1
00:00:00,512 --> 00:00:02,559
Tangram to chińska łamigłówka

2
00:00:02,559 --> 00:00:04,864
znana od około 3000 lat.

3
00:00:05,120 --> 00:00:06,915
Składa się z siedmiu elementów

4
00:00:06,915 --> 00:00:09,728
które są różnymi figurami geometrycznymi.

5
00:00:09,984 --> 00:00:12,288
Które z tych figur są identyczne?

6
00:00:25,088 --> 00:00:26,560
Na samym początku filmu

7
00:00:26,560 --> 00:00:27,904
mam do Ciebie pytanie.

8
00:00:28,160 --> 00:00:29,390
Czy według Ciebie

9
00:00:29,390 --> 00:00:31,488
te dwa trójkąty są identyczne?

10
00:00:33,280 --> 00:00:36,608
Ten trójkąt ma boki 2, 4 i 5.

11
00:00:37,632 --> 00:00:38,993
A ten trójkąt?

12
00:00:38,993 --> 00:00:41,472
Też ma boki 2, 4 i 5.

13
00:00:43,520 --> 00:00:45,312
Gdy obrócę ten trójkąt

14
00:00:45,568 --> 00:00:47,637
i przesunę go w miejsce drugiego

15
00:00:47,637 --> 00:00:49,408
idealnie się nałożą.

16
00:00:50,176 --> 00:00:52,097
To znaczy, że te dwa trójkąty

17
00:00:52,097 --> 00:00:53,498
są identyczne.

18
00:00:55,040 --> 00:00:56,869
W matematyce takie figury

19
00:00:56,869 --> 00:00:59,136
nazywamy figurami przystającymi.

20
00:00:59,904 --> 00:01:02,464
Tutaj mamy dwa trójkąty przystające.

21
00:01:02,720 --> 00:01:04,945
Mają taki sam kształt

22
00:01:04,945 --> 00:01:08,352
czyli odpowiednie boki równej długości

23
00:01:08,608 --> 00:01:11,168
i odpowiednie kąty równej miary.

24
00:01:12,192 --> 00:01:14,095
Cechą, dzięki której stwierdziłem

25
00:01:14,095 --> 00:01:16,228
że te dwa trójkąty są przystające

26
00:01:16,228 --> 00:01:19,196
nazywamy bok-bok-bok

27
00:01:19,196 --> 00:01:21,536
w skrócie bbb.

28
00:01:22,176 --> 00:01:24,078
Te trójkąty są przystające

29
00:01:24,078 --> 00:01:26,624
ponieważ trzy boki w jednym trójkącie

30
00:01:26,624 --> 00:01:28,733
mają taką samą długość

31
00:01:28,733 --> 00:01:31,346
jak trzy boki w drugim trójkącie.

32
00:01:36,064 --> 00:01:37,792
Czas na pierwsze zadanie.

33
00:01:37,792 --> 00:01:39,505
Mamy tutaj dwa trójkąty

34
00:01:39,705 --> 00:01:43,208
ABC oraz DEF.

35
00:01:44,192 --> 00:01:45,931
I z treści zadania wiem

36
00:01:45,931 --> 00:01:47,753
że są one przystające.

37
00:01:47,753 --> 00:01:49,824
Zapisuję to w taki sposób.

38
00:01:50,592 --> 00:01:54,259
Trójkąt ABC jest przystający

39
00:01:54,259 --> 00:01:56,604
do trójkąta DEF.

40
00:01:57,504 --> 00:01:59,439
Popatrz na te dwa trójkąty.

41
00:01:59,439 --> 00:02:01,088
Wiemy, że są przystające

42
00:02:01,600 --> 00:02:03,243
czyli identyczne.

43
00:02:03,243 --> 00:02:06,464
Mają takie same boki i takie same kąty

44
00:02:06,976 --> 00:02:10,048
ale długości kilku boków nie znamy.

45
00:02:10,048 --> 00:02:12,950
Uzupełnijmy brakujące długości boków.

46
00:02:12,950 --> 00:02:14,338
To zadanie na teraz.

47
00:02:15,168 --> 00:02:17,728
Spójrzmy na ten bok DF.

48
00:02:18,468 --> 00:02:21,028
Leży przy kącie prostym

49
00:02:21,722 --> 00:02:23,786
a w tym trójkącie przy kącie prostym

50
00:02:23,786 --> 00:02:26,432
mamy trójkę i czwórkę.

51
00:02:27,278 --> 00:02:29,878
Skoro te dwa trójkąty są przystające

52
00:02:29,878 --> 00:02:31,296
czyli identyczne

53
00:02:31,552 --> 00:02:33,344
to tu musimy mieć 3

54
00:02:33,856 --> 00:02:35,136
a tutaj 4.

55
00:02:36,928 --> 00:02:39,488
W obu trójkątach mamy bok 3

56
00:02:39,744 --> 00:02:41,280
i bok 4.

57
00:02:42,048 --> 00:02:43,840
To jaką długość ma ten bok?

58
00:02:45,376 --> 00:02:46,656
Musi mieć 5.

59
00:02:46,912 --> 00:02:50,240
Trzeci bok obu trójkątów ma długość 5.

60
00:02:54,848 --> 00:02:56,390
A czy możemy powiedzieć

61
00:02:56,390 --> 00:02:58,775
że dwa trójkąty są przystające

62
00:02:58,775 --> 00:03:00,480
gdy nie znamy wszystkich boków?

63
00:03:01,504 --> 00:03:03,296
Popatrz na te dwa trójkąty.

64
00:03:03,808 --> 00:03:05,600
Czy są one identyczne?

65
00:03:06,880 --> 00:03:08,069
Te dwa trójkąty

66
00:03:08,069 --> 00:03:10,448
są trójkątami przystającymi.

67
00:03:10,720 --> 00:03:12,512
Mamy 2 i 3

68
00:03:12,768 --> 00:03:14,816
i tutaj też mamy 2 i 3.

69
00:03:15,584 --> 00:03:16,356
Ale!

70
00:03:16,356 --> 00:03:18,211
Kąt pomiędzy tymi bokami

71
00:03:18,211 --> 00:03:19,680
musi być identyczny.

72
00:03:20,704 --> 00:03:23,225
Tutaj pomiędzy dwójką i trójką

73
00:03:23,225 --> 00:03:24,800
mamy kąt prosty.

74
00:03:25,824 --> 00:03:28,128
Tutaj pomiędzy dwójką i trójką

75
00:03:28,128 --> 00:03:29,664
też mamy kąt prosty.

76
00:03:30,688 --> 00:03:32,866
Taka cecha przystawania trójkątów

77
00:03:32,866 --> 00:03:34,784
nazywa się bok-kąt-bok.

78
00:03:35,296 --> 00:03:37,538
W skrócie bkb.

79
00:03:38,878 --> 00:03:41,952
W obu trójkątach mamy dwa identyczne boki

80
00:03:42,208 --> 00:03:45,280
i kąt, który leży pomiędzy tymi bokami.

81
00:03:47,584 --> 00:03:49,340
To teraz pytanie do Ciebie.

82
00:03:49,376 --> 00:03:52,004
Czy ten trójkąt jest przystający

83
00:03:52,004 --> 00:03:53,728
do obu tych trójkątów?

84
00:03:53,984 --> 00:03:55,838
Możesz teraz zatrzymać film

85
00:03:55,838 --> 00:03:57,307
pomyśleć przez chwilę

86
00:03:57,307 --> 00:03:59,616
a potem puścić dalszą część wideo.

87
00:04:04,480 --> 00:04:05,565
Te dwa trójkąty

88
00:04:05,565 --> 00:04:07,808
nie są trójkątami przystającymi.

89
00:04:08,320 --> 00:04:09,088
Dlaczego?

90
00:04:09,344 --> 00:04:11,904
Mimo, że mamy 2 takie same boki

91
00:04:12,160 --> 00:04:13,440
2 i 3

92
00:04:13,696 --> 00:04:15,912
i tutaj też jest 2 i 3

93
00:04:15,912 --> 00:04:17,829
to pomiędzy tymi bokami

94
00:04:17,829 --> 00:04:19,839
mamy różne kąty.

95
00:04:20,095 --> 00:04:21,375
Tu jest kąt prosty

96
00:04:21,911 --> 00:04:24,217
a tutaj pomiędzy dwójką i trójką

97
00:04:24,217 --> 00:04:25,727
nie ma kąta prostego.

98
00:04:26,495 --> 00:04:28,799
Te trójkąty nie są przystające

99
00:04:29,055 --> 00:04:31,232
czyli nie są identyczne.

100
00:04:31,232 --> 00:04:32,383
Popatrz.

101
00:04:38,527 --> 00:04:40,496
Wiemy, że te dwa trójkąty

102
00:04:40,496 --> 00:04:42,623
są trójkątami przystającymi.

103
00:04:44,927 --> 00:04:49,279
W tym trójkącie mamy boki o długości 5, 6

104
00:04:49,535 --> 00:04:51,716
i kąt 35 stopni

105
00:04:51,716 --> 00:04:54,143
który leży między tymi bokami

106
00:04:54,399 --> 00:04:56,198
a w tym trójkącie nie wiemy

107
00:04:56,198 --> 00:04:57,983
który z boków to 5.

108
00:04:58,239 --> 00:05:01,311
Czy potrafisz wskazać, który to bok?

109
00:05:02,499 --> 00:05:05,663
Zobacz jak położone są boki i kąty,

110
00:05:06,431 --> 00:05:10,517
Ten kąt 35 stopni leży pomiędzy bokiem

111
00:05:10,517 --> 00:05:13,855
o długości 5 i bokiem o długości 6.

112
00:05:15,135 --> 00:05:17,046
Ten trójkąt jest przystający

113
00:05:17,046 --> 00:05:18,587
czyli identyczny.

114
00:05:18,719 --> 00:05:21,981
Kąt o mierze 35 stopni musi leżeć

115
00:05:21,981 --> 00:05:24,160
pomiędzy bokiem o długości 5

116
00:05:24,160 --> 00:05:26,143
i bokiem o długości 6.

117
00:05:26,399 --> 00:05:28,144
35 stopni

118
00:05:28,144 --> 00:05:29,660
tu jest szóstka

119
00:05:29,660 --> 00:05:32,543
to ten bok musi mieć długość 5.

120
00:05:35,103 --> 00:05:37,151
Te trójkąty są przystające

121
00:05:37,407 --> 00:05:39,449
czyli możesz je na siebie nałożyć.

122
00:05:39,711 --> 00:05:41,044
W tym przypadku musiałbym

123
00:05:41,044 --> 00:05:42,495
wziąć ten trójkąt

124
00:05:42,495 --> 00:05:44,575
i przewrócić go na drugą stronę.

125
00:05:45,087 --> 00:05:47,391
Wtedy otrzymam ten trójkąt tutaj.

126
00:05:47,903 --> 00:05:50,207
W tym filmie nie mogę tego zrobić

127
00:05:50,207 --> 00:05:51,662
ale możesz narysować

128
00:05:51,662 --> 00:05:53,336
takie trójkąty u siebie

129
00:05:53,336 --> 00:05:56,351
wyciąć je i spróbować na siebie nałożyć.

130
00:06:01,547 --> 00:06:02,637
Opowiedziałem Ci

131
00:06:02,637 --> 00:06:04,929
o dwóch cechach przystawania trójkątów

132
00:06:05,311 --> 00:06:06,591
bbb

133
00:06:06,847 --> 00:06:08,120
czyli w obu trójkątach

134
00:06:08,120 --> 00:06:10,175
mamy takie same boki

135
00:06:10,687 --> 00:06:12,031
i bkb

136
00:06:12,223 --> 00:06:14,498
czyli mamy dwa takie same boki

137
00:06:14,498 --> 00:06:15,830
i taki sam kąt

138
00:06:15,830 --> 00:06:18,367
który leży pomiędzy tymi dwoma bokami.

139
00:06:19,135 --> 00:06:21,487
Trzecią cechą przystawania trójkątów

140
00:06:21,487 --> 00:06:22,975
jest kbk.

141
00:06:23,743 --> 00:06:27,327
Co mogę rozszyfrować jako kąt-bok-kąt.

142
00:06:28,607 --> 00:06:29,731
Te dwa trójkąty

143
00:06:29,731 --> 00:06:31,176
które widzisz tutaj

144
00:06:31,176 --> 00:06:33,446
są przystające i mogę to stwierdzić

145
00:06:33,446 --> 00:06:35,936
korzystając właśnie z tej z cechy

146
00:06:35,936 --> 00:06:37,823
kąt-bok-kąt.

147
00:06:38,335 --> 00:06:39,103
Zobacz.

148
00:06:39,615 --> 00:06:43,455
Mamy tutaj dwa kąty 30 i 45 stopni.

149
00:06:44,223 --> 00:06:45,289
W tym trójkącie

150
00:06:45,289 --> 00:06:48,831
także mamy kąty 30 i 45 stopni

151
00:06:49,343 --> 00:06:52,159
czyli dwa kąty mają taką samą miarę.

152
00:06:53,951 --> 00:06:57,023
Dodatkowo musimy mieć jeden taki sam bok.

153
00:06:58,583 --> 00:07:01,063
Bok, który jest pomiędzy tym kątem

154
00:07:01,063 --> 00:07:03,167
a tym ma długość 6

155
00:07:03,679 --> 00:07:06,495
i dokładnie tak samo jest w tym trójkącie.

156
00:07:07,007 --> 00:07:09,311
30, 45

157
00:07:09,567 --> 00:07:11,871
a ten bok ma długość 6.

158
00:07:16,479 --> 00:07:18,274
Czas na ostatni przykład.

159
00:07:18,274 --> 00:07:20,428
Sprawdźmy, czy te dwa trójkąty

160
00:07:20,428 --> 00:07:22,367
są trójkątami przystającymi.

161
00:07:23,647 --> 00:07:25,224
W tym filmie opowiedziałem Ci

162
00:07:25,224 --> 00:07:26,356
o trzech cechach

163
00:07:26,356 --> 00:07:28,350
dzięki którym możemy stwierdzić

164
00:07:28,350 --> 00:07:30,151
czy trójkąty są przystające.

165
00:07:30,623 --> 00:07:33,631
Pierwszą z nich było bok-bok-bok.

166
00:07:34,143 --> 00:07:35,300
Czy możemy sprawdzić

167
00:07:35,300 --> 00:07:36,400
że te dwa trójkąty

168
00:07:36,400 --> 00:07:38,495
mają trzy takie same boki?

169
00:07:40,827 --> 00:07:41,597
Nie.

170
00:07:41,597 --> 00:07:44,127
Nie znamy długości wszystkich boków.

171
00:07:44,383 --> 00:07:45,919
To może druga cecha?

172
00:07:46,175 --> 00:07:47,967
bok-kąt-bok

173
00:07:48,991 --> 00:07:51,275
Aby trójkąty były przystające

174
00:07:51,275 --> 00:07:54,040
dwa boki muszą mieć taką samą długość

175
00:07:54,040 --> 00:07:56,292
a kąt, który leży pomiędzy nimi

176
00:07:56,292 --> 00:07:58,463
musi mieć taką samą miarę.

177
00:07:59,743 --> 00:08:01,549
Ta cecha przystawania trójkątów

178
00:08:01,549 --> 00:08:03,071
nie sprawdzi się też tutaj

179
00:08:03,327 --> 00:08:05,582
ponieważ znamy tylko po jednym boku

180
00:08:05,582 --> 00:08:07,423
w każdym trójkącie.

181
00:08:08,959 --> 00:08:10,751
To może trzecia cecha?

182
00:08:11,007 --> 00:08:12,799
kąt-bok-kąt

183
00:08:13,055 --> 00:08:15,406
Musimy mieć dwa takie same kąty

184
00:08:15,406 --> 00:08:18,348
a bok, który leży pomiędzy tymi kątami

185
00:08:18,348 --> 00:08:20,223
ma mieć taką samą długość.

186
00:08:21,495 --> 00:08:22,743
Spróbujmy uzupełnić

187
00:08:22,743 --> 00:08:24,702
brakujące informacje na obrazku.

188
00:08:25,172 --> 00:08:26,455
Czy możesz policzyć miarę

189
00:08:26,455 --> 00:08:28,243
tego kąta tutaj?

190
00:08:28,671 --> 00:08:30,822
Pamiętaj, suma kątów w trójkącie

191
00:08:30,822 --> 00:08:32,511
to 180 stopni.

192
00:08:36,863 --> 00:08:39,950
Gdy od 180 stopni odejmę

193
00:08:39,950 --> 00:08:42,580
miarę tego kąta i miarę tego kąta

194
00:08:42,580 --> 00:08:46,943
otrzymam 37 stopni, czyli miarę tego kąta

195
00:08:46,943 --> 00:08:47,745
o tutaj.

196
00:08:48,751 --> 00:08:49,846
Czy możemy pokazać

197
00:08:49,846 --> 00:08:52,479
że te dwa trójkąty są przystające?

198
00:08:56,009 --> 00:08:56,749
Tak.

199
00:08:56,749 --> 00:08:59,647
Możemy tu skorzystać z cechy kąt-bok-kąt.

200
00:09:00,159 --> 00:09:01,024
Zobacz.

201
00:09:01,024 --> 00:09:05,288
Mamy dwa takie same kąty, a bok

202
00:09:05,288 --> 00:09:08,031
który leży pomiędzy tymi dwoma kątami

203
00:09:08,031 --> 00:09:09,631
ma taką samą długość.

204
00:09:10,657 --> 00:09:11,776
Te dwa trójkąty

205
00:09:11,776 --> 00:09:13,608
są trójkątami przystającymi

206
00:09:13,608 --> 00:09:16,921
i skorzystałem tutaj z cechy kbk

207
00:09:16,921 --> 00:09:19,785
czyli kąt-bok-kąt.

208
00:09:27,551 --> 00:09:29,200
Są takie pary trójkątów

209
00:09:29,200 --> 00:09:31,135
które mają taki sam kształt

210
00:09:31,391 --> 00:09:34,211
czyli odpowiednie boki równej długości

211
00:09:34,211 --> 00:09:36,511
i odpowiednie kąty równej miary.

212
00:09:37,279 --> 00:09:38,511
Możesz je rozpoznać

213
00:09:38,511 --> 00:09:40,690
sprawdzając jedną z trzech cech

214
00:09:40,690 --> 00:09:42,143
przystawania trójkątów:

215
00:09:42,399 --> 00:09:43,679
bok-bok-bok

216
00:09:43,935 --> 00:09:45,800
bok-kąt-bok

217
00:09:45,800 --> 00:09:47,513
i kąt-bok-kąt.

218
00:09:51,871 --> 00:09:53,014
Podobał Ci się ten film

219
00:09:53,014 --> 00:09:55,007
o trójkątach przystających?

220
00:09:55,007 --> 00:09:57,425
Obejrzyj całą playlistę o trójkątach

221
00:09:57,425 --> 00:09:58,757
a po więcej materiałów

222
00:09:58,757 --> 00:10:01,507
zajrzyj na naszą stronę pi-stacja.tv