1
00:00:00,128 --> 00:00:01,878
Piramidy kojarzą ci się zapewne

2
00:00:01,978 --> 00:00:04,679
ze starożytnym Egiptem i grobowcami faraonów.

3
00:00:04,920 --> 00:00:07,810
Mało kto wie, że w Polsce również są piramidy.

4
00:00:07,910 --> 00:00:10,419
Na zdjęciu widzisz piramidę w Rapie

5
00:00:10,519 --> 00:00:13,043
która powstała na początku XIX wieku

6
00:00:13,143 --> 00:00:16,375
i jest grobowcem pruskiego rodu von Fahrenheid.

7
00:00:27,604 --> 00:00:29,442
A teraz mamy takie zadanie.

8
00:00:29,788 --> 00:00:32,011
Suma długości krawędzi ostrosłupa

9
00:00:32,111 --> 00:00:34,861
prawidłowego wynosi 150 cm.

10
00:00:35,053 --> 00:00:36,899
Oblicz długości tych krawędzi

11
00:00:36,999 --> 00:00:39,629
jeżeli podstawą ostrosłupa jest sześciokąt

12
00:00:39,729 --> 00:00:42,129
i krawędź boczna jest o 5 cm dłuższa

13
00:00:42,229 --> 00:00:43,776
od krawędzi podstawy.

14
00:00:44,662 --> 00:00:46,592
Co mamy obliczyć w tym zadaniu?

15
00:00:47,880 --> 00:00:50,176
Długości krawędzi w ostrosłupie.

16
00:00:50,569 --> 00:00:52,224
Jakie to krawędzie?

17
00:00:53,756 --> 00:00:57,079
Krawędź boczna i krawędź podstawy.

18
00:00:57,248 --> 00:00:59,904
Dobrze. Co wiemy o tym ostrosłupie?

19
00:01:01,181 --> 00:01:04,296
Po pierwsze jest to ostrosłup prawidłowy.

20
00:01:04,396 --> 00:01:06,158
To oznacza, że w jego podstawie

21
00:01:06,258 --> 00:01:07,849
znajduje się wielokąt foremny

22
00:01:07,949 --> 00:01:09,425
a wszystkie krawędzie boczne

23
00:01:09,525 --> 00:01:10,838
mają taką samą długość.

24
00:01:10,938 --> 00:01:13,936
Wiemy też, że suma długości krawędzi

25
00:01:14,036 --> 00:01:16,625
w ostrosłupie wynosi 150 cm.

26
00:01:16,725 --> 00:01:18,937
Czy możemy już narysować ten ostrosłup?

27
00:01:19,769 --> 00:01:22,688
Nie! Ostrosłupów prawidłowych jest bardzo wiele.

28
00:01:22,838 --> 00:01:25,109
Musimy wykorzystać dodatkowo informację

29
00:01:25,209 --> 00:01:28,063
że w podstawie tego ostrosłupa jest sześciokąt.

30
00:01:28,163 --> 00:01:30,118
Z jaką bryłą mamy do czynienia?

31
00:01:31,136 --> 00:01:33,696
Z ostrosłupem prawidłowym sześciokątnym.

32
00:01:34,100 --> 00:01:36,757
Suma jego krawędzi bocznych i krawędzi podstawy

33
00:01:36,857 --> 00:01:39,959
wynosi 150 cm. Co jeszcze wiemy?

34
00:01:41,120 --> 00:01:43,523
Wiemy, że krawędź boczna jest

35
00:01:43,623 --> 00:01:46,397
o 5 cm dłuższa od krawędzi podstawy.

36
00:01:46,497 --> 00:01:48,572
Możemy oznaczyć krawędź podstawy

37
00:01:48,672 --> 00:01:51,360
jako niewiadomą, powiedzmy p.

38
00:01:52,072 --> 00:01:53,152
Dobrze.

39
00:01:53,252 --> 00:01:54,962
Mamy oznaczoną krawędź podstawy

40
00:01:55,062 --> 00:01:56,856
ale co zrobić z krawędzią boczną?

41
00:01:57,330 --> 00:01:58,528
Zobacz:

42
00:01:58,628 --> 00:02:00,303
wiemy, że krawędź boczna

43
00:02:00,403 --> 00:02:03,903
jest o 5 cm dłuższa od krawędzi podstawy.

44
00:02:04,440 --> 00:02:07,893
Czyli jeżeli krawędź podstawy ma długość p

45
00:02:09,024 --> 00:02:11,321
to krawędź boczna będzie o 5 cm

46
00:02:11,421 --> 00:02:14,829
dłuższa od p, czyli otrzymamy p plus 5.

47
00:02:15,511 --> 00:02:17,984
Możemy ją oznaczyć w taki sposób.

48
00:02:18,084 --> 00:02:21,056
Ile jest krawędzi podstawy w tym ostrosłupie?

49
00:02:21,258 --> 00:02:22,336
Sześć.

50
00:02:23,000 --> 00:02:25,336
Ponieważ w podstawie jest sześciokąt foremny.

51
00:02:25,520 --> 00:02:27,003
Jaka będzie łączna długość

52
00:02:27,103 --> 00:02:28,762
wszystkich krawędzi podstawy?

53
00:02:29,478 --> 00:02:32,873
6 razy p albo inaczej 6p

54
00:02:33,499 --> 00:02:34,880
tak, jak mamy tutaj.

55
00:02:35,811 --> 00:02:37,952
A ile mamy krawędzi bocznych?

56
00:02:38,588 --> 00:02:40,256
Również jest ich 6.

57
00:02:42,120 --> 00:02:44,608
To jaka będzie ich łączna długość?

58
00:02:45,989 --> 00:02:48,654
6 razy p plus 5.

59
00:02:48,919 --> 00:02:51,264
Możemy to zapisać w taki sposób.

60
00:02:51,825 --> 00:02:54,336
Dobrze, ale co możemy zrobić z tą wiedzą?

61
00:02:54,731 --> 00:02:56,970
Zobacz. Mówiliśmy na początku

62
00:02:57,070 --> 00:03:00,807
że suma długości krawędzi wynosi 150 cm.

63
00:03:00,907 --> 00:03:02,822
A suma długości krawędzi

64
00:03:02,922 --> 00:03:05,166
to łączna długość krawędzi podstawy

65
00:03:05,266 --> 00:03:07,548
dodać łączna długość krawędzi bocznych.

66
00:03:07,648 --> 00:03:10,327
Jeżeli dodamy do siebie te dwa wyrażenia

67
00:03:10,552 --> 00:03:13,280
to musimy otrzymać 150 cm.

68
00:03:13,380 --> 00:03:15,256
Ułóżmy odpowiednie równanie.

69
00:03:15,356 --> 00:03:17,455
Łączna długość krawędzi podstawy

70
00:03:17,555 --> 00:03:20,704
dodać długość wszystkich krawędzi bocznych

71
00:03:21,364 --> 00:03:24,631
daje nam w rezultacie 150 cm.

72
00:03:24,731 --> 00:03:25,775
Zatrzymaj teraz film

73
00:03:25,875 --> 00:03:27,741
i spróbuj samodzielnie wyznaczyć p.

74
00:03:27,842 --> 00:03:29,354
Następnie włącz film ponownie

75
00:03:29,454 --> 00:03:31,236
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

76
00:03:34,954 --> 00:03:37,819
Najpierw musimy wymnożyć wszystko w nawiasie.

77
00:03:37,919 --> 00:03:39,746
6 razy p to 6p

78
00:03:39,846 --> 00:03:42,209
6 razy 5 to 30.

79
00:03:42,491 --> 00:03:45,107
6p plus 6p to 12p

80
00:03:45,207 --> 00:03:48,456
a 150 minus 30 to 120.

81
00:03:48,556 --> 00:03:50,613
Dzielimy przez 12 i otrzymujemy:

82
00:03:50,713 --> 00:03:52,403
p równa się 10.

83
00:03:52,613 --> 00:03:54,652
To oznacza, że długość krawędzi podstawy

84
00:03:54,752 --> 00:03:57,494
w tym ostrosłupie wynosi 10 cm.

85
00:03:58,160 --> 00:04:00,384
Jaka jest długość krawędzi bocznej?

86
00:04:01,475 --> 00:04:03,730
Jest ona o 5 cm dłuższa

87
00:04:03,830 --> 00:04:07,624
czyli do 10 dodajemy 5 i otrzymujemy 15 cm.

88
00:04:11,648 --> 00:04:13,440
A teraz takie zadanie.

89
00:04:13,788 --> 00:04:17,024
Poniższy rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa.

90
00:04:17,152 --> 00:04:18,763
Oblicz długości pozostałych

91
00:04:18,863 --> 00:04:20,350
krawędzi tego ostrosłupa.

92
00:04:20,451 --> 00:04:21,611
Zobacz. Tak, jak było

93
00:04:21,711 --> 00:04:23,275
powiedziane w treści zadania

94
00:04:23,376 --> 00:04:25,853
mamy tutaj siatkę pewnego ostrosłupa.

95
00:04:25,953 --> 00:04:28,799
Jaka figura znajduje się w jego podstawie?

96
00:04:30,950 --> 00:04:32,383
Kwadrat.

97
00:04:34,177 --> 00:04:36,479
Jaka jest długość boku tego kwadratu?

98
00:04:37,516 --> 00:04:38,527
1.

99
00:04:39,146 --> 00:04:42,090
Wiemy więc, że te pozostałe krawędzie

100
00:04:42,190 --> 00:04:44,001
również mają długość 1.

101
00:04:44,102 --> 00:04:46,719
Długości jakich krawędzi jeszcze znamy?

102
00:04:46,988 --> 00:04:50,815
Oprócz kwadratu mamy tutaj również 4 trójkąty.

103
00:04:50,929 --> 00:04:54,028
Zauważ, że każdy z tych trójkątów

104
00:04:54,128 --> 00:04:56,447
jest trójkątem prostokątnym.

105
00:04:56,547 --> 00:04:58,239
Jak nam to może pomóc?

106
00:04:59,269 --> 00:05:01,061
W trójkącie prostokątnym będziemy

107
00:05:01,161 --> 00:05:03,286
mogli wykorzystać twierdzenie Pitagorasa.

108
00:05:03,386 --> 00:05:06,052
Długości jakich krawędzi obliczyłbyś najpierw?

109
00:05:06,405 --> 00:05:08,725
Trzeba wybrać taki trójkąt, aby brakowało

110
00:05:08,825 --> 00:05:11,799
w nim długości tylko jednego boku, jak tutaj.

111
00:05:11,899 --> 00:05:13,806
Znamy długości przyprostokątnych.

112
00:05:13,906 --> 00:05:16,222
Wystarczy obliczyć przeciwprostokątną.

113
00:05:16,495 --> 00:05:18,421
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

114
00:05:21,383 --> 00:05:23,896
Zauważ, że ten trójkąt nie dość

115
00:05:23,996 --> 00:05:26,440
że jest prostokątny, jest jeszcze równoramienny.

116
00:05:26,540 --> 00:05:29,202
A w takim trójkącie przeciwprostokątna jest

117
00:05:29,302 --> 00:05:32,180
pierwiastek z 2 razy dłuższa od przyprostokątnej.

118
00:05:32,280 --> 00:05:35,238
Długość tego odcinka to po prostu pierwiastek z 2.

119
00:05:35,338 --> 00:05:38,144
Super! Wyznaczyliśmy jedną z krawędzi.

120
00:05:38,385 --> 00:05:40,479
Czy na pewno tylko jedną?

121
00:05:41,162 --> 00:05:44,389
Zauważ, że te 2 trójkąty są przystające

122
00:05:44,489 --> 00:05:47,519
a to oznacza, że mają boki takiej samej długości.

123
00:05:47,696 --> 00:05:50,207
Więc tutaj też będziemy mieć pierwiastek z 2.

124
00:05:50,513 --> 00:05:51,999
Gdzieś jeszcze?

125
00:05:53,047 --> 00:05:56,349
Tak – tutaj i tutaj.

126
00:05:56,449 --> 00:06:00,191
Po złożeniu ostrosłupa te krawędzie się pokryją.

127
00:06:02,096 --> 00:06:04,543
Również te dwie krawędzie się pokryją.

128
00:06:05,580 --> 00:06:06,996
Musimy jeszcze obliczyć

129
00:06:07,096 --> 00:06:08,894
długości tych dwóch krawędzi.

130
00:06:08,995 --> 00:06:11,199
Zrób to samodzielnie.

131
00:06:14,353 --> 00:06:16,831
Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

132
00:06:17,275 --> 00:06:19,531
Otrzymujemy, że długość tej krawędzi

133
00:06:19,631 --> 00:06:21,055
to pierwiastek z 3.

134
00:06:21,156 --> 00:06:23,223
A jaka jest długość tej krawędzi?

135
00:06:24,034 --> 00:06:27,071
Jest taka sama. Po złożeniu ostrosłupa

136
00:06:27,171 --> 00:06:29,631
te dwie krawędzie się pokryją.

137
00:06:29,950 --> 00:06:32,535
Świetnie! Wyznaczyliśmy długości wszystkich

138
00:06:32,635 --> 00:06:33,880
krawędzi tego ostrosłupa

139
00:06:33,980 --> 00:06:35,766
na podstawie jego siatki.

140
00:06:36,412 --> 00:06:38,677
Na końcu przekonajmy się, że rzeczywiście

141
00:06:38,777 --> 00:06:40,626
ta siatka jest siatką ostrosłupa.

142
00:06:40,726 --> 00:06:41,981
Zobacz.

143
00:06:45,972 --> 00:06:48,063
A teraz mamy takie zadanie.

144
00:06:48,163 --> 00:06:50,025
Bryły, które narysowano poniżej

145
00:06:50,125 --> 00:06:52,209
powstały z dwóch jednakowych sześcianów

146
00:06:52,309 --> 00:06:55,014
o krawędzi 1 dm w ten sposób

147
00:06:55,114 --> 00:06:57,836
że z jednego sześcianu wycięto ostrosłup

148
00:06:57,936 --> 00:06:59,698
o wysokości pół decymetra

149
00:06:59,798 --> 00:07:02,143
i doklejono do drugiego sześcianu.

150
00:07:02,243 --> 00:07:04,703
Porównaj pola powierzchni tych brył.

151
00:07:05,164 --> 00:07:06,239
Dobrze.

152
00:07:06,465 --> 00:07:09,055
Przyjrzyjmy się powierzchniom obu brył.

153
00:07:09,402 --> 00:07:11,449
Wiesz dobrze, że pole powierzchni bryły

154
00:07:11,549 --> 00:07:13,488
to suma powierzchni jej ścian.

155
00:07:13,588 --> 00:07:15,711
Jakie ściany mają te dwie bryły?

156
00:07:16,193 --> 00:07:18,527
Na pewno są to ściany sześcianu

157
00:07:18,627 --> 00:07:20,142
i ściany ostrosłupa.

158
00:07:20,242 --> 00:07:22,111
Ile jest ścian sześcianu?

159
00:07:22,647 --> 00:07:23,647
5.

160
00:07:23,979 --> 00:07:25,609
Wszystkie oprócz górnej

161
00:07:25,709 --> 00:07:27,872
na której albo dokleiliśmy ostrosłup

162
00:07:27,972 --> 00:07:30,125
albo wycięliśmy kontur bryły w bryle.

163
00:07:30,225 --> 00:07:32,350
Wszystkie one mają taką samą powierzchnię

164
00:07:32,450 --> 00:07:34,398
bo mieliśmy dwa identyczne sześciany.

165
00:07:35,273 --> 00:07:37,727
Dobrze, a co z tym ostrosłupem?

166
00:07:37,994 --> 00:07:39,913
Zauważ, że tutaj wystarczy rozpatrywać

167
00:07:40,013 --> 00:07:41,903
powierzchnie boczne tych ostrosłupów.

168
00:07:42,003 --> 00:07:44,256
Podstawa w każdym wypadku jest niewidoczna.

169
00:07:44,356 --> 00:07:46,062
Wklejona bądź wycięta.

170
00:07:46,214 --> 00:07:48,598
Czy te ściany boczne powstałe po wycięciu

171
00:07:48,698 --> 00:07:50,934
ostrosłupa będą miały inną powierzchnię

172
00:07:51,034 --> 00:07:53,157
niż te doklejone tutaj?

173
00:07:53,623 --> 00:07:55,135
Oczywiście, że nie.

174
00:07:55,365 --> 00:07:58,857
Ten ostrosłup znajdował się wcześniej w tej bryle.

175
00:07:59,346 --> 00:08:01,690
W każdym wypadku musimy te pola dodać.

176
00:08:01,790 --> 00:08:04,002
Nawet, jeśli wycięliśmy ostrosłup w środku

177
00:08:04,102 --> 00:08:06,043
to dodatkowe ściany powiększają

178
00:08:06,143 --> 00:08:08,703
a nie pomniejszają powierzchnię bryły.

179
00:08:08,882 --> 00:08:10,093
Pola powierzchni

180
00:08:10,193 --> 00:08:12,903
tych dwóch brył są więc takie same.

181
00:08:13,008 --> 00:08:15,007
Może to być zaskakujące

182
00:08:15,107 --> 00:08:17,399
że wykrawając coś z jednej bryły

183
00:08:17,519 --> 00:08:19,399
i przyklejając do drugiej

184
00:08:19,499 --> 00:08:21,548
nie zmieniamy pola powierzchni.

185
00:08:21,774 --> 00:08:25,343
Pola powierzchni obu tych brył są równe.

186
00:08:25,546 --> 00:08:27,903
Czy wszystko jest równe w tych bryłach?

187
00:08:28,059 --> 00:08:29,951
Sprawdźmy ich objętości.

188
00:08:30,234 --> 00:08:31,743
Jak to zrobić?

189
00:08:32,803 --> 00:08:36,110
Zobacz: każda z tych brył powstała z sześcianu.

190
00:08:36,455 --> 00:08:40,191
Jednak tutaj do sześcianu dodajemy ostrosłup

191
00:08:40,412 --> 00:08:43,719
a tutaj wycinamy ostrosłup.

192
00:08:44,097 --> 00:08:46,335
Jaka będzie objętość sześcianu?

193
00:08:46,569 --> 00:08:49,210
To proste. Skoro te sześciany mają bok

194
00:08:49,310 --> 00:08:50,952
długości 1 dm

195
00:08:51,056 --> 00:08:54,527
to ich objętość wynosi 1 dm sześcienny.

196
00:08:54,627 --> 00:08:57,855
A jak obliczyć objętość wyciętego ostrosłupa?

197
00:08:58,666 --> 00:09:02,207
Musimy znać jego pole podstawy oraz wysokość.

198
00:09:02,358 --> 00:09:04,429
Wysokość jest podana w treści zadania

199
00:09:04,529 --> 00:09:06,047
– to pół decymetra.

200
00:09:06,147 --> 00:09:07,583
A pole podstawy?

201
00:09:08,351 --> 00:09:11,679
Podstawą jest kwadrat o boku 1 dm.

202
00:09:11,779 --> 00:09:13,756
Podstawiamy to wszystko do wzoru

203
00:09:13,856 --> 00:09:16,807
i otrzymujemy, że objętość ostrosłupa

204
00:09:16,951 --> 00:09:19,875
równa się 1/3 razy 1/2

205
00:09:20,185 --> 00:09:23,440
czyli 1/6 dm sześciennego.

206
00:09:23,541 --> 00:09:24,954
Oblicz teraz samodzielnie

207
00:09:25,054 --> 00:09:26,526
objętości tych dwóch brył.

208
00:09:30,196 --> 00:09:32,893
Tak jak mówiliśmy wcześniej, objętość tej bryły

209
00:09:32,993 --> 00:09:35,148
to objętość sześcianu pomniejszona

210
00:09:35,248 --> 00:09:37,444
o objętość wyciętego ostrosłupa

211
00:09:37,544 --> 00:09:40,351
czyli 5/6 dm sześciennego.

212
00:09:40,451 --> 00:09:42,399
Natomiast objętość tej bryły

213
00:09:42,499 --> 00:09:43,772
to objętość sześcianu

214
00:09:43,872 --> 00:09:46,348
powiększona o objętość ostrosłupa

215
00:09:46,667 --> 00:09:50,591
czyli 1 i 1/6 dm sześciennego.

216
00:09:56,223 --> 00:09:59,020
Nazwę ostrosłupa tworzymy od wielokąta

217
00:09:59,120 --> 00:10:01,164
który znajduje się w jego podstawie.

218
00:10:01,264 --> 00:10:02,924
Jeżeli w podstawie ostrosłupa

219
00:10:03,024 --> 00:10:04,213
jest wielokąt foremny

220
00:10:04,314 --> 00:10:06,012
a jego krawędzie boczne są równe

221
00:10:06,112 --> 00:10:08,853
to mówimy, że ten ostrosłup jest prawidłowy.

222
00:10:09,817 --> 00:10:11,743
Ważne wzory, o których musisz pamiętać

223
00:10:11,843 --> 00:10:13,589
to wzór na objętość ostrosłupa

224
00:10:13,689 --> 00:10:15,925
oraz wzór na jego pole powierzchni.

225
00:10:19,650 --> 00:10:21,484
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

226
00:10:21,584 --> 00:10:22,932
poświęcony ostrosłupom.

227
00:10:23,033 --> 00:10:24,358
Zachęcam cię do zobaczenia

228
00:10:24,458 --> 00:10:25,942
innych filmów z tej playlisty

229
00:10:26,043 --> 00:10:27,436
a także do odwiedzenia naszej

230
00:10:27,536 --> 00:10:30,171
strony internetowej pistacja.tv