1
00:00:00,352 --> 00:00:02,912
Trzy prostokąty nałożyłem na siebie.

2
00:00:03,926 --> 00:00:05,392
A ty, ile prostokątów

3
00:00:05,412 --> 00:00:07,018
widzisz na tym obrazku?

4
00:00:07,204 --> 00:00:09,662
Napisz odpowiedź w komentarzu pod filmem.

5
00:00:09,774 --> 00:00:11,306
Zobaczymy, czy znajdziesz

6
00:00:11,306 --> 00:00:12,880
wszystkie prostokąty.

7
00:00:23,934 --> 00:00:25,982
Co już wiemy o prostokącie?

8
00:00:26,228 --> 00:00:29,300
To czworokąt, który ma 4 kąty proste.

9
00:00:30,224 --> 00:00:33,040
Przeciwległe boki są do siebie równoległe.

10
00:00:34,134 --> 00:00:36,182
I są takiej samej długości.

11
00:00:36,970 --> 00:00:39,911
Bok AB, ma taką samą długość

12
00:00:39,911 --> 00:00:41,066
jak bok CD.

13
00:00:41,844 --> 00:00:44,928
Tak samo boki BC i AD

14
00:00:44,998 --> 00:00:47,300
też są takiej samej długości.

15
00:00:48,334 --> 00:00:50,162
Tak, jak w każdym czworokącie

16
00:00:50,162 --> 00:00:52,850
suma kątów wynosi 360 stopni.

17
00:00:56,602 --> 00:00:58,588
Poprowadziłem jedną z przekątnych

18
00:00:58,588 --> 00:01:01,466
tego prostokąta i utworzyła ona z bokiem

19
00:01:01,466 --> 00:01:05,834
prostokąta BC kąt o mierze 20 stopni.

20
00:01:07,836 --> 00:01:10,908
Pytanie, jaką miarę ma ten kąt tutaj?

21
00:01:13,056 --> 00:01:15,082
Cały kąt ma 90 stopni.

22
00:01:15,112 --> 00:01:16,761
Tu jest 20 stopni

23
00:01:16,761 --> 00:01:18,022
więc kąt alfa

24
00:01:18,072 --> 00:01:20,772
to jest 90 minus 20

25
00:01:20,772 --> 00:01:23,046
czyli 70 stopni.

26
00:01:26,564 --> 00:01:28,356
To jaką miarę ma kąt beta?

27
00:01:30,670 --> 00:01:32,718
Spójrz na ten trójkąt tutaj.

28
00:01:33,586 --> 00:01:37,170
Suma kątów w trójkącie to 180 stopni.

29
00:01:38,400 --> 00:01:43,520
Gdy od 180, odejmę 70 stopni i 90 stopni

30
00:01:43,576 --> 00:01:45,624
otrzymam miarę kąta beta.

31
00:01:46,306 --> 00:01:48,610
Kąt beta ma 20 stopni.

32
00:01:50,934 --> 00:01:52,254
Zauważ taką rzecz.

33
00:01:52,304 --> 00:01:53,469
Skoro te dwa boki

34
00:01:53,469 --> 00:01:55,046
są do siebie równoległe

35
00:01:55,076 --> 00:01:56,820
to znaczy, że te dwa kąty

36
00:01:56,820 --> 00:01:58,732
są kątami naprzemianległymi

37
00:01:58,732 --> 00:02:00,432
i mają tyle samo stopni.

38
00:02:02,966 --> 00:02:05,264
Przekątna podzieliła ten prostokąt

39
00:02:05,284 --> 00:02:08,860
na dwa identyczne trójkąty prostokątne.

40
00:02:09,386 --> 00:02:11,133
O takich samych bokach

41
00:02:11,163 --> 00:02:13,126
i takich samych kątach.

42
00:02:13,758 --> 00:02:15,595
Takie trójkąty nazywamy

43
00:02:15,605 --> 00:02:17,472
trójkątami przystającymi.

44
00:02:21,830 --> 00:02:24,134
Mamy już na rysunku jedną przekątną.

45
00:02:24,450 --> 00:02:26,242
Teraz narysuję drugą.

46
00:02:28,892 --> 00:02:31,196
Przekątne prostokąta są równe

47
00:02:31,282 --> 00:02:33,330
i dzielą się dokładnie na pół.

48
00:02:34,032 --> 00:02:35,882
Te cztery kolorowe odcinki

49
00:02:35,892 --> 00:02:37,110
są sobie równe.

50
00:02:38,766 --> 00:02:40,598
Obliczymy teraz miary kątów

51
00:02:40,598 --> 00:02:42,291
pod jakimi przecinają się

52
00:02:42,291 --> 00:02:44,052
przekątne tego prostokąta.

53
00:02:45,246 --> 00:02:46,971
Zanim jednak to policzymy

54
00:02:46,971 --> 00:02:47,730
dowiemy się

55
00:02:47,750 --> 00:02:49,518
jaka jest miara tego kąta.

56
00:02:52,098 --> 00:02:54,402
Spójrz teraz na ten trójkąt.

57
00:02:57,524 --> 00:02:59,572
Jest to trójkąt równoramienny.

58
00:02:59,818 --> 00:03:01,610
Ma 2 takie same boki

59
00:03:02,308 --> 00:03:04,613
czyli te dwa kąty

60
00:03:06,385 --> 00:03:08,588
muszą mieć tyle samo stopni.

61
00:03:08,668 --> 00:03:10,972
Czyli kąt alfa ma 20 stopni.

62
00:03:12,834 --> 00:03:14,626
To jaką miarę ma kąt beta?

63
00:03:15,324 --> 00:03:16,592
Zatrzymaj teraz film

64
00:03:16,612 --> 00:03:18,818
i policz ile stopni ma kąt beta.

65
00:03:24,560 --> 00:03:27,085
Suma kątów w każdym trójkącie

66
00:03:27,165 --> 00:03:28,582
to 180 stopni.

67
00:03:29,464 --> 00:03:33,816
180 minus 20 i minus 20

68
00:03:33,842 --> 00:03:35,634
to jest 140 stopni.

69
00:03:36,692 --> 00:03:39,764
Czyli kąt beta musi mieć 140 stopni.

70
00:03:41,240 --> 00:03:42,540
Zastanówmy się teraz

71
00:03:42,540 --> 00:03:44,226
jaką miarę ma kąt gamma.

72
00:03:44,854 --> 00:03:45,622
O tutaj.

73
00:03:51,304 --> 00:03:53,864
Te dwa kąty są kątami przyległymi.

74
00:03:54,256 --> 00:03:56,816
I mają w sumie 180 stopni.

75
00:03:57,624 --> 00:03:59,416
To ile stopni ma kąt gamma?

76
00:04:00,470 --> 00:04:02,995
180 minus 140

77
00:04:02,995 --> 00:04:06,102
czyli 40 stopni.

78
00:04:08,070 --> 00:04:10,653
Obliczyliśmy teraz pod jakimi kątami

79
00:04:10,683 --> 00:04:13,476
przecinają się przekątne tego prostokąta.

80
00:04:14,756 --> 00:04:17,012
Kąt ostry ma 40 stopni

81
00:04:17,022 --> 00:04:19,881
a kąt rozwarty 140 stopni.

82
00:04:23,183 --> 00:04:25,743
Mogliśmy to zadanie zacząć trochę inaczej.

83
00:04:26,009 --> 00:04:26,839
Zobacz.

84
00:04:26,909 --> 00:04:28,722
Ten trójkąt też jest trójkątem

85
00:04:28,762 --> 00:04:30,269
równoramiennym.

86
00:04:32,399 --> 00:04:34,959
Ten i ten bok są sobie równe.

87
00:04:35,511 --> 00:04:37,250
Tu jest 70 stopni

88
00:04:37,250 --> 00:04:40,285
więc ten kąt także ma 70 stopni.

89
00:04:40,907 --> 00:04:44,491
A te trzy kąty w sumie dają 180 stopni.

90
00:04:44,943 --> 00:04:46,349
Tyle, ile wynosi suma

91
00:04:46,359 --> 00:04:47,965
miar kątów w trójkącie.

92
00:04:53,647 --> 00:04:54,794
Przypomnijmy sobie

93
00:04:54,824 --> 00:04:56,733
co już wiemy o kwadracie.

94
00:04:57,141 --> 00:04:59,073
Kwadrat jest prostokątem

95
00:04:59,153 --> 00:05:01,317
czyli ma wszystkie kąty proste.

96
00:05:01,869 --> 00:05:03,097
Ale oprócz tego

97
00:05:03,107 --> 00:05:06,065
ma wszystkie boki takiej samej długości.

98
00:05:06,929 --> 00:05:09,513
Narysowałem teraz przekątną kwadratu.

99
00:05:10,051 --> 00:05:11,775
Podzieliła ona ten kwadrat

100
00:05:11,795 --> 00:05:13,751
na dwa trójkąty prostokątne.

101
00:05:14,423 --> 00:05:16,883
Oba te trójkąty są prostokątne

102
00:05:17,089 --> 00:05:19,151
a na dodatek równoramienne.

103
00:05:19,869 --> 00:05:21,244
Te dwa boki trójkąta

104
00:05:21,254 --> 00:05:22,997
mają taką samą długość.

105
00:05:23,639 --> 00:05:26,199
Dlatego możemy zauważyć taką rzecz.

106
00:05:26,987 --> 00:05:29,396
Przekątna tworzy z każdym z boków

107
00:05:29,446 --> 00:05:31,531
kąt 45 stopni.

108
00:05:33,367 --> 00:05:36,183
Przekątna dzieli kąt prosty na pół.

109
00:05:38,437 --> 00:05:40,485
Narysuję teraz drugą przekątną.

110
00:05:41,529 --> 00:05:45,281
Te cztery kąty, także mają po 45 stopni.

111
00:05:45,341 --> 00:05:46,111
Zobacz.

112
00:05:48,235 --> 00:05:49,755
Co jeszcze warto wiedzieć

113
00:05:49,755 --> 00:05:51,297
o przekątnych kwadratu?

114
00:05:52,125 --> 00:05:53,399
Przekątne w kwadracie

115
00:05:53,409 --> 00:05:55,047
są takiej samej długości.

116
00:05:56,121 --> 00:05:57,657
I dzielą się na połowy.

117
00:05:59,745 --> 00:06:01,424
A czy wiesz pod jakim kątem

118
00:06:01,454 --> 00:06:03,279
przecinają się te przekątne?

119
00:06:05,141 --> 00:06:06,261
Przekątne w kwadracie

120
00:06:06,261 --> 00:06:08,576
przecinają się pod kątem prostym.

121
00:06:08,896 --> 00:06:10,631
Co zaznaczyłem tutaj.

122
00:06:11,451 --> 00:06:12,654
Możesz też zauważyć

123
00:06:12,654 --> 00:06:13,983
że te cztery trójkąty

124
00:06:14,013 --> 00:06:15,559
które powstały w środku

125
00:06:15,559 --> 00:06:16,567
są przystające.

126
00:06:17,369 --> 00:06:19,161
Mają takie same kąty:

127
00:06:19,763 --> 00:06:24,883
45, 45 i 90 oraz takie same boki.

128
00:06:25,857 --> 00:06:28,181
Są to cztery trójkąty prostokątne

129
00:06:28,241 --> 00:06:30,159
i na dodatek równoramienne.

130
00:06:34,265 --> 00:06:35,525
Mam tutaj kwadrat

131
00:06:35,525 --> 00:06:37,081
o boku 2 centymetrów.

132
00:06:37,693 --> 00:06:38,756
Przedłużę teraz

133
00:06:38,756 --> 00:06:40,314
dwa boki tego kwadratu

134
00:06:40,334 --> 00:06:41,714
o 1 centymetr.

135
00:06:41,800 --> 00:06:42,583
Zobacz.

136
00:06:44,073 --> 00:06:45,386
Pozostałe dwa boki

137
00:06:45,416 --> 00:06:47,351
przedłużę o 3 centymetry.

138
00:06:50,945 --> 00:06:53,966
Otrzymałem punkty a, b, c i d

139
00:06:54,056 --> 00:06:56,259
które połączyłem ze sobą.

140
00:06:56,567 --> 00:06:58,469
Powstał mi pewien czworokąt.

141
00:06:58,575 --> 00:06:59,945
Pytanie jest takie

142
00:07:00,011 --> 00:07:02,571
czy ten czworokąt jest prostokątem?

143
00:07:04,649 --> 00:07:06,242
Patrząc na rysunek widać

144
00:07:06,262 --> 00:07:08,253
że chyba to nie jest prostokąt.

145
00:07:08,805 --> 00:07:11,109
Ale to nie jest poprawne uzasadnienie.

146
00:07:11,415 --> 00:07:14,219
Musimy znaleźć jakiś matematyczny dowód.

147
00:07:15,265 --> 00:07:16,289
Pokażę Ci jak.

148
00:07:17,017 --> 00:07:18,913
Popatrz na ten trójkąt tutaj.

149
00:07:20,817 --> 00:07:22,609
To jest trójkąt prostokątny.

150
00:07:25,053 --> 00:07:27,869
A jakiej długości są boki tego trójkąta?

151
00:07:30,053 --> 00:07:32,869
Tutaj mamy 3 i tutaj mamy 3.

152
00:07:33,983 --> 00:07:35,912
To jest trójkąt prostokątny

153
00:07:35,942 --> 00:07:37,441
i równoramienny.

154
00:07:38,747 --> 00:07:40,295
Czy potrafimy powiedzieć

155
00:07:40,295 --> 00:07:41,929
ile stopni mają te dwa kąty?

156
00:07:44,143 --> 00:07:46,453
Skoro to jest trójkąt prostokątny

157
00:07:46,473 --> 00:07:48,107
i jeszcze równoramienny

158
00:07:48,107 --> 00:07:49,707
mamy tutaj 90

159
00:07:49,707 --> 00:07:52,291
a tutaj po 45 stopni.

160
00:07:53,299 --> 00:07:55,859
Te dwa kąty muszą mieć taką samą miarę.

161
00:07:57,063 --> 00:07:57,831
Dobra.

162
00:07:58,027 --> 00:08:00,173
To teraz spójrzmy na drugi trójkąt.

163
00:08:00,203 --> 00:08:01,023
O tutaj.

164
00:08:03,529 --> 00:08:05,833
Ten trójkąt też jest prostokątny.

165
00:08:06,907 --> 00:08:08,699
Ale czy jest równoramienny?

166
00:08:11,957 --> 00:08:14,773
Tutaj mamy 1, tutaj mamy 5.

167
00:08:15,179 --> 00:08:17,739
Więc ten trójkąt nie jest równoramienny.

168
00:08:18,251 --> 00:08:19,585
Co to nam mówi?

169
00:08:20,279 --> 00:08:21,474
Ten kąt tutaj

170
00:08:21,474 --> 00:08:23,863
na pewno nie ma 45 stopni.

171
00:08:24,847 --> 00:08:26,691
A tylko wtedy gdyby miał

172
00:08:26,691 --> 00:08:28,263
suma tych dwóch kątów

173
00:08:28,263 --> 00:08:29,611
dałaby kąt prosty.

174
00:08:31,101 --> 00:08:32,572
Gdyby to był prostokąt

175
00:08:32,592 --> 00:08:35,203
wszystkie kąty miałyby po 90 stopni.

176
00:08:36,161 --> 00:08:37,670
Właśnie udowodniliśmy

177
00:08:37,670 --> 00:08:38,892
że nasz czworokąt

178
00:08:38,932 --> 00:08:40,222
nie jest prostokątem

179
00:08:40,262 --> 00:08:42,677
ponieważ jego kąty nie są proste.

180
00:08:49,965 --> 00:08:51,653
Prostokąt to czworokąt

181
00:08:51,693 --> 00:08:54,251
w którym wszystkie kąty są proste.

182
00:08:54,367 --> 00:08:55,482
A przeciwległe boki

183
00:08:55,492 --> 00:08:57,475
są parami równe i równoległe.

184
00:08:58,739 --> 00:09:00,539
Szczególnym rodzajem prostokąta

185
00:09:00,559 --> 00:09:01,675
jest kwadrat.

186
00:09:02,373 --> 00:09:04,425
Każdy kwadrat ma równe boki

187
00:09:04,465 --> 00:09:06,349
i wszystkie kąty proste.

188
00:09:07,147 --> 00:09:08,427
Tylko w kwadracie

189
00:09:08,457 --> 00:09:11,017
przekątna dzieli kąt prosty na pół.

190
00:09:15,801 --> 00:09:17,288
Obejrzyj pozostałe filmy

191
00:09:17,288 --> 00:09:18,982
o prostokącie i kwadracie

192
00:09:18,982 --> 00:09:20,812
i wejdź na naszą pistacjową

193
00:09:20,852 --> 00:09:22,702
stronę na Facebook'u.