1
00:00:00,056 --> 00:00:02,269
Współczesny symbol potęgowania wprowadził

2
00:00:02,369 --> 00:00:05,220
Kartezjusz w swoim dziele „Geometria”.

3
00:00:05,376 --> 00:00:07,624
A jakie nazwy stosowano wcześniej?

4
00:00:07,936 --> 00:00:09,934
Podobnie jak teraz, na drugą potęgę

5
00:00:10,034 --> 00:00:12,132
mówiono „quadratum”, czyli kwadrat.

6
00:00:12,288 --> 00:00:14,436
A na trzecią „cubus”, czyli sześcian.

7
00:00:14,592 --> 00:00:16,545
Ciekawą nazwę ma piąta potęga

8
00:00:16,645 --> 00:00:19,344
„surdesolidum” czyli głucha bryła.

9
00:00:30,016 --> 00:00:32,356
Przypomnijmy sobie, co wiesz o potęgach.

10
00:00:32,512 --> 00:00:33,617
Na pewno dobrze znasz

11
00:00:33,717 --> 00:00:35,802
potęgi o wykładniku naturalnym

12
00:00:35,902 --> 00:00:38,344
na przykład 2 do kwadratu, czyli 4.

13
00:00:38,656 --> 00:00:39,983
Tak samo istnieją potęgi

14
00:00:40,083 --> 00:00:41,812
o wykładniku całkowitym ujemnym

15
00:00:41,912 --> 00:00:43,631
na przykład 2 do minus drugiej.

16
00:00:43,631 --> 00:00:44,944
Ile to wynosi?

17
00:00:45,312 --> 00:00:50,120
To to samo, co 1/2 do kwadratu, czyli 1/4.

18
00:00:50,332 --> 00:00:53,530
Zobacz, tak samo jak mamy liczby naturalne

19
00:00:53,530 --> 00:00:55,808
tak mamy potęgę o wykładniku naturalnym.

20
00:00:56,064 --> 00:00:58,025
Mamy liczby całkowite, więc mamy też

21
00:00:58,125 --> 00:00:59,913
potęgę o wykładniku całkowitym.

22
00:01:00,013 --> 00:01:02,208
Oprócz liczb naturalnych i całkowitych

23
00:01:02,364 --> 00:01:04,285
możemy wyróżnić również ułamki

24
00:01:04,385 --> 00:01:05,708
czyli liczby wymierne.

25
00:01:05,808 --> 00:01:06,965
Czy istnieje potęga

26
00:01:06,965 --> 00:01:08,608
o wykładniku niecałkowitym?

27
00:01:08,764 --> 00:01:11,668
Na przykład 2 do potęgi jednej drugiej?

28
00:01:12,192 --> 00:01:13,872
Ile to może być?

29
00:01:15,008 --> 00:01:16,893
Wyobraźmy sobie, że mnożymy

30
00:01:16,893 --> 00:01:18,298
dwie takie liczby:

31
00:01:18,398 --> 00:01:19,846
2 do jednej drugiej razy

32
00:01:19,846 --> 00:01:21,052
2 do jednej drugiej.

33
00:01:21,052 --> 00:01:22,814
Mamy do czynienia z dwiema potęgami

34
00:01:22,814 --> 00:01:24,074
o takiej samej podstawie.

35
00:01:24,090 --> 00:01:25,298
Oczywiście chcielibyśmy

36
00:01:25,298 --> 00:01:27,322
aby zachowywały się one analogicznie

37
00:01:27,322 --> 00:01:29,128
do potęg o wykładniku całkowitym.

38
00:01:29,856 --> 00:01:32,260
Czyli możemy dodać ich wykładniki.

39
00:01:33,440 --> 00:01:36,355
1/2 dodać 1/2 to oczywiście 1

40
00:01:36,355 --> 00:01:38,860
czyli otrzymujemy 2 do pierwszej

41
00:01:39,072 --> 00:01:41,008
czyli po prostu 2.

42
00:01:41,888 --> 00:01:44,068
Zauważ, że tutaj mnożymy przez siebie

43
00:01:44,168 --> 00:01:46,148
2 razy identyczną liczbę.

44
00:01:46,148 --> 00:01:48,386
Czyli mówiąc inaczej, podnosimy 2

45
00:01:48,486 --> 00:01:51,162
do potęgi jednej drugiej do kwadratu.

46
00:01:51,616 --> 00:01:53,608
Wiemy, że to równa się 2.

47
00:01:53,920 --> 00:01:55,311
Jak obliczyć, ile to jest

48
00:01:55,311 --> 00:01:56,424
2 do jednej drugiej?

49
00:01:56,736 --> 00:01:59,728
Musimy spierwiastkować dwójkę.

50
00:02:03,392 --> 00:02:05,384
Zobacz jakie mamy ciekawe odkrycie!

51
00:02:05,696 --> 00:02:08,180
Okazuje się, że podnosząc liczbę do potęgi

52
00:02:08,280 --> 00:02:09,514
która jest ułamkiem

53
00:02:09,514 --> 00:02:11,072
otrzymujemy pierwiastek!

54
00:02:11,328 --> 00:02:13,326
W tym wypadku 2 do jednej drugiej

55
00:02:13,426 --> 00:02:15,624
to pierwiastek kwadratowy z dwóch.

56
00:02:15,936 --> 00:02:17,260
Ciekawe, prawda?

57
00:02:17,784 --> 00:02:19,780
A co jeżeli podnieślibyśmy dwójkę

58
00:02:19,880 --> 00:02:22,280
na przykład do potęgi jednej trzeciej?

59
00:02:22,592 --> 00:02:25,552
Jak myślisz, jaki pierwiastek otrzymamy?

60
00:02:26,076 --> 00:02:27,976
Aby to odkryć, zrobimy to samo

61
00:02:27,976 --> 00:02:30,015
co poprzednio, wymnożymy tę liczbę

62
00:02:30,015 --> 00:02:31,729
przez siebie, ale tym razem

63
00:02:31,729 --> 00:02:33,248
zrobimy to 3 razy.

64
00:02:33,248 --> 00:02:34,312
Dlaczego?

65
00:02:34,624 --> 00:02:37,484
Ponieważ w wykładniku mamy 1/3.

66
00:02:37,952 --> 00:02:39,930
Ten iloczyn możemy zapisać

67
00:02:39,930 --> 00:02:41,224
w takiej postaci.

68
00:02:41,436 --> 00:02:44,290
Sumując wykładniki otrzymujemy 1

69
00:02:44,290 --> 00:02:45,988
a 2 do pierwszej to 2.

70
00:02:46,144 --> 00:02:47,680
Tym razem możemy zapisać

71
00:02:47,836 --> 00:02:49,767
że 2 do jednej trzeciej

72
00:02:49,867 --> 00:02:52,588
do potęgi trzeciej równa się 2.

73
00:02:52,800 --> 00:02:54,177
Jak w takim razie obliczyć

74
00:02:54,177 --> 00:02:55,560
2 do jednej trzeciej?

75
00:02:55,822 --> 00:02:57,563
Musimy znowu spierwiastkować

76
00:02:57,563 --> 00:02:59,469
ale tym razem będziemy mieć pierwiastek

77
00:02:59,469 --> 00:03:01,294
trzeciego stopnia albo inaczej mówiąc

78
00:03:01,294 --> 00:03:02,616
pierwiastek sześcienny.

79
00:03:02,884 --> 00:03:03,927
I o to chodziło!

80
00:03:03,927 --> 00:03:05,686
2 do potęgi jednej trzeciej

81
00:03:05,786 --> 00:03:08,360
to pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch.

82
00:03:08,416 --> 00:03:10,337
Możesz podobny dowód wykonać dla

83
00:03:10,337 --> 00:03:12,834
dowolnej liczby będącej w podstawie

84
00:03:12,834 --> 00:03:14,760
i dla dowolnego wykładnika.

85
00:03:15,072 --> 00:03:17,081
Ogólną zasadę możemy zapisać

86
00:03:17,081 --> 00:03:18,956
w następujący sposób:

87
00:03:19,224 --> 00:03:21,828
a do potęgi 1 przez n

88
00:03:21,984 --> 00:03:23,983
to to samo, co pierwiastek

89
00:03:23,983 --> 00:03:25,668
n-tego stopnia z a.

90
00:03:25,824 --> 00:03:28,784
Zróbmy kilka przykładów dla utrwalenia.

91
00:03:32,434 --> 00:03:34,407
Jak myślisz, czemu będzie równe

92
00:03:34,507 --> 00:03:36,964
5 do potęgi jednej piątej?

93
00:03:37,088 --> 00:03:40,928
W naszym przypadku a równa się 5

94
00:03:41,184 --> 00:03:44,000
natomiast n również równa się 5

95
00:03:44,256 --> 00:03:46,239
czyli otrzymamy pierwiastek

96
00:03:46,239 --> 00:03:48,752
piątego stopnia z pięciu.

97
00:03:49,120 --> 00:03:51,312
A tutaj? Jak sądzisz?

98
00:03:52,960 --> 00:03:54,529
Pierwiastek szóstego stopnia

99
00:03:54,629 --> 00:03:56,544
ponieważ mamy potęgę jedną szóstą

100
00:03:56,700 --> 00:03:58,180
z sześćdziesięciu czterech.

101
00:03:58,336 --> 00:03:59,660
Czy to koniec?

102
00:04:00,152 --> 00:04:03,772
Zauważ, że 64 to to samo

103
00:04:03,772 --> 00:04:06,516
co 2 do potęgi szóstej.

104
00:04:07,798 --> 00:04:09,495
Pierwiastek szóstego stopnia z 2

105
00:04:09,495 --> 00:04:11,926
do potęgi szóstej to oczywiście 2

106
00:04:11,926 --> 00:04:13,868
ponieważ potęgowanie i pierwiastkowanie

107
00:04:13,868 --> 00:04:15,832
są działaniami odwrotnymi.

108
00:04:16,768 --> 00:04:19,727
A 81 do potęgi jednej trzeciej?

109
00:04:22,183 --> 00:04:24,267
Wiadomo, pierwiastek trzeciego stopnia

110
00:04:24,367 --> 00:04:26,227
z osiemdziesięciu jeden.

111
00:04:27,263 --> 00:04:30,365
81 możemy zaś zapisać jako

112
00:04:30,365 --> 00:04:32,583
3 do potęgi czwartej.

113
00:04:32,895 --> 00:04:35,277
Dalej, możemy to zapisać jako

114
00:04:35,377 --> 00:04:38,259
3 do potęgi trzeciej razy 3.

115
00:04:39,195 --> 00:04:40,976
3 do trzeciej możemy wyłączyć

116
00:04:40,976 --> 00:04:43,659
z pierwiastka i ostatecznie otrzymujemy

117
00:04:43,815 --> 00:04:46,293
3 razy pierwiastek trzeciego stopnia

118
00:04:46,293 --> 00:04:47,475
z trzech.

119
00:04:50,871 --> 00:04:52,154
Poznaliśmy przed chwilą

120
00:04:52,254 --> 00:04:54,443
potęgi o wykładniku wymiernym.

121
00:04:55,167 --> 00:04:57,315
Wiemy już, że są to pierwiastki.

122
00:04:57,371 --> 00:04:58,816
Jednakże wszystkie przykłady

123
00:04:58,816 --> 00:05:00,187
które rozwiązywaliśmy

124
00:05:00,187 --> 00:05:03,104
były w postaci ułamków 1 przez n.

125
00:05:03,615 --> 00:05:05,713
A co jeżeli w liczniku tego ułamka

126
00:05:05,813 --> 00:05:07,555
będzie jakaś inna liczba?

127
00:05:07,711 --> 00:05:09,581
Na przykład, ile to będzie

128
00:05:09,681 --> 00:05:11,851
2 do potęgi trzech drugich?

129
00:05:12,575 --> 00:05:14,979
Możemy 3/2 zapisać w taki sposób

130
00:05:15,135 --> 00:05:18,351
że jest to 1/2 razy 3.

131
00:05:18,839 --> 00:05:20,922
A teraz korzystając z prawa działań

132
00:05:20,922 --> 00:05:22,890
na potęgach, możemy to zapisać

133
00:05:22,890 --> 00:05:25,637
w takiej postaci, że jest to 2 do potęgi

134
00:05:25,637 --> 00:05:28,055
jednej drugiej i całe podniesione

135
00:05:28,055 --> 00:05:29,715
do potęgi trzeciej.

136
00:05:30,807 --> 00:05:32,220
Dobrze wiemy, ile to jest 2

137
00:05:32,220 --> 00:05:34,535
do jednej drugiej, to pierwiastek z dwóch.

138
00:05:34,847 --> 00:05:36,424
Czyli otrzymujemy pierwiastek

139
00:05:36,524 --> 00:05:37,942
drugiego stopnia z dwóch

140
00:05:37,942 --> 00:05:39,243
do potęgi trzeciej.

141
00:05:39,767 --> 00:05:41,395
A teraz korzystając

142
00:05:41,495 --> 00:05:43,734
z prawa działań na pierwiastkach

143
00:05:43,834 --> 00:05:47,435
możemy tę potęgę włączyć pod pierwiastek.

144
00:05:47,903 --> 00:05:50,093
Czyli jest to pierwiastek kwadratowy

145
00:05:50,193 --> 00:05:51,487
z dwóch do trzeciej

146
00:05:51,743 --> 00:05:53,791
czyli pierwiastek kwadratowy z ośmiu.

147
00:05:54,047 --> 00:05:55,647
Ostatecznie wyciągamy jeszcze

148
00:05:55,747 --> 00:05:57,219
dwójkę przed pierwiastek

149
00:05:57,375 --> 00:05:59,679
i otrzymujemy, że ta liczba

150
00:05:59,935 --> 00:06:01,571
to 2 pierwiastki z dwóch

151
00:06:01,727 --> 00:06:03,637
albo że jest to pierwiastek

152
00:06:03,737 --> 00:06:06,691
drugiego stopnia z 2 do potęgi trzeciej.

153
00:06:06,847 --> 00:06:08,604
No dobrze, a jak myślisz

154
00:06:08,704 --> 00:06:11,899
ile jest równe 5 do potęgi dwóch piątych?

155
00:06:12,223 --> 00:06:13,435
Zatrzymaj teraz film

156
00:06:13,535 --> 00:06:15,693
prześledź dokładnie tok rozumowania

157
00:06:15,793 --> 00:06:17,343
i odpowiedz samodzielnie.

158
00:06:17,599 --> 00:06:19,103
Następnie włącz film ponownie

159
00:06:19,103 --> 00:06:21,071
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

160
00:06:23,999 --> 00:06:27,683
Najpierw zapisujemy 2/5 jako 1/5 razy 2

161
00:06:27,839 --> 00:06:30,911
czyli 5 do jednej piątej do kwadratu

162
00:06:31,167 --> 00:06:33,393
czyli pierwiastek piątego stopnia

163
00:06:33,493 --> 00:06:35,107
z pięciu do kwadratu

164
00:06:35,263 --> 00:06:37,250
czyli pierwiastek piątego stopnia

165
00:06:37,250 --> 00:06:39,766
z pięciu do kwadratu, czyli ostatecznie

166
00:06:39,766 --> 00:06:41,327
pierwiastek piątego stopnia

167
00:06:41,327 --> 00:06:42,631
z dwudziestu pięciu.

168
00:06:42,943 --> 00:06:44,935
Wzór ogólny jest następujący:

169
00:06:45,247 --> 00:06:49,187
jeżeli a podnosimy do potęgi m przez n

170
00:06:49,343 --> 00:06:51,665
to w rezultacie otrzymujemy pierwiastek

171
00:06:51,765 --> 00:06:55,987
n-tego stopnia z liczby a do potęgi m.

172
00:06:56,255 --> 00:06:57,887
W naszym pierwszym przykładzie

173
00:06:57,887 --> 00:07:02,464
a równa się 2, m równa się 3

174
00:07:02,464 --> 00:07:05,591
a n równa się 2 i otrzymaliśmy

175
00:07:05,591 --> 00:07:07,775
pierwiastek drugiego stopnia

176
00:07:08,543 --> 00:07:10,241
z 2 do potęgi trzeciej

177
00:07:10,241 --> 00:07:12,427
czyli inaczej 2 pierwiastki z dwóch.

178
00:07:12,639 --> 00:07:13,919
W drugim przykładzie

179
00:07:14,175 --> 00:07:18,268
a równa się 5, m równa się 2

180
00:07:18,268 --> 00:07:20,419
a n również równa się 5

181
00:07:20,575 --> 00:07:23,091
czyli pierwiastek piątego stopnia

182
00:07:23,091 --> 00:07:25,019
z 5 do kwadratu ,czyli pierwiastek

183
00:07:25,019 --> 00:07:27,675
piątego stopnia z dwudziestu pięciu.

184
00:07:31,071 --> 00:07:33,127
A teraz wykorzystamy zdobytą wiedzę

185
00:07:33,227 --> 00:07:34,859
do rozwiązania tych przykładów.

186
00:07:34,959 --> 00:07:36,400
Na początku 4 do potęgi

187
00:07:36,400 --> 00:07:37,715
minus trzech drugich.

188
00:07:38,495 --> 00:07:39,875
Jak to rozwiązać?

189
00:07:40,031 --> 00:07:41,967
Czy ten minus tam przeszkadza?

190
00:07:43,775 --> 00:07:45,582
4 do potęgi minus trzech drugich

191
00:07:45,682 --> 00:07:46,884
możemy też zapisać jako

192
00:07:46,984 --> 00:07:49,291
1/4 do potęgi trzech drugich.

193
00:07:49,503 --> 00:07:51,139
A dalej zgodnie ze wzorem

194
00:07:51,295 --> 00:07:53,385
będzie to pierwiastek kwadratowy

195
00:07:53,485 --> 00:07:55,187
z 1/4 do potęgi trzeciej

196
00:07:55,187 --> 00:07:57,457
czyli pierwiastek z 1 przez 4

197
00:07:57,457 --> 00:07:58,663
do potęgi trzeciej.

198
00:07:58,819 --> 00:08:01,835
4 do trzeciej to 64.

199
00:08:02,047 --> 00:08:04,395
A pierwiastek z sześćdziesięciu czterech

200
00:08:04,395 --> 00:08:06,594
to 8, czyli otrzymujemy ostatecznie

201
00:08:06,594 --> 00:08:08,791
1 przez 8.

202
00:08:08,959 --> 00:08:10,773
Dobrze, spróbuj samodzielnie

203
00:08:10,873 --> 00:08:12,787
zrobić drugi przykład.

204
00:08:15,309 --> 00:08:17,836
32 do jednej piątej to pierwiastek

205
00:08:17,836 --> 00:08:19,811
piątego stopnia z trzydziestu dwóch.

206
00:08:19,967 --> 00:08:21,347
Ale to nie koniec!

207
00:08:21,503 --> 00:08:25,005
32 to 2 do piątej, czyli ostatecznie

208
00:08:25,005 --> 00:08:27,947
otrzymujemy, że ta potęga równa się 2.

209
00:08:29,495 --> 00:08:31,055
A teraz ten przykład:

210
00:08:31,055 --> 00:08:33,891
2 i 1/2 do potęgi minus jednej czwartej.

211
00:08:34,147 --> 00:08:36,273
Na początku powinniśmy zapisać

212
00:08:36,373 --> 00:08:38,599
ten ułamek jako ułamek zwykły.

213
00:08:38,911 --> 00:08:42,283
2 i 1/2 to inaczej 5/2.

214
00:08:42,751 --> 00:08:44,887
Dokończ ten przykład samodzielnie.

215
00:08:47,259 --> 00:08:49,638
Jako że mamy tutaj minus, robimy to samo

216
00:08:49,638 --> 00:08:51,243
co w pierwszym przykładzie.

217
00:08:51,455 --> 00:08:53,273
Zapisujemy to w postaci

218
00:08:53,373 --> 00:08:55,905
2/5 do potęgi jednej czwartej

219
00:08:56,005 --> 00:08:59,023
czyli pierwiastek czwartego stopnia z 2/5.

220
00:08:59,647 --> 00:09:00,771
A tutaj?

221
00:09:00,927 --> 00:09:02,514
Na początku powinniśmy zamienić

222
00:09:02,614 --> 00:09:04,851
0,5 na ułamek zwykły

223
00:09:04,851 --> 00:09:06,815
i wykładnik na ułamek zwykły.

224
00:09:07,327 --> 00:09:09,475
0,5 to oczywiście 1/2

225
00:09:09,887 --> 00:09:12,803
natomiast 1 i 1/2 to 3/2.

226
00:09:12,959 --> 00:09:15,151
Dokończ ten przykład samodzielnie.

227
00:09:18,747 --> 00:09:20,958
Będzie to pierwiastek kwadratowy

228
00:09:21,058 --> 00:09:23,005
z 1/2 do sześcianu

229
00:09:23,005 --> 00:09:24,991
a 1/2 sześcianu to 1/8.

230
00:09:25,247 --> 00:09:27,495
Otrzymujemy pierwiastek z 1/8.

231
00:09:27,807 --> 00:09:29,449
Pozostałe przykłady zrób

232
00:09:29,449 --> 00:09:31,023
w całości samodzielnie.

233
00:09:33,709 --> 00:09:35,111
27 do dwóch trzecich

234
00:09:35,111 --> 00:09:36,740
to pierwiastek trzeciego stopnia

235
00:09:36,740 --> 00:09:38,397
z dwudziestu siedmiu do kwadratu.

236
00:09:38,403 --> 00:09:40,353
Ale możemy też zauważyć

237
00:09:40,353 --> 00:09:43,011
że 27 to 3 do potęgi trzeciej.

238
00:09:43,423 --> 00:09:45,037
Czyli 3 do potęgi trzeciej

239
00:09:45,137 --> 00:09:46,751
do potęgi dwóch trzecich.

240
00:09:47,007 --> 00:09:49,231
Mnożymy wykładniki i ostatecznie

241
00:09:49,231 --> 00:09:52,071
otrzymujemy 3 do kwadratu, czyli 9.

242
00:09:52,895 --> 00:09:55,599
A 16 do minus pięciu czwartych?

243
00:09:56,223 --> 00:09:57,504
Też możemy zauważyć

244
00:09:57,504 --> 00:09:59,851
że 16 to 2 do czwartej

245
00:10:00,319 --> 00:10:01,955
czyli mamy 2 do czwartej

246
00:10:02,111 --> 00:10:04,259
do potęgi minus pięciu czwartych

247
00:10:04,415 --> 00:10:07,743
czyli 2 do minus piątej, czyli 1/32.

248
00:10:09,279 --> 00:10:12,451
I ostatni przykład: 2 do potęgi 0,6.

249
00:10:12,607 --> 00:10:15,267
Zamieniamy wykładnik na ułamek zwykły

250
00:10:15,423 --> 00:10:17,727
i liczymy dalej — 2 do trzech piątych

251
00:10:17,843 --> 00:10:19,464
to pierwiastek piątego stopnia

252
00:10:19,464 --> 00:10:20,497
z dwóch do trzeciej

253
00:10:20,543 --> 00:10:22,797
czyli pierwiastek piątego stopnia z ośmiu.

254
00:10:22,897 --> 00:10:24,015
Gratulacje!

255
00:10:28,791 --> 00:10:31,147
Jeżeli podnosimy liczbę do potęgi

256
00:10:31,247 --> 00:10:32,575
która jest wymierna

257
00:10:32,831 --> 00:10:34,753
to ją pierwiastkujemy pierwiastkiem

258
00:10:34,853 --> 00:10:36,359
odpowiedniego stopnia.

259
00:10:41,023 --> 00:10:42,615
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

260
00:10:42,715 --> 00:10:44,095
o potęgach i pierwiastkach.

261
00:10:44,351 --> 00:10:46,030
Zachęcam Cię także do zobaczenia

262
00:10:46,130 --> 00:10:47,647
innych filmów z tej playlisty

263
00:10:47,747 --> 00:10:49,695
a także do polubienia naszego fanpage'a

264
00:10:49,695 --> 00:10:52,131
na Facebooku — PistacjaMatematyka!