1
00:00:00,310 --> 00:00:03,519
Na flagach wielu państw możemy znaleźć trójkąty.

2
00:00:03,619 --> 00:00:05,417
Przykładowo na fladze Czech możemy

3
00:00:05,517 --> 00:00:07,631
zaobserwować trójkąt równoramienny,

4
00:00:07,731 --> 00:00:10,373
a na fladze Kuby trójkąt równoboczny.

5
00:00:22,057 --> 00:00:24,923
Lekcję na temat pola trójkąta równobocznego

6
00:00:25,023 --> 00:00:26,932
zaczniemy takim zadaniem.

7
00:00:27,122 --> 00:00:29,719
Oblicz pole trójkąta równobocznego

8
00:00:29,819 --> 00:00:32,292
o boku długości 6 cm.

9
00:00:32,436 --> 00:00:34,624
Aby obliczyć pole tego trójkąta,

10
00:00:34,724 --> 00:00:38,021
na pewno będziemy potrzebowali jego wysokości.

11
00:00:38,121 --> 00:00:41,176
Obliczymy tę wysokość ze znanego nam wzoru

12
00:00:41,276 --> 00:00:43,450
na wysokość trójkąta równobocznego.

13
00:00:43,550 --> 00:00:47,104
h równa się a pierwiastków z 3 przez 2

14
00:00:47,204 --> 00:00:48,930
gdzie a oznacza długość

15
00:00:49,030 --> 00:00:51,158
boku trójkąta równobocznego.

16
00:00:51,493 --> 00:00:53,067
Spróbuj teraz samodzielnie

17
00:00:53,167 --> 00:00:54,783
obliczyć tę wysokość.

18
00:00:58,470 --> 00:01:01,707
Za a możemy podstawić 6, bo tyle wynosi

19
00:01:01,807 --> 00:01:03,693
długość boku naszego trójkąta.

20
00:01:03,793 --> 00:01:05,956
Po wykonaniu dzielenia otrzymamy

21
00:01:06,056 --> 00:01:08,351
3 pierwiastki z 3 cm.

22
00:01:08,719 --> 00:01:11,097
Umieśćmy tę wartość na rysunku.

23
00:01:12,116 --> 00:01:14,528
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

24
00:01:14,628 --> 00:01:17,298
obliczyć pole tego trójkąta równobocznego.

25
00:01:21,023 --> 00:01:24,736
Pole obliczymy ze wzoru a razy h przez 2.

26
00:01:24,836 --> 00:01:28,219
Otrzymamy długość boku trójkąta, czyli 6,

27
00:01:28,319 --> 00:01:30,051
razy wysokość tego trójkąta,

28
00:01:30,151 --> 00:01:32,484
czyli 3 pierwiastki z 3, przez 2.

29
00:01:32,687 --> 00:01:35,140
Po wykonaniu tego mnożenia w liczniku,

30
00:01:35,240 --> 00:01:38,485
otrzymamy 18 pierwiastków z 3 przez 2.

31
00:01:38,585 --> 00:01:41,120
Po wykonaniu dzielenia otrzymamy,

32
00:01:41,220 --> 00:01:43,073
że pole tego trójkąta wynosi

33
00:01:43,173 --> 00:01:46,493
9 pierwiastków z 3 cm kwadratowych.

34
00:01:46,643 --> 00:01:49,335
Zapamiętajmy ten wynik, bo w czasie tej lekcji

35
00:01:49,435 --> 00:01:51,041
jeszcze do niego wrócimy.

36
00:01:51,180 --> 00:01:54,432
Jednak teraz zajmijmy się takim pytaniem.

37
00:01:54,532 --> 00:01:57,248
Czy da się obliczyć pole trójkąta równobocznego

38
00:01:57,348 --> 00:01:59,378
bez obliczania jego wysokości?

39
00:01:59,478 --> 00:02:01,980
Pamiętamy, że wzór na pole trójkąta

40
00:02:02,080 --> 00:02:03,488
wygląda następująco.

41
00:02:03,793 --> 00:02:06,821
Chcemy pozbyć się tego elementu,

42
00:02:06,921 --> 00:02:08,410
czyli wysokości.

43
00:02:08,511 --> 00:02:11,791
Wiemy, że wysokość w trójkącie równobocznym

44
00:02:11,891 --> 00:02:14,134
możemy zastąpić takim wyrażeniem:

45
00:02:14,234 --> 00:02:16,448
a pierwiastków z 3 przez 2.

46
00:02:16,592 --> 00:02:18,732
Podstawmy tę wartość zamiast h

47
00:02:18,832 --> 00:02:20,023
do naszego wzoru.

48
00:02:20,124 --> 00:02:22,741
Otrzymamy wtedy a razy

49
00:02:22,841 --> 00:02:24,738
a pierwiastków z 3 przez 2.

50
00:02:24,839 --> 00:02:27,968
Jeszcze wszystko musimy podzielić przez 2.

51
00:02:28,068 --> 00:02:31,312
Pozbądźmy się teraz pięter w naszym ułamku.

52
00:02:31,412 --> 00:02:32,814
Zrobimy to w ten sposób,

53
00:02:32,914 --> 00:02:34,376
że wymnożymy przez siebie

54
00:02:34,477 --> 00:02:37,889
wszystkie elementy tego całego dużego ułamka.

55
00:02:37,989 --> 00:02:39,806
Otrzymamy wtedy: a…

56
00:02:39,906 --> 00:02:42,593
Możemy je zapisać jako a pierwszych.

57
00:02:42,719 --> 00:02:46,548
Pomnożymy to przez a pierwiastków z 3 przez 2,

58
00:02:47,227 --> 00:02:49,874
a dzielenie przez 2 możemy zastąpić

59
00:02:49,974 --> 00:02:52,032
mnożeniem przez jedną drugą.

60
00:02:52,541 --> 00:02:55,230
Gdy wymnożymy liczniki tych ułamków,

61
00:02:55,330 --> 00:02:59,247
otrzymamy a razy a pierwiastków z 3 razy 1,

62
00:02:59,347 --> 00:03:01,989
czyli a kwadrat pierwiastków z 3.

63
00:03:02,703 --> 00:03:04,640
Gdy wymnożymy mianowniki,

64
00:03:04,740 --> 00:03:07,492
czyli 1 razy 2 razy 2,

65
00:03:07,593 --> 00:03:09,451
to otrzymamy 4.

66
00:03:09,551 --> 00:03:12,456
Świetnie! Wyznaczyliśmy właśnie wzór

67
00:03:12,556 --> 00:03:14,857
na pole trójkąta równobocznego.

68
00:03:15,035 --> 00:03:17,390
Jak widzisz, jesteśmy w stanie wyznaczyć

69
00:03:17,490 --> 00:03:19,964
pole danego trójkąta równobocznego

70
00:03:20,064 --> 00:03:22,307
bez obliczania jego wysokości.

71
00:03:26,809 --> 00:03:28,767
Spróbujmy teraz ponownie rozwiązać

72
00:03:28,867 --> 00:03:30,436
zadanie z początku lekcji.

73
00:03:30,536 --> 00:03:32,047
Brzmiało ono tak:

74
00:03:32,147 --> 00:03:34,361
oblicz pole trójkąta równobocznego

75
00:03:34,461 --> 00:03:37,088
o boku długości 6 cm.

76
00:03:37,188 --> 00:03:40,256
Jednak tym razem skorzystajmy ze wzoru

77
00:03:40,356 --> 00:03:42,976
na pole trójkąta równobocznego

78
00:03:43,287 --> 00:03:45,895
Po podstawieniu za a długości boku

79
00:03:45,995 --> 00:03:49,788
naszego trójkąta, otrzymamy 6 kwadrat

80
00:03:49,888 --> 00:03:51,393
pierwiastków z 3 przez 4.

81
00:03:52,049 --> 00:03:54,893
6 do kwadratu to 36,

82
00:03:54,993 --> 00:03:59,102
zatem mamy 36 pierwiastków z 3 przez 4.

83
00:03:59,436 --> 00:04:02,712
Po wykonaniu tego dzielenia otrzymamy

84
00:04:02,812 --> 00:04:06,661
9 pierwiastków z trzech cm kwadratowych.

85
00:04:08,734 --> 00:04:10,910
Jak widzisz, pola wyznaczone

86
00:04:11,010 --> 00:04:13,041
tym wzorem oraz tym wzorem

87
00:04:13,141 --> 00:04:16,256
dla tych samych danych są identyczne.

88
00:04:16,420 --> 00:04:18,913
Jednak warto stosować ten wzór

89
00:04:19,013 --> 00:04:20,715
dla trójkątów równobocznych,

90
00:04:20,899 --> 00:04:23,423
ponieważ oszczędzamy wtedy mnóstwo czasu.

91
00:04:27,992 --> 00:04:31,103
Spróbujmy rozwiązać teraz takie zadanie.

92
00:04:31,203 --> 00:04:34,204
Jaką długość ma bok trójkąta równobocznego

93
00:04:34,304 --> 00:04:36,755
o polu równym 36 pierwiastków z 3?

94
00:04:38,527 --> 00:04:40,869
Skorzystajmy ze wzoru na pole trójkąta

95
00:04:40,969 --> 00:04:43,883
równobocznego, który poznaliśmy przed chwilą.

96
00:04:44,372 --> 00:04:47,746
Nie znamy długości boku tego trójkąta.

97
00:04:48,241 --> 00:04:52,202
Znamy za to wartość pola tego trójkąta.

98
00:04:52,302 --> 00:04:56,054
Wartość ta wynosi 36 pierwiastków z 3.

99
00:04:56,154 --> 00:04:58,604
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

100
00:04:58,704 --> 00:05:00,066
wyznaczyć z tego równania

101
00:05:00,166 --> 00:05:02,467
długość boku naszego trójkąta.

102
00:05:06,745 --> 00:05:10,015
Na początku pozbądźmy się tego ułamka.

103
00:05:10,309 --> 00:05:11,692
Zrobimy to mnożąc

104
00:05:11,792 --> 00:05:14,188
obie strony równania przez 4.

105
00:05:14,289 --> 00:05:17,780
Otrzymamy 144 pierwiastki z 3

106
00:05:17,880 --> 00:05:21,081
równa się a kwadrat pierwiastków z 3.

107
00:05:21,181 --> 00:05:23,249
Teraz, chcąc wyznaczyć a,

108
00:05:23,349 --> 00:05:25,710
musimy pozbyć się pierwiastka z 3.

109
00:05:25,810 --> 00:05:28,508
Zatem podzielmy obie strony równania

110
00:05:28,608 --> 00:05:30,239
przez pierwiastek z 3.

111
00:05:30,339 --> 00:05:33,943
Da nam to 144 równa się a kwadrat

112
00:05:34,043 --> 00:05:36,867
i w tym momencie musimy pozbyć się kwadratu.

113
00:05:36,967 --> 00:05:39,222
Oznacza to, że musimy zastanowić się,

114
00:05:39,322 --> 00:05:41,435
jaka liczba podniesiona do kwadratu

115
00:05:41,535 --> 00:05:43,217
da nam 144.

116
00:05:43,318 --> 00:05:45,659
Tą liczbą jest 12.

117
00:05:45,759 --> 00:05:48,520
Oznacza to, że długość boku trójkąta

118
00:05:48,620 --> 00:05:50,719
wynosi 12 jednostek.

119
00:05:50,887 --> 00:05:54,815
Zaznaczmy jeszcze te wartości na naszym rysunku.

120
00:05:56,195 --> 00:05:58,544
Gratulacje! Teraz na pewno poradzisz sobie

121
00:05:58,644 --> 00:06:00,522
świetnie ze wszystkimi zadaniami

122
00:06:00,622 --> 00:06:03,046
dotyczącymi pól trójkątów równobocznych.

123
00:06:08,930 --> 00:06:11,440
Aby obliczyć pole trójkąta równobocznego,

124
00:06:11,540 --> 00:06:13,686
wystarczy znać długość jego boku.

125
00:06:13,786 --> 00:06:16,944
Przykładowo pole trójkąta równobocznego o boku a

126
00:06:17,044 --> 00:06:20,122
obliczymy ze wzoru p równa się a kwadrat

127
00:06:20,222 --> 00:06:22,463
pierwiastków z 3 przez 4.

128
00:06:26,525 --> 00:06:29,098
Zachęcam cię do polubienia naszego profilu

129
00:06:29,198 --> 00:06:31,862
na Facebooku: Pi-stacja matematyka.

130
00:06:31,962 --> 00:06:33,566
Znajdziesz tam między innymi

131
00:06:33,666 --> 00:06:36,116
bardzo wiele ciekawostek matematycznych.