1
00:00:00,322 --> 00:00:02,370
Kule są wszędzie wokół nas.

2
00:00:02,586 --> 00:00:03,972
Przecież cały nasz świat

3
00:00:03,972 --> 00:00:06,153
czyli planeta Ziemia jest okrągła

4
00:00:06,183 --> 00:00:07,802
i przypomina wielką kulę.

5
00:00:08,514 --> 00:00:10,218
Miniaturę Ziemi, czyli globus

6
00:00:10,218 --> 00:00:13,010
mogłeś zobaczyć na lekcji geografii.

7
00:00:25,390 --> 00:00:26,945
Do tej pory poznaliśmy

8
00:00:26,945 --> 00:00:29,352
dwie charakterystyczne bryły obrotowe.

9
00:00:29,432 --> 00:00:30,994
Walec, który powstaje

10
00:00:30,994 --> 00:00:32,626
poprzez obrót prostokąta

11
00:00:32,626 --> 00:00:34,709
oraz stożek, który powstaje

12
00:00:34,749 --> 00:00:37,098
poprzez obrót trójkąta równoramiennego

13
00:00:37,108 --> 00:00:39,170
albo trójkąta prostokątnego.

14
00:00:40,062 --> 00:00:43,100
Na ekranie masz narysowane teraz koło.

15
00:00:43,130 --> 00:00:45,430
Zaznaczyłem środek tego koła

16
00:00:45,490 --> 00:00:46,903
oraz jego promień

17
00:00:46,903 --> 00:00:49,730
który oznaczyłem dużą literą R.

18
00:00:50,252 --> 00:00:51,606
Zastanówmy się teraz

19
00:00:51,606 --> 00:00:52,959
jaką bryłę otrzymamy

20
00:00:52,999 --> 00:00:55,996
po obrocie tego koła wokół jego średnicy.

21
00:00:56,192 --> 00:00:57,756
Możemy wybrać dowolną.

22
00:00:57,816 --> 00:00:59,042
Ja wybrałem tę.

23
00:01:00,286 --> 00:01:02,334
Zobaczmy, co się stanie.

24
00:01:04,588 --> 00:01:05,868
Co otrzymaliśmy?

25
00:01:06,320 --> 00:01:07,088
To kula.

26
00:01:07,384 --> 00:01:10,200
Kolejna bryła obrotowa, którą poznaliśmy.

27
00:01:10,762 --> 00:01:13,243
Kula powstaje poprzez obrót koła

28
00:01:13,253 --> 00:01:14,874
wokół jego średnicy.

29
00:01:15,676 --> 00:01:17,820
Czy pamiętasz, jak nazywaliśmy prostą

30
00:01:17,820 --> 00:01:19,712
wokół której obracaliśmy figurę

31
00:01:19,712 --> 00:01:21,790
aby otrzymać bryłę obrotową?

32
00:01:22,744 --> 00:01:23,902
To oś obrotu.

33
00:01:23,982 --> 00:01:26,251
W tym przypadku oś obrotu

34
00:01:26,251 --> 00:01:28,438
pokrywa się ze średnicą koła.

35
00:01:28,488 --> 00:01:30,311
Z tą średnicą, wokół której

36
00:01:30,311 --> 00:01:32,230
obracaliśmy nasze koło.

37
00:01:32,286 --> 00:01:33,966
Charakterystyczne dla kuli

38
00:01:33,966 --> 00:01:36,998
są jej promień oraz jej środek.

39
00:01:37,168 --> 00:01:39,242
Co możemy o nich powiedzieć?

40
00:01:40,232 --> 00:01:41,782
Zauważ, że promień kuli

41
00:01:41,782 --> 00:01:43,403
jest dokładnie taki sam

42
00:01:43,403 --> 00:01:45,376
jak promień obracanego koła.

43
00:01:45,496 --> 00:01:48,151
Podobnie środek kuli, który pokrywa się

44
00:01:48,161 --> 00:01:50,321
ze środkiem koła, które obracaliśmy

45
00:01:50,341 --> 00:01:51,463
na samym początku.

46
00:01:51,483 --> 00:01:53,605
No dobrze, skoro znamy kolejną bryłę

47
00:01:53,605 --> 00:01:55,934
to czy potrafimy obliczyć jej objętość?

48
00:01:57,068 --> 00:01:58,707
Wydaje się to skomplikowane

49
00:01:58,727 --> 00:02:00,088
ale odpowiedni wzór

50
00:02:00,088 --> 00:02:03,652
podał już 2200 lat temu słynny Archimedes.

51
00:02:04,050 --> 00:02:05,167
Oto ten wzór.

52
00:02:05,557 --> 00:02:07,067
Objętość kuli, to

53
00:02:07,067 --> 00:02:11,168
4/3 razy pi razy r do sześcianu.

54
00:02:11,354 --> 00:02:12,717
Zapamiętaj go dobrze

55
00:02:12,767 --> 00:02:15,598
będziemy go wykorzystywać w zadaniach.

56
00:02:19,822 --> 00:02:22,382
Przećwiczmy teraz wyznaczanie objętości.

57
00:02:22,668 --> 00:02:24,128
Mamy takie zadanie.

58
00:02:24,194 --> 00:02:26,538
Koło o promieniu 10 centymetrów

59
00:02:26,538 --> 00:02:28,324
obrócono wokół jego średnicy

60
00:02:28,324 --> 00:02:29,928
i otrzymano kulę.

61
00:02:29,928 --> 00:02:31,808
Oblicz objętość tej kuli.

62
00:02:31,834 --> 00:02:33,526
Jak widzisz, w tym zadaniu

63
00:02:33,526 --> 00:02:35,480
musimy wyznaczyć objętość kuli.

64
00:02:35,480 --> 00:02:37,138
Jaka to jest kula?

65
00:02:38,098 --> 00:02:39,216
Ta kula powstała

66
00:02:39,216 --> 00:02:41,096
poprzez obrót pewnego koła.

67
00:02:41,964 --> 00:02:43,920
Narysujmy więc to koło.

68
00:02:44,870 --> 00:02:45,894
Oto ono.

69
00:02:46,732 --> 00:02:48,370
Zaznaczyłem od razu promień

70
00:02:48,370 --> 00:02:49,820
równy 10 centymetrom.

71
00:02:49,900 --> 00:02:51,956
Musimy teraz otrzymać kule.

72
00:02:52,088 --> 00:02:53,368
W jaki sposób?

73
00:02:54,126 --> 00:02:56,730
Obracamy to koło wokół jego średnicy.

74
00:02:56,760 --> 00:02:58,298
Ja będę obracał to koło

75
00:02:58,334 --> 00:03:00,130
wokół tej osi obrotu

76
00:03:00,496 --> 00:03:03,024
która pokrywa się ze średnicą koła.

77
00:03:06,640 --> 00:03:08,160
Mamy już naszą kulę.

78
00:03:08,246 --> 00:03:09,526
No to do roboty.

79
00:03:09,752 --> 00:03:11,784
Pamiętasz wzór na objętość kuli?

80
00:03:11,840 --> 00:03:14,656
To 4/3pi razy r do sześcianu.

81
00:03:14,942 --> 00:03:16,813
Mam nadzieję, że pamiętasz o tym

82
00:03:16,813 --> 00:03:19,086
że objętość oznaczamy dużą literą V.

83
00:03:19,086 --> 00:03:20,308
Czy jesteśmy w stanie

84
00:03:20,308 --> 00:03:21,756
wyznaczyć tę objętość?

85
00:03:22,452 --> 00:03:24,667
Tak, musimy tylko znać promień.

86
00:03:25,047 --> 00:03:27,616
A wiemy, że wynosi on 10 centymetrów.

87
00:03:27,732 --> 00:03:29,539
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

88
00:03:29,539 --> 00:03:31,550
samodzielnie wyznaczyć tę objętość.

89
00:03:31,550 --> 00:03:33,319
Następnie włącz film ponownie

90
00:03:33,319 --> 00:03:35,426
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

91
00:03:39,272 --> 00:03:42,348
Pod R, podstawiam 10 centymetrów.

92
00:03:42,550 --> 00:03:44,282
10 centymetrów do sześcianu

93
00:03:44,302 --> 00:03:46,706
to 1000 centymetrów sześciennych.

94
00:03:46,972 --> 00:03:49,825
Mnożę 1000 razy 4/3 i otrzymuję

95
00:03:49,865 --> 00:03:53,234
że objętość tej kuli to 4000/3 razy pi

96
00:03:53,274 --> 00:03:55,464
centymetrów sześciennych.

97
00:03:59,888 --> 00:04:01,173
Zastanówmy się teraz

98
00:04:01,173 --> 00:04:02,636
czy możemy uzyskać kulę

99
00:04:02,636 --> 00:04:04,048
w jakiś inny sposób.

100
00:04:04,496 --> 00:04:07,349
Zobacz, na planszy jest narysowane

101
00:04:07,389 --> 00:04:08,522
pewne półkole

102
00:04:08,958 --> 00:04:10,494
o promieniu R.

103
00:04:10,610 --> 00:04:13,682
Obróćmy je teraz wokół tej osi obrotu.

104
00:04:15,002 --> 00:04:17,112
Sprawdźmy, co się stanie.

105
00:04:21,361 --> 00:04:22,129
I co?

106
00:04:22,591 --> 00:04:24,127
Otrzymaliśmy kulę.

107
00:04:25,291 --> 00:04:27,623
Jak sądzisz, w jaki inny sposób można by

108
00:04:27,643 --> 00:04:29,617
otrzymać tę samą kule?

109
00:04:32,805 --> 00:04:35,157
Moglibyśmy na przykład obracać koło

110
00:04:35,187 --> 00:04:36,688
o takim samym promieniu

111
00:04:36,718 --> 00:04:38,471
jak pierwotne półkole.

112
00:04:38,779 --> 00:04:41,062
Albo moglibyśmy obracać inne półkole

113
00:04:41,062 --> 00:04:42,849
wokół innej osi obrotu.

114
00:04:42,955 --> 00:04:44,041
Tak jak widzisz

115
00:04:44,041 --> 00:04:45,621
jest wiele różnych sposobów

116
00:04:45,621 --> 00:04:47,767
na otrzymanie takiej samej kuli.

117
00:04:52,191 --> 00:04:53,667
Skupmy się teraz na kuli

118
00:04:53,667 --> 00:04:55,362
po której stąpamy na co dzień

119
00:04:55,362 --> 00:04:56,959
czyli na kuli ziemskiej.

120
00:04:56,985 --> 00:04:58,991
A tak dokładniej na jej makiecie

121
00:04:58,991 --> 00:05:00,337
czyli na globusie.

122
00:05:00,403 --> 00:05:02,243
Jak wiesz, globus jest pokryty

123
00:05:02,253 --> 00:05:06,627
siatką równoleżników oraz południków.

124
00:05:08,997 --> 00:05:09,717
Czy wiesz

125
00:05:09,747 --> 00:05:11,891
jaki jest najdłuższy równoleżnik?

126
00:05:13,133 --> 00:05:14,669
To oczywiście równik.

127
00:05:16,029 --> 00:05:18,467
A czy znasz najważniejszy południk?

128
00:05:19,327 --> 00:05:20,863
To południk zero.

129
00:05:22,645 --> 00:05:25,191
Równik dzieli Ziemię na dwie półkule

130
00:05:25,251 --> 00:05:27,731
północną oraz południową.

131
00:05:28,247 --> 00:05:29,904
Natomiast południk zero

132
00:05:29,974 --> 00:05:33,763
na półkulę zachodnią i półkulę wschodnią.

133
00:05:35,641 --> 00:05:38,969
Równik jest najdłuższym równoleżnikiem.

134
00:05:39,963 --> 00:05:42,233
Jednocześnie jest to tak zwane

135
00:05:42,283 --> 00:05:43,915
koło wielkie Ziemi.

136
00:05:45,083 --> 00:05:46,619
Czym jest koło wielkie?

137
00:05:46,945 --> 00:05:49,738
Koło wielkie kuli to takie koło

138
00:05:49,738 --> 00:05:53,233
opisane na kuli, które ma taki sam promień

139
00:05:53,243 --> 00:05:54,243
jak ta kula.

140
00:05:55,117 --> 00:05:56,653
Albo inaczej mówiąc

141
00:05:56,729 --> 00:05:59,545
koło wielkie kuli stanowi jej obwód.

142
00:06:00,473 --> 00:06:02,526
W takim razie skoro równik

143
00:06:02,526 --> 00:06:04,856
jest kołem wielkim Ziemi

144
00:06:04,856 --> 00:06:07,399
to długość równika jest

145
00:06:07,399 --> 00:06:09,529
w przybliżeniu równa obwodowi Ziemi.

146
00:06:09,559 --> 00:06:12,203
Jak możemy wyznaczyć długość równika?

147
00:06:13,127 --> 00:06:14,730
Albo inaczej, jak możemy

148
00:06:14,750 --> 00:06:16,529
wyznaczyć obwód Ziemi?

149
00:06:17,449 --> 00:06:19,179
Musimy znać jej promień.

150
00:06:19,209 --> 00:06:22,711
Wynosi on w przybliżeniu 6400 kilometrów.

151
00:06:23,729 --> 00:06:25,570
No dobrze, ale co możemy zrobić

152
00:06:25,570 --> 00:06:26,532
z tą informacją?

153
00:06:26,532 --> 00:06:28,453
Otóż do wyznaczenia obwodu Ziemi

154
00:06:28,453 --> 00:06:30,483
wystarczy nam dobrze znany Ci wzór

155
00:06:30,483 --> 00:06:31,409
na obwód koła.

156
00:06:32,363 --> 00:06:34,142
To 2 razy pi razy promień.

157
00:06:34,202 --> 00:06:36,050
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

158
00:06:36,050 --> 00:06:38,101
samodzielnie wyznaczyć obwód Ziemi

159
00:06:38,101 --> 00:06:40,079
a w konsekwencji długość równika.

160
00:06:40,585 --> 00:06:42,362
Następnie włącz film ponownie

161
00:06:42,362 --> 00:06:44,543
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

162
00:06:48,109 --> 00:06:50,311
Podstawiam odpowiednie dane

163
00:06:50,699 --> 00:06:52,551
i otrzymuję, że obwód Ziemi

164
00:06:52,577 --> 00:06:55,902
to 12800 razy pi kilometrów.

165
00:06:55,960 --> 00:06:57,481
Powiedzmy, że chcemy mieć

166
00:06:57,481 --> 00:06:59,459
dokładniejszą wartość.

167
00:06:59,569 --> 00:07:01,709
Musimy wykorzystać przybliżenie pi.

168
00:07:01,809 --> 00:07:05,241
Załóżmy że pi jest równe 22/7.

169
00:07:05,467 --> 00:07:07,489
Korzystając z tego przybliżenia

170
00:07:07,535 --> 00:07:09,839
wyznacz przybliżony obwód Ziemi.

171
00:07:13,403 --> 00:07:15,735
Pod pi podstawiam 22/7 i otrzymuję

172
00:07:15,735 --> 00:07:18,182
że obwód Ziemi to w przybliżeniu

173
00:07:18,182 --> 00:07:19,977
40000 kilometrów.

174
00:07:20,003 --> 00:07:22,379
Te obliczenia są nieco zbyt skomplikowane

175
00:07:22,379 --> 00:07:24,577
aby robić je w pamięci, więc spokojnie

176
00:07:24,577 --> 00:07:26,257
mogliśmy używać kalkulatora.

177
00:07:26,257 --> 00:07:28,681
Wyznaczyliśmy więc długość równika.

178
00:07:33,085 --> 00:07:35,663
I na koniec mamy jeszcze jedno zadanie.

179
00:07:35,735 --> 00:07:37,138
Objętość kuli wynosi

180
00:07:37,138 --> 00:07:39,771
36 razy pi centymetrów sześciennych.

181
00:07:40,293 --> 00:07:42,961
Wyznacz długość promienia tej kuli.

182
00:07:43,797 --> 00:07:45,963
Czego szukamy w tym zadaniu?

183
00:07:46,713 --> 00:07:48,483
Długości promienia.

184
00:07:49,569 --> 00:07:50,593
A co znamy?

185
00:07:51,361 --> 00:07:53,665
Znamy objętość kuli.

186
00:07:55,237 --> 00:07:57,585
Czy jesteśmy w stanie wyznaczyć promień

187
00:07:57,585 --> 00:07:59,041
znając objętość?

188
00:07:59,227 --> 00:08:01,275
Spójrzmy do wzoru na objętość kuli.

189
00:08:01,401 --> 00:08:04,331
To 4/3pi razy R do sześcianu.

190
00:08:04,557 --> 00:08:05,997
Gdy znamy objętość

191
00:08:05,997 --> 00:08:07,789
to możemy łatwo wyznaczyć R.

192
00:08:07,889 --> 00:08:09,983
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

193
00:08:13,643 --> 00:08:15,988
Pod V podstawiam 36 razy pi

194
00:08:16,008 --> 00:08:17,505
centymetrów sześciennych.

195
00:08:17,535 --> 00:08:19,177
Widać, że pi po obu stronach

196
00:08:19,197 --> 00:08:20,991
tego równania się skróci.

197
00:08:21,037 --> 00:08:23,417
4/3R sześcian, to 36

198
00:08:23,443 --> 00:08:25,389
centymetrów sześciennych.

199
00:08:25,439 --> 00:08:27,600
Dzielę teraz obustronnie przez 4/3

200
00:08:27,600 --> 00:08:29,509
aby otrzymać R sześcian.

201
00:08:29,575 --> 00:08:30,921
Dzielenie to to samo

202
00:08:30,921 --> 00:08:32,626
co mnożenie przez odwrotność

203
00:08:32,626 --> 00:08:34,057
więc lewą stronę równania

204
00:08:34,057 --> 00:08:35,399
mnożę przez 3/4.

205
00:08:35,669 --> 00:08:38,313
3/4 razy 36 to 27

206
00:08:38,343 --> 00:08:40,224
W takim razie R do trzeciej

207
00:08:40,224 --> 00:08:42,495
to 27 centymetrów sześciennych.

208
00:08:42,495 --> 00:08:44,906
Czyli R to pierwiastek trzeciego stopnia

209
00:08:44,906 --> 00:08:47,114
z 27 centymetrów sześciennych

210
00:08:47,114 --> 00:08:49,017
a ostatecznie R równa się

211
00:08:49,027 --> 00:08:50,687
trzem centymetrom.

212
00:08:56,169 --> 00:08:59,086
W każdej kuli możemy wyróżnić jej promień

213
00:08:59,136 --> 00:09:02,843
oznaczany dużą literą R oraz jej środek.

214
00:09:03,347 --> 00:09:06,475
Wzór na objętość kuli to 4/3 razy pi

215
00:09:06,511 --> 00:09:08,533
razy promień do sześcianu.

216
00:09:09,461 --> 00:09:10,704
Koło wielkie kuli

217
00:09:10,744 --> 00:09:13,085
ma taki sam promień jak ta kula.

218
00:09:13,121 --> 00:09:15,425
Kołem wielkim Ziemi jest równik.

219
00:09:19,199 --> 00:09:20,406
Zobaczyłeś właśnie

220
00:09:20,416 --> 00:09:22,185
jeden z filmów o kulach.

221
00:09:22,211 --> 00:09:23,845
Zachęcam Cię do zobaczenia.

222
00:09:23,845 --> 00:09:25,590
Innych filmów z tej playlisty

223
00:09:25,590 --> 00:09:26,874
a także do odwiedzenia

224
00:09:26,874 --> 00:09:29,629
naszej strony internetowej pi-stacja.tv