1
00:00:00,156 --> 00:00:02,446
Walec to nie tylko bryła obrotowa

2
00:00:02,486 --> 00:00:04,521
ale również maszyna drogowa

3
00:00:04,561 --> 00:00:07,500
która służy do wyrównywania powierzchni.

4
00:00:08,022 --> 00:00:09,724
Pierwsze walce powstały

5
00:00:09,724 --> 00:00:11,180
prawie 200 lat temu.

6
00:00:11,872 --> 00:00:14,176
Najpierw były ciągnięte przez konie.

7
00:00:14,628 --> 00:00:16,932
Potem napędzane przez silnik parowy.

8
00:00:17,198 --> 00:00:20,270
A teraz napędzane przez silniki spalinowe.

9
00:00:32,894 --> 00:00:35,710
Mamy do rozwiązania następujące zadanie:

10
00:00:36,288 --> 00:00:38,674
po rozklejeniu ściany bocznej pudełka

11
00:00:38,684 --> 00:00:40,188
mającego kształt walca

12
00:00:40,208 --> 00:00:42,002
otrzymano równoległobok.

13
00:00:42,448 --> 00:00:44,249
Jeden z boków tej figury

14
00:00:44,249 --> 00:00:46,896
ma długość 44 centymetrów

15
00:00:46,896 --> 00:00:49,120
a jej pole jest równe

16
00:00:49,160 --> 00:00:52,220
220 centymetrom kwadratowych.

17
00:00:52,606 --> 00:00:54,654
Oblicz objętość tego pudełka.

18
00:00:55,362 --> 00:00:59,458
Przyjmij przybliżenie, pi równa się 22/7.

19
00:01:00,462 --> 00:01:02,598
Czego szukamy w tym zadaniu?

20
00:01:04,322 --> 00:01:06,114
Objętości pudełka.

21
00:01:06,676 --> 00:01:08,980
Nasze pudełko ma kształt walca.

22
00:01:10,532 --> 00:01:11,880
To właśnie ono.

23
00:01:12,790 --> 00:01:15,094
Jaki jest wzór na objętość walca?

24
00:01:16,354 --> 00:01:17,122
Oto on.

25
00:01:19,376 --> 00:01:21,006
Żeby policzyć objętość

26
00:01:21,006 --> 00:01:23,401
musimy znać promień tego walca

27
00:01:23,431 --> 00:01:25,098
oraz jego wysokość.

28
00:01:25,344 --> 00:01:26,793
Niestety w treści zadania

29
00:01:26,793 --> 00:01:28,116
nie mamy podanych

30
00:01:28,116 --> 00:01:30,374
ani wysokości, ani promienia.

31
00:01:30,650 --> 00:01:31,668
Co wiemy?

32
00:01:32,608 --> 00:01:35,109
Wiemy, że po rozklejeniu ściany bocznej

33
00:01:35,139 --> 00:01:37,220
otrzymaliśmy równoległobok.

34
00:01:37,356 --> 00:01:38,856
Narysujmy go więc.

35
00:01:39,108 --> 00:01:40,489
Czy coś wiemy na temat

36
00:01:40,489 --> 00:01:41,888
tego równoległoboku?

37
00:01:42,180 --> 00:01:44,062
Sprawdźmy w treści zadania.

38
00:01:44,122 --> 00:01:46,623
Wiemy, że jeden z boków tej figury

39
00:01:46,643 --> 00:01:49,244
ma długość 44 centymetrów.

40
00:01:49,380 --> 00:01:51,808
Ja określę ten bok literą a.

41
00:01:52,732 --> 00:01:55,334
Wiemy też, że pole tego równoległoboku

42
00:01:55,364 --> 00:01:58,434
wynosi 220 centymetrów kwadratowych.

43
00:01:58,920 --> 00:02:01,423
Musimy teraz w jakiś sposób wykorzystać

44
00:02:01,443 --> 00:02:03,710
informacje o długości tego boku

45
00:02:04,056 --> 00:02:06,360
oraz o polu tego równoległoboku

46
00:02:06,426 --> 00:02:08,282
do wyznaczenia wysokości

47
00:02:08,352 --> 00:02:10,088
oraz promienia walca.

48
00:02:10,390 --> 00:02:12,638
Skupmy się najpierw na wysokości.

49
00:02:14,376 --> 00:02:17,110
Jaka będzie wysokość tego równoległoboku?

50
00:02:18,768 --> 00:02:20,376
Oczywiście będzie ona równa

51
00:02:20,376 --> 00:02:21,890
wysokości tego walca.

52
00:02:22,648 --> 00:02:23,928
Czyli duże H.

53
00:02:24,284 --> 00:02:25,332
No dobrze.

54
00:02:25,610 --> 00:02:27,914
Czyli znamy pole równoległoboku.

55
00:02:28,556 --> 00:02:30,604
Znamy długość jednego boku.

56
00:02:30,900 --> 00:02:32,999
I wiemy, że jego wysokość

57
00:02:33,009 --> 00:02:35,136
jest równa wysokości walca.

58
00:02:35,478 --> 00:02:36,327
Czy pamiętasz

59
00:02:36,327 --> 00:02:38,560
jak liczymy pole równoległoboku?

60
00:02:38,736 --> 00:02:41,711
Pole równoległoboku to długość boku

61
00:02:41,741 --> 00:02:43,047
razy wysokość.

62
00:02:43,437 --> 00:02:47,259
Znamy zarówno to pole jak i długość boku.

63
00:02:47,469 --> 00:02:49,460
W ten sposób możemy obliczyć

64
00:02:49,460 --> 00:02:52,530
wysokość równoległoboku, a tym samym

65
00:02:52,570 --> 00:02:53,936
wysokość walca.

66
00:02:55,366 --> 00:02:57,882
Teraz zatrzymaj film i spróbuj

67
00:02:57,902 --> 00:03:01,102
samodzielnie wyliczyć wysokość tego walca.

68
00:03:01,102 --> 00:03:03,008
Potem włącz film ponownie

69
00:03:03,008 --> 00:03:05,600
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

70
00:03:08,432 --> 00:03:12,160
Podstawiam 220 centymetrów kwadratowych

71
00:03:12,210 --> 00:03:13,569
w miejsce P

72
00:03:13,569 --> 00:03:17,090
oraz 44 centymetry w miejsce a.

73
00:03:17,708 --> 00:03:19,753
Teraz, aby wyznaczyć H

74
00:03:19,753 --> 00:03:22,474
dzielę obustronnie to równanie

75
00:03:22,474 --> 00:03:24,288
przez 44 centymetry.

76
00:03:24,438 --> 00:03:25,700
Otrzymuję, że H

77
00:03:25,700 --> 00:03:28,226
to 220 centymetrów kwadratowych

78
00:03:28,226 --> 00:03:29,856
przez 44 centymetry.

79
00:03:29,936 --> 00:03:32,533
Upraszczając, otrzymuje ostatecznie

80
00:03:32,533 --> 00:03:35,012
że H wynosi 5 centymetrów.

81
00:03:35,202 --> 00:03:36,054
Świetnie.

82
00:03:36,230 --> 00:03:38,534
Wyznaczyliśmy wysokość tego walca.

83
00:03:39,162 --> 00:03:41,962
Teraz musimy jedynie wyznaczyć promień.

84
00:03:41,992 --> 00:03:43,062
Jak to zrobić?

85
00:03:43,976 --> 00:03:45,896
Wykorzystaliśmy już informację

86
00:03:45,976 --> 00:03:47,624
o polu równoległoboku.

87
00:03:47,806 --> 00:03:49,615
Pole tego równoległoboku

88
00:03:49,615 --> 00:03:52,448
było powierzchnią boczną tego walca.

89
00:03:53,006 --> 00:03:54,558
To może skupmy się teraz

90
00:03:54,558 --> 00:03:55,912
na długości tego boku.

91
00:03:56,384 --> 00:03:58,601
Ale zauważ, że dłuższy bok

92
00:03:58,601 --> 00:04:00,315
naszego równoległoboku

93
00:04:00,315 --> 00:04:01,874
ma taką samą długość

94
00:04:01,894 --> 00:04:03,848
jak obwód podstawy walca.

95
00:04:05,294 --> 00:04:06,312
Chwileczkę.

96
00:04:06,418 --> 00:04:07,803
Skoro znamy obwód

97
00:04:07,873 --> 00:04:10,072
to możemy wyliczyć promień?

98
00:04:11,388 --> 00:04:12,582
Pewnie, że tak.

99
00:04:12,718 --> 00:04:15,226
Pamiętasz jaki był wzór na obwód koła?

100
00:04:15,544 --> 00:04:18,366
Obwód koła, czyli w naszym przypadku a

101
00:04:18,796 --> 00:04:20,649
to 2 razy pi razy r.

102
00:04:21,697 --> 00:04:25,707
Znamy a, mamy podane przybliżenie pi

103
00:04:25,783 --> 00:04:27,575
czyli możemy wyliczyć r.

104
00:04:28,393 --> 00:04:30,075
Zatrzymaj film ponownie

105
00:04:30,115 --> 00:04:32,529
i spróbuj wyliczyć r samodzielnie.

106
00:04:32,615 --> 00:04:35,093
Potem porównaj swój wynik z moim.

107
00:04:38,307 --> 00:04:39,789
Po podstawieniu otrzymuję

108
00:04:39,789 --> 00:04:42,009
że 44 centymetry

109
00:04:42,009 --> 00:04:45,061
to 2 razy 22/7 razy r.

110
00:04:45,157 --> 00:04:48,540
Czyli, że 44 centymetry

111
00:04:48,540 --> 00:04:50,747
to 44/7 razy r.

112
00:04:50,807 --> 00:04:52,428
Aby policzyć r

113
00:04:52,428 --> 00:04:55,207
dzielę teraz przez 44/7.

114
00:04:55,449 --> 00:04:56,835
Dzielenie, to to samo

115
00:04:56,835 --> 00:04:58,540
co mnożenie przez odwrotność.

116
00:04:58,790 --> 00:05:00,379
44 nam się skróci.

117
00:05:00,765 --> 00:05:04,093
I otrzymujemy, że r wynosi 7 centymetrów.

118
00:05:06,015 --> 00:05:06,853
Świetnie.

119
00:05:06,903 --> 00:05:09,649
Znamy promień oraz wysokość.

120
00:05:09,815 --> 00:05:11,800
Teraz nie pozostaje nic innego

121
00:05:11,830 --> 00:05:13,455
jak wyznaczyć objętość.

122
00:05:14,207 --> 00:05:16,255
Zatrzymaj film jeszcze raz.

123
00:05:16,541 --> 00:05:18,563
Wyznacz objętość tego walca.

124
00:05:18,735 --> 00:05:21,295
A na końcu porównaj swój wynik z moim.

125
00:05:24,683 --> 00:05:26,731
Podstawiamy i obliczamy.

126
00:05:27,253 --> 00:05:31,093
Pamiętaj, żeby w miejsce pi wstawić 22/7.

127
00:05:31,389 --> 00:05:33,693
Tak, jak było napisane w treści zadania.

128
00:05:36,053 --> 00:05:37,766
Po kolejnych obliczeniach

129
00:05:37,766 --> 00:05:39,240
otrzymuję ostatecznie

130
00:05:39,240 --> 00:05:41,276
że objętość tego walca wynosi

131
00:05:41,306 --> 00:05:44,575
770 centymetrów sześciennych.

132
00:05:44,777 --> 00:05:46,553
Czy to koniec tego zadania?

133
00:05:46,755 --> 00:05:47,527
Tak.

134
00:05:47,733 --> 00:05:50,037
Mieliśmy obliczyć objętość tego pudełka

135
00:05:50,103 --> 00:05:51,639
co właśnie uczyniliśmy.

136
00:05:57,787 --> 00:05:59,971
Przekątna przekroju osiowego walca

137
00:06:00,011 --> 00:06:02,246
ma długość 8 pierwiastków z dwóch

138
00:06:02,266 --> 00:06:03,319
centymetrów.

139
00:06:03,535 --> 00:06:05,727
I jest nachylona do wysokości walca

140
00:06:05,757 --> 00:06:08,003
pod kątem 45 stopni.

141
00:06:08,765 --> 00:06:10,733
Oblicz pole powierzchni całkowitej

142
00:06:10,733 --> 00:06:11,711
tego walca.

143
00:06:12,665 --> 00:06:14,637
Na samym początku pytanie.

144
00:06:14,779 --> 00:06:16,103
Czego szukamy?

145
00:06:18,117 --> 00:06:20,933
Pola powierzchni całkowitej pewnego walca.

146
00:06:21,535 --> 00:06:23,145
Pamiętasz, jak liczyło się

147
00:06:23,145 --> 00:06:25,093
pole powierzchni całkowitej walca?

148
00:06:26,369 --> 00:06:28,417
Możemy skorzystać z tego wzoru.

149
00:06:28,733 --> 00:06:30,662
Na pole powierzchni całkowitej

150
00:06:30,682 --> 00:06:33,085
składa się pole powierzchni bocznej

151
00:06:33,171 --> 00:06:36,499
oraz pole dolnej i górnej podstawy walca.

152
00:06:36,535 --> 00:06:37,295
No dobrze

153
00:06:37,315 --> 00:06:39,469
ale o jakim walcu w ogóle mówimy?

154
00:06:39,611 --> 00:06:41,653
Sprawdźmy w treści zadania.

155
00:06:42,397 --> 00:06:44,725
Wiemy, że przekątna przekroju osiowego

156
00:06:44,725 --> 00:06:46,388
tego walca ma długość

157
00:06:46,408 --> 00:06:49,091
8 pierwiastków z dwóch centymetrów.

158
00:06:49,685 --> 00:06:52,245
Przekrój osiowy walca jest tutaj.

159
00:06:54,243 --> 00:06:56,047
Narysujmy teraz jego przekątną

160
00:06:56,077 --> 00:06:57,721
i zaznaczmy jej długość.

161
00:06:58,173 --> 00:06:59,709
Przekątna będzie tutaj.

162
00:07:00,979 --> 00:07:02,363
Co jeszcze wiemy?

163
00:07:02,711 --> 00:07:05,141
Wiemy, że ta przekątna jest nachylona

164
00:07:05,171 --> 00:07:09,177
do wysokości walca pod kątem 45 stopni.

165
00:07:09,849 --> 00:07:11,833
Zaznaczmy to na rysunku.

166
00:07:11,923 --> 00:07:14,227
Zaznaczamy kąt 45 stopni.

167
00:07:15,421 --> 00:07:17,545
Od razu zaznaczyłem również wysokość

168
00:07:17,575 --> 00:07:20,195
tego walca oraz jego średnicę.

169
00:07:22,875 --> 00:07:24,043
Czy wiesz dlaczego

170
00:07:24,043 --> 00:07:25,851
zaznaczyłem tutaj kąt prosty?

171
00:07:26,007 --> 00:07:27,794
Ponieważ wysokość walca

172
00:07:27,834 --> 00:07:30,399
jest prostopadła do jego średnicy.

173
00:07:31,559 --> 00:07:34,631
A długość średnicy jest równa 2r.

174
00:07:35,745 --> 00:07:38,190
Do wyznaczania pola powierzchni całkowitej

175
00:07:38,190 --> 00:07:40,827
musimy znać długość promienia tego walca

176
00:07:40,847 --> 00:07:42,269
oraz jego wysokość.

177
00:07:42,637 --> 00:07:45,038
Zastanówmy się, co możemy zrobić z danymi

178
00:07:45,038 --> 00:07:47,455
które zaznaczyliśmy na naszym obrazku.

179
00:07:48,269 --> 00:07:49,787
Spójrzmy na ten trójkąt.

180
00:07:49,847 --> 00:07:51,781
Co można o nim powiedzieć?

181
00:07:51,903 --> 00:07:53,695
Jest to trójkąt prostokątny.

182
00:07:54,789 --> 00:07:56,958
Jaką znasz zależność na długość boków

183
00:07:56,958 --> 00:07:58,669
w trójkącie prostokątnym?

184
00:07:59,749 --> 00:08:01,988
To oczywiście twierdzenie Pitagorasa.

185
00:08:01,998 --> 00:08:04,646
W naszym przypadku H do kwadratu

186
00:08:04,996 --> 00:08:07,176
dodać 2r do kwadratu

187
00:08:07,176 --> 00:08:09,091
da nam 8 pierwiastków z dwóch

188
00:08:09,091 --> 00:08:10,839
centymetrów do kwadratu.

189
00:08:11,359 --> 00:08:12,257
Świetnie.

190
00:08:12,579 --> 00:08:14,335
Mamy pierwsze równanie.

191
00:08:14,587 --> 00:08:16,669
Ale nadal mamy dwie niewiadome.

192
00:08:16,725 --> 00:08:18,517
H oraz r.

193
00:08:19,521 --> 00:08:21,730
Musimy mieć dodatkowe informacje.

194
00:08:21,790 --> 00:08:23,925
Spójrzmy jeszcze raz na ten trójkąt.

195
00:08:23,925 --> 00:08:26,718
Wiemy, że jego kąty mają wartość

196
00:08:26,738 --> 00:08:29,897
90 stopni i 45 stopni.

197
00:08:30,961 --> 00:08:32,491
Ile wynosi w takim razie

198
00:08:32,521 --> 00:08:34,275
wartość trzeciego kąta?

199
00:08:36,663 --> 00:08:40,247
Ten kąt będzie miał wartość 45 stopni.

200
00:08:40,433 --> 00:08:43,761
To wynika z sumy miar kątów w trójkącie.

201
00:08:46,281 --> 00:08:48,290
Zobacz, że w tym trójkącie

202
00:08:48,320 --> 00:08:49,685
są 2 kąty równe.

203
00:08:50,407 --> 00:08:51,645
W jakich trójkątach

204
00:08:51,645 --> 00:08:53,191
zachodziła ta zależność?

205
00:08:53,845 --> 00:08:55,893
W trójkątach równoramiennych.

206
00:08:56,897 --> 00:08:59,132
Nie tylko nasz trójkąt jest prostokątny

207
00:08:59,142 --> 00:09:01,145
ale jest również równoramienny.

208
00:09:01,691 --> 00:09:03,739
Jakie są ramiona tego trójkąta?

209
00:09:04,793 --> 00:09:07,097
To 2r oraz H.

210
00:09:07,679 --> 00:09:09,983
Czyli H równa się 2r.

211
00:09:10,189 --> 00:09:13,005
Ja podstawiam H, w miejsce 2r.

212
00:09:13,341 --> 00:09:15,942
Otrzymuję, że H kwadrat dodać H kwadrat

213
00:09:16,012 --> 00:09:18,307
to 8 pierwiastków z dwóch centymetrów

214
00:09:18,337 --> 00:09:21,237
do kwadratu, czyli dalej 2H kwadrat

215
00:09:21,517 --> 00:09:24,996
to 64 razy 2 centymetry kwadratowe.

216
00:09:25,256 --> 00:09:27,272
Dzielę teraz obustronnie przez 2

217
00:09:27,332 --> 00:09:29,143
aby otrzymać H kwadrat.

218
00:09:29,389 --> 00:09:32,973
H kwadrat to 64 centymetry kwadratowe.

219
00:09:33,515 --> 00:09:35,281
Żeby obliczyć teraz H

220
00:09:35,321 --> 00:09:36,986
muszę spierwiastkować.

221
00:09:37,036 --> 00:09:39,884
Pierwiastek z 64 centymetrów kwadratowych

222
00:09:40,124 --> 00:09:41,497
to 8 centymetrów.

223
00:09:41,823 --> 00:09:43,492
Czyli wysokość tego walca

224
00:09:43,552 --> 00:09:45,071
wynosi 8 centymetrów.

225
00:09:45,637 --> 00:09:48,303
Średnica tego walca ma taką samą długość.

226
00:09:48,715 --> 00:09:49,870
A to z kolei oznacza

227
00:09:49,870 --> 00:09:51,517
że promień tego walca

228
00:09:51,517 --> 00:09:53,478
ma długość 4 centymetrów.

229
00:09:53,528 --> 00:09:54,499
Dobrze.

230
00:09:54,539 --> 00:09:55,772
Wiemy teraz wszystko

231
00:09:55,772 --> 00:09:57,552
czego potrzeba do obliczenia

232
00:09:57,552 --> 00:09:59,331
pola powierzchni całkowitej.

233
00:09:59,527 --> 00:10:00,906
Zatrzymaj teraz film

234
00:10:00,916 --> 00:10:02,501
i zrób to samodzielnie.

235
00:10:02,551 --> 00:10:05,107
Potem porównaj swój wynik z moim.

236
00:10:08,537 --> 00:10:09,455
Po podstawieniu

237
00:10:09,455 --> 00:10:11,005
i kilku prostych rachunkach

238
00:10:11,005 --> 00:10:12,762
wychodzi, że pole powierzchni

239
00:10:12,762 --> 00:10:14,478
całkowitej tego walca

240
00:10:14,478 --> 00:10:16,901
to 96 centymetrów kwadratowych

241
00:10:16,901 --> 00:10:18,517
razy pi, czyli ponad

242
00:10:18,547 --> 00:10:20,595
300 centymetrów kwadratowych.

243
00:10:21,181 --> 00:10:22,049
Świetnie.

244
00:10:22,175 --> 00:10:23,967
Rozwiązaliśmy to zadanie.

245
00:10:30,493 --> 00:10:33,191
W trakcie rozwiązywania zadań o walcach

246
00:10:33,221 --> 00:10:35,643
przydadzą Ci się następujące wzory.

247
00:10:36,245 --> 00:10:37,781
Wzór na objętość.

248
00:10:38,137 --> 00:10:40,363
Wzór na pole powierzchni bocznej.

249
00:10:40,423 --> 00:10:43,267
Oraz wzór na pole powierzchni całkowitej.

250
00:10:47,519 --> 00:10:49,795
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

251
00:10:49,795 --> 00:10:51,601
z playlisty o walcach.

252
00:10:52,363 --> 00:10:53,658
Zachęcam Cię do zobaczenia

253
00:10:53,658 --> 00:10:55,861
innych filmów z tej playlisty

254
00:10:55,861 --> 00:10:58,186
a także do polubienia naszego fanpage'a

255
00:10:58,196 --> 00:11:00,146
na Facebook'u PistacjaMatematyka.