1
00:00:00,000 --> 00:00:01,226
Czy wiesz, że taka

2
00:00:01,226 --> 00:00:02,823
dobrze Ci znana mapa świata

3
00:00:02,823 --> 00:00:04,022
jest nieprawidłowa?

4
00:00:04,022 --> 00:00:05,479
Tak zwana mapa Merkatora

5
00:00:05,479 --> 00:00:06,801
bardzo mocno zaburza

6
00:00:06,801 --> 00:00:08,734
wielkości niektórych terytoriów.

7
00:00:08,760 --> 00:00:11,537
Grenlandia jest na niej większa od Afryki

8
00:00:11,637 --> 00:00:13,965
chociaż w rzeczywistości to Afryka jest

9
00:00:13,965 --> 00:00:16,580
prawie 15-krotnie większa od Grenlandii.

10
00:00:16,660 --> 00:00:18,214
Dlaczego tak się dzieje?

11
00:00:18,264 --> 00:00:20,428
Dowiesz się z tego filmu.

12
00:00:32,568 --> 00:00:35,384
Na ekranie widzisz soczystą pomarańczę.

13
00:00:36,378 --> 00:00:38,301
Możemy przyjąć, że ta pomarańcza

14
00:00:38,301 --> 00:00:40,280
podobnie jak większość pomarańczy

15
00:00:40,280 --> 00:00:41,438
ma kształt kuli.

16
00:00:42,296 --> 00:00:44,132
Co na niej zaznaczyłem?

17
00:00:45,378 --> 00:00:47,706
To środek kuli, który zaznaczyłem

18
00:00:47,706 --> 00:00:49,007
dużą literą O.

19
00:00:49,717 --> 00:00:52,495
Jej promień, który oznaczyłem

20
00:00:52,505 --> 00:00:53,750
dużą literą R.

21
00:00:53,856 --> 00:00:55,683
Oraz powierzchnię tej kuli

22
00:00:55,683 --> 00:00:58,070
którą oznaczyłem dużą literą P.

23
00:00:58,100 --> 00:00:59,758
Czym będzie powierzchnia kuli

24
00:00:59,758 --> 00:01:01,580
w przypadku pomarańczy?

25
00:01:02,786 --> 00:01:04,325
To oczywiście jej skórka.

26
00:01:04,395 --> 00:01:06,552
Jak możemy obliczyć pole powierzchni

27
00:01:06,552 --> 00:01:07,860
takiej pomarańczy?

28
00:01:08,684 --> 00:01:09,859
Spróbujmy ją obrać

29
00:01:09,859 --> 00:01:12,242
i zobaczymy jaką figurę otrzymamy.

30
00:01:12,454 --> 00:01:13,966
Jeżeli będziemy ostrożnie

31
00:01:13,966 --> 00:01:15,189
obierać pomarańczę

32
00:01:15,189 --> 00:01:16,856
to otrzymamy taką figurę.

33
00:01:17,950 --> 00:01:19,816
Czy coś Ci ona przypomina?

34
00:01:20,184 --> 00:01:22,384
Albo inaczej, czy jesteśmy w stanie

35
00:01:22,404 --> 00:01:24,384
policzyć jej pole powierzchni?

36
00:01:25,324 --> 00:01:27,143
Wydaje się to skomplikowane.

37
00:01:27,153 --> 00:01:29,686
Nie przypomina żadnej znanej nam figury

38
00:01:31,368 --> 00:01:33,081
ale wzór na jej powierzchnię

39
00:01:33,081 --> 00:01:35,484
jest znany od ponad 2200 lat.

40
00:01:36,096 --> 00:01:38,022
Podał go znany grecki naukowiec

41
00:01:38,022 --> 00:01:38,906
Archimedes.

42
00:01:38,906 --> 00:01:40,146
Oto ten wzór.

43
00:01:40,408 --> 00:01:43,509
Pole powierzchni kuli to 4 razy pi

44
00:01:43,569 --> 00:01:46,426
razy promień tej kuli do kwadratu.

45
00:01:46,758 --> 00:01:48,591
Powierzchnię kuli w przestrzeni

46
00:01:48,601 --> 00:01:50,036
nazywamy sferą.

47
00:01:50,372 --> 00:01:52,028
Jeżeli w naszej pomarańczy

48
00:01:52,028 --> 00:01:54,599
wydłubiesz ze środka cały miąższ

49
00:01:54,599 --> 00:01:56,900
ale skórkę pozostawisz nienaruszoną

50
00:01:56,900 --> 00:01:58,498
to otrzymasz sferę.

51
00:01:58,850 --> 00:01:59,975
Inaczej mówiąc

52
00:01:59,995 --> 00:02:02,406
sfera to kula pusta w środku.

53
00:02:02,456 --> 00:02:04,299
Trochę jak bombka choinkowa.

54
00:02:04,339 --> 00:02:05,582
Jak widzisz do wyznaczenia

55
00:02:05,582 --> 00:02:07,023
pola powierzchni kuli

56
00:02:07,023 --> 00:02:09,286
musimy znać jedynie jej promień.

57
00:02:09,592 --> 00:02:11,603
Widać też, że powierzchnia kuli

58
00:02:11,603 --> 00:02:14,158
nie jest prostokątem, co sugerują

59
00:02:14,218 --> 00:02:15,736
znane Ci mapy świata.

60
00:02:20,766 --> 00:02:22,672
Jak powiedzieliśmy przed chwilą

61
00:02:22,672 --> 00:02:24,841
mapy takie jak ta niezbyt dokładnie

62
00:02:24,881 --> 00:02:26,908
przedstawiają powierzchnie Ziemi.

63
00:02:26,980 --> 00:02:28,809
Czy istnieją dokładniejsze mapy

64
00:02:28,809 --> 00:02:29,948
albo inne sposoby

65
00:02:29,948 --> 00:02:31,527
aby dokładniej przedstawić

66
00:02:31,527 --> 00:02:32,998
Ziemię i jej kontynenty?

67
00:02:33,244 --> 00:02:34,012
Tak.

68
00:02:34,088 --> 00:02:36,583
Odpowiednie przykłady są bardzo zakręcone.

69
00:02:36,583 --> 00:02:38,032
Zaraz Ci je pokażę.

70
00:02:40,302 --> 00:02:41,907
Tutaj widzisz dwie mapy

71
00:02:41,907 --> 00:02:43,183
które w inny sposób

72
00:02:43,183 --> 00:02:45,400
przedstawiają powierzchnię Ziemi.

73
00:02:45,400 --> 00:02:47,519
Zauważ, jaki ciekawy mają kształt.

74
00:02:47,519 --> 00:02:48,919
Ta przypomina nieco

75
00:02:48,919 --> 00:02:50,259
naszą skórkę pomarańczy

76
00:02:50,259 --> 00:02:52,144
o której mówiliśmy przed chwilą.

77
00:02:52,144 --> 00:02:54,203
Zauważ, jak malutka jest Grenlandia

78
00:02:54,251 --> 00:02:55,762
w porównaniu z Afryką.

79
00:02:55,838 --> 00:02:58,128
Obie te mapy zachowują rzeczywiste

80
00:02:58,208 --> 00:02:59,962
proporcje kontynentów.

81
00:03:00,024 --> 00:03:01,904
Warto o tym pamiętać.

82
00:03:06,680 --> 00:03:08,091
Wiemy już w jaki sposób

83
00:03:08,121 --> 00:03:10,548
można obliczyć pole powierzchni kuli.

84
00:03:10,796 --> 00:03:12,587
Przetestujmy teraz naszą wiedzę

85
00:03:12,587 --> 00:03:13,650
w praktyce.

86
00:03:14,290 --> 00:03:15,532
Kula ma średnicę

87
00:03:15,532 --> 00:03:17,798
o długości 12 centymetrów.

88
00:03:17,964 --> 00:03:20,156
Oblicz pole powierzchni tej kuli.

89
00:03:20,966 --> 00:03:23,038
Co mamy zrobić w tym zadaniu?

90
00:03:23,446 --> 00:03:25,259
W tym zadaniu jesteśmy proszeni

91
00:03:25,259 --> 00:03:27,424
o wyznaczenie pola powierzchni kuli.

92
00:03:27,496 --> 00:03:28,520
Jaka to kula?

93
00:03:29,770 --> 00:03:32,586
Ma ona średnicę o długości 12 centymetrów.

94
00:03:32,722 --> 00:03:33,958
Zatrzymaj teraz film

95
00:03:33,958 --> 00:03:35,895
i na podstawie treści zadania

96
00:03:35,895 --> 00:03:37,766
sporządź odpowiedni rysunek.

97
00:03:37,862 --> 00:03:39,569
Następnie włącz film ponownie

98
00:03:39,589 --> 00:03:42,092
i porównaj swój rysunek z moim.

99
00:03:46,606 --> 00:03:47,630
Oto ona.

100
00:03:48,418 --> 00:03:50,035
Zaznaczyłem jej średnicę

101
00:03:50,075 --> 00:03:51,674
oraz środek tej kuli.

102
00:03:51,804 --> 00:03:52,704
No dobrze.

103
00:03:52,790 --> 00:03:55,176
Pamiętasz wzór na pole powierzchni kuli?

104
00:03:55,176 --> 00:03:56,458
Mam nadzieję, że tak.

105
00:03:56,600 --> 00:03:58,116
To 4pi r kwadrat.

106
00:03:58,166 --> 00:04:00,454
Czy możemy obliczyć już to pole?

107
00:04:01,238 --> 00:04:04,054
Nie znamy promienia, ale znamy średnicę.

108
00:04:04,606 --> 00:04:06,572
Ile będzie wynosił promień?

109
00:04:07,302 --> 00:04:09,661
Promień jest dwa razy krótszy od średnicy

110
00:04:09,661 --> 00:04:11,648
czyli ma długość 6 centymetrów.

111
00:04:11,880 --> 00:04:12,728
Świetnie.

112
00:04:12,944 --> 00:04:14,962
To teraz zatrzymaj film jeszcze raz

113
00:04:14,962 --> 00:04:16,809
i spróbuj samodzielnie wyznaczyć

114
00:04:16,809 --> 00:04:18,131
pole powierzchni kuli

115
00:04:18,131 --> 00:04:19,627
korzystając z tego wzoru.

116
00:04:19,627 --> 00:04:22,473
Następnie porównaj swoją odpowiedź z moją.

117
00:04:25,035 --> 00:04:27,851
W miejsce R podstawiam 6 centymetrów.

118
00:04:28,107 --> 00:04:30,353
Podnoszę 6 centymetrów do kwadratu

119
00:04:30,413 --> 00:04:31,679
a 6 centymetrów do kwadratu

120
00:04:31,679 --> 00:04:34,491
to 36 centymetrów kwadratowych.

121
00:04:34,687 --> 00:04:38,783
4 razy 36, to 144

122
00:04:38,839 --> 00:04:40,301
Pole powierzchni tej kuli

123
00:04:40,301 --> 00:04:44,155
to 144 razy pi centymetrów kwadratowych.

124
00:04:49,887 --> 00:04:52,641
A teraz mamy takie zadanie do rozwiązania.

125
00:04:52,889 --> 00:04:54,948
Ile metrów sześciennych powietrza

126
00:04:54,948 --> 00:04:56,435
zmieści się w balonie

127
00:04:56,435 --> 00:04:58,206
na uszycie którego zużyto

128
00:04:58,206 --> 00:05:01,789
324 razy pi metrów kwadratowych materiału?

129
00:05:02,401 --> 00:05:04,705
Przyjmij, że balon ma kształt kulisty.

130
00:05:04,841 --> 00:05:07,253
O co jesteśmy proszeni w tym zadaniu?

131
00:05:08,023 --> 00:05:10,252
Musimy obliczyć ile metrów sześciennych

132
00:05:10,252 --> 00:05:12,113
powietrza zmieści się w balonie.

133
00:05:12,113 --> 00:05:13,769
Co wiemy o tym balonie?

134
00:05:14,659 --> 00:05:16,001
Wiemy ile materiału

135
00:05:16,031 --> 00:05:17,817
zużyto na jego uszycie.

136
00:05:18,263 --> 00:05:19,391
No dobrze.

137
00:05:19,513 --> 00:05:21,203
Jak wyznaczyć ilość powietrza

138
00:05:21,203 --> 00:05:22,313
w takim balonie?

139
00:05:22,313 --> 00:05:23,165
Inaczej mówiąc

140
00:05:23,165 --> 00:05:25,325
liczymy objętość tego powietrza.

141
00:05:25,451 --> 00:05:27,243
A czemu będzie ona równa?

142
00:05:27,891 --> 00:05:30,681
Objętość powietrza wypełniającego balon

143
00:05:30,727 --> 00:05:33,031
będzie równa objętości tego balonu.

144
00:05:33,533 --> 00:05:35,674
Czyli szukamy wzoru na objętość kuli.

145
00:05:35,674 --> 00:05:38,225
Pamiętasz jaki był wzór na objętość kuli?

146
00:05:38,989 --> 00:05:41,293
To 4/3pi R sześcian.

147
00:05:41,765 --> 00:05:42,968
Czego potrzebujemy

148
00:05:42,968 --> 00:05:44,489
aby wyznaczyć tę objętość?

149
00:05:45,103 --> 00:05:46,383
Promienia balonu.

150
00:05:47,487 --> 00:05:48,711
Czy go znamy?

151
00:05:48,787 --> 00:05:49,691
Jeszcze nie.

152
00:05:49,831 --> 00:05:51,487
Jak możemy go obliczyć?

153
00:05:51,859 --> 00:05:54,503
Zwróć uwagę na informacje jakie mamy.

154
00:05:54,755 --> 00:05:56,279
Wiemy ile materiału zużyto

155
00:05:56,279 --> 00:05:57,641
na uszycie tego balonu.

156
00:05:57,727 --> 00:05:59,109
Na uszycie tego balonu

157
00:05:59,109 --> 00:06:00,377
zużyto tyle materiału

158
00:06:00,377 --> 00:06:02,261
ile wynosi jego pole powierzchni

159
00:06:02,261 --> 00:06:03,901
czyli pole powierzchni kuli.

160
00:06:03,987 --> 00:06:05,049
A pamiętasz wzór

161
00:06:05,049 --> 00:06:06,525
na pole powierzchni kuli?

162
00:06:06,707 --> 00:06:08,499
To 4pi R kwadrat.

163
00:06:09,197 --> 00:06:10,813
Zauważ, że te dwa wzory

164
00:06:10,863 --> 00:06:12,831
są bardzo podobne do siebie.

165
00:06:12,847 --> 00:06:13,748
Musisz uważać

166
00:06:13,778 --> 00:06:15,471
aby ich ze sobą nie pomylić.

167
00:06:15,471 --> 00:06:16,249
Dobrze.

168
00:06:16,315 --> 00:06:18,363
Czy możemy wyznaczyć z tego R?

169
00:06:19,387 --> 00:06:21,521
Tak, znamy pole powierzchni kuli.

170
00:06:21,601 --> 00:06:23,865
Podstawmy tę wartość do tego wzoru.

171
00:06:23,885 --> 00:06:25,291
Po podstawieniu otrzymujemy

172
00:06:25,291 --> 00:06:29,279
że 324 razy pi metrów kwadratowych

173
00:06:29,349 --> 00:06:31,253
to 4pi R kwadrat.

174
00:06:31,941 --> 00:06:34,505
Spróbuj teraz samodzielnie wyznaczyć R.

175
00:06:34,505 --> 00:06:36,192
Następnie włącz film ponownie

176
00:06:36,192 --> 00:06:38,473
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

177
00:06:41,157 --> 00:06:43,003
Zauważam, że pi po obu stronach

178
00:06:43,003 --> 00:06:45,173
tego równania da się skrócić.

179
00:06:46,101 --> 00:06:50,197
Czyli 324 metry kwadratowe to 4R kwadrat.

180
00:06:50,423 --> 00:06:52,494
Dzielę teraz obustronnie przez 4

181
00:06:52,504 --> 00:06:54,383
aby otrzymać samo R kwadrat.

182
00:06:54,403 --> 00:06:57,407
324 podzielić na 4, to 81

183
00:06:57,483 --> 00:06:59,199
W takim razie R kwadrat

184
00:06:59,199 --> 00:07:01,397
to 81 metrów kwadratowych

185
00:07:01,397 --> 00:07:03,507
czyli R wynosi 9 metrów.

186
00:07:03,695 --> 00:07:06,162
Świetnie, znamy już promień tego balonu.

187
00:07:06,202 --> 00:07:07,773
Czy możemy wyznaczyć już

188
00:07:07,773 --> 00:07:09,095
objętość powietrza?

189
00:07:09,623 --> 00:07:10,741
Pewnie, że tak.

190
00:07:10,863 --> 00:07:12,909
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

191
00:07:15,411 --> 00:07:18,228
Podstawię do tego wzoru w miejsce R

192
00:07:18,258 --> 00:07:19,924
wyznaczoną wartość promienia

193
00:07:19,944 --> 00:07:21,125
czyli 9 metrów.

194
00:07:21,155 --> 00:07:22,517
9 metrów do sześcianu

195
00:07:22,547 --> 00:07:25,206
to 729 metrów sześciennych.

196
00:07:25,246 --> 00:07:27,317
Możemy tę liczbę podzielić przez 3

197
00:07:27,317 --> 00:07:29,699
i otrzymujemy, że objętość powietrza, to

198
00:07:29,699 --> 00:07:32,689
4pi razy 243 metry sześcienne.

199
00:07:32,849 --> 00:07:34,364
Co w rezultacie daje

200
00:07:34,364 --> 00:07:38,275
972 razy pi metrów sześciennych.

201
00:07:38,631 --> 00:07:41,191
Tyle powietrza mieści się w tym balonie.

202
00:07:46,663 --> 00:07:48,519
A teraz jeszcze jedno zadanie.

203
00:07:48,595 --> 00:07:51,056
Jak sądzisz, ile materiału jest potrzebne

204
00:07:51,086 --> 00:07:54,397
aby uszyć piłkę o objętości 500/3 razy pi

205
00:07:54,417 --> 00:07:56,369
centymetrów sześciennych?

206
00:07:57,189 --> 00:07:58,571
Jak widzisz, to zadanie

207
00:07:58,571 --> 00:08:00,696
jest bardzo podobne do poprzedniego.

208
00:08:00,696 --> 00:08:02,386
Idziemy tylko w drugą stronę.

209
00:08:02,386 --> 00:08:03,771
Czego szukamy?

210
00:08:03,771 --> 00:08:04,864
Musimy wiedzieć

211
00:08:04,864 --> 00:08:06,398
ile materiału potrzebujemy

212
00:08:06,398 --> 00:08:07,403
do uszycia piłki.

213
00:08:07,499 --> 00:08:09,035
A co wiemy o tej piłce?

214
00:08:09,773 --> 00:08:11,309
Znamy jej objętość.

215
00:08:12,047 --> 00:08:14,625
Jak wyznaczyć potrzebną ilość materiału?

216
00:08:14,893 --> 00:08:17,437
Musimy wyliczyć pole powierzchni tej kuli.

217
00:08:17,759 --> 00:08:19,551
Nie znamy jednak promienia.

218
00:08:19,797 --> 00:08:21,333
Ale znamy objętość.

219
00:08:21,845 --> 00:08:24,171
Tak, jak mówiliśmy w poprzednim zadaniu

220
00:08:24,171 --> 00:08:26,323
z objętości możemy wyznaczyć promień.

221
00:08:26,739 --> 00:08:29,211
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

222
00:08:32,587 --> 00:08:34,024
Podstawiam do tego wzoru

223
00:08:34,024 --> 00:08:35,878
odpowiednie wartości liczbowe.

224
00:08:35,878 --> 00:08:37,552
Po obu stronach tego równania

225
00:08:37,552 --> 00:08:38,531
występuje pi.

226
00:08:38,531 --> 00:08:39,775
Mogę je więc skrócić.

227
00:08:40,287 --> 00:08:43,084
Teraz, aby otrzymać samo R do trzeciej

228
00:08:43,124 --> 00:08:46,215
mogę podzielić obustronnie przez 4/3.

229
00:08:46,893 --> 00:08:48,845
Dzielenie przez ułamek to to samo

230
00:08:48,845 --> 00:08:50,523
co mnożenie przez odwrotność

231
00:08:50,523 --> 00:08:53,851
czyli R do trzeciej to 500/3 razy 3/4.

232
00:08:54,473 --> 00:08:56,299
Tutaj skrócą nam się trójki.

233
00:08:56,375 --> 00:08:59,191
A 500 przez 4 to 125.

234
00:08:59,939 --> 00:09:00,755
R do trzeciej

235
00:09:00,755 --> 00:09:03,243
to 125 centymetrów sześciennych

236
00:09:03,243 --> 00:09:04,287
czyli R to 5.

237
00:09:04,833 --> 00:09:07,649
Nasza piłka ma promień 5 centymetrów.

238
00:09:08,447 --> 00:09:09,983
Teraz samodzielnie wyznacz

239
00:09:09,983 --> 00:09:11,417
pole powierzchni kuli.

240
00:09:15,013 --> 00:09:17,310
Pod R podstawiamy 5 centymetrów.

241
00:09:17,350 --> 00:09:20,168
Obliczamy i ostatecznie otrzymujemy

242
00:09:20,168 --> 00:09:21,870
że ta kula ma powierzchnię

243
00:09:21,880 --> 00:09:24,233
100 razy pi centymetrów kwadratowych.

244
00:09:24,309 --> 00:09:26,404
Czyli tyle materiału musimy kupić.

245
00:09:26,414 --> 00:09:28,073
No dobrze, ale jak sądzisz

246
00:09:28,079 --> 00:09:30,280
co się stanie, gdy pójdziemy do sklepu

247
00:09:30,280 --> 00:09:31,812
i poprosimy o materiał

248
00:09:31,812 --> 00:09:33,475
o powierzchni 100pi?

249
00:09:34,027 --> 00:09:36,721
Musimy jakoś zaokrąglić ten nasz wynik.

250
00:09:36,853 --> 00:09:39,595
Załóżmy, że pi wynosi 22/7.

251
00:09:40,141 --> 00:09:42,171
W miejsce pi do naszego wyniku

252
00:09:42,221 --> 00:09:44,378
podstawiam wartość 22/7.

253
00:09:44,418 --> 00:09:45,813
Spróbuj teraz policzyć

254
00:09:45,813 --> 00:09:48,021
przybliżone pole powierzchni tej kuli.

255
00:09:51,887 --> 00:09:54,959
100 razy 22 to 2200

256
00:09:55,747 --> 00:09:57,467
Pole powierzchni tej kuli

257
00:09:57,467 --> 00:10:00,305
to 2200 przez 7 centymetrów kwadratowych.

258
00:10:00,325 --> 00:10:02,481
Otrzymuję, że pole tej powierzchni

259
00:10:02,501 --> 00:10:05,234
to w przybliżeniu 314,3

260
00:10:05,274 --> 00:10:06,905
centymetra kwadratowego.

261
00:10:07,021 --> 00:10:08,554
W rzeczywistości jednak

262
00:10:08,554 --> 00:10:09,956
żeby uszyć taką piłkę

263
00:10:09,956 --> 00:10:11,891
potrzebujemy więcej materiału

264
00:10:11,901 --> 00:10:13,135
choćby na szwy

265
00:10:13,431 --> 00:10:15,047
a przy wykrawaniu elementów

266
00:10:15,047 --> 00:10:16,822
też zawsze pojawią się ścinki.

267
00:10:16,822 --> 00:10:18,565
Pamiętaj o tym w przyszłości.

268
00:10:18,565 --> 00:10:21,015
Rzeczy na styk rzadko kiedy się udają.

269
00:10:26,603 --> 00:10:29,383
Pole powierzchni kuli o promieniu R

270
00:10:29,559 --> 00:10:32,375
to 4pi razy R do kwadratu.

271
00:10:33,213 --> 00:10:35,261
Powierzchnią kuli jest sfera.

272
00:10:35,909 --> 00:10:38,819
Inaczej mówiąc sfera to kula

273
00:10:38,859 --> 00:10:40,255
pusta w środku.

274
00:10:43,905 --> 00:10:45,919
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

275
00:10:45,939 --> 00:10:47,765
z playlisty o kulach.

276
00:10:48,237 --> 00:10:49,754
Zachęcam Cię do zobaczenia

277
00:10:49,754 --> 00:10:51,513
innych filmów z tej playlisty

278
00:10:51,513 --> 00:10:54,310
a także do zasubskrybowania naszego kanału

279
00:10:54,350 --> 00:10:57,797
na YouTube PistacjaMatematyka.