1
00:00:00,146 --> 00:00:02,123
Kule szczególnie upodobały sobie

2
00:00:02,133 --> 00:00:03,364
świat sportu.

3
00:00:03,846 --> 00:00:06,150
Przecież każda piłka jest kulą.

4
00:00:06,672 --> 00:00:09,744
A ile sportów, tyle różnorodnych piłek.

5
00:00:10,256 --> 00:00:12,829
Koszykówka, siatkówka, piłka nożna

6
00:00:12,859 --> 00:00:14,996
piłka ręczna, krykiet, baseball

7
00:00:15,036 --> 00:00:18,066
tenis, golf i wiele, wiele innych.

8
00:00:31,148 --> 00:00:33,516
Pozostańmy w tematyce sportowej.

9
00:00:34,134 --> 00:00:35,258
Zgodnie z wymogami

10
00:00:35,258 --> 00:00:36,569
piłka do piłki nożnej

11
00:00:36,589 --> 00:00:37,988
musi mieć obwód nie większy

12
00:00:37,988 --> 00:00:39,867
niż 70 centymetrów

13
00:00:39,867 --> 00:00:43,396
i nie mniejszy niż 68 centymetrów.

14
00:00:44,048 --> 00:00:45,557
Oblicz długości promieni

15
00:00:45,557 --> 00:00:47,399
największej i najmniejszej

16
00:00:47,399 --> 00:00:48,604
dozwolonej piłki.

17
00:00:49,228 --> 00:00:53,068
Przyjmij, że wartość pi to 22/7.

18
00:00:53,686 --> 00:00:55,952
O czym jest mowa w naszym zadaniu?

19
00:00:56,682 --> 00:00:58,280
Musimy wyznaczyć promień

20
00:00:58,280 --> 00:00:59,916
największej i najmniejszej

21
00:00:59,916 --> 00:01:01,992
dozwolonej piłki do piłki nożnej.

22
00:01:02,048 --> 00:01:04,289
Jak możemy odczytać z treści zadania

23
00:01:04,319 --> 00:01:06,359
taka piłka musi mieć obwód

24
00:01:06,359 --> 00:01:08,940
nie większy niż 70 centymetrów.

25
00:01:09,994 --> 00:01:12,395
To oznacza, że obwód największej

26
00:01:12,435 --> 00:01:15,638
dozwolonej piłki wynosi 70 centymetrów.

27
00:01:15,658 --> 00:01:16,598
Oto ta piłka.

28
00:01:16,654 --> 00:01:18,002
Zaznaczyłem jej obwód

29
00:01:18,002 --> 00:01:20,442
wraz z odpowiednią wartością liczbową.

30
00:01:20,442 --> 00:01:22,998
A jaka jest najmniejsza dozwolona piłka?

31
00:01:23,306 --> 00:01:27,658
Ma obwód nie mniejszy niż 68 centymetrów.

32
00:01:28,346 --> 00:01:29,897
W takim razie najmniejsza

33
00:01:29,897 --> 00:01:31,633
dozwolona piłka ma w obwodzie

34
00:01:31,633 --> 00:01:33,440
68 centymetrów.

35
00:01:34,354 --> 00:01:35,422
Oto ona.

36
00:01:35,564 --> 00:01:38,636
Zaznaczyłem obwód oraz wartość liczbową.

37
00:01:39,690 --> 00:01:41,204
Co musimy znaleźć?

38
00:01:41,412 --> 00:01:43,094
Musimy wyznaczyć promienie

39
00:01:43,114 --> 00:01:44,654
tych dwóch piłek.

40
00:01:45,232 --> 00:01:47,560
Jak myślisz, w jaki sposób to zrobić?

41
00:01:47,636 --> 00:01:49,428
Czym jest obwód piłki?

42
00:01:50,608 --> 00:01:52,149
To oczywiście okrąg.

43
00:01:52,229 --> 00:01:54,641
Znamy w takim razie długości obwodów

44
00:01:54,671 --> 00:01:56,082
tych zielonych okręgów.

45
00:01:56,112 --> 00:01:58,692
Co możemy powiedzieć o ich promieniach?

46
00:01:59,136 --> 00:02:00,416
Będą one równe

47
00:02:00,472 --> 00:02:02,664
promieniowi odpowiedniej kuli.

48
00:02:03,222 --> 00:02:05,050
Czyli jeżeli znajdziemy promień

49
00:02:05,050 --> 00:02:06,364
tego zielonego okręgu

50
00:02:06,364 --> 00:02:08,142
i tego zielonego okręgu

51
00:02:08,212 --> 00:02:10,357
to znajdziemy odpowiednio promienie

52
00:02:10,357 --> 00:02:13,051
większej oraz mniejszej piłki.

53
00:02:13,111 --> 00:02:15,158
Czy jesteśmy w stanie to zrobić?

54
00:02:15,510 --> 00:02:16,784
Oczywiście, że tak.

55
00:02:16,860 --> 00:02:18,804
Wykorzystamy dobrze Ci znany wzór

56
00:02:18,804 --> 00:02:19,972
na obwód koła.

57
00:02:20,088 --> 00:02:22,648
Zajmijmy się najpierw tą pierwszą piłką.

58
00:02:24,204 --> 00:02:27,532
W miejsce pi podstawiam 22/7.

59
00:02:29,580 --> 00:02:32,194
W miejsce obwodu koła 70 centymetrów

60
00:02:32,234 --> 00:02:33,886
zgodnie z treścią zadania.

61
00:02:34,118 --> 00:02:36,536
Promień tej piłki oznaczyłem jako R1.

62
00:02:36,586 --> 00:02:39,006
Zatrzymaj teraz film i spróbuj wyznaczyć

63
00:02:39,036 --> 00:02:40,332
R1 samodzielnie.

64
00:02:40,844 --> 00:02:42,739
Następnie włącz film ponownie

65
00:02:42,739 --> 00:02:44,848
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

66
00:02:47,676 --> 00:02:50,435
2 razy 22 to 44

67
00:02:50,465 --> 00:02:54,010
44/7R1 to 70 centymetrów.

68
00:02:54,136 --> 00:02:56,774
Dzielę obustronnie przez 44/7.

69
00:02:56,824 --> 00:02:58,742
Dzielenie, to to samo co mnożenie

70
00:02:58,742 --> 00:03:01,190
przez odwrotność, czyli R1

71
00:03:01,190 --> 00:03:04,309
to 70 razy 7/44 centymetra.

72
00:03:04,369 --> 00:03:05,594
Upraszam i otrzymuję

73
00:03:05,594 --> 00:03:09,941
że R1 to 35 razy 7/22 centymetra.

74
00:03:09,987 --> 00:03:10,941
Tutaj niestety

75
00:03:10,941 --> 00:03:12,590
nic już nie możemy uprościć.

76
00:03:12,590 --> 00:03:17,932
Czyli R1 to 35 razy 7, czyli 245/22.

77
00:03:18,102 --> 00:03:19,799
Jeżeli zapiszemy ten ułamek

78
00:03:19,799 --> 00:03:21,389
w postaci liczby mieszanej

79
00:03:21,389 --> 00:03:22,704
otrzymamy, że promień

80
00:03:22,704 --> 00:03:23,969
tej największej piłki

81
00:03:23,969 --> 00:03:27,166
to 11 i 3/22 centymetra.

82
00:03:27,752 --> 00:03:29,348
Chyba już wiesz o co biega.

83
00:03:29,348 --> 00:03:31,503
Jestem przekonany, że jesteś w stanie

84
00:03:31,503 --> 00:03:33,342
samodzielnie wyznaczyć promień

85
00:03:33,342 --> 00:03:34,744
tej najmniejszej piłki.

86
00:03:34,790 --> 00:03:37,468
Potem porównaj swoją odpowiedź z moją.

87
00:03:39,810 --> 00:03:42,882
Promień mniejszej piłki oznaczyłem jako R2

88
00:03:42,972 --> 00:03:44,272
do wzoru na obwód koła

89
00:03:44,342 --> 00:03:46,514
podstawiłem wartości liczbowe.

90
00:03:46,560 --> 00:03:48,888
22/7 jako przybliżenie pi

91
00:03:48,928 --> 00:03:51,876
i 68 centymetrów jako wartość obwodu.

92
00:03:51,932 --> 00:03:55,271
Obliczam i dzielę obustronnie przez 44/7.

93
00:03:55,297 --> 00:03:56,501
Dzielenie to to samo

94
00:03:56,501 --> 00:03:58,282
co mnożenie przez odwrotność.

95
00:03:58,282 --> 00:04:00,762
68 i 44 mogę podzielić przez 2.

96
00:04:01,484 --> 00:04:05,055
Otrzymuję, że R2 to 34 razy 7/22.

97
00:04:05,085 --> 00:04:08,138
34 i 22 również dzielą się przez 2

98
00:04:08,174 --> 00:04:10,734
więc dalej redukuję ten ułamek.

99
00:04:10,856 --> 00:04:14,981
Ostatecznie otrzymuję, że R2, to 119/11

100
00:04:15,027 --> 00:04:17,086
a po zamianie na liczbę mieszaną

101
00:04:17,116 --> 00:04:20,013
to 10 i 9/11 centymetra.

102
00:04:20,133 --> 00:04:21,879
Jak widzisz nasze wyniki

103
00:04:21,879 --> 00:04:24,403
nie są zbyt urocze, ale daliśmy radę.

104
00:04:25,447 --> 00:04:27,519
Zauważ, jak niewielka jest różnica

105
00:04:27,529 --> 00:04:29,297
między promieniem największej

106
00:04:29,297 --> 00:04:30,833
a najmniejszej piłki.

107
00:04:36,063 --> 00:04:37,599
A teraz takie zadanie.

108
00:04:38,337 --> 00:04:39,634
Dwie kule ołowiane

109
00:04:39,634 --> 00:04:41,605
jedną o promieniu 3 centymetrów

110
00:04:41,605 --> 00:04:44,039
a drugą o promieniu 6 centymetrów

111
00:04:44,039 --> 00:04:46,935
przetopiono i utworzono trzecią kulę.

112
00:04:47,367 --> 00:04:49,415
Oblicz objętość otrzymanej kuli.

113
00:04:50,299 --> 00:04:51,937
Jak widzisz, w tym zadaniu

114
00:04:51,937 --> 00:04:53,721
jesteśmy proszeni o wyznaczenie

115
00:04:53,721 --> 00:04:55,281
objętości pewnej kuli.

116
00:04:55,459 --> 00:04:56,953
Co o niej wiadomo?

117
00:04:59,073 --> 00:05:00,651
Powstała ona z przetopienia

118
00:05:00,661 --> 00:05:02,189
dwóch innych kul.

119
00:05:02,647 --> 00:05:03,415
Jakich?

120
00:05:05,227 --> 00:05:07,787
Jedna ma promień 3 centymetry

121
00:05:07,863 --> 00:05:10,463
a druga promień 6 centymetrów.

122
00:05:10,533 --> 00:05:11,672
Narysujmy te kule.

123
00:05:11,672 --> 00:05:13,640
Co możemy w takim razie powiedzieć

124
00:05:13,640 --> 00:05:15,327
o objętości trzeciej kuli?

125
00:05:16,953 --> 00:05:18,900
Skoro powstała ona z przetopienia

126
00:05:18,900 --> 00:05:21,581
tych dwóch kul to jej objętość

127
00:05:21,647 --> 00:05:25,231
będzie sumą objętości tych dwóch kul.

128
00:05:25,657 --> 00:05:27,223
Czyli, musimy wyznaczyć

129
00:05:27,223 --> 00:05:28,982
objętość pierwszej kuli

130
00:05:28,982 --> 00:05:30,817
i objętość drugiej kuli.

131
00:05:31,841 --> 00:05:32,865
Jak to zrobić?

132
00:05:32,991 --> 00:05:34,907
Pamiętasz odpowiedni wzór?

133
00:05:35,661 --> 00:05:38,373
Objętość kuli to 4/3 razy pi

134
00:05:38,399 --> 00:05:40,603
razy promień tej kuli do sześcianu.

135
00:05:40,653 --> 00:05:41,878
Zacznijmy od kuli

136
00:05:41,878 --> 00:05:43,810
która ma promień 3 centymetry.

137
00:05:43,860 --> 00:05:47,371
W miejsce R należy podstawić 3 centymetry.

138
00:05:47,763 --> 00:05:49,464
Spróbuj samodzielnie obliczyć

139
00:05:49,464 --> 00:05:50,666
objętość tej kuli.

140
00:05:50,666 --> 00:05:52,747
Ja oznaczyłem ją jako V1.

141
00:05:56,989 --> 00:05:59,087
3 do sześcianu to 27

142
00:05:59,227 --> 00:06:01,667
27 przez 3 to 9

143
00:06:01,697 --> 00:06:04,237
a 9 razy 4 to 36

144
00:06:04,293 --> 00:06:07,109
Objętość pierwszej kuli to 36 razy pi

145
00:06:07,165 --> 00:06:09,221
centymetrów sześciennych.

146
00:06:09,493 --> 00:06:12,309
Świetnie, to teraz objętość drugiej kuli.

147
00:06:12,851 --> 00:06:15,469
Spróbuj ją wyznaczyć samodzielnie.

148
00:06:18,669 --> 00:06:20,324
Objętość tej drugiej kuli

149
00:06:20,364 --> 00:06:22,200
oznaczyłem jako V2.

150
00:06:22,500 --> 00:06:24,626
W miejsce R do tego wzoru

151
00:06:24,646 --> 00:06:26,635
podstawię 6 centymetrów.

152
00:06:27,373 --> 00:06:30,160
6 do potęgi trzeciej to 216

153
00:06:30,340 --> 00:06:33,307
a 216 przez 3, to 72

154
00:06:33,493 --> 00:06:34,745
Ostatecznie otrzymuję

155
00:06:34,745 --> 00:06:37,308
że objętość tej drugiej kuli

156
00:06:37,308 --> 00:06:38,589
to 288 razy pi

157
00:06:38,629 --> 00:06:40,237
centymetrów sześciennych.

158
00:06:40,263 --> 00:06:42,055
Świetnie, czy to już koniec?

159
00:06:43,275 --> 00:06:44,884
No nie, mieliśmy wyznaczyć

160
00:06:44,884 --> 00:06:46,627
objętość tej trzeciej kuli.

161
00:06:47,025 --> 00:06:48,751
Ale to już raczej formalność.

162
00:06:48,831 --> 00:06:50,560
Jak powiedzieliśmy wcześniej

163
00:06:50,560 --> 00:06:51,951
będzie to suma objętości

164
00:06:52,021 --> 00:06:55,423
pierwszej oraz drugiej kuli.

165
00:06:57,315 --> 00:06:58,339
Ile to będzie?

166
00:06:59,579 --> 00:07:02,710
W miejsce V1 podstawiam 36 razy pi

167
00:07:02,740 --> 00:07:04,423
centymetrów sześciennych

168
00:07:04,423 --> 00:07:05,404
a w miejsce V2

169
00:07:05,454 --> 00:07:09,091
288 razy pi centymetrów sześciennych.

170
00:07:09,447 --> 00:07:10,815
Ostatecznie otrzymujemy

171
00:07:10,815 --> 00:07:13,430
że objętość tej trzeciej kuli

172
00:07:13,430 --> 00:07:14,693
to 324 razy pi

173
00:07:14,719 --> 00:07:16,625
centymetrów sześciennych.

174
00:07:16,781 --> 00:07:17,805
Gratulacje.

175
00:07:23,251 --> 00:07:25,555
A na deser iście słodkie zadanie.

176
00:07:26,519 --> 00:07:28,460
W fabryce słodyczy produkowane są

177
00:07:28,460 --> 00:07:30,595
cukierki czekoladowe w kształcie kuli

178
00:07:30,611 --> 00:07:33,235
które mają średnicę dwóch centymetrów.

179
00:07:34,199 --> 00:07:36,759
Cukierki owijane są w ozdobne sreberko.

180
00:07:37,125 --> 00:07:38,657
Pojedynczy arkusz sreberka

181
00:07:38,657 --> 00:07:39,964
ma powierzchnię

182
00:07:39,964 --> 00:07:42,241
880 centymetrów kwadratowych.

183
00:07:43,405 --> 00:07:45,171
Oblicz, ile razy powierzchnia

184
00:07:45,171 --> 00:07:46,967
jednego cukierka jest mniejsza

185
00:07:47,007 --> 00:07:48,536
od powierzchni arkusza.

186
00:07:48,566 --> 00:07:51,863
Przyjmij, że przybliżenie pi to 22/7.

187
00:07:52,365 --> 00:07:54,071
Rzeczywiście słodka sprawa.

188
00:07:54,097 --> 00:07:55,567
Co musimy obliczyć?

189
00:07:55,733 --> 00:07:57,908
Ile razy powierzchnia jednego cukierka

190
00:07:57,908 --> 00:08:00,095
jest mniejsza od powierzchni arkusza.

191
00:08:00,813 --> 00:08:02,443
Jakie to są cukierki?

192
00:08:03,037 --> 00:08:04,327
Mają one kształt kuli

193
00:08:04,327 --> 00:08:06,509
o średnicy dwóch centymetrów.

194
00:08:07,645 --> 00:08:09,398
A co wiemy o tych sreberkach?

195
00:08:09,408 --> 00:08:11,408
Pojedynczy arkusz ma powierzchnię

196
00:08:11,408 --> 00:08:13,679
880 centymetrów kwadratowych.

197
00:08:14,185 --> 00:08:16,418
Jak możemy wyznaczyć pole powierzchni

198
00:08:16,418 --> 00:08:17,693
jednego cukierka?

199
00:08:18,989 --> 00:08:21,037
Ze wzoru na pole powierzchni kuli.

200
00:08:21,083 --> 00:08:23,243
Wiemy, że cukierki mają właśnie

201
00:08:23,253 --> 00:08:24,289
taki kształt.

202
00:08:24,927 --> 00:08:26,467
Pamiętasz ten wzór?

203
00:08:27,859 --> 00:08:29,244
To 4pi R kwadrat.

204
00:08:29,294 --> 00:08:30,861
Aby wyznaczyć ile sreberka

205
00:08:30,861 --> 00:08:32,365
potrzebujemy do owinięcia

206
00:08:32,365 --> 00:08:33,434
jednego cukierka

207
00:08:33,434 --> 00:08:35,467
musimy tylko znać jego promień.

208
00:08:35,659 --> 00:08:36,683
Ile wynosi?

209
00:08:37,175 --> 00:08:39,223
Skoro średnica to 2 centymetry

210
00:08:39,249 --> 00:08:41,809
to promień wynosi 1 centymetr.

211
00:08:42,195 --> 00:08:43,007
Świetnie.

212
00:08:43,133 --> 00:08:44,623
Mamy już wszystko.

213
00:08:44,885 --> 00:08:46,977
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć

214
00:08:46,977 --> 00:08:49,397
jaka jest powierzchnia jednego cukierka.

215
00:08:52,279 --> 00:08:54,839
W miejsce pi podstawiam 22/7

216
00:08:54,855 --> 00:08:56,957
a pod R 1 centymetr.

217
00:08:58,473 --> 00:09:01,289
22 razy 4  to 88

218
00:09:01,671 --> 00:09:04,972
Powierzchnia jednego cukierka to 88/7

219
00:09:05,012 --> 00:09:06,552
centymetra kwadratowego.

220
00:09:06,552 --> 00:09:07,825
Jak teraz sprawdzić

221
00:09:07,825 --> 00:09:09,085
ile razy powierzchnia

222
00:09:09,085 --> 00:09:10,887
jednego cukierka jest mniejsza

223
00:09:10,887 --> 00:09:12,335
od powierzchni arkusza?

224
00:09:12,453 --> 00:09:15,269
Należy podzielić pole powierzchni arkusza

225
00:09:15,345 --> 00:09:17,393
przez pole powierzchni cukierka.

226
00:09:18,421 --> 00:09:19,445
Ile to wynosi?

227
00:09:21,247 --> 00:09:22,748
Pole powierzchni arkusza

228
00:09:22,748 --> 00:09:24,896
to 880 centymetrów kwadratowych

229
00:09:24,896 --> 00:09:28,211
a pole pojedynczego cukierka 88/7

230
00:09:28,261 --> 00:09:30,075
centymetra kwadratowego.

231
00:09:32,697 --> 00:09:35,511
Spróbuj teraz to policzyć samodzielnie.

232
00:09:38,921 --> 00:09:41,225
Centymetry kwadratowe nam się skrócą.

233
00:09:41,261 --> 00:09:43,036
Ponieważ dzielimy przez ułamek

234
00:09:43,036 --> 00:09:44,900
to mianownik tego ułamka

235
00:09:44,900 --> 00:09:46,411
trafi do licznika.

236
00:09:47,113 --> 00:09:49,443
Czyli mamy 880 razy 7

237
00:09:49,443 --> 00:09:50,441
przez 88.

238
00:09:50,477 --> 00:09:53,357
880 przez 88 to 10

239
00:09:53,357 --> 00:09:55,597
a 10 razy 7 to 70.

240
00:09:55,993 --> 00:09:59,296
W takim razie arkusz jest 70 razy większy

241
00:09:59,316 --> 00:10:01,855
od powierzchni pojedynczego cukierka.

242
00:10:01,901 --> 00:10:03,092
Albo inaczej mówiąc

243
00:10:03,092 --> 00:10:04,283
pojedynczy cukierek

244
00:10:04,283 --> 00:10:06,811
jest 70 razy mniejszy od całego arkusza.

245
00:10:07,207 --> 00:10:08,977
Czy to znaczy, że w ten arkusz

246
00:10:08,977 --> 00:10:10,765
możemy zawinąć 70 cukierków?

247
00:10:11,649 --> 00:10:12,673
Niestety nie.

248
00:10:12,809 --> 00:10:15,213
Nie możemy obwinąć kuli bez naddatku.

249
00:10:15,339 --> 00:10:17,869
Zawsze musimy zużyć trochę więcej arkusza.

250
00:10:17,869 --> 00:10:19,769
W takim razie jeden taki arkusz

251
00:10:19,769 --> 00:10:22,083
wystarcza na mniej niż 70 cukierków.

252
00:10:28,319 --> 00:10:30,349
Oto podstawowe wzory dotyczące kuli

253
00:10:30,349 --> 00:10:32,033
które powinieneś znać.

254
00:10:32,325 --> 00:10:35,818
Objętość kuli to 4/3pi razy promień

255
00:10:35,848 --> 00:10:37,609
tej kuli do sześcianu.

256
00:10:37,977 --> 00:10:39,423
Pole powierzchni kuli

257
00:10:39,463 --> 00:10:42,445
to 4pi razy promień do kwadratu.

258
00:10:43,187 --> 00:10:45,491
Przekrojem osiowym kuli jest koło.

259
00:10:46,229 --> 00:10:47,845
Promień tego przekroju

260
00:10:47,845 --> 00:10:49,893
jest taki sam, jak promień kuli.

261
00:10:53,553 --> 00:10:56,413
Zobaczyłeś właśnie kolejny film o kulach.

262
00:10:56,745 --> 00:10:58,256
Zachęcam Cię do zobaczenia

263
00:10:58,256 --> 00:11:00,036
innych filmów z tej playlisty

264
00:11:00,036 --> 00:11:01,763
a także do odwiedzenia naszej

265
00:11:01,763 --> 00:11:04,645
strony internetowej pi-stacja.tv