1
00:00:01,024 --> 00:00:02,576
Willis Tower to wieżowiec

2
00:00:02,576 --> 00:00:05,420
w centrum Chicago w Stanach Zjednoczonych.

3
00:00:05,632 --> 00:00:07,058
Ma 108 pięter

4
00:00:07,058 --> 00:00:10,240
i prawie 450 metrów wysokości.

5
00:00:10,752 --> 00:00:12,497
Jest najwyższym budynkiem

6
00:00:12,497 --> 00:00:14,104
w Ameryce Północnej

7
00:00:14,104 --> 00:00:16,658
a do tego jeszcze cały złożony jest

8
00:00:16,658 --> 00:00:19,456
z graniastosłupów prostych czworokątnych.

9
00:00:19,968 --> 00:00:22,157
Matematycy muszą być zachwyceni

10
00:00:22,157 --> 00:00:23,806
jak go widzą.

11
00:00:34,816 --> 00:00:37,267
Prosta to jedno z podstawowych

12
00:00:37,267 --> 00:00:39,136
pojęć w geometrii.

13
00:00:39,168 --> 00:00:40,454
Dzisiaj opowiem Ci

14
00:00:40,454 --> 00:00:42,420
o prostych w przestrzeni

15
00:00:42,420 --> 00:00:44,779
i żeby wszystko lepiej zrozumieć

16
00:00:44,779 --> 00:00:47,308
znaczymy je na tym sześcianie.

17
00:00:47,872 --> 00:00:50,163
Będziemy posługiwać się sześcianem

18
00:00:50,163 --> 00:00:51,942
o którym już dużo wiesz

19
00:00:51,968 --> 00:00:53,373
i który pozwoli nam

20
00:00:53,373 --> 00:00:55,516
zobrazować niektóre rzeczy.

21
00:00:55,808 --> 00:00:58,112
Nadal jednak trzeba uważać

22
00:00:58,368 --> 00:01:00,081
ponieważ płaski rysunek

23
00:01:00,081 --> 00:01:02,464
nie oddaje wszystkich zależności.

24
00:01:03,232 --> 00:01:06,816
Przykładowo górna podstawa jest kwadratem.

25
00:01:07,072 --> 00:01:08,864
Wobec tego jej krawędzie

26
00:01:08,864 --> 00:01:10,656
są do siebie prostopadłe.

27
00:01:11,168 --> 00:01:13,728
Natomiast kąt EFG

28
00:01:13,984 --> 00:01:15,325
na pierwszy rzut oka

29
00:01:15,325 --> 00:01:17,300
nie wygląda na prosty.

30
00:01:21,408 --> 00:01:22,887
Ponadto odcinki

31
00:01:22,887 --> 00:01:25,252
które przecinają się na rysunku

32
00:01:25,252 --> 00:01:27,958
nie muszą przecinać się w rzeczywistości.

33
00:01:28,064 --> 00:01:31,904
Na przykład odcinki BF i DC

34
00:01:32,160 --> 00:01:34,464
leżą w równoległych ścianach

35
00:01:34,720 --> 00:01:36,768
więc nie mogą się przecinać.

36
00:01:39,840 --> 00:01:41,888
Na szczęście Ty o sześcianie

37
00:01:41,888 --> 00:01:43,744
wiesz już bardzo dużo

38
00:01:43,744 --> 00:01:45,370
więc nie dasz się nabrać

39
00:01:45,370 --> 00:01:46,976
na takie pułapki.

40
00:01:48,544 --> 00:01:49,934
Na pewno pamiętasz

41
00:01:49,934 --> 00:01:51,787
że proste na płaszczyźnie

42
00:01:51,787 --> 00:01:53,408
mogą być równoległe.

43
00:01:53,920 --> 00:01:56,301
Oznacza to, że w każdym punkcie

44
00:01:56,301 --> 00:01:58,528
są od siebie tak samo odległe.

45
00:01:59,040 --> 00:02:00,456
Proste w przestrzeni

46
00:02:00,456 --> 00:02:02,368
również mogą być równoległe.

47
00:02:02,880 --> 00:02:04,800
Zaznaczmy w naszym sześcianie

48
00:02:04,800 --> 00:02:06,691
pary takich równoodległych

49
00:02:06,691 --> 00:02:08,330
od siebie prostych.

50
00:02:08,768 --> 00:02:10,227
Obrócę go trochę

51
00:02:10,227 --> 00:02:12,608
żeby można było lepiej to zobaczyć.

52
00:02:15,680 --> 00:02:17,968
Tak samo jak na płaszczyźnie

53
00:02:17,968 --> 00:02:19,810
są one równoodległe.

54
00:02:19,940 --> 00:02:21,440
Dlaczego?

55
00:02:21,568 --> 00:02:24,980
Popatrz na czworokąt ABGH.

56
00:02:25,152 --> 00:02:27,161
Jest on prostokątem

57
00:02:27,161 --> 00:02:31,552
więc proste zawierające AH i BG

58
00:02:31,808 --> 00:02:33,664
są równoodległe.

59
00:02:34,624 --> 00:02:36,623
Analogicznie możemy

60
00:02:36,623 --> 00:02:40,256
przyjrzeć się podstawie ABCD

61
00:02:40,768 --> 00:02:45,626
i prostym zawierającym AD oraz BC.

62
00:02:46,656 --> 00:02:48,606
Widzisz, że te proste

63
00:02:48,606 --> 00:02:50,496
leżą na jednej płaszczyźnie

64
00:02:51,008 --> 00:02:52,417
i są to po prostu

65
00:02:52,417 --> 00:02:55,104
proste równoległe na tej płaszczyźnie.

66
00:02:55,616 --> 00:02:58,831
Zapamiętaj, że proste równoległe

67
00:02:58,831 --> 00:03:00,748
zawsze leżą na tej samej

68
00:03:00,748 --> 00:03:02,696
wspólnej płaszczyźnie

69
00:03:02,696 --> 00:03:04,576
i na niej są równoległe.

70
00:03:06,112 --> 00:03:07,421
Na płaszczyźnie

71
00:03:07,421 --> 00:03:09,440
proste nie przecinające się

72
00:03:09,466 --> 00:03:11,488
musiały być równoległe.

73
00:03:11,744 --> 00:03:13,966
Czy tak samo będzie w przestrzeni?

74
00:03:14,048 --> 00:03:15,914
Zastanów się chwilę.

75
00:03:15,914 --> 00:03:19,980
Przyjrzyj się prostym EA oraz FC.

76
00:03:20,192 --> 00:03:21,984
Czy one się przecinają?

77
00:03:23,776 --> 00:03:26,336
Na rysunku proste się przecinają

78
00:03:26,592 --> 00:03:28,384
jednak w przestrzeni nie

79
00:03:28,640 --> 00:03:30,415
bo zawierają się w dwóch

80
00:03:30,415 --> 00:03:31,968
równoległych ścianach.

81
00:03:36,064 --> 00:03:39,060
Czy w takim razie są one równoległe?

82
00:03:40,416 --> 00:03:44,189
Zauważ , że punkty A, E i F

83
00:03:44,189 --> 00:03:46,560
leżą na lewej ścianie sześcianu

84
00:03:46,816 --> 00:03:48,864
a punkt C na prawej.

85
00:03:49,888 --> 00:03:51,519
Więc punkt C nie leży

86
00:03:51,519 --> 00:03:53,297
w tej samej płaszczyźnie

87
00:03:53,297 --> 00:03:55,062
co pozostałe punkty

88
00:03:55,264 --> 00:03:57,824
czyli proste nie są równoległe.

89
00:03:58,080 --> 00:04:00,496
Bo tak jak wcześniej powiedzieliśmy

90
00:04:00,496 --> 00:04:02,536
proste równoległe muszą leżeć

91
00:04:02,536 --> 00:04:04,644
na wspólnej płaszczyźnie.

92
00:04:05,248 --> 00:04:07,274
Można również zauważyć

93
00:04:07,274 --> 00:04:10,112
że odległości są inne w różnych punktach.

94
00:04:11,136 --> 00:04:16,114
Odcinki EF i AC mają różną długość

95
00:04:16,114 --> 00:04:19,071
więc proste nie są równoodległe.

96
00:04:19,583 --> 00:04:21,990
Czyli w przestrzeni istnieją proste

97
00:04:21,990 --> 00:04:24,191
które nie mają punktów wspólnych

98
00:04:24,447 --> 00:04:26,495
a mimo to nie są równoległe.

99
00:04:27,775 --> 00:04:30,847
Takie proste nazywamy prostymi skośnym.

100
00:04:34,303 --> 00:04:36,526
Aby utrwalić zdobytą wiedzę

101
00:04:36,526 --> 00:04:38,015
rozwiążmy zadanie.

102
00:04:38,527 --> 00:04:40,382
Na rysunku wyróżniono kolorem

103
00:04:40,382 --> 00:04:41,599
kilka prostych.

104
00:04:41,855 --> 00:04:46,185
Które z nich będą skośne do prostej BC?

105
00:04:46,207 --> 00:04:48,866
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

106
00:04:48,866 --> 00:04:50,573
rozwiązać to zadanie

107
00:04:50,573 --> 00:04:51,988
a później sprawdź

108
00:04:51,988 --> 00:04:54,143
czy Twój wynik zgadza się z moim.

109
00:04:57,471 --> 00:05:00,543
Prosta EH nie będzie skośna.

110
00:05:01,055 --> 00:05:03,885
Popatrz na EHCB.

111
00:05:03,885 --> 00:05:05,663
Jest to prostokąt.

112
00:05:05,919 --> 00:05:09,749
Proste zawierające odcinki EH i BC

113
00:05:09,749 --> 00:05:11,821
są równoodległe

114
00:05:11,821 --> 00:05:14,148
ponieważ leżą naprzeciwko siebie

115
00:05:14,148 --> 00:05:15,901
w tym prostokącie.

116
00:05:15,903 --> 00:05:18,147
Czyli prosta EH

117
00:05:18,147 --> 00:05:21,023
jest równoodległa do prostej BC

118
00:05:21,535 --> 00:05:23,839
stąd nie mogą one być skośne.

119
00:05:26,143 --> 00:05:28,191
Teraz prosta AF.

120
00:05:28,447 --> 00:05:31,371
Spójrzmy na charakterystyczne punkty.

121
00:05:31,651 --> 00:05:35,871
B,C i F zawierają się w jednej ścianie

122
00:05:36,127 --> 00:05:38,431
ale A już na niej nie leży.

123
00:05:38,687 --> 00:05:41,469
Oznacza to, że nie istnieje płaszczyzna

124
00:05:41,469 --> 00:05:46,405
zawierająca jednocześnie proste BC i AF

125
00:05:46,405 --> 00:05:49,183
czyli te proste muszą być skośne.

126
00:05:50,207 --> 00:05:52,511
I ostatnia prosta EC.

127
00:05:53,279 --> 00:05:55,751
Ma ona z prostą BC punkt wspólny.

128
00:05:56,621 --> 00:05:57,421
C.

129
00:05:57,887 --> 00:06:00,845
Punkt C jest punktem przecięcia

130
00:06:00,845 --> 00:06:04,031
w związku z tym proste EC i BC

131
00:06:04,287 --> 00:06:05,994
nie mogą być skośne.

132
00:06:05,994 --> 00:06:08,383
Są to proste przecinające się.

133
00:06:12,479 --> 00:06:13,938
Kolejnym przykładem

134
00:06:13,938 --> 00:06:15,931
są proste prostopadłe.

135
00:06:16,063 --> 00:06:18,151
Gdzie można znaleźć takie proste

136
00:06:18,151 --> 00:06:19,931
w naszym sześcianie?

137
00:06:19,931 --> 00:06:21,643
Zastanów się.

138
00:06:25,535 --> 00:06:28,607
Na przykład tu i tu.

139
00:06:29,375 --> 00:06:31,423
Czasami na pierwszy rzut oka

140
00:06:31,423 --> 00:06:33,471
nie widać tej prostopadłości

141
00:06:33,727 --> 00:06:36,031
ale wystarczy obrócić bryłę

142
00:06:36,031 --> 00:06:38,133
pod odpowiednim kątem.

143
00:06:38,847 --> 00:06:41,919
Jeżeli dwie proste mają punkt wspólny

144
00:06:42,175 --> 00:06:44,735
to zawsze leżą na jednej płaszczyźnie.

145
00:06:45,247 --> 00:06:47,463
Więc wystarczy się zastanowić

146
00:06:47,463 --> 00:06:50,367
czy na tej płaszczyźnie są prostopadłe.

147
00:06:55,231 --> 00:06:58,303
A czy proste skośne mogą być prostopadłe?

148
00:06:59,071 --> 00:07:00,143
Tak.

149
00:07:00,143 --> 00:07:02,911
Mimo że nie mają żadnego punktu wspólnego.

150
00:07:03,679 --> 00:07:06,751
Na przykład DH i FG

151
00:07:07,007 --> 00:07:08,752
pomimo, że są rozłączne

152
00:07:08,752 --> 00:07:11,103
będziemy uważali za prostopadłe.

153
00:07:11,615 --> 00:07:13,151
Jak to sprawdzić?

154
00:07:13,663 --> 00:07:16,903
Potrzebujemy dwóch płaszczyzn równoległych

155
00:07:16,903 --> 00:07:19,040
tak, aby każda zawierała

156
00:07:19,040 --> 00:07:21,387
jedną z badanych prostych.

157
00:07:21,599 --> 00:07:24,257
W przypadku sześcianu nie jest to trudne

158
00:07:24,257 --> 00:07:25,457
ponieważ wiemy

159
00:07:25,457 --> 00:07:27,743
że przeciwległe ściany sześcianu

160
00:07:27,749 --> 00:07:29,023
są równoległe.

161
00:07:29,535 --> 00:07:32,263
Spróbuj samodzielnie wybrać dwie ściany

162
00:07:32,263 --> 00:07:34,911
tak, aby były one równoległe

163
00:07:35,167 --> 00:07:36,668
i każda z nich zawierała

164
00:07:36,668 --> 00:07:39,527
jedną z badanych prostych.

165
00:07:43,359 --> 00:07:45,919
Szukanymi ścianami są te dwie.

166
00:07:46,431 --> 00:07:48,842
Dla ułatwienia wyróżnimy sobie

167
00:07:48,842 --> 00:07:51,145
nie tylko pomarańczową ścianę

168
00:07:51,145 --> 00:07:52,845
ale także płaszczyznę

169
00:07:52,845 --> 00:07:54,641
na której leży.

170
00:07:54,641 --> 00:07:57,068
Rysunek, który w tej chwili mamy

171
00:07:57,068 --> 00:07:59,743
jest rysunkiem w rzucie równoległym.

172
00:08:00,255 --> 00:08:01,838
Ma on tę zaletę

173
00:08:01,838 --> 00:08:04,427
że żadne krawędzie się nie pokrywają

174
00:08:04,427 --> 00:08:06,395
więc wszystkie fragmenty bryły

175
00:08:06,395 --> 00:08:08,475
są dobrze widoczne.

176
00:08:08,703 --> 00:08:10,463
Natomiast taki rysunek

177
00:08:10,463 --> 00:08:12,773
nie zachowuje dobrze kątów.

178
00:08:12,799 --> 00:08:16,069
Jak wiemy, ten kąt jest kątem prostym

179
00:08:16,069 --> 00:08:17,919
mimo że na taki nie wygląda.

180
00:08:18,175 --> 00:08:19,399
W związku z tym

181
00:08:19,399 --> 00:08:22,059
będziemy potrzebowali innego rysunku.

182
00:08:22,059 --> 00:08:24,831
Takiego, który dobrze te kąty zachowuje.

183
00:08:26,879 --> 00:08:29,695
Będzie to rysunek w rzucie prostokątnym.

184
00:08:30,463 --> 00:08:32,255
Jak otrzymać taki rysunek?

185
00:08:33,023 --> 00:08:35,969
Trzeba przekręcić naszą bryłę tak

186
00:08:35,969 --> 00:08:38,155
jakbyśmy chcieli ją oglądać

187
00:08:38,155 --> 00:08:41,563
przez przednią żółtą ścianę.

188
00:08:41,983 --> 00:08:43,890
Możesz teraz wziąć sobie

189
00:08:43,890 --> 00:08:46,591
dowolne prostopadłościenne pudełko

190
00:08:46,847 --> 00:08:48,456
i spróbować je ustawić

191
00:08:48,456 --> 00:08:49,919
w analogiczny sposób.

192
00:08:50,175 --> 00:08:51,663
Będziesz wtedy widział

193
00:08:51,663 --> 00:08:53,759
tylko jedną ścianę tego pudełka.

194
00:08:54,015 --> 00:08:56,319
Tą, przez którą patrzysz na bryłę.

195
00:08:58,623 --> 00:09:01,109
To, co właśnie zrobiliśmy

196
00:09:01,109 --> 00:09:03,399
to rzut prostokątny.

197
00:09:03,487 --> 00:09:05,701
Jak widzisz w tym ustawieniu

198
00:09:05,701 --> 00:09:08,863
widoczne kąty proste wyglądają na proste.

199
00:09:09,119 --> 00:09:11,929
Za to niektóre punkty się nam pokryły.

200
00:09:11,935 --> 00:09:14,751
Na przykład punkt F z punktem E

201
00:09:15,007 --> 00:09:18,341
lub punkt G z punktem H.

202
00:09:18,591 --> 00:09:21,173
Te punkty pokryły się dlatego

203
00:09:21,173 --> 00:09:24,135
że te cztery krawędzie są prostopadłe

204
00:09:24,135 --> 00:09:26,681
do pomarańczowej ściany.

205
00:09:27,039 --> 00:09:29,258
Naszym celem było zbadanie

206
00:09:29,258 --> 00:09:31,962
czy żółta i pomarańczowa prosta

207
00:09:31,962 --> 00:09:33,543
są prostopadłe.

208
00:09:33,695 --> 00:09:36,511
W tej perspektywie to bardzo dobrze widać.

209
00:09:36,767 --> 00:09:38,365
Te proste zawierają

210
00:09:38,365 --> 00:09:40,338
sąsiednie boki kwadratu

211
00:09:40,338 --> 00:09:42,825
czyli muszą być prostopadłe.

212
00:09:42,911 --> 00:09:44,629
Gdybyśmy chcieli narysować

213
00:09:44,629 --> 00:09:46,693
rzut tej żółtej prostej

214
00:09:46,693 --> 00:09:48,799
na pomarańczową płaszczyznę

215
00:09:49,055 --> 00:09:51,103
to byłaby to taka prosta

216
00:09:51,615 --> 00:09:54,175
bo jak widzisz z tej perspektywy

217
00:09:54,431 --> 00:09:57,721
te dwie proste się pokrywają.

218
00:09:58,527 --> 00:10:00,411
Ten rzut można rozumieć

219
00:10:00,411 --> 00:10:02,416
jako cień żółtej prostej

220
00:10:02,416 --> 00:10:04,901
na pomarańczową płaszczyznę.

221
00:10:04,901 --> 00:10:06,552
Do rzutu prostokątnego

222
00:10:06,552 --> 00:10:08,056
będziemy jeszcze wracali

223
00:10:08,056 --> 00:10:10,303
w kolejnych lekcjach na tej playliiście.

224
00:10:10,815 --> 00:10:12,469
Teraz najważniejsze jest to

225
00:10:12,469 --> 00:10:15,423
żebyś zapamiętał, że proste skośne

226
00:10:15,679 --> 00:10:17,727
też mogą być prostopadłe.

227
00:10:22,079 --> 00:10:25,663
Spróbujmy rozwiązać teraz takie zadanie.

228
00:10:26,943 --> 00:10:30,731
Punkt D jest środkiem odcinka AB.

229
00:10:30,783 --> 00:10:33,116
Sprawdź, czy odcinek AB

230
00:10:33,116 --> 00:10:36,159
jest prostopadły do odcinka CD.

231
00:10:36,927 --> 00:10:39,743
Przyjrzyjmy się trójkątowi ABC.

232
00:10:39,999 --> 00:10:41,853
Wyznacza on płaszczyznę

233
00:10:41,853 --> 00:10:44,351
na której leży również punk D

234
00:10:44,607 --> 00:10:47,983
ponieważ leży wewnątrz odcinka AB.

235
00:10:48,191 --> 00:10:49,931
Jaki to trójkąt?

236
00:10:50,495 --> 00:10:53,567
Zauważ, że AC i BC

237
00:10:53,823 --> 00:10:56,127
to przekątne ścian sześcianu

238
00:10:56,383 --> 00:10:59,199
dlatego muszą mieć taką samą długość.

239
00:10:59,711 --> 00:11:02,015
Czyli jest to trójkąt równoramienny.

240
00:11:02,527 --> 00:11:05,087
A skoro jest to trójkąt równoramienny

241
00:11:05,343 --> 00:11:08,415
to wysokość opuszczona z punktu C

242
00:11:08,415 --> 00:11:10,463
dzieli podstawę na pół

243
00:11:10,719 --> 00:11:15,983
czyli CD musi być wysokością trójkąta ABC.

244
00:11:16,095 --> 00:11:20,703
Stąd odcinki AB I CD są prostopadłe.

245
00:11:21,471 --> 00:11:24,031
Kolejny przykład jest dla Ciebie.

246
00:11:24,543 --> 00:11:27,359
Zatrzymaj film i spróbuj odpowiedzieć

247
00:11:27,615 --> 00:11:30,943
czy AB jest prostopadły do CD?

248
00:11:34,527 --> 00:11:38,879
Tym razem odcinek AB to krawędź sześcianu.

249
00:11:39,647 --> 00:11:42,586
Widzimy, że przekątna AC

250
00:11:42,586 --> 00:11:45,535
jest prostopadła do krawędzi AB

251
00:11:46,047 --> 00:11:47,631
bo ściany sześcianu

252
00:11:47,631 --> 00:11:49,631
 są wzajemnie prostopadłe.

253
00:11:50,143 --> 00:11:53,727
W związku z tym nasz trójkąt ACD

254
00:11:53,727 --> 00:11:56,129
jest prostokątny.

255
00:11:56,287 --> 00:11:57,781
Naszym zadaniem było jednak

256
00:11:57,781 --> 00:12:00,939
sprawdzić, czy odcinek CD

257
00:12:00,939 --> 00:12:03,455
jest prostopadły do odcinka AB.

258
00:12:04,735 --> 00:12:07,167
Widzimy, że tak nie może być

259
00:12:07,167 --> 00:12:08,474
bo w naszym trójkącie

260
00:12:08,474 --> 00:12:10,617
zaznaczyliśmy już kąt prosty

261
00:12:10,623 --> 00:12:13,593
więc nie może w nim być jeszcze jednego.

262
00:12:13,951 --> 00:12:15,316
Wtedy suma kątów

263
00:12:15,316 --> 00:12:18,507
wynosiłaby więcej niż 180 stopni.

264
00:12:18,815 --> 00:12:21,495
Jak widać, nie musimy niczego liczyć

265
00:12:21,495 --> 00:12:23,935
żeby stwierdzić, że odcinek AB

266
00:12:24,191 --> 00:12:27,007
nie jest prostopadły do odcinka CD.

267
00:12:32,383 --> 00:12:34,597
W dzisiejszej lekcji omówiliśmy

268
00:12:34,597 --> 00:12:35,625
różne rodzaje

269
00:12:35,625 --> 00:12:37,759
położenia prostych w przestrzeni.

270
00:12:38,015 --> 00:12:39,848
Zapamiętaj, że proste

271
00:12:39,848 --> 00:12:41,849
które się nie przecinają

272
00:12:41,855 --> 00:12:43,647
nie muszą być równoległe.

273
00:12:43,903 --> 00:12:46,993
Takie proste nazywamy skośnymi.

274
00:12:50,047 --> 00:12:52,127
Obejrzyj pozostałe filmy

275
00:12:52,127 --> 00:12:55,591
o graniastosłupach, a po więcej materiałów

276
00:12:55,591 --> 00:12:59,263
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv