1
00:00:00,256 --> 00:00:01,280
Jak myślisz

2
00:00:01,536 --> 00:00:03,935
czy da się skonstruować kwadrat

3
00:00:03,935 --> 00:00:05,929
którego pole jest takie samo

4
00:00:05,929 --> 00:00:07,424
jak pole pewnego koła?

5
00:00:07,936 --> 00:00:10,204
Na to pytanie starożytni matematycy

6
00:00:10,204 --> 00:00:11,473
próbowali odpowiedzieć

7
00:00:11,473 --> 00:00:13,056
przez wiele setek lat.

8
00:00:13,452 --> 00:00:16,368
Do dziś pojęcie kwadratura koła

9
00:00:16,368 --> 00:00:17,462
 jest synonimem

10
00:00:17,462 --> 00:00:19,640
problemu nie do rozwiązania.

11
00:00:30,208 --> 00:00:33,024
Wyobraź sobie, że prowadzisz pizzerię.

12
00:00:33,280 --> 00:00:36,412
Masz zapas opakowań w kształcie kwadratu

13
00:00:36,412 --> 00:00:38,656
o bokach 22 centymetry

14
00:00:38,912 --> 00:00:41,984
30 centymetrów i 38 centymetrów.

15
00:00:42,496 --> 00:00:45,568
Ktoś ukradł Ci formy do pieczenia pizzy.

16
00:00:45,824 --> 00:00:47,630
Chcesz zamówić nowe.

17
00:00:47,872 --> 00:00:50,001
Jaki promień powinny mieć

18
00:00:50,001 --> 00:00:52,470
aby pizze były maksymalnie duże

19
00:00:52,470 --> 00:00:54,756
ale mieściły się w opakowaniach?

20
00:00:55,040 --> 00:00:57,584
Spróbujmy zobrazować sobie ten problem.

21
00:00:57,856 --> 00:01:00,416
Skoro opakowanie jest w kształcie kwadratu

22
00:01:00,672 --> 00:01:02,212
to narysujmy kwadrat.

23
00:01:02,464 --> 00:01:04,583
Załóżmy, że długość jego boku

24
00:01:04,583 --> 00:01:06,278
to 22 centymetry.

25
00:01:06,560 --> 00:01:08,725
W ten kwadrat ma się zmieścić

26
00:01:08,725 --> 00:01:10,331
maksymalnie duże koło

27
00:01:10,331 --> 00:01:11,936
bo pizza ma kształt koła.

28
00:01:12,192 --> 00:01:13,663
Zastanów się teraz

29
00:01:13,663 --> 00:01:16,462
jaki jest najdłuższy odcinek w kole.

30
00:01:20,384 --> 00:01:22,432
Najdłuższym odcinkiem w kole

31
00:01:22,432 --> 00:01:23,456
jest średnica.

32
00:01:23,712 --> 00:01:25,301
A jaki najdłuższy odcinek

33
00:01:25,301 --> 00:01:27,373
możesz narysować w kwadracie?

34
00:01:27,373 --> 00:01:29,784
Takim odcinkiem jest przekątna.

35
00:01:29,856 --> 00:01:31,924
Zobacz, co by się stało, gdyby pizza

36
00:01:31,924 --> 00:01:34,262
miała średnicę równą przekątnej.

37
00:01:34,464 --> 00:01:37,274
Pizza byłaby większa niż opakowanie.

38
00:01:37,536 --> 00:01:40,346
My chcemy, aby zmieściła się w środku.

39
00:01:40,608 --> 00:01:41,852
Jaka zatem może być

40
00:01:41,852 --> 00:01:43,714
jej maksymalna średnica?

41
00:01:47,776 --> 00:01:49,530
Pizza musi zmieścić się

42
00:01:49,530 --> 00:01:51,360
między ściankami pudełka

43
00:01:51,616 --> 00:01:55,234
a te są oddalone od siebie 22 centymetry.

44
00:01:55,712 --> 00:01:58,016
Odległość punktów na okręgu koła

45
00:01:58,272 --> 00:01:59,843
musi zatem wynosić

46
00:01:59,843 --> 00:02:02,112
maksymalnie 22 centymetry.

47
00:02:02,624 --> 00:02:04,891
Średnica takiej pizzy musi mieć

48
00:02:04,891 --> 00:02:07,984
taką samą długość jak bok tego kwadratu.

49
00:02:08,256 --> 00:02:10,048
Sprawdźmy, czy to prawda.

50
00:02:10,560 --> 00:02:12,096
Widzisz, że tak.

51
00:02:12,608 --> 00:02:15,031
Promień formy tej pizzy będzie równy

52
00:02:15,031 --> 00:02:16,704
zatem połowie średnicy

53
00:02:16,960 --> 00:02:18,816
czyli jedenastu centymetrom.

54
00:02:19,520 --> 00:02:20,904
A jak to będzie w przypadku

55
00:02:20,904 --> 00:02:24,560
opakowania o boku trzydziestu centymetrów?

56
00:02:26,688 --> 00:02:28,425
Średnica największej pizzy

57
00:02:28,425 --> 00:02:29,978
mieszczącej się w nim

58
00:02:29,978 --> 00:02:32,448
będzie miała również 30 centymetrów

59
00:02:32,448 --> 00:02:34,978
czyli jej promień to 15 centymetrów.

60
00:02:34,978 --> 00:02:37,640
Taki powinien być promień drugiej formy.

61
00:02:38,208 --> 00:02:40,914
A jaki promień powinna mieć forma do pizzy

62
00:02:40,914 --> 00:02:42,216
która zmieści się

63
00:02:42,216 --> 00:02:43,652
w kwadratowym opakowaniu

64
00:02:43,652 --> 00:02:46,245
o boku równym 38 centymetrom?

65
00:02:46,245 --> 00:02:48,336
Odpowiedz samodzielnie.

66
00:02:51,776 --> 00:02:53,749
Promień formy dla opakowania

67
00:02:53,749 --> 00:02:56,024
o boku 38 centymetrów

68
00:02:56,044 --> 00:02:57,530
to połowa tej długości

69
00:02:57,530 --> 00:02:59,410
czyli 19 centymetrów.

70
00:02:59,712 --> 00:03:02,528
Koło, które znajduje się wewnątrz kwadratu

71
00:03:02,784 --> 00:03:04,843
i które dotyka każdego z czterech

72
00:03:04,843 --> 00:03:07,274
jego boków, nazywa się kołem

73
00:03:07,274 --> 00:03:08,962
wpisanym w kwadrat.

74
00:03:09,184 --> 00:03:11,482
Zapamiętaj słowo „wpisane”.

75
00:03:11,744 --> 00:03:13,901
Skoro wpisujemy koło w kwadrat

76
00:03:13,901 --> 00:03:15,276
to koło ma być w kwadracie

77
00:03:15,276 --> 00:03:17,626
i ma dotykać każdego z jego boków.

78
00:03:17,888 --> 00:03:20,708
Moglibyśmy też to wyrazić nieco inaczej.

79
00:03:20,960 --> 00:03:23,264
Kwadrat jest opisany na kole.

80
00:03:24,032 --> 00:03:27,052
Spróbujmy sobie to wszystko uogólnić.

81
00:03:27,360 --> 00:03:29,920
Jeśli w kwadrat o długości boku a

82
00:03:30,176 --> 00:03:31,456
wpiszemy koło

83
00:03:31,712 --> 00:03:33,788
to promień tego koła będzie równy

84
00:03:33,788 --> 00:03:36,320
połowie długości boku tego kwadratu

85
00:03:36,576 --> 00:03:38,327
czyli a przez 2.

86
00:03:38,527 --> 00:03:40,843
r, czyli promień tego koła

87
00:03:40,843 --> 00:03:42,976
równa się zatem a/2.

88
00:03:44,000 --> 00:03:46,795
Wróćmy teraz do nieco innej sytuacji

89
00:03:46,795 --> 00:03:49,330
czyli takiej, w której średnica koła

90
00:03:49,330 --> 00:03:52,000
jest taka sama jak przekątna kwadratu.

91
00:03:52,448 --> 00:03:54,304
Co możemy zaobserwować?

92
00:03:54,752 --> 00:03:56,786
Każdy z czterech wierzchołków

93
00:03:56,786 --> 00:03:58,437
kwadratowego opakowania

94
00:03:58,437 --> 00:03:59,872
dotyka krawędzi koła.

95
00:04:00,384 --> 00:04:02,176
O takiej sytuacji mówimy

96
00:04:02,432 --> 00:04:04,736
że kwadrat jest wpisany w koło.

97
00:04:05,152 --> 00:04:06,485
Możemy też powiedzieć

98
00:04:06,485 --> 00:04:08,832
że koło jest opisane na kwadracie.

99
00:04:09,344 --> 00:04:11,898
Załóżmy zatem, że bok tego kwadratu

100
00:04:11,898 --> 00:04:13,780
to 38 centymetrów.

101
00:04:14,208 --> 00:04:17,088
Jaką długość ma średnica tego koła?

102
00:04:17,280 --> 00:04:18,581
Średnica tego koła

103
00:04:18,581 --> 00:04:21,623
jest przekątną kwadratu, czyli jej długość

104
00:04:21,793 --> 00:04:24,715
to 38 pierwiastków z dwóch.

105
00:04:24,715 --> 00:04:27,026
Promień to połowa tej długości

106
00:04:27,282 --> 00:04:29,767
czyli 19 pierwiastków z dwóch.

107
00:04:30,335 --> 00:04:31,805
Jak to uogólnić?

108
00:04:32,383 --> 00:04:35,455
Jeżeli na kwadracie o długości boku a

109
00:04:35,711 --> 00:04:36,991
opiszemy koło

110
00:04:37,247 --> 00:04:39,209
to jego średnica będzie miała długość

111
00:04:39,209 --> 00:04:41,563
równą a pierwiastków z dwóch.

112
00:04:42,111 --> 00:04:43,937
Promień koła będzie z kolei

113
00:04:43,937 --> 00:04:45,695
równy połowie tej długości

114
00:04:45,951 --> 00:04:47,269
co możemy zapisać jako

115
00:04:47,269 --> 00:04:50,047
1/2a pierwiastków z dwóch

116
00:04:50,303 --> 00:04:52,160
lub a pierwiastków z dwóch

117
00:04:52,160 --> 00:04:53,375
podzielić przez 2.

118
00:04:59,775 --> 00:05:01,468
Jeżeli wierzchołki kwadratu

119
00:05:01,468 --> 00:05:03,084
znajdują się na okręgu

120
00:05:03,084 --> 00:05:04,638
to mówimy, że taki kwadrat

121
00:05:04,638 --> 00:05:06,309
jest wpisany w okrąg.

122
00:05:06,309 --> 00:05:07,543
Możemy też powiedzieć

123
00:05:07,543 --> 00:05:09,759
że okrąg jest opisany na kwadracie.

124
00:05:10,015 --> 00:05:12,232
Długość promienia takiego okręgu

125
00:05:12,232 --> 00:05:14,843
jest równa połowie przekątnej kwadratu.

126
00:05:15,135 --> 00:05:16,447
Jeżeli okrąg dotyka

127
00:05:16,447 --> 00:05:18,128
każdego z boków kwadratu

128
00:05:18,128 --> 00:05:19,990
dokładnie w jednym punkcie

129
00:05:19,990 --> 00:05:22,677
to taki okrąg jest wpisany w kwadrat

130
00:05:22,677 --> 00:05:23,743
albo inaczej

131
00:05:23,743 --> 00:05:26,077
kwadrat jest opisany na okręgu.

132
00:05:26,399 --> 00:05:28,045
Długość promienia okręgu

133
00:05:28,045 --> 00:05:30,389
to połowa długości boku kwadratu.

134
00:05:34,079 --> 00:05:35,886
Ten dział jest poświęcony

135
00:05:35,886 --> 00:05:38,222
zależnościom między długościami boków

136
00:05:38,222 --> 00:05:42,527
w trójkącie o kątach 45, 45 i 90 stopni.

137
00:05:42,773 --> 00:05:44,329
Wszystkie playlisty znajdziesz

138
00:05:44,329 --> 00:05:47,149
na naszej stronie internetowej pistacja.tv