1
00:00:00,232 --> 00:00:02,404
W piwnicach zamku w Heidelbergu

2
00:00:02,414 --> 00:00:04,116
w Niemczech znajduje się

3
00:00:04,116 --> 00:00:07,228
jedna z największych beczek na świecie.

4
00:00:07,334 --> 00:00:10,233
Beczka ma 7 metrów szerokości

5
00:00:10,303 --> 00:00:12,496
i 8,5 metra długości.

6
00:00:12,576 --> 00:00:15,034
Zbudowano ją ze 130 drzew.

7
00:00:15,260 --> 00:00:16,909
Z tego filmu dowiesz się

8
00:00:16,909 --> 00:00:19,249
jak można obliczyć objętość tej beczki

9
00:00:19,269 --> 00:00:20,986
oraz innych walców.

10
00:00:31,012 --> 00:00:33,875
 Na ekranie widzisz pewną bryłę.

11
00:00:34,605 --> 00:00:36,226
To prostopadłościan.

12
00:00:37,166 --> 00:00:38,251
Powinieneś już wiedzieć

13
00:00:38,251 --> 00:00:40,694
że prostopadłościan jest szczególnym

14
00:00:40,734 --> 00:00:42,777
przypadkiem graniastosłupa

15
00:00:42,827 --> 00:00:45,520
który w swojej podstawie ma prostokąt.

16
00:00:48,516 --> 00:00:51,067
A co jeśli podstawą graniastosłupa

17
00:00:51,107 --> 00:00:52,908
byłoby na przykład koło?

18
00:00:54,022 --> 00:00:55,732
Co byśmy otrzymali?

19
00:00:57,536 --> 00:00:59,584
Otrzymalibyśmy taką bryłę.

20
00:01:00,924 --> 00:01:01,948
To walec.

21
00:01:02,384 --> 00:01:04,007
Walec jest szczególnym

22
00:01:04,007 --> 00:01:06,013
przypadkiem graniastosłupa

23
00:01:06,013 --> 00:01:08,172
którego podstawą jest koło.

24
00:01:08,724 --> 00:01:10,281
Powinieneś już wiedzieć

25
00:01:10,281 --> 00:01:11,666
że jesteśmy w stanie

26
00:01:11,666 --> 00:01:13,950
obliczyć objętość graniastosłupa.

27
00:01:14,848 --> 00:01:16,675
Czy pamiętasz jaki jest wzór

28
00:01:16,715 --> 00:01:18,146
na tę objętość?

29
00:01:18,738 --> 00:01:23,023
Objętość to pole podstawy razy wysokość.

30
00:01:23,085 --> 00:01:24,423
Zaznaczmy wysokość

31
00:01:24,433 --> 00:01:26,284
w tym prostopadłościanie.

32
00:01:26,744 --> 00:01:28,936
A tak, jak powiedzieliśmy przed chwilą

33
00:01:28,976 --> 00:01:31,538
walec to szczególny przypadek

34
00:01:31,558 --> 00:01:32,708
graniastosłupa.

35
00:01:33,074 --> 00:01:34,943
Aby obliczyć objętość walca

36
00:01:34,993 --> 00:01:37,492
możemy wykorzystać ten sam wzór.

37
00:01:38,370 --> 00:01:40,674
Narysujmy więc wysokość tego walca.

38
00:01:41,492 --> 00:01:42,772
To ten odcinek.

39
00:01:45,036 --> 00:01:46,828
A co z polem podstawy?

40
00:01:47,566 --> 00:01:49,870
Jaka figura jest podstawą walca?

41
00:01:51,010 --> 00:01:52,034
To koło.

42
00:01:52,736 --> 00:01:54,784
Czy pamiętasz wzór na pole koła?

43
00:01:55,788 --> 00:01:58,340
Pole koła, czyli pole podstawy walca

44
00:01:58,370 --> 00:02:00,016
to pi razy r kwadrat.

45
00:02:00,914 --> 00:02:01,724
Zobacz.

46
00:02:01,824 --> 00:02:03,994
We wzorze pojawia się promień.

47
00:02:04,286 --> 00:02:06,139
Zaznaczmy go na rysunku.

48
00:02:06,159 --> 00:02:07,969
Promień walca jest równy

49
00:02:07,969 --> 00:02:10,118
promieniowi jego podstawy.

50
00:02:10,480 --> 00:02:11,893
Jaki będzie ostateczny wzór

51
00:02:11,923 --> 00:02:13,412
na objętość walca?

52
00:02:14,346 --> 00:02:16,219
W miejsce pola podstawy

53
00:02:16,249 --> 00:02:17,960
wpiszmy pi r kwadrat

54
00:02:18,552 --> 00:02:21,112
a w miejsce wysokości, h.

55
00:02:21,528 --> 00:02:24,474
Otrzymujemy ostatecznie, że objętość walca

56
00:02:24,684 --> 00:02:27,912
to pi razy r kwadrat razy h.

57
00:02:28,606 --> 00:02:31,066
Czyli pi razy promień walca

58
00:02:31,106 --> 00:02:32,883
podniesiony do kwadratu

59
00:02:32,893 --> 00:02:34,600
razy jego wysokość.

60
00:02:39,248 --> 00:02:41,705
Walec nazywamy bryłą obrotową

61
00:02:41,755 --> 00:02:44,793
ponieważ powstaje przez obrót prostokąta

62
00:02:44,833 --> 00:02:46,496
wokół pewnej prostej.

63
00:02:47,118 --> 00:02:47,886
Popatrz.

64
00:02:48,238 --> 00:02:50,579
Na rysunku są pokazane

65
00:02:50,629 --> 00:02:52,900
2 identyczne prostokąty.

66
00:02:54,222 --> 00:02:57,038
Dłuższy bok ma długość a.

67
00:02:57,524 --> 00:03:00,084
Krótszy bok ma długość b.

68
00:03:00,822 --> 00:03:03,267
Obrócimy teraz te 2 prostokąty

69
00:03:03,307 --> 00:03:05,571
wokół różnych osi obrotu

70
00:03:05,641 --> 00:03:07,784
i zobaczymy co uzyskamy.

71
00:03:08,140 --> 00:03:10,817
Pierwszy prostokąt będziemy obracać

72
00:03:11,187 --> 00:03:13,754
wokół osi obrotu pokrywającej się

73
00:03:13,814 --> 00:03:15,756
z jego dłuższym bokiem.

74
00:03:15,756 --> 00:03:18,614
Drugi prostokąt będziemy obracać

75
00:03:18,614 --> 00:03:21,267
wokół osi obrotu pokrywającej się

76
00:03:21,267 --> 00:03:23,520
z symetralną krótszego boku.

77
00:03:23,832 --> 00:03:25,216
No to startujemy.

78
00:03:31,010 --> 00:03:32,290
Co otrzymaliśmy?

79
00:03:33,038 --> 00:03:35,598
Otrzymaliśmy 2 różne walce.

80
00:03:36,718 --> 00:03:38,510
Dlaczego te walce są różne?

81
00:03:38,972 --> 00:03:39,822
Zobacz.

82
00:03:39,992 --> 00:03:42,422
Mimo, że mamy takie same wysokości

83
00:03:42,592 --> 00:03:44,462
to mamy różne promienie.

84
00:03:44,944 --> 00:03:47,475
Promień tego walca jest 2 razy dłuższy

85
00:03:47,505 --> 00:03:49,146
od promienia tego walca.

86
00:03:49,658 --> 00:03:52,340
Teraz widać jak na dłoni, że walec

87
00:03:52,340 --> 00:03:54,560
jest jedną z brył obrotowych.

88
00:03:54,650 --> 00:03:55,492
Ale zobacz.

89
00:03:55,548 --> 00:03:57,980
Uzyskaliśmy dwie różne bryły

90
00:03:57,980 --> 00:04:01,370
pomimo tego że obracaliśmy tę samą figurę.

91
00:04:02,448 --> 00:04:03,754
W obu przypadkach

92
00:04:03,754 --> 00:04:06,202
były to identyczne prostokąty.

93
00:04:06,308 --> 00:04:08,612
Mieliśmy jednak różne osie obrotu.

94
00:04:11,820 --> 00:04:14,124
Spróbujmy policzyć objętość tych brył.

95
00:04:15,338 --> 00:04:16,386
Objętość walca

96
00:04:16,386 --> 00:04:19,901
to pi razy r kwadrat razy h.

97
00:04:22,049 --> 00:04:25,079
Aby policzyć objętości tych dwóch walców

98
00:04:25,119 --> 00:04:28,048
musimy najpierw określić ich wysokości

99
00:04:28,098 --> 00:04:29,563
oraz ich promienie.

100
00:04:31,159 --> 00:04:33,091
Przyjmijmy dodatkowo

101
00:04:33,091 --> 00:04:35,474
że a wynosi 6 centymetrów

102
00:04:35,474 --> 00:04:38,387
natomiast b wynosi 4 centymetry.

103
00:04:39,401 --> 00:04:41,872
Wysokość pierwszego walca ma długość

104
00:04:41,892 --> 00:04:43,888
a czyli 6 centymetrów.

105
00:04:43,988 --> 00:04:46,639
Promień pierwszego walca ma długość

106
00:04:46,639 --> 00:04:49,225
b, czyli 4 centymetry.

107
00:04:49,977 --> 00:04:52,069
Wysokość drugiego walca również

108
00:04:52,069 --> 00:04:55,563
ma długość a, czyli 6 centymetrów.

109
00:04:55,633 --> 00:04:58,069
Natomiast promień tego walca

110
00:04:58,069 --> 00:05:01,217
to 1/2b, czyli 2 centymetry.

111
00:05:02,607 --> 00:05:03,913
Możemy teraz policzyć

112
00:05:03,943 --> 00:05:05,845
objętości tych dwóch walców.

113
00:05:07,295 --> 00:05:08,820
Objętość pierwszego walca

114
00:05:08,820 --> 00:05:11,124
to pi razy 4 centymetry

115
00:05:11,124 --> 00:05:13,242
podniesione do kwadratu

116
00:05:13,242 --> 00:05:14,991
razy 6 centymetrów.

117
00:05:15,577 --> 00:05:17,945
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

118
00:05:17,955 --> 00:05:19,826
samodzielnie obliczyć objętość

119
00:05:19,826 --> 00:05:21,143
pierwszego walca.

120
00:05:21,189 --> 00:05:23,067
Następnie włącz film ponownie

121
00:05:23,087 --> 00:05:25,135
i porównaj swój wynik z moim.

122
00:05:28,227 --> 00:05:30,191
Po dalszych obliczeniach otrzymuję

123
00:05:30,201 --> 00:05:31,998
że objętość pierwszego walca

124
00:05:31,998 --> 00:05:35,573
to pi razy 16 centymetrów kwadratowych

125
00:05:35,643 --> 00:05:37,209
razy 6 centymetrów.

126
00:05:37,299 --> 00:05:38,079
Dobrze.

127
00:05:38,119 --> 00:05:40,205
A teraz zatrzymaj film jeszcze raz

128
00:05:40,225 --> 00:05:42,189
i spróbuj samodzielnie policzyć

129
00:05:42,219 --> 00:05:43,833
objętość drugiego walca.

130
00:05:44,711 --> 00:05:47,485
Następnie porównaj swój wynik z moim.

131
00:05:50,409 --> 00:05:52,443
Tym razem w miejsce promienia

132
00:05:52,503 --> 00:05:54,159
wstawiam 2 centymetry.

133
00:05:54,645 --> 00:05:57,473
I po obliczeniach uzyskuję, że objętość

134
00:05:57,473 --> 00:05:59,003
drugiego walca to

135
00:05:59,053 --> 00:06:01,925
pi razy 24 centymetry sześcienne.

136
00:06:04,057 --> 00:06:07,269
Zobacz, że objętość drugiego walca

137
00:06:07,329 --> 00:06:10,430
jest 4 razy mniejsza od objętości

138
00:06:10,480 --> 00:06:12,047
pierwszego walca.

139
00:06:12,575 --> 00:06:14,956
Mimo, że obracaliśmy ten sam prostokąt

140
00:06:15,036 --> 00:06:17,318
to jednak zastosowanie dwóch różnych

141
00:06:17,318 --> 00:06:19,738
osi obrotu sprawiło, że w efekcie

142
00:06:19,768 --> 00:06:21,525
uzyskaliśmy 2 różne walce.

143
00:06:21,851 --> 00:06:23,899
Każde o innej objętości.

144
00:06:29,687 --> 00:06:31,573
Mamy teraz takie zadanie.

145
00:06:32,287 --> 00:06:33,545
Prostokąt o bokach

146
00:06:33,545 --> 00:06:35,656
2 centymetry i 5 centymetrów

147
00:06:35,656 --> 00:06:38,049
obrócono wokół dłuższego boku

148
00:06:38,471 --> 00:06:40,775
Oblicz objętość otrzymanego walca.

149
00:06:43,295 --> 00:06:44,831
O co jesteśmy pytani?

150
00:06:45,569 --> 00:06:48,641
O wyznaczenie objętości otrzymanego walca.

151
00:06:50,011 --> 00:06:51,607
Ale jaki jest to walec?

152
00:06:51,653 --> 00:06:54,717
Taki, który powstał poprzez obrót

153
00:06:54,777 --> 00:06:56,461
pewnego prostokąta.

154
00:06:57,345 --> 00:06:59,393
Narysujmy więc ten prostokąt.

155
00:07:00,663 --> 00:07:03,479
Krótszy bok ma 2 centymetry.

156
00:07:03,735 --> 00:07:06,551
A dłuższy bok 5 centymetrów.

157
00:07:07,033 --> 00:07:09,109
Co jeszcze wiemy o tym walcu?

158
00:07:09,337 --> 00:07:11,788
Wiemy, że powstał poprzez obrót

159
00:07:11,828 --> 00:07:14,753
tego prostokąta wokół dłuższego boku.

160
00:07:15,099 --> 00:07:15,867
Dobrze.

161
00:07:16,349 --> 00:07:17,992
Zatrzymaj teraz film

162
00:07:17,992 --> 00:07:20,519
narysuj odpowiednią oś obrotu

163
00:07:20,519 --> 00:07:22,349
oraz otrzymany walec.

164
00:07:23,527 --> 00:07:27,111
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

165
00:07:30,329 --> 00:07:31,897
Skoro obracamy prostokąt

166
00:07:31,897 --> 00:07:33,348
wokół dłuższego boku

167
00:07:33,348 --> 00:07:35,809
to oś obrotu będzie się pokrywała

168
00:07:35,809 --> 00:07:37,450
z tym dłuższym bokiem.

169
00:07:37,480 --> 00:07:39,465
Teraz obracamy ten prostokąt.

170
00:07:45,553 --> 00:07:46,833
Oto nasz walec.

171
00:07:48,871 --> 00:07:51,175
Obliczmy teraz jego objętość.

172
00:07:51,667 --> 00:07:52,761
Objętość walca to

173
00:07:52,761 --> 00:07:55,337
pi razy r kwadrat razy h.

174
00:07:56,667 --> 00:07:59,049
Musimy więc znać promień tego walca

175
00:07:59,099 --> 00:08:00,658
oraz jego wysokość.

176
00:08:00,788 --> 00:08:03,581
Jaką długość ma wysokość tego walca?

177
00:08:05,933 --> 00:08:07,469
To 5 centymetrów.

178
00:08:08,573 --> 00:08:10,857
Wysokość walca ma taką samą długość

179
00:08:10,907 --> 00:08:13,560
jak dłuższy bok obracanego prostokąta.

180
00:08:13,700 --> 00:08:16,027
A ile wynosi promień tego walca?

181
00:08:17,599 --> 00:08:18,879
2 centymetry.

182
00:08:19,867 --> 00:08:22,427
Tyle, ile krótszy bok prostokąta.

183
00:08:22,829 --> 00:08:24,109
Znamy wysokość.

184
00:08:24,425 --> 00:08:25,705
Znamy promień.

185
00:08:25,981 --> 00:08:27,304
Zatrzymaj teraz film

186
00:08:27,364 --> 00:08:29,455
i oblicz objętość tego walca.

187
00:08:29,831 --> 00:08:32,391
Następnie porównaj swój wynik z moim.

188
00:08:35,313 --> 00:08:37,933
W miejsce r podstawie 2 centymetry

189
00:08:37,983 --> 00:08:40,314
a w miejsce h, 5 centymetrów.

190
00:08:40,344 --> 00:08:43,056
Objętość to pi razy 2 centymetry

191
00:08:43,086 --> 00:08:44,550
podniesione do kwadratu

192
00:08:44,590 --> 00:08:46,029
razy 5 centymetrów.

193
00:08:46,139 --> 00:08:48,286
2 centymetry podniesione do kwadratu

194
00:08:48,306 --> 00:08:50,347
to 4 centymetry kwadratowe.

195
00:08:50,557 --> 00:08:53,200
Ostatecznie otrzymujemy, że objętość tego

196
00:08:53,290 --> 00:08:56,090
walca to pi razy 20 centymetrów

197
00:08:56,120 --> 00:08:57,168
sześciennych.

198
00:08:57,238 --> 00:08:58,297
Gratulacje.

199
00:08:58,473 --> 00:09:00,253
Teraz na pewno jesteś w stanie

200
00:09:00,313 --> 00:09:02,761
policzyć objętość dowolnego walca.

201
00:09:09,923 --> 00:09:12,434
Objętość walca możemy obliczyć

202
00:09:12,474 --> 00:09:14,315
z następującego wzoru.

203
00:09:15,093 --> 00:09:19,189
V równa się pi r kwadrat razy h

204
00:09:20,173 --> 00:09:23,357
Dużą literą V oznaczamy objętość.

205
00:09:23,727 --> 00:09:27,311
r to promień walca, a h to jego wysokość.

206
00:09:30,433 --> 00:09:32,379
Właśnie zobaczyłeś kolejny film

207
00:09:32,409 --> 00:09:34,003
z playlisty o walcach.

208
00:09:34,785 --> 00:09:36,372
Zachęcam Cię do zobaczenia

209
00:09:36,372 --> 00:09:38,165
innych filmów z tej playlisty

210
00:09:38,165 --> 00:09:39,821
oraz do polubienia naszego

211
00:09:39,821 --> 00:09:41,285
fanpage'a na Facebook'u

212
00:09:41,315 --> 00:09:43,385
PistacjaMatematyka.