1
00:00:00,536 --> 00:00:02,043
Wzór na objętość kuli

2
00:00:02,043 --> 00:00:03,313
i jej pole powierzchni

3
00:00:03,313 --> 00:00:04,724
jako pierwszy wyznaczył

4
00:00:04,724 --> 00:00:07,355
słynny grecki matematyk i wynalazca

5
00:00:07,355 --> 00:00:08,738
Archimedes.

6
00:00:08,854 --> 00:00:10,951
Według legendy był on tak dumny

7
00:00:10,951 --> 00:00:12,031
z tego odkrycia

8
00:00:12,031 --> 00:00:14,048
że nakazał na swoim nagrobku

9
00:00:14,048 --> 00:00:18,044
wyryć walec, stożek oraz właśnie kulę.

10
00:00:31,482 --> 00:00:33,115
Poznaliśmy do tej pory trzy

11
00:00:33,115 --> 00:00:35,405
najważniejsze bryły obrotowe:

12
00:00:35,405 --> 00:00:36,368
walec

13
00:00:37,608 --> 00:00:38,489
stożek

14
00:00:39,339 --> 00:00:40,302
oraz kulę.

15
00:00:40,488 --> 00:00:41,689
W dzisiejszym filmie

16
00:00:41,689 --> 00:00:43,066
postaramy się podsumować

17
00:00:43,066 --> 00:00:45,031
wszystkie najważniejsze informacje

18
00:00:45,031 --> 00:00:46,192
i zebrać je w jedno.

19
00:00:46,192 --> 00:00:48,173
Jakie charakterystyczne wielkości

20
00:00:48,173 --> 00:00:49,540
obliczaliśmy dla brył?

21
00:00:49,540 --> 00:00:50,996
Nie tylko obrotowych?

22
00:00:51,200 --> 00:00:53,866
Podstawową wielkością jest objętość brył.

23
00:00:53,866 --> 00:00:55,742
Czy pamiętasz wzory na objętości

24
00:00:55,742 --> 00:00:57,884
tych poszczególnych brył obrotowych?

25
00:00:58,708 --> 00:01:00,244
Zacznijmy od walca.

26
00:01:01,354 --> 00:01:04,165
Objętość walca to pole podstawy

27
00:01:04,165 --> 00:01:05,628
razy wysokość

28
00:01:05,628 --> 00:01:08,553
czyli pi r kwadrat razy h.

29
00:01:08,683 --> 00:01:11,773
Objętość stożka to również pole podstawy

30
00:01:11,773 --> 00:01:14,936
razy wysokość, ale jeszcze razy 1/3

31
00:01:14,936 --> 00:01:18,606
czyli 1/3 razy pi r kwadrat razy h.

32
00:01:18,766 --> 00:01:20,648
Natomiast wzór na objętość kuli

33
00:01:20,648 --> 00:01:23,488
to 4/3pi r do sześcianu.

34
00:01:24,224 --> 00:01:25,964
Przećwiczmy teraz obliczanie

35
00:01:25,964 --> 00:01:26,927
tych objętości.

36
00:01:26,927 --> 00:01:29,221
Wprowadźmy następujące dane liczbowe.

37
00:01:29,221 --> 00:01:31,642
Niech wysokość tego walca ma długość 6

38
00:01:31,642 --> 00:01:33,300
a promień długość 3.

39
00:01:33,300 --> 00:01:35,768
Niech podobne wymiary ma nasz stożek.

40
00:01:35,904 --> 00:01:38,304
A niech kula ma promień równy 3.

41
00:01:38,730 --> 00:01:41,034
Wyznaczmy wspólnie objętość walca.

42
00:01:41,862 --> 00:01:43,647
Co należy podstawić w miejsce r

43
00:01:43,647 --> 00:01:44,960
a co w miejsce h?

44
00:01:46,124 --> 00:01:48,755
W miejsce r podstawiamy trójkę

45
00:01:48,755 --> 00:01:51,698
natomiast w miejsce h podstawiamy szóstkę

46
00:01:51,698 --> 00:01:54,030
czyli objętość walca to pi razy 3

47
00:01:54,030 --> 00:01:55,440
do kwadratu razy 6.

48
00:01:55,440 --> 00:01:59,606
3 do kwadratu to 9, a 9 razy 6 to 54.

49
00:02:00,064 --> 00:02:02,296
Objętość walca to 54pi.

50
00:02:02,616 --> 00:02:04,370
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

51
00:02:04,370 --> 00:02:06,224
samodzielnie wyznaczyć objętość

52
00:02:06,224 --> 00:02:08,512
tego stożka oraz objętość tej kuli.

53
00:02:08,858 --> 00:02:11,245
Następnie włącz film ponownie i porównaj

54
00:02:11,245 --> 00:02:13,048
swoją odpowiedź z moją.

55
00:02:17,728 --> 00:02:20,288
W miejsce r podstawiamy trójkę

56
00:02:21,056 --> 00:02:23,616
a w miejsce h, szóstkę.

57
00:02:24,880 --> 00:02:26,303
3 do kwadratu to 9

58
00:02:26,553 --> 00:02:28,260
Tutaj skracają nam się trójki

59
00:02:28,260 --> 00:02:29,383
zostaje nam 3

60
00:02:29,383 --> 00:02:31,424
i objętość walca to pi razy 18.

61
00:02:31,504 --> 00:02:33,568
Natomiast do wzoru na objętość kuli

62
00:02:33,568 --> 00:02:35,978
podstawiamy 3 w miejsce r.

63
00:02:36,672 --> 00:02:38,929
Czyli 4/3pi razy 27

64
00:02:38,929 --> 00:02:40,446
trójki się skracają

65
00:02:40,446 --> 00:02:42,187
czyli mamy 4 pi razy 9

66
00:02:42,187 --> 00:02:44,582
i ostatecznie pi razy 36.

67
00:02:45,330 --> 00:02:47,119
Świetnie, to zastanów się teraz

68
00:02:47,119 --> 00:02:49,416
która z tych brył ma największą objętość

69
00:02:49,416 --> 00:02:51,162
a która najmniejszą.

70
00:02:53,296 --> 00:02:56,896
Największą objętość ma walec, 54pi.

71
00:02:58,366 --> 00:03:01,448
Najmniejszą stożek, 18pi.

72
00:03:02,402 --> 00:03:03,529
Wystarczy porównać

73
00:03:03,529 --> 00:03:06,112
jaka liczba stoi przy pi.

74
00:03:13,792 --> 00:03:15,565
Szybko, przyjęcie już niedługo

75
00:03:15,565 --> 00:03:16,658
a my nadal nie mamy

76
00:03:16,658 --> 00:03:18,308
zapakowanych prezentów.

77
00:03:18,580 --> 00:03:19,836
Na imprezę urodzinową

78
00:03:19,836 --> 00:03:21,472
zanosimy 3 podarunki.

79
00:03:22,450 --> 00:03:24,800
Pudełko cukierków w kształcie walca

80
00:03:25,472 --> 00:03:28,384
świeczkę zapachowa w kształcie stożka

81
00:03:28,996 --> 00:03:31,486
i piłkę, oczywiście w kształcie kuli.

82
00:03:31,706 --> 00:03:33,665
Jak myślisz, ile papieru potrzeba

83
00:03:33,665 --> 00:03:35,950
aby zapakować każdy z tych prezentów?

84
00:03:36,832 --> 00:03:38,936
Oczywiście prezenty zawsze pakujemy

85
00:03:38,936 --> 00:03:40,460
z pewnym zapasem.

86
00:03:40,596 --> 00:03:42,652
Ale, aby wyznaczyć dokładną ilość

87
00:03:42,652 --> 00:03:43,793
potrzebnego papieru

88
00:03:43,793 --> 00:03:45,124
należy policzyć pole

89
00:03:45,124 --> 00:03:47,110
powierzchni całkowitej tych brył.

90
00:03:47,110 --> 00:03:48,602
Zacznijmy od walca.

91
00:03:50,144 --> 00:03:52,280
Na pole powierzchni całkowitej walca

92
00:03:52,280 --> 00:03:55,264
składa się pole powierzchni bocznej

93
00:03:56,488 --> 00:03:58,024
oraz pole podstaw.

94
00:03:59,972 --> 00:04:01,456
Powierzchnia boczna walca

95
00:04:01,456 --> 00:04:02,792
jest prostokątem.

96
00:04:03,094 --> 00:04:05,998
Wzór na jej pole to 2pi r razy h.

97
00:04:05,998 --> 00:04:07,918
Podstawa walca to oczywiście koło

98
00:04:07,918 --> 00:04:09,820
ponieważ mamy dwie podstawy

99
00:04:09,990 --> 00:04:12,842
to wzór na ich pole to 2pi r kwadrat.

100
00:04:14,122 --> 00:04:16,060
Suma tych dwóch czynników to pole

101
00:04:16,060 --> 00:04:17,407
powierzchni całkowitej.

102
00:04:17,407 --> 00:04:19,314
Pole powierzchni całkowitej walca

103
00:04:19,314 --> 00:04:22,399
to 2pi r h dodać 2pi r kwadrat.

104
00:04:22,655 --> 00:04:24,717
A jak wygląda sprawa ze stożkiem?

105
00:04:24,843 --> 00:04:26,395
Powierzchnia boczna stożka

106
00:04:26,395 --> 00:04:28,035
to wycinek koła.

107
00:04:28,653 --> 00:04:31,615
Wzór na jej pole to pi razy r razy l.

108
00:04:32,101 --> 00:04:34,175
Gdzie l to tworząca stożka.

109
00:04:34,561 --> 00:04:35,921
Czyli ten odcinek.

110
00:04:35,967 --> 00:04:37,759
Podstawą stożka jest koło

111
00:04:38,195 --> 00:04:40,217
więc pole możemy wyznaczyć ze wzoru

112
00:04:40,217 --> 00:04:41,454
pi r kwadrat.

113
00:04:41,454 --> 00:04:42,580
W takim razie pole

114
00:04:42,580 --> 00:04:44,506
powierzchni całkowitej stożka

115
00:04:44,506 --> 00:04:45,906
to pi razy r razy l

116
00:04:45,926 --> 00:04:47,510
dodać pi r kwadrat.

117
00:04:47,550 --> 00:04:49,263
A co w przypadku kuli?

118
00:04:50,303 --> 00:04:52,610
Kula nie ma ani pola powierzchni bocznej

119
00:04:52,610 --> 00:04:53,831
ani pola podstaw.

120
00:04:53,887 --> 00:04:56,103
Jest po prostu pole powierzchni kuli.

121
00:04:56,103 --> 00:04:58,755
Jest ono dane wzorem 4pi r kwadrat.

122
00:04:59,493 --> 00:05:01,286
Zmierzyliśmy kluczowe wymiary

123
00:05:01,286 --> 00:05:02,931
każdego z tych prezentów.

124
00:05:03,359 --> 00:05:05,161
Znamy wysokość oraz promień

125
00:05:05,161 --> 00:05:06,687
pudełka z cukierkami.

126
00:05:07,655 --> 00:05:10,456
Długość tworzącej oraz długość promienia

127
00:05:10,456 --> 00:05:12,117
świeczki zapachowej.

128
00:05:12,369 --> 00:05:13,989
Oraz promień piłki.

129
00:05:14,367 --> 00:05:16,287
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

130
00:05:16,287 --> 00:05:18,571
samodzielnie wyznaczyć pole powierzchni

131
00:05:18,571 --> 00:05:20,111
całkowitej tych wszystkich

132
00:05:20,111 --> 00:05:21,609
trzech przedmiotów.

133
00:05:21,941 --> 00:05:24,279
Następnie włącz film ponownie i porównaj

134
00:05:24,279 --> 00:05:26,189
swoją odpowiedź z moją.

135
00:05:29,405 --> 00:05:32,244
Do tego wykorzystamy te wzory na pole

136
00:05:32,244 --> 00:05:33,867
powierzchni całkowitej.

137
00:05:34,079 --> 00:05:35,509
Zaczniemy od walca.

138
00:05:36,101 --> 00:05:38,687
W miejsce r wstawiamy 4

139
00:05:39,283 --> 00:05:41,503
a w miejsce h wstawiamy 10.

140
00:05:43,189 --> 00:05:45,212
4 razy 10 to 40

141
00:05:45,302 --> 00:05:47,841
a 4 do kwadratu to 16.

142
00:05:49,087 --> 00:05:51,487
40 razy 2 to 80

143
00:05:52,179 --> 00:05:54,868
a 2 razy 16 to 32

144
00:05:55,058 --> 00:05:59,177
80pi dodać 32pi to 112pi

145
00:06:00,191 --> 00:06:01,791
Teraz czas na stożek.

146
00:06:01,983 --> 00:06:04,543
W miejsce r podstawiam 5

147
00:06:05,079 --> 00:06:07,719
a w miejsce l, 11.

148
00:06:08,383 --> 00:06:10,623
5 razy 11 to 55

149
00:06:10,623 --> 00:06:12,991
a 5 do kwadratu to 25.

150
00:06:13,693 --> 00:06:15,418
Sumujemy i otrzymujemy

151
00:06:15,418 --> 00:06:17,943
że pole powierzchni całkowitej tego stożka

152
00:06:17,943 --> 00:06:19,476
to pi razy 80.

153
00:06:19,506 --> 00:06:20,855
To jeszcze kula.

154
00:06:21,353 --> 00:06:23,611
W miejsce r podstawiamy 5.

155
00:06:23,771 --> 00:06:25,828
5 do kwadratu to 25

156
00:06:25,828 --> 00:06:27,885
a 25 razy 4 to 100.

157
00:06:28,351 --> 00:06:30,603
Pole powierzchni całkowitej tej piłki

158
00:06:30,603 --> 00:06:31,935
to 100 razy pi.

159
00:06:32,933 --> 00:06:34,364
Świetnie, wyznaczyliśmy

160
00:06:34,364 --> 00:06:36,027
pola powierzchni całkowitych

161
00:06:36,033 --> 00:06:38,113
tych wszystkich trzech prezentów.

162
00:06:38,113 --> 00:06:40,383
Zapakujmy je i ruszajmy w drogę.

163
00:06:46,657 --> 00:06:48,358
A teraz z imprezy urodzinowej

164
00:06:48,358 --> 00:06:49,855
trafiliśmy na dzień sera.

165
00:06:50,783 --> 00:06:52,575
Widzisz tutaj 3 sery.

166
00:06:53,183 --> 00:06:55,356
Jeden w kształcie walca

167
00:06:55,356 --> 00:06:57,007
pochodzący z Holandii.

168
00:06:57,023 --> 00:06:58,978
Drugi w kształcie stożka

169
00:06:58,978 --> 00:07:00,607
pochodzący z Francji.

170
00:07:00,863 --> 00:07:02,500
I trzeci w kształcie kuli

171
00:07:02,500 --> 00:07:04,059
pochodzący z Włoch.

172
00:07:05,471 --> 00:07:07,760
Przekrójmy każdy tych serów na pół.

173
00:07:07,760 --> 00:07:08,743
Co widzimy?

174
00:07:09,259 --> 00:07:10,638
No cóż, możemy zauważyć

175
00:07:10,638 --> 00:07:12,596
jak każdy z nich wygląda w środku.

176
00:07:12,596 --> 00:07:14,623
Tutaj możemy policzyć liczbę dziur.

177
00:07:14,943 --> 00:07:16,450
Ale nie o to nam chodziło.

178
00:07:16,460 --> 00:07:19,151
Jak zauważyłeś, wszystkie te trzy kształty

179
00:07:19,151 --> 00:07:20,747
to figury obrotowe.

180
00:07:21,133 --> 00:07:23,558
Walec, stożek oraz kula.

181
00:07:23,768 --> 00:07:25,415
Po ich przekrojeniu na pół

182
00:07:25,415 --> 00:07:28,337
widzimy tutaj pewne figury geometryczne.

183
00:07:28,741 --> 00:07:30,559
Tutaj jest prostokąt.

184
00:07:31,935 --> 00:07:35,529
Tutaj trójkąt, a tutaj koło.

185
00:07:36,565 --> 00:07:38,695
Pamiętasz jak nazywaliśmy te figury?

186
00:07:39,945 --> 00:07:42,591
To przekroje osiowe brył obrotowych.

187
00:07:43,359 --> 00:07:45,225
Czy możemy policzyć ich pole?

188
00:07:45,663 --> 00:07:46,821
Jasne, że tak.

189
00:07:46,821 --> 00:07:50,175
Boki prostokąta tworzą wysokość walca

190
00:07:50,175 --> 00:07:51,807
oraz jego średnica.

191
00:07:52,589 --> 00:07:55,391
Ten trójkąt jest trójkątem równoramiennym.

192
00:07:55,647 --> 00:07:57,955
Jego podstawa to średnica stożka

193
00:07:57,955 --> 00:08:00,255
ramiona to tworzące.

194
00:08:01,113 --> 00:08:02,971
Natomiast koło będące przekrojem

195
00:08:02,971 --> 00:08:05,887
osiowym kuli ma taki sam promień jak ona.

196
00:08:06,373 --> 00:08:08,226
Czy umiesz podać wzory na pole

197
00:08:08,226 --> 00:08:10,057
tych przekrojów osiowych?

198
00:08:10,379 --> 00:08:11,909
Na przykład walca?

199
00:08:12,663 --> 00:08:14,150
To wzór na pole prostokąta

200
00:08:14,150 --> 00:08:16,975
czyli iloczyn boków, 2r razy h.

201
00:08:18,247 --> 00:08:19,223
A w stożku?

202
00:08:19,223 --> 00:08:20,786
Wzór na pole trójkąta.

203
00:08:20,786 --> 00:08:22,485
1/2 razy podstawa

204
00:08:22,485 --> 00:08:24,684
czyli 2r razy wysokość

205
00:08:24,716 --> 00:08:27,085
będąca też wysokością stożka.

206
00:08:27,135 --> 00:08:29,108
Natomiast pole koła to oczywiście

207
00:08:29,108 --> 00:08:30,557
pi r kwadrat.

208
00:08:31,487 --> 00:08:33,591
I teraz ostatnie zadanie dla Ciebie.

209
00:08:33,681 --> 00:08:35,857
Mając poszczególne dane liczbowe

210
00:08:35,857 --> 00:08:37,841
wyznacz pola przekrojów osiowych

211
00:08:37,887 --> 00:08:39,381
tych trzech serów.

212
00:08:39,471 --> 00:08:41,843
Następnie włącz film ponownie i porównaj

213
00:08:41,843 --> 00:08:43,331
swoją odpowiedź z moją.

214
00:08:48,581 --> 00:08:51,995
Pod r podstawiam 7, a pod h, 5.

215
00:08:53,251 --> 00:08:55,551
7 razy 5 to 35

216
00:08:55,807 --> 00:08:58,367
a 35 razy 2 to 70.

217
00:08:59,817 --> 00:09:03,487
Pod r podstawiam tutaj 6, a pod h, 8.

218
00:09:04,681 --> 00:09:07,247
1/2 oraz 2 nam się skrócą

219
00:09:07,247 --> 00:09:09,887
a 6 razy 8 to 48.

220
00:09:10,143 --> 00:09:11,301
W przypadku kuli

221
00:09:11,301 --> 00:09:13,471
w miejsce r podstawiamy 4.

222
00:09:14,347 --> 00:09:17,163
A 4 do kwadratu to 16.

223
00:09:24,423 --> 00:09:26,494
Poniższy zestaw wzorów przyda Ci się

224
00:09:26,494 --> 00:09:28,442
do obliczania wielkości związanych

225
00:09:28,442 --> 00:09:30,807
z walcami stożkami i kulami.

226
00:09:31,591 --> 00:09:33,603
Są to wzory na objętość oraz wzory

227
00:09:33,603 --> 00:09:36,255
na pole powierzchni całkowitej tych brył.

228
00:09:37,269 --> 00:09:39,432
Pamiętaj, że przekrojem osiowym walca

229
00:09:39,432 --> 00:09:40,545
jest prostokąt.

230
00:09:40,551 --> 00:09:42,129
Przekrojem osiowym stożka

231
00:09:42,129 --> 00:09:43,675
trójkąt równoramienny

232
00:09:43,675 --> 00:09:46,495
a przekrojem osiowym kuli, koło.

233
00:09:52,533 --> 00:09:54,363
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

234
00:09:54,363 --> 00:09:56,277
z podsumowania o bryłach.

235
00:09:56,399 --> 00:09:57,958
Zachęcam Cię do zobaczenia

236
00:09:57,958 --> 00:09:59,663
innych filmów z tej playlisty

237
00:09:59,663 --> 00:10:01,336
a także do polubienia naszego

238
00:10:01,336 --> 00:10:02,772
fanpage'a na Facebook'u

239
00:10:02,772 --> 00:10:04,952
PistacjaMatematyka.