1
00:00:00,844 --> 00:00:02,723
Pewien Japończyk zdobył rekord świata

2
00:00:02,723 --> 00:00:04,329
podając liczbę Pi z dokładnością

3
00:00:04,329 --> 00:00:06,520
do 100 000 miejsc po przecinku.

4
00:00:06,520 --> 00:00:07,696
Liczba Pi ma tych miejsc

5
00:00:07,696 --> 00:00:09,297
nieskończenie wiele, zaś kolejne

6
00:00:09,297 --> 00:00:10,716
są stale odkrywane.

7
00:00:10,716 --> 00:00:12,223
Takich liczb jest dużo więcej.

8
00:00:12,223 --> 00:00:14,660
Opowiem Ci o nich w tej lekcji.

9
00:00:26,880 --> 00:00:28,227
Zbiór liczb niewymiernych

10
00:00:28,227 --> 00:00:30,468
jest podzbiorem liczb rzeczywistych

11
00:00:32,256 --> 00:00:34,816
i oznaczamy go dużymi literami NW.

12
00:00:36,448 --> 00:00:38,410
Liczby niewymierne to takie liczby

13
00:00:38,410 --> 00:00:40,377
których nie możemy przedstawić za pomocą

14
00:00:40,377 --> 00:00:43,022
ułamka nieskracalnego liczb całkowitych.

15
00:00:44,526 --> 00:00:46,354
W poprzedniej lekcji z tej playlisty

16
00:00:46,354 --> 00:00:48,720
mówiliśmy o zbiorze liczb wymiernych.

17
00:00:48,720 --> 00:00:50,145
Naszym ostatnim zadaniem było

18
00:00:50,145 --> 00:00:51,785
zakreślenie wszystkich tych liczb

19
00:00:51,785 --> 00:00:54,186
które należą do zbioru liczb wymiernych.

20
00:00:54,186 --> 00:00:55,605
Teraz zajmiemy się zbiorem

21
00:00:55,605 --> 00:00:57,098
liczb niewymiernych.

22
00:00:57,400 --> 00:00:59,393
A więc zakreślmy wszystkie liczby, które

23
00:00:59,393 --> 00:01:01,970
należą do zbioru liczb niewymiernych.

24
00:01:02,976 --> 00:01:04,453
Są to wszystkie te liczby

25
00:01:04,453 --> 00:01:06,816
które zostały nam z poprzedniego zadania

26
00:01:07,328 --> 00:01:08,352
a więc Pi

27
00:01:08,608 --> 00:01:09,936
pierwiastek z piętnastu

28
00:01:09,936 --> 00:01:11,203
pierwiastek z trzech

29
00:01:11,203 --> 00:01:12,501
pierwiastek z dwóch

30
00:01:12,501 --> 00:01:14,752
i -5 pierwiastków z siedmiu.

31
00:01:15,264 --> 00:01:17,056
Jak widzisz, wszystkie liczby

32
00:01:17,056 --> 00:01:19,104
które nie są liczbami wymiernymi

33
00:01:19,104 --> 00:01:21,312
należą do zbioru liczb niewymiernych.

34
00:01:21,796 --> 00:01:23,320
Opowiem Ci teraz trochę więcej

35
00:01:23,320 --> 00:01:25,522
o liczbach niewymiernych.

36
00:01:29,470 --> 00:01:30,566
Liczby niewymierne

37
00:01:30,566 --> 00:01:32,479
nie są liczbami wyrwanymi z kosmosu.

38
00:01:32,479 --> 00:01:34,357
Możemy je spotkać właściwie wszędzie.

39
00:01:34,357 --> 00:01:35,942
Skupmy się jednak na przykładach

40
00:01:35,942 --> 00:01:37,684
matematycznych.

41
00:01:39,840 --> 00:01:41,470
Liczbę niewymierną możemy spotkać

42
00:01:41,470 --> 00:01:43,014
na przykład we wzorze na obwód

43
00:01:43,014 --> 00:01:43,904
i pole koła.

44
00:01:43,904 --> 00:01:46,364
Liczba Pi jest liczbą niewymierną.

45
00:01:48,996 --> 00:01:50,855
Liczbę niewymierną możemy też spotkać

46
00:01:50,855 --> 00:01:53,152
we wzorze na przekątną kwadratu.

47
00:01:54,176 --> 00:01:56,198
Kwadrat, którego boki mają długość a

48
00:01:56,198 --> 00:01:57,608
będzie miał przekątną równą

49
00:01:57,608 --> 00:01:59,390
a pierwiastek z dwóch.

50
00:01:59,518 --> 00:02:00,483
Pierwiastek z dwóch

51
00:02:00,483 --> 00:02:02,072
jest liczbą niewymierną.

52
00:02:04,266 --> 00:02:05,673
W trójkącie równobocznym

53
00:02:05,673 --> 00:02:07,215
liczba niewymierna występuje

54
00:02:07,215 --> 00:02:09,386
we wzorze na wysokość i pole.

55
00:02:09,828 --> 00:02:11,574
Jest to pierwiastek z trzech.

56
00:02:12,890 --> 00:02:13,995
Czy w innych figurach

57
00:02:13,995 --> 00:02:16,638
też możemy spotkać liczby niewymierne?

58
00:02:18,868 --> 00:02:20,469
Weźmy trójkąt prostokątny

59
00:02:20,469 --> 00:02:23,526
o bokach długości 1, 2 i c.

60
00:02:24,128 --> 00:02:25,617
Jak myślisz, gdzie tutaj

61
00:02:25,617 --> 00:02:27,792
może znajdować się liczba niewymierna?

62
00:02:28,546 --> 00:02:30,217
Obliczmy długość boku c

63
00:02:30,217 --> 00:02:32,064
z twierdzenia Pitagorasa.

64
00:02:32,832 --> 00:02:34,368
Będzie to 1 kwadrat

65
00:02:34,624 --> 00:02:36,160
dodać 2 kwadrat

66
00:02:36,672 --> 00:02:38,464
równa się c kwadrat.

67
00:02:40,000 --> 00:02:42,048
A więc 1 dodać 4

68
00:02:42,304 --> 00:02:44,096
równa się c kwadrat.

69
00:02:44,352 --> 00:02:46,190
1 dodać 4 daje nam 5

70
00:02:46,190 --> 00:02:47,936
równa się c kwadrat.

71
00:02:48,192 --> 00:02:49,548
Spierwiastkujmy obustronnie

72
00:02:49,548 --> 00:02:50,752
nasze równanie.

73
00:02:52,544 --> 00:02:53,824
I daje nam to wynik

74
00:02:54,080 --> 00:02:56,384
c1 równe pierwiastek z pięciu

75
00:02:57,920 --> 00:03:01,248
lub c2 równy minus pierwiastek z pięciu.

76
00:03:02,016 --> 00:03:04,064
Długość boku nie może być ujemna

77
00:03:04,426 --> 00:03:06,090
dlatego długość boku C

78
00:03:06,090 --> 00:03:07,754
wynosi pierwiastek z pięciu.

79
00:03:07,890 --> 00:03:09,215
Pierwiastek z pięciu jest

80
00:03:09,215 --> 00:03:10,450
liczbą niewymierną.

81
00:03:15,072 --> 00:03:17,448
Czy mnożąc, dzieląc, dodając i odejmując

82
00:03:17,448 --> 00:03:18,934
liczby niewymierne

83
00:03:18,934 --> 00:03:20,960
możemy uzyskać liczbę wymierną?

84
00:03:22,240 --> 00:03:24,032
Zróbmy kilka przykładów.

85
00:03:24,544 --> 00:03:26,080
Zacznijmy od dodawania.

86
00:03:26,336 --> 00:03:28,384
Weźmy 5 pierwiastków z dwóch

87
00:03:29,408 --> 00:03:31,456
dodać 3 pierwiastki z dwóch.

88
00:03:31,828 --> 00:03:33,042
5 pierwiastków z dwóch

89
00:03:33,042 --> 00:03:35,074
dodać 3 pierwiastki z dwóch

90
00:03:35,392 --> 00:03:37,068
to 8 pierwiastków z dwóch.

91
00:03:38,368 --> 00:03:40,160
I zróbmy drugi przykład.

92
00:03:40,416 --> 00:03:42,208
Minus pierwiastek z siedmiu

93
00:03:42,976 --> 00:03:44,768
dodać pierwiastek z siedmiu

94
00:03:44,854 --> 00:03:46,534
da nam wynik 0.

95
00:03:47,584 --> 00:03:50,118
Jak widzisz, dodając liczby niewymierne

96
00:03:50,118 --> 00:03:51,474
możemy uzyskać wynik

97
00:03:51,474 --> 00:03:54,496
zarówno niewymierny jak i wymierny.

98
00:03:54,752 --> 00:03:57,050
Przejdźmy w takim razie do odejmowania.

99
00:03:57,824 --> 00:03:59,872
Weźmy 3 pierwiastki z trzech

100
00:04:00,640 --> 00:04:02,432
odjąć pierwiastek z trzech.

101
00:04:03,276 --> 00:04:04,500
3 pierwiastki z trzech

102
00:04:04,500 --> 00:04:06,332
odjąć pierwiastek z trzech

103
00:04:06,332 --> 00:04:08,726
da nam wynik 2 pierwiastki z trzech.

104
00:04:10,368 --> 00:04:11,904
Rozwiążmy drugi przykład.

105
00:04:12,416 --> 00:04:14,720
Weźmy pierwiastek z dziewięćdziesięciu

106
00:04:15,488 --> 00:04:17,536
odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu.

107
00:04:17,657 --> 00:04:19,248
Pierwiastek z dziewięćdziesięciu

108
00:04:19,248 --> 00:04:22,379
możemy rozłożyć na pierwiastek z 9 razy 10

109
00:04:23,679 --> 00:04:26,495
odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu.

110
00:04:27,263 --> 00:04:29,311
Pierwiastek z 9 razy 10

111
00:04:29,377 --> 00:04:31,555
to to samo co pierwiastek z dziewięciu

112
00:04:31,555 --> 00:04:33,217
razy pierwiastek z dziesięciu

113
00:04:34,231 --> 00:04:36,921
i odjąć nasze 3 pierwiastki z dziesięciu.

114
00:04:38,783 --> 00:04:41,005
To się równa pierwiastek z dziewięciu

115
00:04:41,005 --> 00:04:44,415
to 3, razy pierwiastek z dziesięciu

116
00:04:45,289 --> 00:04:47,593
odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu

117
00:04:49,279 --> 00:04:50,303
czyli 0.

118
00:04:50,329 --> 00:04:51,775
Bo 3 pierwiastki z dziesięciu

119
00:04:51,775 --> 00:04:53,585
odjąć 3 pierwiastki z dziesięciu

120
00:04:53,585 --> 00:04:54,985
daje nam 0.

121
00:04:54,985 --> 00:04:56,839
A więc odejmowanie liczb niewymiernych

122
00:04:56,839 --> 00:04:58,925
tak samo jak dodawanie liczb niewymiernych

123
00:04:58,925 --> 00:05:01,011
może dać nam wynik zarówno niewymierny

124
00:05:01,011 --> 00:05:03,145
jak i wymierny.

125
00:05:03,275 --> 00:05:04,855
Przejdźmy do mnożenia.

126
00:05:05,227 --> 00:05:06,928
Weźmy pierwiastek z trzech

127
00:05:06,928 --> 00:05:08,735
razy pierwiastek z pięciu.

128
00:05:10,527 --> 00:05:14,713
To jest to samo co pierwiastek z 3 razy 5

129
00:05:15,993 --> 00:05:18,301
a więc pierwiastek z piętnastu.

130
00:05:18,971 --> 00:05:20,507
Zróbmy inny przykład.

131
00:05:21,129 --> 00:05:22,921
Weźmy pierwiastek z ośmiu

132
00:05:23,137 --> 00:05:24,673
razy pierwiastek z dwóch.

133
00:05:26,365 --> 00:05:27,481
Pierwiastek z ośmiu

134
00:05:27,481 --> 00:05:28,921
razy pierwiastek z dwóch

135
00:05:28,921 --> 00:05:31,377
jest to pierwiastek z szesnastu.

136
00:05:32,031 --> 00:05:33,910
A wiemy, że pierwiastek z szesnastu

137
00:05:33,910 --> 00:05:35,615
to to samo co 4.

138
00:05:36,409 --> 00:05:38,301
A więc mnożenie liczb niewymiernych

139
00:05:38,301 --> 00:05:40,991
tak samo jak przy dodawaniu i odejmowaniu

140
00:05:41,253 --> 00:05:42,195
może dać nam wynik

141
00:05:42,195 --> 00:05:44,581
zarówno niewymierny jak i wymierny.

142
00:05:46,111 --> 00:05:47,903
Zostało nam jeszcze dzielenie.

143
00:05:47,949 --> 00:05:49,381
Podzielmy pierwiastek z ośmiu

144
00:05:49,381 --> 00:05:51,319
przez pierwiastek z dwóch.

145
00:05:51,573 --> 00:05:53,375
Wiemy, że jest to to samo

146
00:05:53,375 --> 00:05:55,413
co pierwiastek z 8 przez 2

147
00:05:57,375 --> 00:05:59,167
a więc pierwiastek z czterech.

148
00:05:59,423 --> 00:06:01,471
Pierwiastek z czterech równa się 2.

149
00:06:01,727 --> 00:06:03,519
I zróbmy drugi przykład.

150
00:06:04,287 --> 00:06:06,059
Podzielmy pierwiastek z sześciu

151
00:06:06,059 --> 00:06:07,615
przez pierwiastek z dwóch.

152
00:06:07,741 --> 00:06:08,625
Jest to to samo

153
00:06:08,625 --> 00:06:10,813
co pierwiastek z 6 przez 2

154
00:06:12,033 --> 00:06:13,729
a więc pierwiastek z trzech.

155
00:06:13,825 --> 00:06:15,750
Tak więc dzielenie liczb niewymiernych

156
00:06:15,750 --> 00:06:17,007
może dać nam wynik

157
00:06:17,007 --> 00:06:19,713
albo wymierny, albo niewymierny.

158
00:06:24,511 --> 00:06:26,047
Rozwiążmy takie zadanie.

159
00:06:26,815 --> 00:06:28,111
Porównaj pierwiastki:

160
00:06:28,111 --> 00:06:29,767
3 pierwiastki z trzech

161
00:06:29,767 --> 00:06:31,595
i 2 pierwiastki z siedmiu.

162
00:06:31,595 --> 00:06:33,169
Który z nich jest większy?

163
00:06:33,471 --> 00:06:35,775
Zacznijmy od uproszczonego przykładu.

164
00:06:35,821 --> 00:06:38,099
Jeśli mielibyśmy pierwiastek z trzech

165
00:06:38,099 --> 00:06:39,661
i pierwiastek z siedmiu

166
00:06:39,997 --> 00:06:42,326
to wiemy, że pierwiastek z siedmiu

167
00:06:42,326 --> 00:06:43,477
będzie większy.

168
00:06:43,767 --> 00:06:44,740
Wystarczy porównać

169
00:06:44,740 --> 00:06:46,577
liczby pod pierwiastkiem.

170
00:06:47,371 --> 00:06:48,342
Ale jak to się ma

171
00:06:48,342 --> 00:06:49,941
do liczb z naszego zadania?

172
00:06:49,941 --> 00:06:51,688
Weźmy 3 pierwiastki z trzech

173
00:06:51,688 --> 00:06:54,674
i przekształćmy je tak, żeby cała liczba

174
00:06:54,674 --> 00:06:56,767
znajdowała się pod pierwiastkiem.

175
00:06:58,047 --> 00:07:00,863
W tym celu musimy wciągnąć naszą trójkę

176
00:07:01,205 --> 00:07:02,409
pod pierwiastek.

177
00:07:03,027 --> 00:07:04,857
Pierwiastek jest drugiego stopnia

178
00:07:04,857 --> 00:07:07,003
a więc tą trójkę sprzed pierwiastka

179
00:07:07,003 --> 00:07:09,461
podnosimy do kwadratu pod pierwiastkiem

180
00:07:09,823 --> 00:07:11,256
i mnożymy razy 3

181
00:07:11,256 --> 00:07:13,407
które już pod tym pierwiastkiem było.

182
00:07:14,687 --> 00:07:16,991
3 do kwadratu to 9

183
00:07:17,223 --> 00:07:18,247
i razy 3

184
00:07:18,889 --> 00:07:20,634
pierwiastek z 9 razy 3

185
00:07:20,634 --> 00:07:23,179
daje nam pierwiastek dwudziestu siedmiu.

186
00:07:27,487 --> 00:07:29,357
Przejdźmy teraz do drugiej liczby

187
00:07:29,357 --> 00:07:31,321
dwóch pierwiastków z siedmiu.

188
00:07:32,437 --> 00:07:34,428
2 pierwiastki z siedmiu to to samo

189
00:07:34,478 --> 00:07:37,095
co pierwiastek z 2 do kwadratu

190
00:07:37,727 --> 00:07:38,751
razy 7.

191
00:07:41,055 --> 00:07:43,615
A więc pierwiastek z 4 razy 7.

192
00:07:43,701 --> 00:07:45,247
Pierwiastek z 4 razy 7

193
00:07:45,247 --> 00:07:47,519
to pierwiastek z dwudziestu ośmiu.

194
00:07:47,839 --> 00:07:49,855
Teraz, żeby rozwiązać nasze zadanie

195
00:07:50,121 --> 00:07:50,824
musimy tylko

196
00:07:50,824 --> 00:07:52,981
porównać liczby pod pierwiastkiem.

197
00:07:52,981 --> 00:07:54,882
3 pierwiastki z trzech to to samo

198
00:07:54,882 --> 00:07:56,905
co pierwiastek z dwudziestu siedmiu.

199
00:07:56,905 --> 00:07:59,032
2 pierwiastki z siedmiu to to samo

200
00:07:59,032 --> 00:08:01,633
co pierwiastek z dwudziestu ośmiu.

201
00:08:01,633 --> 00:08:03,004
W takim razie widzimy

202
00:08:03,004 --> 00:08:06,226
że 3 pierwiastki z trzech są mniejsze

203
00:08:06,226 --> 00:08:08,035
od dwóch pierwiastków z siedmiu

204
00:08:08,191 --> 00:08:11,007
bo 27 jest mniejsze od 28.

205
00:08:11,775 --> 00:08:13,055
I to już wszystko.

206
00:08:18,903 --> 00:08:20,909
Zbiór liczb niewymiernych zawiera w sobie

207
00:08:20,909 --> 00:08:22,689
wszystkie liczby, których dokładnej

208
00:08:22,689 --> 00:08:24,297
wartości nie potrafimy podać.

209
00:08:24,297 --> 00:08:26,362
Na liczbach niewymiernych możemy wykonywać

210
00:08:26,362 --> 00:08:28,132
takie same działania jak na liczbach

211
00:08:28,132 --> 00:08:29,078
wymiernych.

212
00:08:29,078 --> 00:08:30,899
Czasem wynikiem tych działań będzie

213
00:08:30,899 --> 00:08:33,763
liczba niewymierna, a czasem wymierna.

214
00:08:37,313 --> 00:08:38,698
Zapraszam Cię do obejrzenia

215
00:08:38,698 --> 00:08:40,397
kolejnych filmów z tej playlisty

216
00:08:40,397 --> 00:08:41,593
oraz do zasubskrybowania

217
00:08:41,593 --> 00:08:43,963
naszego kanału na YouTubie.