1
00:00:00,156 --> 00:00:02,604
Jak myślisz, ile wynosi ta liczba?

2
00:00:02,872 --> 00:00:04,776
Jej policzenie jej na kalkulatorze jest

3
00:00:04,776 --> 00:00:07,624
karkołomne, a co dopiero na kartce!

4
00:00:07,836 --> 00:00:10,388
Ale umiemy w łatwy sposób wykazać

5
00:00:10,388 --> 00:00:13,156
że ta liczba jest podzielna przez 21.

6
00:00:13,312 --> 00:00:14,436
W jaki sposób?

7
00:00:14,592 --> 00:00:16,584
Dowiesz się z tego filmu.

8
00:00:28,396 --> 00:00:30,132
Mamy teraz takie zadanie:

9
00:00:30,544 --> 00:00:33,913
wykaż, że liczba 4 razy 2 do setnej

10
00:00:33,913 --> 00:00:36,596
dodać 2 do setnej jest podzielna przez 5.

11
00:00:36,864 --> 00:00:38,856
W jaki sposób możemy to zrobić?

12
00:00:39,274 --> 00:00:40,452
Czy pamiętasz, jaka jest

13
00:00:40,452 --> 00:00:41,928
cecha podzielności przez 5?

14
00:00:43,600 --> 00:00:45,385
Liczba jest podzielna przez 5

15
00:00:45,385 --> 00:00:47,323
jeżeli w jej zapisie dziesiętnym

16
00:00:47,423 --> 00:00:49,252
ostatnią cyfrą jest 0 albo 5.

17
00:00:49,704 --> 00:00:51,815
W tym przypadku niestety nie możemy

18
00:00:51,815 --> 00:00:54,170
skorzystać z tej właściwości, musielibyśmy

19
00:00:54,170 --> 00:00:55,908
obliczyć wartość tego wyrażenia

20
00:00:56,064 --> 00:00:57,610
a jest to trudne do zrobienia

21
00:00:57,610 --> 00:00:59,296
nawet z wykorzystaniem kalkulatora

22
00:00:59,296 --> 00:01:01,084
ponieważ wynik ma 31 cyfr.

23
00:01:01,440 --> 00:01:03,944
Musimy więc wykorzystać jakiś inny sposób.

24
00:01:04,256 --> 00:01:05,224
Jaki?

25
00:01:05,536 --> 00:01:07,253
Będziemy się starali udowodnić

26
00:01:07,253 --> 00:01:09,319
że nasza liczba równa się

27
00:01:09,519 --> 00:01:11,688
5 razy jakaś inna liczba całkowita.

28
00:01:11,788 --> 00:01:13,572
Ja oznaczyłem ją małą literą k.

29
00:01:13,728 --> 00:01:15,756
Zobacz, tak samo jak wiemy

30
00:01:15,856 --> 00:01:18,124
że 100 jest podzielne przez 5

31
00:01:18,224 --> 00:01:19,972
ponieważ to 5 razy 20.

32
00:01:20,128 --> 00:01:22,376
Małe k to w tym przypadku 20.

33
00:01:22,688 --> 00:01:25,092
Albo 65 jest podzielne przez 5

34
00:01:25,248 --> 00:01:27,396
ponieważ to 5 razy 13.

35
00:01:27,552 --> 00:01:30,924
W tym wypadku nasze małe k równa się 13.

36
00:01:31,136 --> 00:01:32,301
Dlaczego jest tak ważne

37
00:01:32,401 --> 00:01:34,052
aby k było liczbą całkowitą?

38
00:01:34,208 --> 00:01:36,221
Bo inaczej z tego zapisu, który jest

39
00:01:36,221 --> 00:01:40,196
prawdziwy, wynikałoby, że 5 dzieli 12

40
00:01:40,352 --> 00:01:42,600
a wiemy, że jest to nieprawda.

41
00:01:43,068 --> 00:01:44,903
Tak więc musimy tutaj znaleźć

42
00:01:44,903 --> 00:01:46,204
jakąś piątkę.

43
00:01:46,204 --> 00:01:48,121
Zauważmy, że tutaj i tutaj

44
00:01:48,321 --> 00:01:50,692
mamy takie same czynniki. Jakie?

45
00:01:51,892 --> 00:01:53,728
2 do potęgi setnej.

46
00:01:53,920 --> 00:01:56,168
Możemy więc wyłączyć je przed nawias.

47
00:01:58,468 --> 00:02:00,406
Z pierwszego składnika włączamy

48
00:02:00,406 --> 00:02:02,668
2 do setnej i zostaje nam czwórka.

49
00:02:03,136 --> 00:02:04,817
Natomiast z drugiego składnika

50
00:02:04,917 --> 00:02:06,744
przez co trzeba pomnożyć 2 do setnej

51
00:02:06,844 --> 00:02:08,456
aby otrzymać 2 do setnej?

52
00:02:08,768 --> 00:02:10,148
Oczywiście przez 1.

53
00:02:10,304 --> 00:02:11,784
Zostaje nam jedynka.

54
00:02:12,252 --> 00:02:14,344
Wykonujemy działania w nawiasie

55
00:02:14,912 --> 00:02:17,060
i otrzymujemy, że ta liczba

56
00:02:17,216 --> 00:02:19,649
to inaczej 2 do setnej razy 5.

57
00:02:19,749 --> 00:02:21,100
Czy to koniec zadania?

58
00:02:21,992 --> 00:02:24,410
Tak, udowodniliśmy, że nasza liczba

59
00:02:24,510 --> 00:02:26,420
jest podzielna przez 5.

60
00:02:26,724 --> 00:02:28,558
To co otrzymamy, jeżeli podzielimy ją

61
00:02:28,558 --> 00:02:29,448
przez 5?

62
00:02:31,808 --> 00:02:33,384
2 do setnej razy 5

63
00:02:33,384 --> 00:02:36,148
podzielone przez 5 to 32 do setnej.

64
00:02:36,416 --> 00:02:38,664
Udowodniliśmy podzielność tej liczby.

65
00:02:38,976 --> 00:02:41,017
Ponieważ w zadaniu na dowód nie można

66
00:02:41,017 --> 00:02:43,074
zwykle napisać odpowiedzi, to kończąc

67
00:02:43,074 --> 00:02:44,964
dowód zaznaczamy to w inny sposób.

68
00:02:45,120 --> 00:02:47,012
Stawiamy znak końca dowodu.

69
00:02:47,168 --> 00:02:49,688
Być może już coś takiego kiedyś widziałeś.

70
00:02:49,788 --> 00:02:51,761
Można napisać na przykład „cbdu.”

71
00:02:51,861 --> 00:02:52,973
co się rozwija jako

72
00:02:52,973 --> 00:02:54,436
„co było do udowodnienia”

73
00:02:54,592 --> 00:02:56,740
albo „ckd.” — „co kończy dowód.”

74
00:02:56,896 --> 00:02:59,331
My narysujemy po prostu pusty kwadracik.

75
00:02:59,431 --> 00:03:01,292
To też oznacza koniec dowodu.

76
00:03:01,560 --> 00:03:04,402
W taki sam sposób udowodnimy, że liczba

77
00:03:04,502 --> 00:03:06,464
którą widziałaś na samym początku filmu

78
00:03:06,464 --> 00:03:08,105
jest podzielna przez 21.

79
00:03:12,312 --> 00:03:15,338
Dobrze. Wykażemy za chwilę, że ta liczba

80
00:03:15,338 --> 00:03:17,832
jest rzeczywiście podzielna przez 21.

81
00:03:18,400 --> 00:03:20,236
W jaki sposób to pokazać?

82
00:03:20,760 --> 00:03:24,445
Musimy ją zapisać w postaci 21 razy jakaś

83
00:03:24,445 --> 00:03:26,068
inna dowolna liczba całkowita.

84
00:03:26,168 --> 00:03:28,072
Wtedy wykażemy podzielność.

85
00:03:28,696 --> 00:03:30,532
Co robiliśmy w poprzednim zadaniu?

86
00:03:31,968 --> 00:03:33,775
Wyłączaliśmy jakiś wspólny czynnik

87
00:03:33,775 --> 00:03:34,728
przed nawias.

88
00:03:35,964 --> 00:03:37,188
Pytanie do Ciebie:

89
00:03:37,344 --> 00:03:39,848
czy mamy tutaj jakieś wspólne czynniki?

90
00:03:40,728 --> 00:03:42,308
Na pierwszy rzut oka, nie.

91
00:03:42,464 --> 00:03:45,314
Ale zauważ, że te wszystkie 3 liczby

92
00:03:45,314 --> 00:03:46,775
to potęgi czwórki

93
00:03:46,775 --> 00:03:49,676
które nieznacznie różnią się wykładnikami.

94
00:03:49,888 --> 00:03:51,880
Tak naprawdę różnią się o 1.

95
00:03:52,092 --> 00:03:53,828
Tu mamy 2018

96
00:03:53,984 --> 00:03:56,900
tutaj większy o 1 — 2019

97
00:03:57,056 --> 00:04:00,840
i kolejny, znowu większy o 1 — 2020.

98
00:04:01,208 --> 00:04:03,087
Niestety nie mamy wzoru na dodawanie

99
00:04:03,187 --> 00:04:04,900
potęg o tych samych podstawach.

100
00:04:05,000 --> 00:04:06,743
Istnieją tylko wzory na mnożenie

101
00:04:06,743 --> 00:04:07,496
i dzielenie.

102
00:04:07,552 --> 00:04:08,732
Ale dzięki temu, że te

103
00:04:08,732 --> 00:04:10,122
wykładniki są blisko siebie

104
00:04:10,122 --> 00:04:12,060
możemy zastosować pewną sztuczkę.

105
00:04:12,416 --> 00:04:13,542
Zapiszemy 4 do potęgi

106
00:04:13,542 --> 00:04:14,937
dwa tysiące dziewiętnastej

107
00:04:15,037 --> 00:04:16,542
w inny sposób, korzystając

108
00:04:16,642 --> 00:04:18,147
z prawa działań na potęgach.

109
00:04:18,303 --> 00:04:21,987
Możemy wykładnik rozpisać, że to 2018

110
00:04:22,143 --> 00:04:23,723
dodać 1.

111
00:04:23,935 --> 00:04:25,827
A z prawa działań na potęgach

112
00:04:25,983 --> 00:04:27,860
możemy zapisać tę liczbę

113
00:04:27,960 --> 00:04:31,203
jako 4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej

114
00:04:31,359 --> 00:04:33,381
razy 4 do potęgi pierwszej

115
00:04:33,481 --> 00:04:35,243
czyli po prostu 4 do potęgi

116
00:04:35,343 --> 00:04:38,203
dwa tysiące osiemnastej razy 4.

117
00:04:38,203 --> 00:04:40,280
Zauważ, że zapisując w ten sposób

118
00:04:40,380 --> 00:04:41,999
mamy ten sam czynnik

119
00:04:42,111 --> 00:04:44,715
4 do potęgi dwa tysiące osiemnastej.

120
00:04:44,927 --> 00:04:47,161
A teraz zatrzymaj film i spróbuj

121
00:04:47,161 --> 00:04:49,929
samodzielnie przekształcić 4 do potęgi

122
00:04:50,029 --> 00:04:52,341
dwa tysiące dwudziestej w taki sposób

123
00:04:52,441 --> 00:04:54,555
aby otrzymać ją w postaci iloczynu

124
00:04:54,555 --> 00:04:56,314
4 do dwa tysiące osiemnastej

125
00:04:56,314 --> 00:04:57,771
jakiejś innej liczby.

126
00:05:00,855 --> 00:05:02,591
Analogicznie zapisujemy

127
00:05:02,847 --> 00:05:05,251
że 4 do potęgi dwa tysiące dwudziestej

128
00:05:05,407 --> 00:05:07,133
to to samo, co 4 do potęgi

129
00:05:07,333 --> 00:05:09,959
dwa tysiące osiemnastej plus 2.

130
00:05:10,271 --> 00:05:12,104
Czyli to 4 do potęgi

131
00:05:12,104 --> 00:05:15,530
dwa tysiące osiemnastej razy

132
00:05:15,530 --> 00:05:20,343
4 do potęgi drugiej, czyli 4 do potęgi

133
00:05:20,343 --> 00:05:23,273
dwa tysiące osiemnastej razy 16.

134
00:05:23,373 --> 00:05:25,412
W ten sposób otrzymaliśmy w każdym

135
00:05:25,512 --> 00:05:27,420
z tych składników 4 do potęgi

136
00:05:27,520 --> 00:05:29,159
dwa tysiące osiemnastej.

137
00:05:29,471 --> 00:05:30,851
Zatrzymaj teraz film

138
00:05:31,007 --> 00:05:33,411
i wyłącz odpowiedni czynnik przed nawias.

139
00:05:33,567 --> 00:05:35,069
Następnie włącz film ponownie

140
00:05:35,169 --> 00:05:36,939
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

141
00:05:40,027 --> 00:05:41,958
Powinieneś otrzymać 4 do potęgi

142
00:05:42,058 --> 00:05:43,803
dwa tysiące osiemnastej

143
00:05:43,803 --> 00:05:50,095
razy, w nawiasie 1 dodać 4 dodać 16.

144
00:05:50,463 --> 00:05:52,355
Wykonujemy działania w nawiasie

145
00:05:52,511 --> 00:05:54,338
i otrzymujemy 4 do potęgi

146
00:05:54,438 --> 00:05:57,475
dwa tysiące osiemnastej razy 21.

147
00:05:57,631 --> 00:05:59,735
Zapisaliśmy tę liczbę w postaci

148
00:05:59,835 --> 00:06:02,736
21 razy jakaś inna liczba całkowita

149
00:06:02,736 --> 00:06:04,308
i tym samym udowodniliśmy

150
00:06:04,409 --> 00:06:06,891
że jest ona podzielna przez 21.

151
00:06:11,269 --> 00:06:13,763
W tym zadaniu z kolei udowodnimy

152
00:06:13,763 --> 00:06:16,007
że zachodzi następująca równość.

153
00:06:16,871 --> 00:06:18,863
W jaki sposób należy to zrobić?

154
00:06:20,059 --> 00:06:22,475
Musimy pokazać, że lewa strona tego

155
00:06:22,475 --> 00:06:26,926
równania jest równa prawej stronie

156
00:06:26,926 --> 00:06:28,549
tego równania.

157
00:06:30,299 --> 00:06:32,135
No dobrze, w jaki sposób to zrobić?

158
00:06:32,503 --> 00:06:34,335
Zauważ, że w tym równaniu mamy

159
00:06:34,435 --> 00:06:36,643
dwójki podniesione do różnych potęg.

160
00:06:36,799 --> 00:06:39,225
4 to 2 do kwadratu, tutaj mamy

161
00:06:39,225 --> 00:06:41,670
2 do potęgi 1/9, tutaj dwójkę

162
00:06:41,722 --> 00:06:43,455
i pierwiastek z dwóch.

163
00:06:43,455 --> 00:06:45,166
Spróbujmy uprościć wyrażenie po obu

164
00:06:45,166 --> 00:06:47,216
stronach i zobaczyć, czy uda nam się

165
00:06:47,216 --> 00:06:49,174
je doprowadzić do tej samej postaci.

166
00:06:49,174 --> 00:06:50,623
Zacznijmy od lewej strony.

167
00:06:51,135 --> 00:06:53,417
Jak już mówiłem, 4 to inaczej

168
00:06:53,417 --> 00:06:55,287
2 do kwadratu, które podnosimy

169
00:06:55,287 --> 00:06:56,967
do potęgi 1/2.

170
00:06:57,279 --> 00:06:58,526
Całe wyrażenie w nawiasie

171
00:06:58,626 --> 00:07:01,123
podnosiliśmy do potęgi 1,8

172
00:07:01,123 --> 00:07:03,525
którą zapisałem w postaci ułamka zwykłego

173
00:07:03,525 --> 00:07:04,968
aby wszystkie wykładniki były

174
00:07:04,968 --> 00:07:06,047
w tej samej postaci.

175
00:07:06,301 --> 00:07:08,274
2 do kwadratu do potęgi 1/2

176
00:07:08,374 --> 00:07:12,032
to tyle samo co 2 do potęgi 2 razy 1/2.

177
00:07:12,032 --> 00:07:14,219
Otrzymujemy, że to jest 2 do pierwszej.

178
00:07:14,431 --> 00:07:16,185
Mamy teraz iloczyn dwóch potęg

179
00:07:16,285 --> 00:07:17,859
o takich samych podstawach.

180
00:07:18,015 --> 00:07:20,775
2 do pierwszej razy 2 do 1/9.

181
00:07:21,087 --> 00:07:22,723
Dodajemy wykładniki

182
00:07:22,879 --> 00:07:26,151
i otrzymujemy, że to 2 do 10/9.

183
00:07:26,519 --> 00:07:29,169
Podnosimy to jeszcze do potęgi 9/5

184
00:07:29,169 --> 00:07:31,663
i ostatecznie otrzymujemy 2 do kwadratu.

185
00:07:31,853 --> 00:07:33,763
Jeżeli coś było dla Ciebie powiedziane

186
00:07:33,763 --> 00:07:35,598
za szybko albo czegoś nie zrozumiałeś

187
00:07:35,598 --> 00:07:37,315
powtórz ten fragment jeszcze raz.

188
00:07:37,471 --> 00:07:40,131
Dobrze, uprościliśmy lewą stronę równania.

189
00:07:40,287 --> 00:07:42,307
Teraz samodzielnie zrób to samo

190
00:07:42,407 --> 00:07:44,427
z prawą stroną tego równania.

191
00:07:46,999 --> 00:07:49,503
Pierwiastek z dwóch to inaczej 2 do 1/2.

192
00:07:49,759 --> 00:07:51,713
2 przez 2 do 1/2 to to samo

193
00:07:51,813 --> 00:07:54,467
co 2 do potęgi 1 minus 1/2

194
00:07:54,779 --> 00:07:57,097
czyli 2 do 1/2 do potęgi czwartej

195
00:07:57,097 --> 00:07:59,075
czyli ostatecznie 2 do kwadratu.

196
00:07:59,231 --> 00:08:01,909
Prawa strona jest równa lewej stronie.

197
00:08:02,169 --> 00:08:04,285
Czyli uzasadniliśmy, że ta równość

198
00:08:04,285 --> 00:08:05,219
jest spełniona.

199
00:08:05,565 --> 00:08:06,889
Dobra robota!

200
00:08:10,551 --> 00:08:12,799
A na koniec mamy takie zadanie.

201
00:08:13,111 --> 00:08:16,723
Uzasadnij, że jeżeli A to 3 do potęgi

202
00:08:16,723 --> 00:08:18,631
4 pierwiastki z dwóch plus 2

203
00:08:18,943 --> 00:08:21,076
a B to 3 do potęgi

204
00:08:21,076 --> 00:08:22,883
2 pierwiastki z dwóch plus 3

205
00:08:23,039 --> 00:08:25,955
to B równa się 9 pierwiastków z A.

206
00:08:26,111 --> 00:08:27,347
Spróbuj to zadanie zrobić

207
00:08:27,347 --> 00:08:29,483
w całości samodzielnie.

208
00:08:29,695 --> 00:08:31,433
Następnie włącz film ponownie

209
00:08:31,533 --> 00:08:33,579
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

210
00:08:36,663 --> 00:08:37,910
Musimy pokazać, że B

211
00:08:38,010 --> 00:08:40,035
i 9 pierwiastków z A to to samo.

212
00:08:40,041 --> 00:08:41,707
Podobnie jak w poprzednim zadaniu

213
00:08:41,707 --> 00:08:43,363
będziemy przekształcać wyrażenia.

214
00:08:43,399 --> 00:08:44,530
Zacznijmy od bardziej

215
00:08:44,530 --> 00:08:45,979
skomplikowanej strony.

216
00:08:46,079 --> 00:08:47,605
Wbrew pozorom od prostszej

217
00:08:47,705 --> 00:08:49,251
zwykle trudniej jest wyjść.

218
00:08:50,431 --> 00:08:53,547
W miejsce A podstawiamy tę liczbę.

219
00:08:54,015 --> 00:08:56,800
Czyli mamy 9 razy pierwiastek z trzech

220
00:08:56,800 --> 00:08:59,691
do potęgi 4 pierwiastki z dwóch plus 2.

221
00:09:00,671 --> 00:09:03,687
9 to inaczej 3 do kwadratu.

222
00:09:04,311 --> 00:09:07,021
Natomiast tutaj zamiast pierwiastka

223
00:09:07,121 --> 00:09:10,499
możemy podnieść tę liczbę do potęgi 1/2.

224
00:09:10,825 --> 00:09:13,315
Skoro podnosimy jakąś potęgę do potęgi

225
00:09:13,471 --> 00:09:15,043
to mnożymy wykładniki.

226
00:09:15,143 --> 00:09:17,729
Mamy 3 do potęgi 4 pierwiastki z dwóch

227
00:09:17,829 --> 00:09:19,915
plus 2 razy 1/2.

228
00:09:20,127 --> 00:09:22,725
Zauważ, że mnożymy tutaj dwie potęgi

229
00:09:22,725 --> 00:09:25,122
o takich samych podstawach, czyli możemy

230
00:09:25,122 --> 00:09:27,039
dodać do siebie te 2 wykładniki.

231
00:09:27,551 --> 00:09:30,728
3 do potęgi 2 plus 4 pierwiastki z dwóch

232
00:09:30,828 --> 00:09:32,615
plus 2 razy 1/2.

233
00:09:32,927 --> 00:09:35,075
Teraz pozbądźmy się nawiasu

234
00:09:35,387 --> 00:09:38,303
i otrzymujemy 2 pierwiastki z dwóch

235
00:09:38,459 --> 00:09:39,850
czyli 4 pierwiastki z dwóch

236
00:09:39,950 --> 00:09:43,723
razy 1/2 dodać 1, czyli 2 razy 1/2.

237
00:09:44,703 --> 00:09:46,605
2 plus 1 to jest oczywiście 3

238
00:09:46,705 --> 00:09:48,608
czyli otrzymujemy 3 do potęgi

239
00:09:48,708 --> 00:09:50,635
2 pierwiastki z dwóch plus 3.

240
00:09:51,103 --> 00:09:53,707
A to jest liczba B!

241
00:09:54,231 --> 00:09:55,911
Udowodniliśmy zatem

242
00:09:56,011 --> 00:09:58,983
że B to 9 pierwiastków z A.

243
00:10:04,215 --> 00:10:06,175
Nie ma wzoru na dodawanie potęg

244
00:10:06,275 --> 00:10:07,587
o tej samej podstawie

245
00:10:07,899 --> 00:10:10,403
ale jeżeli wykładniki są sobie bliskie

246
00:10:10,559 --> 00:10:12,152
to można spróbować wyłączyć

247
00:10:12,252 --> 00:10:14,187
wspólny czynnik przed nawias.

248
00:10:17,561 --> 00:10:19,099
Zobaczyłeś właśnie kolejny film

249
00:10:19,199 --> 00:10:21,511
z playlisty o potęgach i pierwiastkach.

250
00:10:21,723 --> 00:10:23,091
Zachęcam Cię do zobaczenia

251
00:10:23,091 --> 00:10:24,668
innych filmów z tej playlisty

252
00:10:24,668 --> 00:10:25,769
a także do odwiedzenia

253
00:10:25,769 --> 00:10:28,467
naszej strony internetowej pi–stacja.tv