1
00:00:00,127 --> 00:00:02,086
Bryły pokazane na planszy

2
00:00:02,186 --> 00:00:05,050
noszą nazwę wielościanów gwiaździstych.

3
00:00:05,150 --> 00:00:07,988
Powstają one z kilku innych wielościanów.

4
00:00:08,226 --> 00:00:10,577
Najstarszym wielościanem gwiaździstym

5
00:00:10,677 --> 00:00:13,463
jest tak zwana stella octangula

6
00:00:13,563 --> 00:00:17,594
która została opisana już w 1509 roku.

7
00:00:29,525 --> 00:00:31,488
Zabieramy się do działania.

8
00:00:31,588 --> 00:00:33,885
Na początku wyznaczymy objętość

9
00:00:33,985 --> 00:00:36,261
ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

10
00:00:36,361 --> 00:00:39,506
o krawędzi bocznej 5 i krawędzi podstawy 3.

11
00:00:40,289 --> 00:00:42,752
Ostrosłup ten jest narysowany tutaj.

12
00:00:43,815 --> 00:00:46,600
Mamy zaznaczoną długość krawędzi bocznej

13
00:00:47,255 --> 00:00:49,408
i długość krawędzi podstawy.

14
00:00:49,508 --> 00:00:51,394
Co musimy znać, żeby wyznaczyć

15
00:00:51,494 --> 00:00:52,735
objętość ostrosłupa?

16
00:00:53,983 --> 00:00:57,330
Pole podstawy oraz wysokość.

17
00:00:57,952 --> 00:00:59,663
Zacznijmy od pola podstawy.

18
00:00:59,763 --> 00:01:01,467
Jaka figura jest w podstawie

19
00:01:01,567 --> 00:01:03,589
ostrosłupa prawidłowego trójkątnego?

20
00:01:04,500 --> 00:01:06,560
To trójkąt równoboczny.

21
00:01:06,660 --> 00:01:08,120
Jeżeli tego nie pamiętasz

22
00:01:08,220 --> 00:01:11,109
zachęcam cię do obejrzenia filmu na Pi-stacji.

23
00:01:11,209 --> 00:01:13,894
Czy jesteśmy w stanie wyznaczyć pole podstawy?

24
00:01:14,720 --> 00:01:17,700
Oczywiście. Skoro jest to trójkąt równoboczny

25
00:01:17,800 --> 00:01:19,242
to do wyznaczenia jego pola

26
00:01:19,342 --> 00:01:21,976
wystarczy nam długość krawędzi podstawy.

27
00:01:22,180 --> 00:01:23,968
Pamiętasz odpowiedni wzór?

28
00:01:24,360 --> 00:01:29,001
To a kwadrat pierwiastków z 3 przez 4.

29
00:01:29,101 --> 00:01:31,392
Ile wynosi a w naszym przypadku?

30
00:01:32,195 --> 00:01:36,413
Jest równe 3. Podstawiamy i uzyskujemy:

31
00:01:36,513 --> 00:01:40,600
pole równa się 9 pierwiastków z 3 przez 4.

32
00:01:41,196 --> 00:01:44,704
Potrzebujemy jedynie wyznaczyć długość wysokości.

33
00:01:45,472 --> 00:01:47,776
Pytanie tylko, jak to zrobić?

34
00:01:48,427 --> 00:01:51,203
Zauważ, że w ostrosłupach kryje się

35
00:01:51,303 --> 00:01:53,264
wiele trójkątów prostokątnych.

36
00:01:53,451 --> 00:01:54,944
Na przykład tutaj.

37
00:01:55,044 --> 00:01:57,505
W tym trójkącie jedną z przyprostokątnych

38
00:01:57,605 --> 00:02:00,622
jest szukana wysokość, a przeciwprostokątną

39
00:02:00,722 --> 00:02:02,861
jest krawędź boczna ostrosłupa.

40
00:02:02,961 --> 00:02:05,791
Tutaj możemy się dokładniej przyjrzeć temu trójkątowi.

41
00:02:06,438 --> 00:02:09,708
Znamy długość tego odcinka – to 5.

42
00:02:10,628 --> 00:02:13,447
Tutaj jest nasza szukana wysokość.

43
00:02:14,256 --> 00:02:17,134
Gdybyśmy tylko znali długość żółtego odcinka

44
00:02:17,234 --> 00:02:18,752
moglibyśmy wyznaczyć wysokość

45
00:02:18,852 --> 00:02:21,035
ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa.

46
00:02:22,099 --> 00:02:25,506
W jaki sposób wyznaczyć tę długość?

47
00:02:25,606 --> 00:02:27,562
Spójrzmy na nasz ostrosłup z góry.

48
00:02:27,662 --> 00:02:29,623
Powinieneś wiedzieć, że w ostrosłupie

49
00:02:29,723 --> 00:02:32,140
prawidłowym trójkątnym spodek wysokości

50
00:02:32,240 --> 00:02:35,572
pokrywa się z punktem przecięcia wysokości podstawy.

51
00:02:37,028 --> 00:02:38,646
Jak możemy to wykorzystać?

52
00:02:39,310 --> 00:02:40,996
Zobacz: ten żółty odcinek jest

53
00:02:41,096 --> 00:02:43,722
pewnym fragmentem wysokości podstawy

54
00:02:43,822 --> 00:02:45,669
a w trójkącie równobocznym

55
00:02:45,769 --> 00:02:47,616
punkt przecięcia wysokości

56
00:02:47,716 --> 00:02:50,752
dzieli je w stosunku 2 do 1.

57
00:02:50,918 --> 00:02:54,588
Ten odcinek jest 2 razy dłuższy od tego odcinka.

58
00:02:55,031 --> 00:02:59,263
Mówiąc inaczej, ten odcinek stanowi 

59
00:02:59,363 --> 00:03:02,474
2/3 całej wysokości podstawy.

60
00:03:03,121 --> 00:03:04,876
Wystarczy teraz, że wyznaczymy

61
00:03:04,976 --> 00:03:07,533
długość wysokości podstawy tego ostrosłupa

62
00:03:07,633 --> 00:03:09,852
a wyznaczymy długość żółtego odcinka.

63
00:03:09,952 --> 00:03:12,934
Zatrzymaj teraz film i samodzielnie wyznacz

64
00:03:13,034 --> 00:03:16,040
długość wysokości podstawy tego ostrosłupa.

65
00:03:16,140 --> 00:03:17,584
Następnie włącz film ponownie

66
00:03:17,684 --> 00:03:19,404
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

67
00:03:23,841 --> 00:03:25,996
Wysokość w trójkącie równobocznym

68
00:03:26,096 --> 00:03:28,406
to a pierwiastków z 3 przez 2.

69
00:03:28,506 --> 00:03:30,977
W naszym przypadku a jest równe 3.

70
00:03:31,077 --> 00:03:33,095
Podstawiamy i otrzymujemy

71
00:03:33,195 --> 00:03:35,295
3 pierwiastki z 3 przez 2.

72
00:03:35,976 --> 00:03:37,518
Nie interesuje nas h.

73
00:03:37,618 --> 00:03:39,800
Interesuje nas długość odcinka x.

74
00:03:39,900 --> 00:03:43,130
Musimy więc tę liczbę pomnożyć przez 2/3.

75
00:03:43,862 --> 00:03:47,737
3 pierwiastki z trzech przez 2 razy 2/3

76
00:03:48,529 --> 00:03:51,791
skracają nam się dwójki i trójki

77
00:03:52,080 --> 00:03:55,264
i otrzymujemy pierwiastek z 3.

78
00:03:56,057 --> 00:03:58,169
Zobacz: znam już długości

79
00:03:58,269 --> 00:04:00,707
dwóch boków w tym trójkącie prostokątnym.

80
00:04:00,807 --> 00:04:03,219
Możemy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa

81
00:04:03,319 --> 00:04:05,519
wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

82
00:04:06,004 --> 00:04:08,550
To też spróbuj zrobić samodzielnie.

83
00:04:12,229 --> 00:04:14,554
Układamy równanie: H kwadrat

84
00:04:14,654 --> 00:04:16,726
plus pierwiastek z 3 do kwadratu

85
00:04:16,826 --> 00:04:18,089
to 5 do kwadratu

86
00:04:18,189 --> 00:04:22,074
czyli dalej H do kwadratu plus 3 to 25.

87
00:04:22,372 --> 00:04:24,703
H kwadrat to 22

88
00:04:25,072 --> 00:04:29,055
czyli H to pierwiastek z 22.

89
00:04:29,155 --> 00:04:31,501
Co teraz? Czy to już koniec zadania?

90
00:04:32,327 --> 00:04:36,479
Nie. Mieliśmy wyznaczyć objętość tego ostrosłupa.

91
00:04:36,579 --> 00:04:40,650
Ale zobacz, mamy pole podstawy i wysokość.

92
00:04:40,750 --> 00:04:43,135
Możemy więc obliczyć objętość.

93
00:04:43,235 --> 00:04:45,951
Również spróbuj to zrobić samodzielnie.

94
00:04:49,279 --> 00:04:51,557
Objętość to 1/3 razy pole podstawy

95
00:04:51,657 --> 00:04:53,882
razy wysokość, czyli 1/3 razy

96
00:04:53,982 --> 00:04:55,715
9 pierwiastków z 3 przez 4

97
00:04:55,815 --> 00:04:57,769
razy pierwiastek z 22.

98
00:04:57,869 --> 00:04:59,732
Ostatecznie otrzymujemy, że objętość

99
00:04:59,832 --> 00:05:03,803
tego ostrosłupa to 3 pierwiastki z 66 przez 4.

100
00:05:04,382 --> 00:05:07,286
Zobacz, znaliśmy jedynie krawędź boczną

101
00:05:07,386 --> 00:05:08,444
i krawędź podstawy.

102
00:05:08,544 --> 00:05:10,216
Dzięki temu, że znaleźliśmy

103
00:05:10,316 --> 00:05:11,860
tutaj trójkąt prostokątny

104
00:05:11,961 --> 00:05:14,567
i znaliśmy właściwości trójkąta równobocznego

105
00:05:14,667 --> 00:05:16,077
byliśmy w stanie wyznaczyć

106
00:05:16,177 --> 00:05:17,530
objętość tego ostrosłupa.

107
00:05:22,334 --> 00:05:23,986
A teraz podobne zadanie.

108
00:05:24,225 --> 00:05:26,643
Oblicz objętość czworościanu foremnego

109
00:05:26,743 --> 00:05:28,772
o boku 12 cm.

110
00:05:29,539 --> 00:05:31,519
Czym był czworościan foremny?

111
00:05:32,826 --> 00:05:35,406
To taki ostrosłup, którego wszystkie ściany

112
00:05:35,506 --> 00:05:37,569
są trójkątami równobocznymi.

113
00:05:37,740 --> 00:05:40,065
To oznacza, że wszystkie jego krawędzie

114
00:05:40,165 --> 00:05:41,708
mają tę samą długość.

115
00:05:41,808 --> 00:05:43,295
Narysujmy go.

116
00:05:44,374 --> 00:05:46,623
Oto nasz czworościan foremny.

117
00:05:46,723 --> 00:05:49,109
Krawędzie boczne mają taką samą długość

118
00:05:49,209 --> 00:05:50,369
jak krawędź podstawy.

119
00:05:51,306 --> 00:05:53,279
Jak obliczyć jego objętość?

120
00:05:54,465 --> 00:05:56,935
Dokładnie tak, jak robiliśmy to przed chwilą.

121
00:05:57,035 --> 00:06:01,215
Musimy wyznaczyć wysokość oraz pole podstawy.

122
00:06:01,517 --> 00:06:04,046
Pole podstawy możemy wyznaczyć już teraz.

123
00:06:04,250 --> 00:06:06,079
Zrób to samodzielnie.

124
00:06:09,454 --> 00:06:12,094
Krawędź podstawy to 12

125
00:06:12,194 --> 00:06:14,870
czyli pole podstawy to 12 do kwadratu

126
00:06:14,970 --> 00:06:17,297
razy pierwiastek z 3 przez 4

127
00:06:17,397 --> 00:06:20,567
czyli 36 pierwiastków z 3.

128
00:06:21,691 --> 00:06:23,487
Pole podstawy już mamy.

129
00:06:23,587 --> 00:06:26,047
Musimy jeszcze jakoś obliczyć wysokość.

130
00:06:26,147 --> 00:06:27,721
Pamiętasz, jak to robiliśmy?

131
00:06:27,821 --> 00:06:30,599
Znaleźliśmy odpowiedni trójkąt prostokątny.

132
00:06:30,699 --> 00:06:32,115
Jaki tutaj widzisz?

133
00:06:33,026 --> 00:06:35,045
Wykorzystamy ten trójkąt

134
00:06:35,145 --> 00:06:36,988
gdzie jedną z przyprostokątnych

135
00:06:37,088 --> 00:06:38,918
jest wysokość ostrosłupa.

136
00:06:39,166 --> 00:06:41,380
To jest krawędź boczna ostrosłupa.

137
00:06:41,491 --> 00:06:43,492
Tutaj mamy długość 12.

138
00:06:44,080 --> 00:06:45,920
To jest nasza szukana wysokość

139
00:06:46,020 --> 00:06:47,736
oraz odcinek znajdujący się

140
00:06:47,836 --> 00:06:49,291
w podstawie ostrosłupa.

141
00:06:49,982 --> 00:06:51,903
Jak wyznaczyć jego długość?

142
00:06:52,003 --> 00:06:56,822
Jak pamiętasz, to 2/3 wysokości podstawy.

143
00:06:56,922 --> 00:06:59,573
Zatrzymaj film i samodzielnie wyznacz

144
00:06:59,673 --> 00:07:02,724
wysokość podstawy tego ostrosłupa

145
00:07:02,824 --> 00:07:05,609
a następnie długość odcinka x.

146
00:07:09,364 --> 00:07:11,349
Wysokość podstawy ostrosłupa

147
00:07:11,449 --> 00:07:14,261
to 12 razy pierwiastek z 3 przez 2

148
00:07:14,361 --> 00:07:15,990
czyli 6 pierwiastków z 3.

149
00:07:16,090 --> 00:07:18,902
Natomiast odcinek x to 2/3 tej długości

150
00:07:19,002 --> 00:07:20,955
czyli 4 pierwiastki z 3.

151
00:07:21,687 --> 00:07:24,089
Świetnie! Możemy teraz samodzielnie

152
00:07:24,189 --> 00:07:25,741
obliczyć wysokość ostrosłupa

153
00:07:25,841 --> 00:07:29,164
i w konsekwencji objętość naszego czworościanu.

154
00:07:29,795 --> 00:07:32,750
Jestem pewien, że uda ci się to zrobić.

155
00:07:36,360 --> 00:07:37,825
Najpierw obliczamy wysokość

156
00:07:37,925 --> 00:07:40,031
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

157
00:07:40,131 --> 00:07:43,103
Tutaj zamieściłem swoje obliczenia.

158
00:07:43,335 --> 00:07:46,725
Powinieneś otrzymać, że wysokość ostrosłupa

159
00:07:46,825 --> 00:07:48,663
to 4 pierwiastki z 6

160
00:07:48,763 --> 00:07:51,545
albo inaczej pierwiastek z 96.

161
00:07:52,575 --> 00:07:54,747
Tutaj wyznaczamy objętość.

162
00:07:54,847 --> 00:07:58,358
1/3 razy 36 pierwiastków z 3

163
00:07:58,458 --> 00:07:59,822
czyli pole podstawy

164
00:07:59,922 --> 00:08:02,965
razy 4 pierwiastki z 6, czyli wysokość

165
00:08:03,237 --> 00:08:05,941
to 48 pierwiastków z 18

166
00:08:06,041 --> 00:08:10,069
albo inaczej 144 pierwiastki z 2.

167
00:08:10,169 --> 00:08:11,651
Aby rozwiązać to zadanie

168
00:08:11,751 --> 00:08:14,649
musieliśmy znaleźć odpowiedni trójkąt prostokątny

169
00:08:14,749 --> 00:08:16,982
i pamiętać o odpowiednich zależnościach

170
00:08:17,082 --> 00:08:18,515
w trójkącie równobocznym.

171
00:08:18,615 --> 00:08:21,300
Jeżeli czegoś nie zrozumiałeś, przewiń film

172
00:08:21,400 --> 00:08:23,693
i spróbuj prześledzić wszystkie te równania

173
00:08:23,793 --> 00:08:25,754
od początku na spokojnie.

174
00:08:29,663 --> 00:08:31,743
Jeszcze jedno zadanie na koniec.

175
00:08:31,843 --> 00:08:33,376
Oblicz wysokość ściany bocznej

176
00:08:33,476 --> 00:08:35,488
ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

177
00:08:35,588 --> 00:08:38,085
którego krawędź podstawy ma długość 6

178
00:08:38,185 --> 00:08:39,679
a wysokość 7.

179
00:08:40,189 --> 00:08:42,495
Co mamy obliczyć w tym zadaniu?

180
00:08:43,518 --> 00:08:45,145
Zauważ, że tym razem szukamy

181
00:08:45,245 --> 00:08:48,100
długości wysokości ściany bocznej.

182
00:08:48,381 --> 00:08:50,246
Tego jeszcze nie robiliśmy, prawda?

183
00:08:50,346 --> 00:08:53,380
Na samym początku narysuj odpowiedni rysunek

184
00:08:53,480 --> 00:08:55,892
korzystając z danych zawartych w treści zadania.

185
00:08:59,299 --> 00:09:01,183
Oto nasz ostrosłup.

186
00:09:01,368 --> 00:09:05,456
Krawędź podstawy ma długość 6, a wysokość 7.

187
00:09:05,856 --> 00:09:08,607
Gdzie znajduje się wysokość ściany bocznej?

188
00:09:09,867 --> 00:09:11,423
Jest tutaj.

189
00:09:11,523 --> 00:09:13,983
Oznaczyłem ją małą literą z.

190
00:09:14,858 --> 00:09:17,063
W jaki sposób wyznaczyć tę długość?

191
00:09:17,163 --> 00:09:18,826
Do tej pory szukaliśmy

192
00:09:18,926 --> 00:09:20,828
odpowiednich trójkątów prostokątnych.

193
00:09:20,972 --> 00:09:22,687
Widzisz tutaj jakiś?

194
00:09:24,081 --> 00:09:28,063
Zobacz, tutaj mamy trójkąt prostokątny.

195
00:09:28,824 --> 00:09:31,013
Ten odcinek to wysokość ostrosłupa.

196
00:09:31,113 --> 00:09:32,435
Ma on długość 7.

197
00:09:32,535 --> 00:09:34,794
Natomiast to jest nasz szukany odcinek

198
00:09:34,894 --> 00:09:36,719
wysokość ściany bocznej.

199
00:09:37,059 --> 00:09:38,794
Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć

200
00:09:38,894 --> 00:09:40,094
długość tego odcinka.

201
00:09:40,195 --> 00:09:42,399
Gdzie on się znajduje w ostrosłupie?

202
00:09:43,167 --> 00:09:44,447
Jest tutaj.

203
00:09:44,547 --> 00:09:45,983
Co to jest?

204
00:09:46,606 --> 00:09:48,709
To pewien fragment wysokości.

205
00:09:49,075 --> 00:09:51,877
Mówiliśmy wcześniej, że ten fragment

206
00:09:51,977 --> 00:09:54,543
to 2/3 całej wysokości podstawy.

207
00:09:54,643 --> 00:09:56,711
W takim razie ten odcinek

208
00:09:56,811 --> 00:09:59,473
to 1/3 całej wysokości podstawy.

209
00:09:59,574 --> 00:10:02,429
Korzystając z tej informacji, spróbuj samodzielnie

210
00:10:02,529 --> 00:10:05,341
wyznaczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa.

211
00:10:08,654 --> 00:10:11,447
Wysokość podstawy to 3 pierwiastki z 3

212
00:10:11,547 --> 00:10:14,258
a 1/3 to pierwiastek z 3.

213
00:10:14,358 --> 00:10:16,085
W takim razie długość tego odcinka

214
00:10:16,185 --> 00:10:17,536
to pierwiastek z 3.

215
00:10:17,636 --> 00:10:20,347
Następnie układamy odpowiednie równanie

216
00:10:20,447 --> 00:10:22,305
korzystając z twierdzenia Pitagorasa

217
00:10:22,405 --> 00:10:24,119
aby obliczyć długość z.

218
00:10:24,219 --> 00:10:26,634
z to pierwiastek z 52

219
00:10:26,734 --> 00:10:29,502
albo 2 pierwiastki z 13.

220
00:10:34,858 --> 00:10:37,302
W ostrosłupach prawidłowych trójkątnych

221
00:10:37,402 --> 00:10:39,201
wysokość możemy obliczyć

222
00:10:39,301 --> 00:10:41,305
na podstawie twierdzenia Pitagorasa.

223
00:10:41,569 --> 00:10:42,858
Musimy tylko znaleźć

224
00:10:42,958 --> 00:10:45,118
odpowiednie trójkąty prostokątne.

225
00:10:45,597 --> 00:10:48,248
Warto też pamiętać, że w podstawie

226
00:10:48,348 --> 00:10:50,238
w której jest trójkąt równoboczny

227
00:10:50,338 --> 00:10:52,989
środek przecięcia wysokości przecina je

228
00:10:53,089 --> 00:10:55,103
w stosunku 2 do 1.

229
00:10:58,943 --> 00:11:01,111
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

230
00:11:01,211 --> 00:11:02,807
poświęcony ostrosłupom.

231
00:11:03,012 --> 00:11:05,150
Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów

232
00:11:05,250 --> 00:11:07,849
z tej playlisty, a także do zasubskrybowania

233
00:11:07,949 --> 00:11:09,335
naszego kanału na YouTube:

234
00:11:09,435 --> 00:11:12,064
PistacjaMatematyka