1
00:00:00,053 --> 00:00:01,978
Jest mnóstwo różnych, często

2
00:00:02,078 --> 00:00:04,240
bardzo skomplikowanych wielościanów.

3
00:00:04,340 --> 00:00:06,466
Jest jednak coś, co je łączy:

4
00:00:06,566 --> 00:00:08,192
twierdzenie Eulera.

5
00:00:08,321 --> 00:00:10,626
Okazuje się, że w każdym wielościanie

6
00:00:10,726 --> 00:00:14,151
jeżeli zsumujemy liczbę wierzchołków i liczbę ścian

7
00:00:14,251 --> 00:00:16,342
i odejmiemy od tego liczbę krawędzi

8
00:00:16,442 --> 00:00:18,727
to zawsze otrzymamy liczbę 2.

9
00:00:31,810 --> 00:00:36,430
Na tej planszy są przykłady brył przestrzennych.

10
00:00:37,286 --> 00:00:40,192
Być może uczyłeś się już o graniastosłupach

11
00:00:40,292 --> 00:00:44,032
a w szczególności o sześcianach i prostopadłościanach.

12
00:00:44,132 --> 00:00:46,824
Zauważ, że na rysunku wyróżniłem

13
00:00:46,924 --> 00:00:49,115
na zielono kilka brył.

14
00:00:51,305 --> 00:00:53,248
Czy wiesz, co je łączy?

15
00:00:53,982 --> 00:00:57,344
Zauważ, że w każdej zielonej bryle

16
00:00:57,454 --> 00:00:59,689
wszystkie ściany oprócz jednej

17
00:00:59,789 --> 00:01:02,208
łączą się w jednym punkcie.

18
00:01:02,976 --> 00:01:05,139
Ponadto wszystkie te ściany

19
00:01:05,239 --> 00:01:06,804
są zawsze trójkątami.

20
00:01:07,084 --> 00:01:10,302
Takie bryły nazywamy ostrosłupami.

21
00:01:13,985 --> 00:01:15,751
Przyjrzyjmy się teraz dokładniej

22
00:01:15,851 --> 00:01:17,783
przykładowemu ostrosłupowi.

23
00:01:18,152 --> 00:01:20,770
Jak mówiliśmy wcześniej, w tej bryle

24
00:01:20,870 --> 00:01:24,892
wszystkie ściany oprócz jednej są trójkątami.

25
00:01:24,992 --> 00:01:27,552
I zbiegają się w jednym punkcie.

26
00:01:27,652 --> 00:01:30,550
Ten punkt to wierzchołek ostrosłupa.

27
00:01:31,013 --> 00:01:33,346
Wszystkie ściany, które zbiegają się

28
00:01:33,446 --> 00:01:36,000
w wierzchołku to ściany boczne.

29
00:01:36,408 --> 00:01:38,816
Na rysunku są narysowane cztery:

30
00:01:38,916 --> 00:01:43,168
raz, dwa, trzy i jedna z tyłu.

31
00:01:44,284 --> 00:01:46,302
W ostrosłupie możemy też

32
00:01:46,402 --> 00:01:48,593
wyróżnić krawędzie boczne.

33
00:01:49,631 --> 00:01:51,018
Jedyna ściana w ostrosłupie

34
00:01:51,118 --> 00:01:52,891
która nie styka się z wierzchołkiem

35
00:01:52,991 --> 00:01:54,275
to jego podstawa.

36
00:01:56,628 --> 00:01:59,090
Podstawa, jak każdy wielokąt

37
00:01:59,190 --> 00:02:01,156
również ma swoje wierzchołki.

38
00:02:01,892 --> 00:02:04,552
W ostrosłupie oprócz krawędzi bocznych

39
00:02:04,652 --> 00:02:07,341
możemy wyróżnić krawędzie podstawy.

40
00:02:08,378 --> 00:02:10,369
Oto wszystkie podstawowe pojęcia

41
00:02:10,469 --> 00:02:12,961
jakich używamy do opisywania ostrosłupów.

42
00:02:13,718 --> 00:02:15,334
Czy jesteś w stanie powiedzieć

43
00:02:15,434 --> 00:02:17,359
ile wierzchołków ma ten ostrosłup?

44
00:02:18,437 --> 00:02:19,855
W każdym ostrosłupie

45
00:02:19,955 --> 00:02:21,354
zawsze mamy ten wierzchołek

46
00:02:21,454 --> 00:02:23,284
w którym zbiegają się ściany boczne.

47
00:02:23,620 --> 00:02:26,432
A ponadto mamy wierzchołki podstawy.

48
00:02:27,200 --> 00:02:29,232
W podstawie są 4 wierzchołki

49
00:02:29,332 --> 00:02:31,483
czyli razem mamy ich 5.

50
00:02:32,064 --> 00:02:34,368
A ile ścian ma ten ostrosłup?

51
00:02:35,581 --> 00:02:37,085
Wcześniej policzyliśmy

52
00:02:37,185 --> 00:02:39,307
że ma on 4 ściany boczne.

53
00:02:40,624 --> 00:02:42,776
Do tego musimy dodać podstawę

54
00:02:42,876 --> 00:02:45,026
która również jest ścianą ostrosłupa.

55
00:02:45,326 --> 00:02:47,168
Mamy więc 5 ścian.

56
00:02:47,268 --> 00:02:49,220
Policzmy jeszcze na samym końcu

57
00:02:49,418 --> 00:02:51,776
krawędzie w tym ostrosłupie.

58
00:02:52,419 --> 00:02:54,683
Mamy 4 krawędzie boczne

59
00:02:55,010 --> 00:02:56,617
i do tego musimy doliczyć

60
00:02:56,717 --> 00:02:58,891
jeszcze 4 krawędzie podstawy.

61
00:03:00,057 --> 00:03:03,296
Sumujemy je i otrzymujemy 8 krawędzi.

62
00:03:03,753 --> 00:03:05,846
Sprawdźmy, czy wzór, o którym mówiliśmy

63
00:03:05,946 --> 00:03:07,504
na początku jest prawdziwy.

64
00:03:08,117 --> 00:03:10,464
Bierzemy liczbę wierzchołków

65
00:03:10,976 --> 00:03:13,536
dodajemy liczbę ścian

66
00:03:14,009 --> 00:03:16,608
i odejmujemy liczbę krawędzi.

67
00:03:17,426 --> 00:03:18,912
Ile to wynosi?

68
00:03:20,031 --> 00:03:21,991
5 i 10 to 10

69
00:03:22,195 --> 00:03:25,056
a 10 minus 8 to 2.

70
00:03:26,960 --> 00:03:29,594
Rzeczywiście wzór Eulera zachodzi

71
00:03:29,694 --> 00:03:31,456
dla naszego ostrosłupa.

72
00:03:31,733 --> 00:03:34,272
Dla każdego innego zresztą też.

73
00:03:37,578 --> 00:03:39,024
Jesteś w stanie wskazać

74
00:03:39,124 --> 00:03:41,097
ostrosłupy w prawdziwym życiu?

75
00:03:42,842 --> 00:03:44,793
Przykładem powtarzanym do znudzenia

76
00:03:44,893 --> 00:03:46,471
są piramidy egipskie.

77
00:03:46,648 --> 00:03:48,994
Tutaj również widzisz piramidę

78
00:03:49,094 --> 00:03:51,210
jednak znajduje się ona we Francji

79
00:03:51,310 --> 00:03:53,728
przed Luwrem w Paryżu.

80
00:03:53,936 --> 00:03:57,257
Ponadto namioty Indian z Ameryki Północnej

81
00:03:57,357 --> 00:04:00,314
czyli tipi, również mają kształt ostrosłupa.

82
00:04:00,894 --> 00:04:03,200
Gdzie możesz tu wskazać wierzchołek?

83
00:04:04,369 --> 00:04:06,016
Jest oczywiście tutaj.

84
00:04:07,016 --> 00:04:10,112
Te kije stanowią krawędzie boczne

85
00:04:10,405 --> 00:04:12,672
a tutaj mamy podstawę.

86
00:04:12,830 --> 00:04:15,946
Oprócz tego, w architekturze często

87
00:04:16,046 --> 00:04:18,243
spotyka się dachy o kształcie ostrosłupów.

88
00:04:18,823 --> 00:04:20,957
Często są to dachy wież zamkowych

89
00:04:21,057 --> 00:04:22,759
albo budynków sakralnych.

90
00:04:26,550 --> 00:04:28,812
Wiesz już, jak wygląda ostrosłup

91
00:04:28,912 --> 00:04:30,746
i potrafisz go opisać za pomocą

92
00:04:30,846 --> 00:04:32,212
podstawowych zwrotów.

93
00:04:32,543 --> 00:04:34,635
Teraz dowiesz się, w jaki sposób

94
00:04:34,735 --> 00:04:36,641
kategoryzujemy ostrosłupy.

95
00:04:36,741 --> 00:04:40,081
Zobacz: widzisz pewien ostrosłup.

96
00:04:40,491 --> 00:04:43,391
Jaka figura znajduje się w jego podstawie?

97
00:04:43,642 --> 00:04:45,183
To trójkąt.

98
00:04:46,886 --> 00:04:49,422
Nazwy ostrosłupów zależą od figury

99
00:04:49,522 --> 00:04:51,804
która znajduje się w ich podstawie.

100
00:04:52,051 --> 00:04:53,818
Skoro tutaj mamy trójkąt

101
00:04:53,918 --> 00:04:56,175
to powiemy, że ten ostrosłup

102
00:04:56,275 --> 00:04:58,360
jest ostrosłupem trójkątnym.

103
00:04:59,188 --> 00:05:02,335
A jaka figura jest w podstawie tego ostrosłupa?

104
00:05:04,217 --> 00:05:05,663
To czworokąt.

105
00:05:06,847 --> 00:05:09,503
W takim razie jak nazwałbyś ten ostrosłup?

106
00:05:10,620 --> 00:05:13,343
To oczywiście ostrosłup czworokątny.

107
00:05:14,249 --> 00:05:16,178
Teraz zatrzymaj film i spróbuj

108
00:05:16,278 --> 00:05:18,287
samodzielnie nazwać ten ostrosłup.

109
00:05:18,680 --> 00:05:20,293
Następnie włącz film ponownie

110
00:05:20,393 --> 00:05:22,223
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

111
00:05:25,621 --> 00:05:27,157
Patrzymy na podstawę.

112
00:05:27,257 --> 00:05:29,983
W podstawie jest sześciokąt.

113
00:05:30,239 --> 00:05:32,306
W takim razie ten ostrosłup

114
00:05:32,406 --> 00:05:34,722
jest ostrosłupem sześciokątnym.

115
00:05:35,683 --> 00:05:37,500
Oprócz tego wśród ostrosłupów

116
00:05:37,600 --> 00:05:39,000
mamy specjalną kategorię

117
00:05:39,100 --> 00:05:41,379
tak zwanych ostrosłupów prawidłowych.

118
00:05:41,764 --> 00:05:43,580
Czym one się charakteryzują?

119
00:05:43,680 --> 00:05:46,274
Otóż ostrosłupy prawidłowe mają

120
00:05:46,374 --> 00:05:48,571
w swoich podstawach wielokąty foremne

121
00:05:48,671 --> 00:05:51,743
a ich krawędzie boczne mają taką samą długość.

122
00:05:51,843 --> 00:05:54,047
Pamiętasz, czym był wielokąt foremny?

123
00:05:54,802 --> 00:05:57,296
To taki wielokąt, który miał boki

124
00:05:57,396 --> 00:06:00,945
równej długości oraz kąty wewnętrzne równe miary.

125
00:06:01,099 --> 00:06:03,036
Czy podstawy tych ostrosłupów

126
00:06:03,136 --> 00:06:04,798
są wielokątami foremnymi?

127
00:06:05,101 --> 00:06:08,095
Widać, że boki są tutaj różnej długości

128
00:06:08,195 --> 00:06:11,482
ale pamiętaj, że jest to płaski rysunek

129
00:06:11,582 --> 00:06:14,015
przedstawiający figury przestrzenne.

130
00:06:14,783 --> 00:06:15,974
Na płaskim rysunku

131
00:06:16,074 --> 00:06:18,893
długości odpowiednich boków nie są zachowane

132
00:06:18,993 --> 00:06:20,931
o czym będziemy mówić w innym filmie.

133
00:06:21,031 --> 00:06:22,304
Jest jeszcze jedna cecha

134
00:06:22,404 --> 00:06:24,336
ważna dla ostrosłupów prawidłowych.

135
00:06:24,605 --> 00:06:26,360
Ponieważ ich krawędzie boczne

136
00:06:26,460 --> 00:06:27,901
są tej samej długości

137
00:06:28,001 --> 00:06:29,762
to nie są one pochylone.

138
00:06:29,862 --> 00:06:31,810
Ich wierzchołek znajduje się

139
00:06:31,910 --> 00:06:33,934
idealnie nad środkiem podstawy.

140
00:06:34,334 --> 00:06:36,082
Dlatego w zadaniu nie wystarczy nam

141
00:06:36,182 --> 00:06:37,836
rysunek z naniesionymi danymi.

142
00:06:37,936 --> 00:06:39,391
W treści musi być wspomniane

143
00:06:39,491 --> 00:06:41,493
że rozważamy ostrosłup prawidłowy.

144
00:06:41,593 --> 00:06:44,210
Jak sam widzisz, nie da się gołym okiem

145
00:06:44,310 --> 00:06:46,044
prosto z rysunku stwierdzić

146
00:06:46,144 --> 00:06:48,574
czy dany ostrosłup jest prawidłowy czy nie.

147
00:06:51,914 --> 00:06:53,439
A teraz zadanie.

148
00:06:53,562 --> 00:06:55,486
Oblicz sumę długości krawędzi

149
00:06:55,586 --> 00:06:57,587
każdego z narysowanych ostrosłupów.

150
00:06:58,103 --> 00:07:01,389
Na początek ten. Jak byś go nazwał?

151
00:07:02,860 --> 00:07:04,638
To ostrosłup sześciokątny

152
00:07:04,738 --> 00:07:06,777
ponieważ w podstawie ma sześciokąt.

153
00:07:07,316 --> 00:07:09,055
Co jeszcze o nim wiemy?

154
00:07:09,425 --> 00:07:12,288
Wiemy, że ta krawędź podstawy ma długość 1

155
00:07:12,388 --> 00:07:14,875
a ta krawędź boczna ma długość 4.

156
00:07:15,167 --> 00:07:17,759
Czy jesteśmy w stanie rozwiązać to zadanie?

157
00:07:18,585 --> 00:07:19,764
Oczywiście nie.

158
00:07:19,864 --> 00:07:21,879
Potrzebujemy dodatkowych informacji.

159
00:07:22,418 --> 00:07:23,980
Jak być może się domyślałeś

160
00:07:24,080 --> 00:07:26,897
ten ostrosłup nie dość, że jest sześciokątny

161
00:07:26,997 --> 00:07:28,437
to jeszcze jest prawidłowy.

162
00:07:29,242 --> 00:07:31,839
Jakie są długości krawędzi podstawy?

163
00:07:32,932 --> 00:07:34,402
Są wszystkie takie same

164
00:07:34,502 --> 00:07:36,111
czyli mają długość 1.

165
00:07:36,211 --> 00:07:38,528
A jakie będą długości krawędzi bocznych?

166
00:07:39,274 --> 00:07:41,530
Ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy

167
00:07:41,630 --> 00:07:44,108
to wszystkie będą miały tę samą długość.

168
00:07:44,208 --> 00:07:46,075
Korzystając z tych informacji

169
00:07:46,175 --> 00:07:48,618
samodzielnie wyznacz sumę długości krawędzi.

170
00:07:51,767 --> 00:07:53,706
Najpierw krawędzie podstawy.

171
00:07:53,806 --> 00:07:56,927
Mamy ich 6 i każda z nich ma długość 1.

172
00:07:57,070 --> 00:07:59,456
Sumujemy jeszcze krawędzie boczne.

173
00:07:59,825 --> 00:08:03,071
Mamy ich 6 i każda z nich ma długość 4.

174
00:08:04,095 --> 00:08:09,731
Otrzymujemy 6 plus 24, czyli 30.

175
00:08:10,801 --> 00:08:12,533
A tutaj mamy drugi przykład.

176
00:08:12,810 --> 00:08:14,591
Jaki to ostrosłup?

177
00:08:15,196 --> 00:08:17,128
To ostrosłup trójkątny.

178
00:08:17,482 --> 00:08:19,168
Ma w podstawie trójkąt.

179
00:08:20,284 --> 00:08:21,550
Mamy teraz informacje

180
00:08:21,650 --> 00:08:23,354
jedynie o krawędzi podstawy.

181
00:08:23,455 --> 00:08:25,572
Ma ona długość 2 pierwiastki z 3.

182
00:08:25,876 --> 00:08:27,326
Do rozwiązania zadania

183
00:08:27,426 --> 00:08:29,543
brakuje nam dodatkowej informacji.

184
00:08:29,644 --> 00:08:31,430
Okazuje się, że nie jest to

185
00:08:31,530 --> 00:08:33,497
zwykły ostrosłup prawidłowy.

186
00:08:33,597 --> 00:08:35,531
To czworościan foremny.

187
00:08:35,632 --> 00:08:38,911
Czworościan foremny jest bardzo ważnym ostrosłupem.

188
00:08:39,011 --> 00:08:41,212
Jest to taki ostrosłup trójkątny

189
00:08:41,312 --> 00:08:43,134
w którym wszystkie krawędzie

190
00:08:43,234 --> 00:08:44,975
są takiej samej długości.

191
00:08:45,076 --> 00:08:46,910
Krawędzie podstawy

192
00:08:47,010 --> 00:08:49,150
są więc równe krawędziom bocznym.

193
00:08:50,418 --> 00:08:53,150
Czworościan foremny, jak nazwa wskazuje

194
00:08:53,250 --> 00:08:56,683
ma 4 ściany, które są trójkątami równobocznymi.

195
00:08:56,783 --> 00:08:58,378
Na podstawie tych informacji

196
00:08:58,478 --> 00:09:00,471
powinieneś być w stanie wyznaczyć

197
00:09:00,571 --> 00:09:02,440
sumę długości jego krawędzi.

198
00:09:05,943 --> 00:09:09,160
W czworościanie mamy 3 krawędzie podstawy

199
00:09:09,260 --> 00:09:12,778
i 3 krawędzie boczne, czyli razem 6 krawędzi

200
00:09:12,963 --> 00:09:14,856
które mają taką samą długość.

201
00:09:15,356 --> 00:09:19,490
6 razy 2 pierwiastki z 3  to 12 pierwiastków z 3.

202
00:09:25,055 --> 00:09:26,853
Ostrosłup jest wielościanem

203
00:09:26,953 --> 00:09:28,171
którego ściany boczne

204
00:09:28,271 --> 00:09:30,389
są trójkątami o wspólnym wierzchołku

205
00:09:30,489 --> 00:09:33,183
a podstawa jest dowolnym wielokątem.

206
00:09:33,498 --> 00:09:36,539
Nazwy ostrosłupów tworzymy od figury

207
00:09:36,639 --> 00:09:38,815
która znajduje się w ich podstawie.

208
00:09:39,841 --> 00:09:41,518
Do szczególnych ostrosłupów

209
00:09:41,618 --> 00:09:43,422
należą ostrosłupy prawidłowe.

210
00:09:43,605 --> 00:09:45,658
Są to takie ostrosłupy, których podstawa

211
00:09:45,758 --> 00:09:46,999
jest wielokątem foremnym

212
00:09:47,099 --> 00:09:49,534
a krawędzie boczne są równej długości.

213
00:09:49,634 --> 00:09:51,937
W ostrosłupach wyróżniamy wierzchołki

214
00:09:52,037 --> 00:09:54,174
krawędzie oraz ściany.

215
00:09:57,505 --> 00:09:58,850
Zobaczyłeś właśnie film

216
00:09:58,950 --> 00:10:01,084
z playlisty poświęconej ostrosłupom.

217
00:10:01,439 --> 00:10:03,679
Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów

218
00:10:03,779 --> 00:10:05,795
z tej playlisty, a także do odwiedzenia

219
00:10:05,895 --> 00:10:09,738
naszej strony internetowej pistacja.tv