1
00:00:00,233 --> 00:00:02,429
Być może wiesz, że jeżeli mamy dwa wielokąty

2
00:00:02,529 --> 00:00:04,124
o tym samym polu, to jeden z nich

3
00:00:04,224 --> 00:00:06,269
zawsze można pociąć na mniejsze wielokąty

4
00:00:06,369 --> 00:00:07,936
tak, aby ułożyć z nich drugi.

5
00:00:08,036 --> 00:00:09,849
Nie jest to prawdą w przypadku brył.

6
00:00:09,949 --> 00:00:11,767
Udowodniono, że nie da się podzielić

7
00:00:11,867 --> 00:00:14,204
czworościanu foremnego na mniejsze wielościany

8
00:00:14,304 --> 00:00:16,081
tak, aby dało się z nich skleić

9
00:00:16,181 --> 00:00:17,882
sześcian o tej samej objętości.

10
00:00:17,982 --> 00:00:19,603
Wzoru na objętość musisz więc

11
00:00:19,703 --> 00:00:21,241
nauczyć się na pamięć.

12
00:00:31,881 --> 00:00:33,792
Spójrz na ten trójkąt.

13
00:00:35,072 --> 00:00:37,376
Tutaj jest narysowana jego wysokość.

14
00:00:37,919 --> 00:00:40,704
Do czego jest nam potrzebna wysokość w trójkącie?

15
00:00:41,522 --> 00:00:44,288
Potrzebujemy jej, aby obliczyć pole figury.

16
00:00:45,260 --> 00:00:49,208
W przypadku brył odpowiednikiem pola jest objętość.

17
00:00:51,018 --> 00:00:53,977
Zobacz, cały czas patrzyliśmy na ostrosłup

18
00:00:54,077 --> 00:00:55,963
ale ustawiony pod odpowiednim kątem.

19
00:00:56,063 --> 00:00:57,780
Jak mówiliśmy, w figurach płaskich

20
00:00:57,880 --> 00:00:59,758
wysokość pomaga obliczyć pole.

21
00:00:59,858 --> 00:01:02,275
Natomiast w bryłach, w tym w ostrosłupach

22
00:01:02,375 --> 00:01:04,030
wysokość wykorzystujemy

23
00:01:04,130 --> 00:01:06,303
do obliczenia objętości bryły.

24
00:01:06,576 --> 00:01:08,345
Wyobraź sobie, że nasz ostrosłup

25
00:01:08,445 --> 00:01:10,354
leży na jakieś płaskiej powierzchni

26
00:01:10,454 --> 00:01:11,579
na przykład na stole.

27
00:01:11,680 --> 00:01:14,070
Wysokość jest wtedy odcinkiem

28
00:01:14,170 --> 00:01:15,887
poprowadzonym z jego wierzchołka

29
00:01:15,987 --> 00:01:17,777
prostopadle do tej powierzchni.

30
00:01:18,678 --> 00:01:21,455
Zapamiętaj, że wysokość zawsze jest

31
00:01:21,555 --> 00:01:23,236
prostopadła do tej powierzchni

32
00:01:23,336 --> 00:01:25,079
tak samo jak wysokość w trójkątach

33
00:01:25,179 --> 00:01:27,538
jest prostopadła do przeciwległego boku.

34
00:01:27,638 --> 00:01:29,838
Punkt, w którym wysokość dotyka

35
00:01:29,938 --> 00:01:31,687
płaszczyzny podstawy ostrosłupa

36
00:01:31,787 --> 00:01:33,786
nazywamy spodkiem wysokości.

37
00:01:33,886 --> 00:01:36,000
Jak myślisz, skąd taka nazwa?

38
00:01:36,994 --> 00:01:39,072
Spójrzmy na ostrosłup z góry.

39
00:01:40,138 --> 00:01:42,703
Jak widzisz, patrząc z góry na ostrosłup

40
00:01:42,803 --> 00:01:45,646
wierzchołek i spodek wysokości pokrywają się.

41
00:01:46,434 --> 00:01:48,709
Można powiedzieć, że gdyby z wierzchołka

42
00:01:48,809 --> 00:01:51,894
upuścić wysokość, trafi ona dokładnie na spodek.

43
00:01:53,606 --> 00:01:56,276
W tym przypadku spodek wysokości

44
00:01:56,376 --> 00:01:58,575
znajduje się na podstawie ostrosłupa.

45
00:01:58,736 --> 00:02:00,576
Ale czy zawsze musi tak być?

46
00:02:01,092 --> 00:02:02,624
Zaraz to sprawdzimy.

47
00:02:06,568 --> 00:02:09,101
Na ekranie widzimy kolejny trójkąt.

48
00:02:09,201 --> 00:02:11,840
Tym razem jest to trójkąt rozwartokątny.

49
00:02:12,220 --> 00:02:14,912
Również narysowana jest jego wysokość.

50
00:02:15,171 --> 00:02:17,624
Jak wiesz, w trójkątach rozwartokątnych

51
00:02:17,724 --> 00:02:20,639
nie każda wysokość pada na przeciwległy bok

52
00:02:20,739 --> 00:02:22,592
tylko na jego przedłużenie.

53
00:02:24,249 --> 00:02:27,071
Zobacz. Znowu patrzyliśmy na ostrosłup

54
00:02:27,171 --> 00:02:28,680
ale pod innym kątem.

55
00:02:28,780 --> 00:02:32,576
Tutaj jest narysowana wysokość tego ostrosłupa.

56
00:02:33,344 --> 00:02:35,450
Zauważ, że spodek wysokości

57
00:02:35,550 --> 00:02:38,481
nie znajduje się na podstawie ostrosłupa.

58
00:02:38,883 --> 00:02:40,616
Tak samo, jak nie zawsze wysokość

59
00:02:40,716 --> 00:02:42,051
w trójkącie rozwartokątnym

60
00:02:42,151 --> 00:02:44,069
pada na przeciwległy bok.

61
00:02:44,303 --> 00:02:46,912
Spójrzmy jeszcze na ten ostrosłup z góry.

62
00:02:47,551 --> 00:02:51,250
Jak już mówiliśmy, spodek wysokości pokrywa się

63
00:02:51,350 --> 00:02:53,015
z wierzchołkiem tego ostrosłupa.

64
00:02:53,115 --> 00:02:54,997
To, że znajduje się on poza podstawą

65
00:02:55,097 --> 00:02:56,927
nie ma najmniejszego znaczenia.

66
00:02:58,760 --> 00:03:01,735
Wiesz już, czym jest wysokość oraz spodek.

67
00:03:01,952 --> 00:03:04,110
Zaraz dowiemy się, jak możemy

68
00:03:04,210 --> 00:03:06,368
obliczyć objętość ostrosłupa.

69
00:03:10,716 --> 00:03:13,016
Zanim przejdziemy do objętości ostrosłupów

70
00:03:13,116 --> 00:03:15,072
najpierw wróćmy do sześcianu.

71
00:03:15,444 --> 00:03:19,079
Podzielimy go teraz na 3 identyczne ostrosłupy.

72
00:03:19,179 --> 00:03:20,448
Patrz uważnie.

73
00:03:22,520 --> 00:03:24,958
Zobacz, podzieliliśmy sześcian

74
00:03:25,058 --> 00:03:27,247
na 3 identyczne ostrosłupy.

75
00:03:27,875 --> 00:03:30,176
Podstawa każdego z tych ostrosłupów

76
00:03:30,276 --> 00:03:32,480
była ścianą boczną sześcianu.

77
00:03:32,876 --> 00:03:35,173
Suma objętości tych ostrosłupów

78
00:03:35,273 --> 00:03:37,343
daje nam objętość sześcianu.

79
00:03:37,765 --> 00:03:41,696
Ale pamiętajmy, że te ostrosłupy są identyczne.

80
00:03:42,464 --> 00:03:45,597
To oznacza, że 3 objętości tego ostrosłupa

81
00:03:45,697 --> 00:03:48,379
albo 3 objętości tego ostrosłupa

82
00:03:48,479 --> 00:03:50,807
albo 3 objętości tego ostrosłupa

83
00:03:50,907 --> 00:03:52,399
dają nam objętość sześcianu.

84
00:03:52,499 --> 00:03:55,294
Jak w takim razie policzyć objętość 1 ostrosłupa?

85
00:03:55,656 --> 00:03:58,848
To będzie 1/3 objętości pierwotnego sześcianu.

86
00:03:59,700 --> 00:04:02,209
Jeżeli ten sześcian miał bok o długości a

87
00:04:02,345 --> 00:04:06,631
to objętość ostrosłupa to 1/3 razy a do 3.

88
00:04:06,985 --> 00:04:09,687
Mówiliśmy wcześniej, że do wyznaczania objętości

89
00:04:09,787 --> 00:04:11,423
potrzebna jest nam wysokość.

90
00:04:12,155 --> 00:04:15,232
Jak myślisz, gdzie jest wysokość tego ostrosłupa?

91
00:04:15,540 --> 00:04:17,280
To ta krawędź boczna.

92
00:04:17,380 --> 00:04:18,475
Dlaczego?

93
00:04:18,604 --> 00:04:21,072
Aby mieć pewność, że jakiś odcinek w przestrzeni

94
00:04:21,172 --> 00:04:22,873
jest prostopadły do płaszczyzny

95
00:04:22,973 --> 00:04:26,266
trzeba znaleźć 2 proste zawarte w tej płaszczyźnie

96
00:04:26,387 --> 00:04:28,799
które są do tego odcinka prostopadłe.

97
00:04:28,912 --> 00:04:30,721
Tutaj takimi prostymi są proste

98
00:04:30,821 --> 00:04:32,594
zawierające te dwie krawędzie.

99
00:04:32,836 --> 00:04:34,701
Ponieważ ten ostrosłup uzyskaliśmy

100
00:04:34,801 --> 00:04:36,808
przez pocięcie sześcianu, to tutaj mamy

101
00:04:36,908 --> 00:04:38,734
dwa szukane kąty proste, ponieważ

102
00:04:38,834 --> 00:04:40,831
to były kiedyś kąty w kwadratach.

103
00:04:41,391 --> 00:04:43,647
Wysokość tego ostrosłupa jest tutaj.

104
00:04:44,069 --> 00:04:46,463
Oznaczamy ją dużą literą H.

105
00:04:46,722 --> 00:04:50,047
W naszym przypadku jest to również bok sześcianu

106
00:04:50,147 --> 00:04:52,351
czyli H ma długość a.

107
00:04:52,451 --> 00:04:53,766
Wprowadźmy to do wzoru.

108
00:04:53,866 --> 00:04:56,761
Doszliśmy do tego, że objętość tego ostrosłupa

109
00:04:56,861 --> 00:04:59,775
to 1/3 H razy a kwadrat.

110
00:05:00,600 --> 00:05:02,847
A czym jest a kwadrat tym przypadku?

111
00:05:05,071 --> 00:05:08,573
To pole podstawy, która jest kwadratem o boku a.

112
00:05:08,673 --> 00:05:10,965
W ten sposób doszliśmy do ostatecznego

113
00:05:11,065 --> 00:05:12,862
wzoru na objętość ostrosłupa.

114
00:05:13,071 --> 00:05:16,004
To 1/3 razy wysokość

115
00:05:16,104 --> 00:05:18,618
razy pole podstawy ostrosłupa.

116
00:05:19,487 --> 00:05:22,047
Skupmy się na którymś wybranym ostrosłupie.

117
00:05:22,495 --> 00:05:25,887
Obróćmy go i postawmy na podstawie.

118
00:05:28,324 --> 00:05:29,572
Przed chwilą pokazaliśmy

119
00:05:29,672 --> 00:05:31,281
że w pewnym szczególnym wypadku

120
00:05:31,381 --> 00:05:32,975
objętość ostrosłupa wyraża się

121
00:05:33,075 --> 00:05:34,121
następującym wzorem.

122
00:05:34,222 --> 00:05:35,987
Niestety nie do każdego ostrosłupa

123
00:05:36,087 --> 00:05:37,716
da się taką sztuczkę zastosować

124
00:05:37,816 --> 00:05:40,241
ale wzór jest prawdziwy dla wszystkich ostrosłupów

125
00:05:40,341 --> 00:05:41,516
i trzeba go zapamiętać.

126
00:05:41,616 --> 00:05:43,453
Tak jak w trójkącie, przy ustalonej

127
00:05:43,553 --> 00:05:45,224
podstawie i długości wysokości

128
00:05:45,324 --> 00:05:47,340
nieważne, gdzie wysokość opadała

129
00:05:47,441 --> 00:05:49,383
otrzymywaliśmy takie samo pole.

130
00:05:49,483 --> 00:05:51,602
Jak tutaj, jeżeli będziemy przesuwali

131
00:05:51,702 --> 00:05:53,862
wierzchołek ostrosłupa, to dopóki wysokość

132
00:05:53,962 --> 00:05:57,062
się nie zmieni, objętość pozostanie taka sama.

133
00:06:01,766 --> 00:06:03,920
Spróbujmy teraz obliczyć objętość

134
00:06:04,020 --> 00:06:06,090
ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

135
00:06:06,190 --> 00:06:09,663
o wysokości 12 i krawędzi podstawy 8.

136
00:06:09,935 --> 00:06:12,735
Czego potrzebujemy do wyznaczenia objętości?

137
00:06:13,473 --> 00:06:16,046
Długości wysokości i pola podstawy.

138
00:06:17,035 --> 00:06:18,623
Wysokość już mamy.

139
00:06:18,723 --> 00:06:20,671
Wiemy, że jest równa 12.

140
00:06:21,288 --> 00:06:23,231
A co z polem podstawy?

141
00:06:23,910 --> 00:06:26,684
Wiemy jedynie, że krawędź podstawy ostrosłupa

142
00:06:26,784 --> 00:06:28,248
ma długość 8.

143
00:06:28,517 --> 00:06:32,191
Jaka figura znajduje się w podstawie ostrosłupa?

144
00:06:32,291 --> 00:06:35,255
Oczywiście trójkąt... ale jaki?

145
00:06:36,172 --> 00:06:38,079
Trójkąt równoboczny.

146
00:06:38,431 --> 00:06:40,264
W treści zadania mamy powiedziane

147
00:06:40,364 --> 00:06:42,492
że jest to ostrosłup prawidłowy.

148
00:06:42,592 --> 00:06:45,503
Czy jesteś w stanie wyznaczyć pole podstawy?

149
00:06:46,070 --> 00:06:49,343
Pamiętasz wzór na pole trójkąta równobocznego?

150
00:06:49,873 --> 00:06:53,183
To a kwadrat razy pierwiastek z 3 przez 4.

151
00:06:53,283 --> 00:06:55,670
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

152
00:06:55,770 --> 00:06:57,158
wyznaczyć pole podstawy.

153
00:06:57,258 --> 00:06:58,887
Następnie włącz film ponownie

154
00:06:58,987 --> 00:07:00,863
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

155
00:07:03,832 --> 00:07:06,847
W miejsce a podstawiamy 8

156
00:07:08,045 --> 00:07:11,631
czyli pole podstawy to 8 do kwadratu

157
00:07:11,768 --> 00:07:14,687
razy pierwiastek z 3 przez 4.

158
00:07:15,048 --> 00:07:17,503
8 do kwadratu to 64

159
00:07:17,911 --> 00:07:21,210
a 64 na 4 to 16.

160
00:07:21,310 --> 00:07:24,022
Ostatecznie otrzymujemy, że pole podstawy

161
00:07:24,122 --> 00:07:26,177
to 16 pierwiastków z 3.

162
00:07:26,277 --> 00:07:28,255
Możemy już wyznaczyć objętość?

163
00:07:28,878 --> 00:07:31,327
Tak! Mamy wszystkie potrzebne dane.

164
00:07:31,427 --> 00:07:34,399
Przypomnijmy, że objętość liczymy z takiego wzoru:

165
00:07:34,499 --> 00:07:37,983
1/3 razy wysokość razy pole podstawy.

166
00:07:38,254 --> 00:07:40,287
Oblicz objętość samodzielnie.

167
00:07:43,311 --> 00:07:45,965
W miejsce H wstawiam 12

168
00:07:46,065 --> 00:07:50,049
a w miejsce pola podstawy 16 pierwiastków z 3.

169
00:07:50,548 --> 00:07:53,087
12 przez 3 daje nam 4

170
00:07:53,732 --> 00:07:57,183
czyli objętość to 4 razy 16 pierwiastków z 3

171
00:07:57,302 --> 00:08:00,511
a 16 razy 4 to 64.

172
00:08:00,611 --> 00:08:02,086
Objętość tego ostrosłupa

173
00:08:02,186 --> 00:08:04,603
to 64 pierwiastki z 3.

174
00:08:08,495 --> 00:08:10,239
Teraz takie zadanie.

175
00:08:10,339 --> 00:08:13,046
Graniastosłup i ostrosłup mają takie same podstawy

176
00:08:13,146 --> 00:08:14,557
i równe objętości.

177
00:08:14,799 --> 00:08:18,336
Wysokość graniastosłupa jest równa 9 cm.

178
00:08:18,436 --> 00:08:20,194
Jaką wysokość ma ostrosłup?

179
00:08:21,352 --> 00:08:23,954
Jak widzisz, zadanie mówi o dwu bryłach.

180
00:08:24,054 --> 00:08:25,342
Co mamy znaleźć?

181
00:08:26,192 --> 00:08:28,671
Mamy obliczyć wysokość ostrosłupa.

182
00:08:29,867 --> 00:08:31,487
Co wiemy o tych bryłach?

183
00:08:31,756 --> 00:08:34,072
Jak myślisz, czy graniastosłup będzie

184
00:08:34,172 --> 00:08:36,179
wyższy od narysowanego ostrosłupa?

185
00:08:36,340 --> 00:08:37,699
Nie! Będzie niższy.

186
00:08:37,799 --> 00:08:39,748
Zaraz sprawdzimy to rachunkowo.

187
00:08:39,901 --> 00:08:42,064
Wiemy, że mają takie same podstawy

188
00:08:42,164 --> 00:08:43,914
co oznacza, że te podstawy

189
00:08:44,014 --> 00:08:45,852
mają takie same pola. Zaznaczyłem je

190
00:08:45,952 --> 00:08:48,401
dużą literą P z indeksem p.

191
00:08:48,778 --> 00:08:51,794
Wiemy też, że te 2 bryły mają równe objętości.

192
00:08:51,894 --> 00:08:54,335
W jaki sposób zapisać objętości tych dwu brył

193
00:08:54,435 --> 00:08:56,988
wykorzystując podane na planszy oznaczenia?

194
00:08:58,636 --> 00:09:01,011
Objętość ostrosłupa to 1/3 razy

195
00:09:01,111 --> 00:09:03,233
jego wysokość razy pole podstawy

196
00:09:03,333 --> 00:09:05,309
natomiast objętość graniastosłupa

197
00:09:05,410 --> 00:09:08,124
to po prostu jego wysokość razy pole podstawy.

198
00:09:08,832 --> 00:09:11,679
Wiemy, że te dwie objętości są równe.

199
00:09:12,659 --> 00:09:15,007
Możemy więc zapisać takie równanie.

200
00:09:15,514 --> 00:09:18,891
Podstawmy oba wyrażenia do tego równania.

201
00:09:19,831 --> 00:09:23,199
Zauważ, że pole podstawy nam się skróci.

202
00:09:25,235 --> 00:09:27,128
Wysokość graniastosłupa

203
00:09:27,228 --> 00:09:29,544
to 1/3 wysokości ostrosłupa.

204
00:09:29,645 --> 00:09:31,941
Wysokość graniastosłupa jest nam znana.

205
00:09:32,041 --> 00:09:33,556
To 9 cm.

206
00:09:33,814 --> 00:09:35,689
Spróbuj samodzielnie wyznaczyć

207
00:09:35,789 --> 00:09:37,022
wysokość ostrosłupa.

208
00:09:40,271 --> 00:09:42,241
Musimy przekształcić to równanie

209
00:09:42,341 --> 00:09:44,701
i pomnożyć obustronnie przez 3.

210
00:09:45,087 --> 00:09:47,861
Wysokość ostrosłupa jest 3 razy większa

211
00:09:47,961 --> 00:09:49,808
od wysokości graniastosłupa

212
00:09:49,908 --> 00:09:52,895
czyli ma ona długość 27 cm.

213
00:09:53,377 --> 00:09:54,687
Gratulacje!

214
00:09:59,424 --> 00:10:01,370
Wzór na objętość ostrosłupa

215
00:10:01,470 --> 00:10:05,358
to 1/3 razy pole podstawy razy wysokość.

216
00:10:05,752 --> 00:10:07,915
Wysokość ostrosłupa to odcinek

217
00:10:08,015 --> 00:10:10,713
łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy

218
00:10:10,813 --> 00:10:12,249
i do niej prostopadły.

219
00:10:13,109 --> 00:10:15,368
Wysokość może spadać w różnych miejscach.

220
00:10:15,497 --> 00:10:16,833
Wewnątrz podstawy

221
00:10:16,933 --> 00:10:18,736
na krawędź podstawy ostrosłupa

222
00:10:18,837 --> 00:10:21,055
albo nawet poza podstawą.

223
00:10:24,800 --> 00:10:27,614
Zobaczyłeś właśnie kolejny film o ostrosłupach.

224
00:10:27,714 --> 00:10:29,110
Zachęcam cię do zobaczenia

225
00:10:29,210 --> 00:10:30,772
innych filmów z tej playlisty

226
00:10:30,873 --> 00:10:33,669
i do polubienia naszego fanpage na Facebooku:

227
00:10:33,769 --> 00:10:36,366
Pi-stacja matematyka.