1
00:00:00,196 --> 00:00:02,017
W tym krótkim filmie możesz zobaczyć

2
00:00:02,117 --> 00:00:03,471
jak z kartki papieru

3
00:00:03,571 --> 00:00:05,556
stworzyć skomplikowaną bryłę.

4
00:00:06,124 --> 00:00:07,633
Po zobaczeniu tej lekcji

5
00:00:07,733 --> 00:00:09,570
sam będziesz mógł tworzyć ostrosłupy

6
00:00:09,670 --> 00:00:12,345
za pomocą własnoręcznie zrobionych siatek.

7
00:00:23,552 --> 00:00:26,266
Frytki belgijskie są bardzo często podawane

8
00:00:26,366 --> 00:00:27,988
w pudełkach podobnych do tego

9
00:00:28,088 --> 00:00:29,402
które widzisz na rysunku.

10
00:00:29,502 --> 00:00:31,132
Ma ono kształt ostrosłupa

11
00:00:31,232 --> 00:00:33,149
który został odwrócony do góry nogami.

12
00:00:33,249 --> 00:00:35,072
Tutaj jest jego wierzchołek.

13
00:00:35,622 --> 00:00:37,632
Czy na pewno jest to ostrosłup?

14
00:00:37,971 --> 00:00:39,168
Nie.

15
00:00:39,268 --> 00:00:40,960
Nie mamy naszej podstawy.

16
00:00:41,060 --> 00:00:42,181
Dorysujmy ją.

17
00:00:42,281 --> 00:00:43,830
Jak sądzisz, w jaki sposób

18
00:00:43,930 --> 00:00:45,384
można zbudować takie pudełko

19
00:00:45,484 --> 00:00:46,812
na przykład z tektury?

20
00:00:47,305 --> 00:00:49,920
Spróbujmy je rozłożyć i zobaczmy.

21
00:00:51,648 --> 00:00:53,732
Rozłożyliśmy nasze pudełko na płasko

22
00:00:53,832 --> 00:00:55,881
ale z tej perspektywy trudno to zobaczyć.

23
00:00:55,981 --> 00:00:57,915
Spójrzmy na nie bezpośrednio z góry.

24
00:00:59,297 --> 00:01:01,440
Dobrze, i co tutaj widzimy?

25
00:01:01,844 --> 00:01:04,512
Oto siatka naszego ostrosłupa.

26
00:01:05,150 --> 00:01:07,395
Z siatkami na pewno zapoznałeś/aś się

27
00:01:07,495 --> 00:01:09,544
podczas nauki o graniastosłupach.

28
00:01:09,839 --> 00:01:11,168
Co my tutaj mamy?

29
00:01:11,930 --> 00:01:14,506
Tutaj jest podstawa naszego ostrosłupa

30
00:01:14,606 --> 00:01:15,949
w tym przypadku kwadrat.

31
00:01:16,339 --> 00:01:18,071
Te trójkąty natomiast

32
00:01:18,171 --> 00:01:20,127
stanowią jego ściany boczne.

33
00:01:20,447 --> 00:01:22,522
Jak sądzisz, czy jest to jedyna siatka

34
00:01:22,622 --> 00:01:24,349
z jakiej można utworzyć ostrosłup

35
00:01:24,449 --> 00:01:25,866
widziany na początku?

36
00:01:26,447 --> 00:01:28,064
Oczywiście, że nie!

37
00:01:28,164 --> 00:01:30,462
Zobacz: z tej siatki również możemy

38
00:01:30,562 --> 00:01:33,256
ułożyć ostrosłup widziany na początku.

39
00:01:33,617 --> 00:01:37,792
Tutaj jest jego podstawa, a tutaj 4 ściany boczne.

40
00:01:38,174 --> 00:01:40,608
Spróbuj wymyślić swoją własną siatkę.

41
00:01:44,887 --> 00:01:47,008
Teraz mamy takie zadanie.

42
00:01:47,108 --> 00:01:48,578
Nazwij ostrosłupy

43
00:01:48,678 --> 00:01:51,104
których siatki narysowano poniżej.

44
00:01:51,270 --> 00:01:54,067
Widzisz 4 siatki ostrosłupów.

45
00:01:54,167 --> 00:01:56,916
Zacznijmy od pierwszego. Jaki to ostrosłup?

46
00:01:57,016 --> 00:01:58,904
Żeby to powiedzieć, musimy najpierw

47
00:01:59,004 --> 00:02:00,546
znaleźć jego podstawę.

48
00:02:01,304 --> 00:02:03,904
Która z figur jest podstawą tego ostrosłupa?

49
00:02:04,004 --> 00:02:06,597
To prostokąt. W ostrosłupie tylko podstawa

50
00:02:06,697 --> 00:02:08,216
nie musi być trójkątem.

51
00:02:08,316 --> 00:02:11,584
Te 4 trójkąty stanowią jego ściany boczne.

52
00:02:11,684 --> 00:02:13,888
Jak więc nazwiemy ten ostrosłup?

53
00:02:14,989 --> 00:02:16,689
To ostrosłup czworokątny

54
00:02:16,789 --> 00:02:19,605
ponieważ jego podstawie jest czworokąt.

55
00:02:20,356 --> 00:02:21,824
A ta bryła?

56
00:02:22,527 --> 00:02:24,618
Tutaj nietrudno znaleźć podstawę.

57
00:02:24,718 --> 00:02:27,033
Podstawą jest sześciokąt foremny.

58
00:02:27,614 --> 00:02:29,926
Ponadto wszystkie krawędzie boczne

59
00:02:30,026 --> 00:02:32,502
tego ostrosłupa mają równą długość.

60
00:02:32,602 --> 00:02:34,519
W takim razie jest to ostrosłup

61
00:02:34,619 --> 00:02:37,111
prawidłowy sześciokątny.

62
00:02:37,508 --> 00:02:39,915
Teraz zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

63
00:02:40,015 --> 00:02:43,346
nazwać bryłę, która powstaje z tej siatki.

64
00:02:43,446 --> 00:02:44,995
Następnie włącz film ponownie

65
00:02:45,095 --> 00:02:46,864
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

66
00:02:50,303 --> 00:02:52,040
Wszystkie ściany są trójkątami

67
00:02:52,140 --> 00:02:54,263
więc każda z nich może być podstawą.

68
00:02:54,363 --> 00:02:56,979
Załóżmy, że podstawą jest najmniejszy trójkąt.

69
00:02:57,079 --> 00:02:59,122
Wtedy będzie to ostrosłup prawidłowy.

70
00:02:59,222 --> 00:03:01,514
Jego podstawa jest trójkątem równobocznym

71
00:03:01,614 --> 00:03:04,474
a ściany boczne trójkątami równoramiennymi.

72
00:03:06,137 --> 00:03:07,440
A ta siatka?

73
00:03:07,540 --> 00:03:09,440
Jak myślisz, co przedstawia?

74
00:03:09,774 --> 00:03:12,768
Która figura stanowi podstawę tego ostrosłupa?

75
00:03:13,160 --> 00:03:15,744
Zauważ, że wszystkie figury są identyczne.

76
00:03:15,844 --> 00:03:18,275
W takim razie ściany boczne w tym ostrosłupie

77
00:03:18,375 --> 00:03:20,256
są takie same jak jego podstawa.

78
00:03:20,357 --> 00:03:23,264
W jakim ostrosłupie zachodziła taka zależność?

79
00:03:23,547 --> 00:03:26,080
Był to oczywiście czworościan foremny.

80
00:03:26,592 --> 00:03:27,991
Spróbuj teraz samodzielnie

81
00:03:28,091 --> 00:03:29,292
naszkicować bryły

82
00:03:29,392 --> 00:03:31,107
które powstają z tych siatek.

83
00:03:31,395 --> 00:03:32,956
Następnie włącz film ponownie

84
00:03:33,056 --> 00:03:35,032
i porównaj swoje rysunki z moimi.

85
00:03:38,403 --> 00:03:40,140
Tutaj ostrosłup czworokątny

86
00:03:40,240 --> 00:03:42,695
tutaj ostrosłup prawidłowy sześciokątny

87
00:03:42,916 --> 00:03:45,095
ostrosłup prawidłowy trójkątny

88
00:03:45,195 --> 00:03:46,550
i czworościan foremny.

89
00:03:46,650 --> 00:03:48,045
Zauważ, że w przeciwieństwie

90
00:03:48,145 --> 00:03:49,597
do rysunków przestrzennych

91
00:03:49,697 --> 00:03:51,638
na podstawie siatki możemy stwierdzić

92
00:03:51,739 --> 00:03:54,240
czy dany ostrosłup jest prawidłowy czy nie.

93
00:03:58,007 --> 00:04:00,142
Znowu mamy 4 rysunki siatek.

94
00:04:00,319 --> 00:04:02,093
Ale teraz inne pytanie.

95
00:04:02,527 --> 00:04:03,705
Który z tych rysunków

96
00:04:03,805 --> 00:04:05,803
przedstawia siatkę ostrosłupa?

97
00:04:06,488 --> 00:04:08,064
Sprawdźmy po kolei.

98
00:04:08,659 --> 00:04:10,897
Czy to może być siatka ostrosłupa?

99
00:04:10,997 --> 00:04:12,034
Nie.

100
00:04:12,134 --> 00:04:15,241
Zauważ, że krawędzie boczne są za krótkie.

101
00:04:15,469 --> 00:04:17,780
Nie utworzyłyby figury przestrzennej.

102
00:04:17,880 --> 00:04:20,453
Jeżeli mi nie wierzysz, narysuj tę siatkę

103
00:04:20,553 --> 00:04:23,147
wytnij i spróbuj z niej złożyć ostrosłup.

104
00:04:24,082 --> 00:04:25,179
A może ta?

105
00:04:25,279 --> 00:04:26,751
Jak sądzisz?

106
00:04:26,851 --> 00:04:28,799
Można z niej ułożyć ostrosłup?

107
00:04:29,640 --> 00:04:31,458
Gdyby to był ostrosłup

108
00:04:31,598 --> 00:04:35,161
ta krawędź musiałaby się stykać z tą krawędzią

109
00:04:35,345 --> 00:04:37,759
a mają one wyraźnie różne długości.

110
00:04:38,128 --> 00:04:41,087
W związku z tym nie może to być ostrosłup.

111
00:04:42,824 --> 00:04:44,159
A może ta bryła?

112
00:04:44,407 --> 00:04:46,463
Wygląda całkiem w porządku.

113
00:04:46,563 --> 00:04:47,743
Co o tym myślisz?

114
00:04:48,206 --> 00:04:50,341
Zobacz, jaka figura jest w podstawie.

115
00:04:50,441 --> 00:04:52,095
Sześciokąt foremny.

116
00:04:52,306 --> 00:04:54,143
Ile mamy ścian bocznych?

117
00:04:55,324 --> 00:04:56,447
Tylko 5.

118
00:04:56,547 --> 00:04:58,718
No, właśnie. Uda nam się ułożyć ostrosłup

119
00:04:58,818 --> 00:05:00,750
ale bez jednej ściany bocznej.

120
00:05:00,850 --> 00:05:03,103
Zostaje nam ostatni rysunek.

121
00:05:03,203 --> 00:05:05,663
Czy można z tej figury ułożyć ostrosłup?

122
00:05:06,455 --> 00:05:07,455
Tak.

123
00:05:07,555 --> 00:05:10,527
Zauważ, że te długości są odpowiednie.

124
00:05:14,280 --> 00:05:17,183
Wróćmy teraz do ostrosłupa z początku filmu.

125
00:05:17,372 --> 00:05:18,659
Czego oprócz siatki

126
00:05:18,759 --> 00:05:20,996
będziemy potrzebować, aby go stworzyć?

127
00:05:21,905 --> 00:05:23,839
Oczywiście jakiegoś materiału.

128
00:05:23,990 --> 00:05:26,655
Tektury, papieru albo czegoś innego.

129
00:05:26,755 --> 00:05:29,305
W wielkiej skali pudełka wykonuje się

130
00:05:29,405 --> 00:05:31,421
z arkuszy o określonej powierzchni

131
00:05:31,521 --> 00:05:33,567
za którą oczywiście trzeba zapłacić.

132
00:05:33,901 --> 00:05:35,866
Umiejętność policzenia pola powierzchni

133
00:05:35,966 --> 00:05:38,331
takiego pudełka jest więc bardzo przydatna.

134
00:05:38,721 --> 00:05:41,018
Gdy mówimy o powierzchni ostrosłupa

135
00:05:41,118 --> 00:05:43,778
wyróżniamy następujące wielkości:

136
00:05:45,442 --> 00:05:47,135
Pole podstawy

137
00:05:48,313 --> 00:05:50,719
oraz pole powierzchni bocznej.

138
00:05:51,515 --> 00:05:53,164
Pole powierzchni bocznej

139
00:05:53,264 --> 00:05:54,646
to suma pól powierzchni

140
00:05:54,746 --> 00:05:56,314
wszystkich ścian bocznych.

141
00:05:57,390 --> 00:06:00,959
Pole podstawy dodać pole powierzchni bocznej

142
00:06:01,059 --> 00:06:04,543
daje nam pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

143
00:06:05,775 --> 00:06:08,138
Wprowadźmy teraz pewne wartości liczbowe

144
00:06:08,238 --> 00:06:09,325
i spróbujmy obliczyć

145
00:06:09,425 --> 00:06:11,708
pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

146
00:06:12,253 --> 00:06:14,192
Niech długość krawędzi podstawy

147
00:06:14,292 --> 00:06:15,806
będzie równa 8.

148
00:06:16,707 --> 00:06:19,903
A długość krawędzi bocznej — 16.

149
00:06:21,264 --> 00:06:23,231
Od czego najlepiej zacząć?

150
00:06:24,098 --> 00:06:26,815
Najprościej będzie policzyć pole podstawy.

151
00:06:27,484 --> 00:06:30,911
To 8 do kwadratu, czyli 64.

152
00:06:31,106 --> 00:06:32,959
A pole powierzchni bocznej?

153
00:06:34,239 --> 00:06:36,215
Powierzchnia boczna tego ostrosłupa

154
00:06:36,315 --> 00:06:39,373
składa się z 4 identycznych trójkątów.

155
00:06:39,473 --> 00:06:41,355
Wystarczy więc, że policzymy pole

156
00:06:41,455 --> 00:06:43,967
jednego z nich i pomnożymy przez 4.

157
00:06:44,067 --> 00:06:46,271
Czego nam brakuje do wyznaczenia pola?

158
00:06:47,014 --> 00:06:49,343
Szukamy długości wysokości.

159
00:06:49,959 --> 00:06:52,477
Zobacz: jest to trójkąt prostokątny.

160
00:06:52,577 --> 00:06:54,335
Gdybyśmy znali długość tego boku

161
00:06:54,435 --> 00:06:56,219
moglibyśmy z twierdzenia Pitagorasa

162
00:06:56,319 --> 00:06:57,357
wyznaczyć wysokość.

163
00:06:57,457 --> 00:06:59,583
Ile wynosi długość tego odcinka?

164
00:07:01,024 --> 00:07:03,490
Zauważ, że ten trójkąt jest równoramienny.

165
00:07:03,590 --> 00:07:06,361
Tutaj też mamy odcinek o długości 16.

166
00:07:06,626 --> 00:07:08,974
W trójkącie równoramiennym wysokość

167
00:07:09,074 --> 00:07:10,704
dzieli podstawę na połowy

168
00:07:10,804 --> 00:07:13,151
czyli tutaj jest odcinek o długości 4.

169
00:07:13,251 --> 00:07:15,816
Zatrzymaj teraz film i spróbuj samodzielnie

170
00:07:15,916 --> 00:07:17,433
wyznaczyć długość wysokości.

171
00:07:20,575 --> 00:07:22,924
Zaznaczamy wysokość małą literą h

172
00:07:23,024 --> 00:07:24,507
i układamy równanie.

173
00:07:24,809 --> 00:07:29,476
h kwadrat dodać 4 do kwadratu to 16 do kwadratu

174
00:07:29,763 --> 00:07:34,784
czyli h kwadrat dodać 16 to 256.

175
00:07:36,191 --> 00:07:39,532
h kwadrat to w takim razie 240

176
00:07:40,025 --> 00:07:43,615
czyli h to pierwiastek z 240.

177
00:07:44,118 --> 00:07:47,718
Ile w takim razie wynosi pole tego trójkąta?

178
00:07:48,572 --> 00:07:51,807
To 8 pierwiastków z 240 przez 2

179
00:07:52,575 --> 00:07:55,391
czyli 4 pierwiastki z 240.

180
00:07:56,449 --> 00:07:58,207
A pole powierzchni bocznej?

181
00:07:58,378 --> 00:08:00,255
jest 4 razy większe.

182
00:08:00,355 --> 00:08:03,071
To 16 pierwiastków z 240.

183
00:08:04,694 --> 00:08:05,957
Jakie jest takim razie

184
00:08:06,057 --> 00:08:07,678
pole powierzchni całkowitej?

185
00:08:09,626 --> 00:08:15,147
To 64 plus 16 pierwiastków z 240.

186
00:08:17,407 --> 00:08:19,608
Wynik jest prawidłowy, ale ten pierwiastek

187
00:08:19,708 --> 00:08:21,294
nie wygląda zbyt elegancko.

188
00:08:21,574 --> 00:08:24,335
Możemy wyłączyć czynnik przed pierwiastek.

189
00:08:24,482 --> 00:08:26,455
Jeżeli nie pamiętasz, jak się to robiło

190
00:08:26,555 --> 00:08:28,810
zachęcam cię do obejrzenia filmu Pi-stacji

191
00:08:28,910 --> 00:08:31,402
o wyłączaniu czynnika przed pierwiastek.

192
00:08:31,792 --> 00:08:34,199
Możemy ten wynik zapisać w inny sposób

193
00:08:34,299 --> 00:08:40,155
wiedząc, że 240 to inaczej 16 razy 15

194
00:08:40,255 --> 00:08:42,245
a pierwiastek z 16 to 4.

195
00:08:42,345 --> 00:08:44,697
Czyli 4 możemy wyłączyć przed pierwiastek.

196
00:08:45,013 --> 00:08:47,871
4 razy 16 to 64.

197
00:08:49,533 --> 00:08:52,176
Tak otrzymujemy naszą ostateczną odpowiedź

198
00:08:52,276 --> 00:08:55,003
która wygląda o wiele lepiej od pierwszej.

199
00:08:55,103 --> 00:08:57,200
Pamiętaj zawsze, żeby wyniki w matematyce

200
00:08:57,300 --> 00:08:59,221
podawać w jak najprostszej postaci.

201
00:08:59,321 --> 00:09:00,554
Gratulacje!

202
00:09:05,847 --> 00:09:08,423
Aby policzyć pole powierzchni ostrosłupa

203
00:09:08,523 --> 00:09:11,640
musisz zsumować pola jego wszystkich ścian.

204
00:09:11,876 --> 00:09:14,868
W ostrosłupach wyróżniamy pole podstawy

205
00:09:14,968 --> 00:09:16,992
i pole powierzchni bocznej.

206
00:09:17,412 --> 00:09:20,770
Pole całkowite to suma pola postawy

207
00:09:20,870 --> 00:09:22,770
i pola powierzchni bocznej.

208
00:09:26,938 --> 00:09:28,317
Zobaczyłeś właśnie film

209
00:09:28,417 --> 00:09:30,603
z playlisty poświęconej ostrosłupom.

210
00:09:30,817 --> 00:09:32,422
Zachęcamy do zobaczenia

211
00:09:32,522 --> 00:09:34,018
innych filmów z tej playlisty

212
00:09:34,119 --> 00:09:36,890
a także do odwiedzenia naszej strony internetowej

213
00:09:36,990 --> 00:09:39,086
pistacja.tv