kwadratu ma wszystkie boki 

140
00:06:21,035 --> 00:06:23,626
tej samej długości. Czy ma też identyczne 

141
00:06:23,726 --> 00:06:25,534
wszystkie kąty? Sprawdźmy to.

142
00:06:25,635 --> 00:06:28,863
Spójrzmy na taki jeden trójkąt prostokątny.

143
00:06:28,963 --> 00:06:31,423
Jeden z kątów ma 90 stopni.

144
00:06:31,523 --> 00:06:33,447
Oznacza to, że suma miar 

145
00:06:33,547 --> 00:06:36,518
pozostałych kątów to również 90 stopni.

146
00:06:36,728 --> 00:06:40,352
Dlaczego? Pamiętaj, że suma miar kątów 

147
00:06:40,452 --> 00:06:43,432
w trójkącie zawsze wynosi 180 stopni.

148
00:06:43,532 --> 00:06:45,608
Skoro ten kąt ma 90 stopni, 

149
00:06:45,708 --> 00:06:48,161
to te 2 muszą mieć 90 stopni.

150
00:06:48,261 --> 00:06:50,879
Narysuję teraz tutaj taki kąt.

151
00:06:50,979 --> 00:06:53,953
Zwróć uwagę, że te trzy kąty tworzą razem 

152
00:06:54,053 --> 00:06:57,619
kąt półpełny, czyli taki, który ma 180 stopni.

153
00:06:57,845 --> 00:07:01,126
Skoro kąty czerwone oraz różowe

154
00:07:01,226 --> 00:07:03,085
razem mają 90 stopni,

155
00:07:03,185 --> 00:07:06,239
to ten kąt również musi mieć 90 stopni.

156
00:07:06,339 --> 00:07:08,031
Tutaj mamy kąt prosty.

157
00:07:08,131 --> 00:07:11,555
Ta sama sytuacja zachodzi w tym miejscu,

158
00:07:11,655 --> 00:07:15,199
w tym miejscu i w tym miejscu.

159
00:07:16,150 --> 00:07:17,933
Dowiedzieliśmy się zatem, 

160
00:07:18,033 --> 00:07:19,908
że ta figura, która znajduje się 

161
00:07:20,008 --> 00:07:23,273
wewnątrz dużego kwadratu też jest kwadratem.

162
00:07:23,574 --> 00:07:26,964
Skoro długość boku tego kwadratu wynosi c, 

163
00:07:27,064 --> 00:07:30,178
to pole tego kwadratu wynosi c do kwadratu.

164
00:07:31,484 --> 00:07:34,782
Spójrz teraz na identyczną ilustrację, jak tutaj, 

165
00:07:34,882 --> 00:07:37,937
tylko bez zapisów, które wykonałem.

166
00:07:38,037 --> 00:07:39,415
Zastanów się teraz, 

167
00:07:39,515 --> 00:07:41,822
czy da się wewnątrz tego kwadratu

168
00:07:41,923 --> 00:07:44,566
zmienić położenie tych 4 trójkątów

169
00:07:44,666 --> 00:07:46,687
prostokątnych w taki sposób,

170
00:07:46,787 --> 00:07:49,362
aby tę kwadratową murawę podzielić 

171
00:07:49,462 --> 00:07:52,024
na 2 mniejsze kwadratowe murawy.

172
00:07:55,456 --> 00:07:58,975
Spójrz na animację, która pokaże ci, jak to zrobić.

173
00:08:01,482 --> 00:08:02,559
Zobacz!

174
00:08:02,659 --> 00:08:04,579
Z takiego kwadratowego boiska 

175
00:08:04,679 --> 00:08:06,922
zrobiliśmy dwa mniejsze boiska.

176
00:08:08,144 --> 00:08:10,639
Widzimy, że wewnątrz tych dwóch boisk 

177
00:08:10,739 --> 00:08:12,673
znajdują się kąty proste.

178
00:08:12,773 --> 00:08:14,889
Nie zaznaczę ich, żeby dalsze zapisy

179
00:08:14,989 --> 00:08:16,383
 były bardziej czytelne.

180
00:08:16,483 --> 00:08:17,919
To na nich się skupimy.

181
00:08:18,632 --> 00:08:21,034
Przypomnę, że mamy do czynienia z czterema

182
00:08:21,134 --> 00:08:23,551
identycznymi trójkątami prostokątnymi.

183
00:08:23,651 --> 00:08:26,027
Długość dłuższej przyprostokątnej 

184
00:08:26,127 --> 00:08:27,646
oznaczyliśmy literą a.

185
00:08:27,747 --> 00:08:30,015
Oznaczmy to również na tym rysunku.

186
00:08:30,115 --> 00:08:33,162
Tutaj mamy bok, którego długość wynosi a

187
00:08:33,262 --> 00:08:35,047
i tutaj również mamy bok, 

188
00:08:35,147 --> 00:08:36,862
którego długość wynosi a.

189
00:08:36,979 --> 00:08:38,399
Co za tym idzie?

190
00:08:38,499 --> 00:08:43,223
Ten odcinek ma również długość a

191
00:08:43,918 --> 00:08:47,359
i ten odcinek ma również długość równą a.

192
00:08:47,726 --> 00:08:50,095
To boisko jest zatem kwadratem 

193
00:08:50,195 --> 00:08:52,037
o długości boku równej a.

194
00:08:52,137 --> 00:08:55,770
Oznacza to, że jego pole wynosi a do kwadratu.

195
00:08:56,372 --> 00:08:59,051
Poszukajmy teraz pola drugiego boiska.

196
00:08:59,260 --> 00:09:03,231
Długość krótszej przyprostokątnej oznaczyliśmy literą b.

197
00:09:03,361 --> 00:09:05,788
Tutaj mamy krótszą przyprostokątną. 

198
00:09:05,888 --> 00:09:07,580
Jej długość wynosi b.

199
00:09:07,680 --> 00:09:10,099
Tutaj również mamy krótszą przyprostokątną, 

200
00:09:10,199 --> 00:09:12,083
której długość wynosi b.

201
00:09:12,183 --> 00:09:14,495
Co za tym idzie? Tutaj również mamy odcinek,

202
00:09:14,595 --> 00:09:16,410
którego długość to b

203
00:09:16,510 --> 00:09:19,103
i tutaj mamy taki sam odcinek.

204
00:09:19,289 --> 00:09:23,064
Mamy tutaj kwadrat, którego  bok ma długość b.

205
00:09:23,164 --> 00:09:25,332
Jakie jest pole tego kwadratu?

206
00:09:25,432 --> 00:09:27,039
b do kwadratu.

207
00:09:27,199 --> 00:09:30,111
Teraz przyszła pora na wyciągnięcie wniosków.

208
00:09:30,522 --> 00:09:33,073
Pole tego kwadratowego boiska 

209
00:09:33,173 --> 00:09:34,597
to c do kwadratu.

210
00:09:34,698 --> 00:09:37,193
Zapiszę tutaj c do kwadratu.

211
00:09:38,105 --> 00:09:41,361
Zmieniając położenie tych 4 identycznych 

212
00:09:41,461 --> 00:09:43,240
trójkątów prostokątnych 

213
00:09:43,340 --> 00:09:44,967
wewnątrz tego kwadratu

214
00:09:45,068 --> 00:09:47,775
otrzymałem dwa mniejsze boiska.

215
00:09:47,875 --> 00:09:50,342
Pole jednego z nich to a do kwadratu, 

216
00:09:50,442 --> 00:09:52,535
a pole drugiego to b do kwadratu.

217
00:09:52,685 --> 00:09:55,765
Suma pól tych dwóch boisk jest taka sama,

218
00:09:55,865 --> 00:09:59,180
jak pole tego boiska. Oznacza to, że c do kwadratu 

219
00:09:59,280 --> 00:10:03,993
to tyle, co a do kwadratu dodać b do kwadratu.

220
00:10:04,462 --> 00:10:07,137
Ciekawostką jest, że opublikowano 

221
00:10:07,237 --> 00:10:10,343
przynajmniej 118 geometrycznych dowodów 

222
00:10:10,443 --> 00:10:12,236
twierdzenia Pitagorasa,

223
00:10:12,338 --> 00:10:14,832
a jeden z niemieckich matematyków udowodnił, 

224
00:10:14,932 --> 00:10:17,260
że jest ich nieskończenie wiele.

225
00:10:22,549 --> 00:10:24,968
Twierdzenie Pitagorasa mówi o tym, 

226
00:10:25,068 --> 00:10:27,898
że suma kwadratów długości przyprostokątnych 

227
00:10:27,998 --> 00:10:30,053
jest taka sama, jak kwadrat 

228
00:10:30,153 --> 00:10:32,283
długości przeciwprostokątnej.

229
00:10:32,493 --> 00:10:35,196
Na tym rysunku długości przyprostokątnych 

230
00:10:35,296 --> 00:10:38,293
oznaczono literami k oraz m, a długość

231
00:10:38,393 --> 00:10:40,767
przeciwprostokątnej literą x.

232
00:10:40,867 --> 00:10:43,399
Twierdzenie Pitagorasa zapisane wzorem

233
00:10:43,499 --> 00:10:46,307
 to k do kwadratu dodać m do kwadratu

234
00:10:46,407 --> 00:10:48,211
równa się x do kwadratu.

235
00:10:51,083 --> 00:10:54,004
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji 

236
00:10:54,104 --> 00:10:56,414
o twierdzeniu Pitagorasa oraz do polubienia 

237
00:10:56,514 --> 00:10:58,063
naszej strony na Facebooku.