1
00:00:00,768 --> 00:00:03,188
Skala Richtera jest skala logarytmiczną

2
00:00:03,188 --> 00:00:04,766
której pierwotnie używano

3
00:00:04,766 --> 00:00:06,942
do określania wielkości trzęsienia Ziemi

4
00:00:06,942 --> 00:00:08,323
na podstawie amplitudy

5
00:00:08,323 --> 00:00:09,984
wstrząsów sejsmicznych.

6
00:00:11,008 --> 00:00:13,250
Obecnie używa się tak zwanej magnitudy

7
00:00:13,250 --> 00:00:16,128
która też jest skalą logarytmiczną.

8
00:00:16,384 --> 00:00:18,169
Każdy kolejny stopień oznacza

9
00:00:18,169 --> 00:00:20,992
32-krotnie silniejsze wstrząsy.

10
00:00:35,840 --> 00:00:38,101
W świecie logarytmów istnieje wzór

11
00:00:38,101 --> 00:00:39,165
którego nazwa to

12
00:00:39,165 --> 00:00:41,380
zamiana podstawy logarytmu.

13
00:00:41,548 --> 00:00:44,108
Wytłumaczę Ci teraz budowę tego wzoru.

14
00:00:45,056 --> 00:00:46,726
Spójrz na taki logarytm.

15
00:00:46,848 --> 00:00:49,664
Logarytm o podstawie 2 z liczby 5.

16
00:00:50,688 --> 00:00:52,052
Ten wzór mówi nam o tym

17
00:00:52,052 --> 00:00:54,449
że dowolny logarytmy możemy zamienić

18
00:00:54,449 --> 00:00:56,576
na iloraz dwóch logarytmów.

19
00:00:57,088 --> 00:00:58,880
Przyjrzyjmy się im bliżej.

20
00:00:59,648 --> 00:01:01,596
Zwróć uwagę, że oba logarytmy

21
00:01:01,596 --> 00:01:04,256
mają inną podstawę niż ten logarytm.

22
00:01:05,280 --> 00:01:06,736
Podstawa w tym logarytmie

23
00:01:06,736 --> 00:01:08,000
jest jednak taka sam

24
00:01:08,000 --> 00:01:09,852
jak podstawa w tym logarytmie.

25
00:01:09,888 --> 00:01:11,586
Z tego powodu obie podstawy

26
00:01:11,586 --> 00:01:13,216
oznaczono tą samą literą.

27
00:01:13,728 --> 00:01:15,798
Liczby logarytmowane w liczniku

28
00:01:15,798 --> 00:01:18,336
i mianowniku nie są jednak przypadkowe.

29
00:01:18,592 --> 00:01:20,368
Liczba logarytmowana w liczniku

30
00:01:20,368 --> 00:01:21,389
jest taka sama

31
00:01:21,389 --> 00:01:23,968
jak liczba logarytmowana w tym logarytmie.

32
00:01:24,736 --> 00:01:26,911
Liczba logarytmowana w tym logarytmie

33
00:01:26,911 --> 00:01:28,584
jest z kolei taka sama

34
00:01:28,584 --> 00:01:30,368
jak podstawa tego logarytmu.

35
00:01:30,880 --> 00:01:32,928
Spójrz jeszcze na te zapisy.

36
00:01:33,184 --> 00:01:34,814
One przypominają nam o tym

37
00:01:34,814 --> 00:01:37,012
że nowa podstawa, którą sobie wybierzemy

38
00:01:37,012 --> 00:01:40,198
musi być większa od zera i różna od 1.

39
00:01:40,488 --> 00:01:41,721
Uzasadnię Ci teraz

40
00:01:41,721 --> 00:01:43,936
że ten wzór rzeczywiście działa.

41
00:01:44,448 --> 00:01:46,186
Najpierw przekształcimy sobie

42
00:01:46,186 --> 00:01:47,264
nieco to równanie.

43
00:01:47,942 --> 00:01:49,501
Pomnóżmy je przez mianownik

44
00:01:49,501 --> 00:01:51,395
czyli przez logarytm o podstawie

45
00:01:51,395 --> 00:01:52,896
x z liczby 2.

46
00:01:53,664 --> 00:01:55,039
Z lewej strony otrzymamy

47
00:01:55,039 --> 00:01:57,564
logarytm o podstawie 2 z liczby 5

48
00:01:57,564 --> 00:02:00,576
razy logarytm o podstawie x z liczby 2.

49
00:02:01,088 --> 00:02:03,584
Mnożąc prawą stronę przez taki logarytm

50
00:02:03,584 --> 00:02:06,208
skróci nam się mianownik z tym logarytmem.

51
00:02:06,580 --> 00:02:07,927
Zostanie tylko licznik

52
00:02:07,927 --> 00:02:10,816
czyli logarytm o podstawie x z liczby 5.

53
00:02:11,840 --> 00:02:12,608
Zobacz.

54
00:02:12,864 --> 00:02:14,968
Logarytm o podstawie 2 z liczby 5

55
00:02:14,968 --> 00:02:16,427
oznacza pewną liczbę

56
00:02:16,427 --> 00:02:18,408
do której należy podnieść liczbę

57
00:02:18,408 --> 00:02:20,032
2 aby otrzymać 5. 

58
00:02:20,288 --> 00:02:22,592
Ten logarytm jest więc liczbą.

59
00:02:23,104 --> 00:02:24,799
A co możemy zrobić z liczbą

60
00:02:24,799 --> 00:02:26,944
przez którą mnożymy logarytm?

61
00:02:28,480 --> 00:02:30,163
Tę liczbę możemy zapisać

62
00:02:30,163 --> 00:02:32,408
w wykładniku liczby logarytmowanej

63
00:02:32,408 --> 00:02:33,600
w tym logarytmie.

64
00:02:34,368 --> 00:02:36,332
Otrzymamy logarytm o podstawie

65
00:02:36,332 --> 00:02:38,605
x z liczby 2 do potęgi

66
00:02:38,605 --> 00:02:41,536
logarytm o podstawie 2 z liczby 5. 

67
00:02:42,304 --> 00:02:43,979
Z prawej strony w dalszym ciągu

68
00:02:43,979 --> 00:02:47,168
mamy logarytm o podstawie x z liczby 5.

69
00:02:48,192 --> 00:02:49,424
Skup się teraz na tym

70
00:02:49,424 --> 00:02:51,008
co znajduje się w nawiasie.

71
00:02:51,776 --> 00:02:52,681
Ile to jest

72
00:02:52,681 --> 00:02:53,586
2 do potęgi

73
00:02:53,586 --> 00:02:56,384
logarytm o podstawie 2 z liczby 5?

74
00:02:56,992 --> 00:02:58,437
Ta liczba jest taka sama

75
00:02:58,437 --> 00:03:00,480
jak ta liczba, czyli 5.

76
00:03:01,760 --> 00:03:03,808
Zobacz, co otrzymujemy na końcu.

77
00:03:04,064 --> 00:03:06,732
Logarytm o podstawie x z liczby 5

78
00:03:06,732 --> 00:03:07,787
równa się logarytm

79
00:03:07,787 --> 00:03:10,208
o podstawie x z liczby 5.

80
00:03:10,846 --> 00:03:11,870
Co zrobiliśmy?

81
00:03:12,512 --> 00:03:15,305
Przekształcając ten wzór pokazaliśmy

82
00:03:15,305 --> 00:03:17,632
że coś jest zawsze prawdziwe.

83
00:03:23,008 --> 00:03:25,568
Pokażę Ci teraz jak stosować ten wzór.

84
00:03:26,236 --> 00:03:27,531
Spójrz raz jeszcze

85
00:03:27,531 --> 00:03:30,432
na logarytm o podstawie 2 z liczby 5.

86
00:03:30,944 --> 00:03:31,883
Zapisaliśmy go

87
00:03:31,883 --> 00:03:33,760
jako iloraz dwóch logarytmów.

88
00:03:34,016 --> 00:03:36,587
Logarytmu o podstawie 3 z liczby 5

89
00:03:36,587 --> 00:03:39,392
i logarytmu o podstawie 3 z liczby 2.

90
00:03:39,724 --> 00:03:41,018
Wpadło mi teraz do głowy

91
00:03:41,018 --> 00:03:43,308
żeby powiedzieć Ci jak łatwo zapamiętać

92
00:03:43,308 --> 00:03:46,048
gdzie powinny znaleźć się te dwie liczby.

93
00:03:46,560 --> 00:03:48,748
Zwróć uwagę, że liczba logarytmowana

94
00:03:48,748 --> 00:03:51,424
jest wyżej niż podstawa logarytmu.

95
00:03:51,936 --> 00:03:53,477
Piątka, która jest wyżej

96
00:03:53,477 --> 00:03:54,953
znalazła się w liczniku

97
00:03:54,953 --> 00:03:56,800
który jest wyżej niż mianownik.

98
00:03:57,312 --> 00:03:59,616
Podstawę, która jest niżej zapisujemy

99
00:03:59,616 --> 00:04:01,920
w liczbie logarytmowanej w mianowniku.

100
00:04:02,688 --> 00:04:05,112
Powiedziałem już, że dowolny logarytmy

101
00:04:05,112 --> 00:04:06,274
możemy zamienić

102
00:04:06,274 --> 00:04:08,064
na iloraz dwóch logarytmów.

103
00:04:08,832 --> 00:04:11,252
Podstawy obu logarytmów są identyczne.

104
00:04:11,252 --> 00:04:13,952
Są większe od zera i różne od 1.

105
00:04:14,720 --> 00:04:17,024
Mogłaby to być również liczba 4.

106
00:04:17,280 --> 00:04:22,399
Tak samo liczba 5, 6, 7 8 albo 9.

107
00:04:23,087 --> 00:04:24,825
Jeszcze raz powtórzę, że podstawa

108
00:04:24,825 --> 00:04:27,337
tych dwóch logarytmów może być dowolna.

109
00:04:27,337 --> 00:04:28,280
Musi być tylko

110
00:04:28,280 --> 00:04:30,335
większa od zera i różna od 1.

111
00:04:31,103 --> 00:04:32,480
Wróćmy teraz do przypadku

112
00:04:32,480 --> 00:04:34,332
gdzie podstawą dzielonych logarytmów

113
00:04:34,332 --> 00:04:35,781
była liczba 5.

114
00:04:36,479 --> 00:04:38,507
Zwróć uwagę, że w takim przypadku

115
00:04:38,507 --> 00:04:39,810
jesteśmy w stanie podać

116
00:04:39,810 --> 00:04:41,087
ile wynosi licznik.

117
00:04:42,111 --> 00:04:45,183
Logarytm o podstawie 5 z liczby 5 to 1.

118
00:04:45,951 --> 00:04:47,281
Możemy zatem powiedzieć

119
00:04:47,281 --> 00:04:49,766
że logarytm o podstawie 2 z liczby 5

120
00:04:49,766 --> 00:04:51,991
to jest to samo co 1 podzielić przez

121
00:04:51,991 --> 00:04:54,655
logarytm o podstawie 5 z liczby 2.

122
00:04:55,213 --> 00:04:56,860
Zapiszmy raz jeszcze tę równość

123
00:04:56,860 --> 00:04:57,837
pod spodem.

124
00:04:58,787 --> 00:05:00,323
O tą równość nam chodziło.

125
00:05:01,241 --> 00:05:02,649
Teraz pomnożymy obie strony

126
00:05:02,649 --> 00:05:04,869
tego równania przez ten mianownik.

127
00:05:05,663 --> 00:05:07,437
Z lewej strony równania otrzymamy

128
00:05:07,437 --> 00:05:09,949
logarytm o podstawie 2 z liczby 5

129
00:05:09,949 --> 00:05:12,837
razy logarytm o podstawie 5 z liczby 2.

130
00:05:13,343 --> 00:05:15,391
To jest lewa strona równania.

131
00:05:16,415 --> 00:05:17,407
Gdy prawą stronę

132
00:05:17,407 --> 00:05:19,165
pomnożymy przez ten logarytm

133
00:05:19,165 --> 00:05:20,634
to mianownik będziemy mogli

134
00:05:20,634 --> 00:05:22,683
skrócić z tym logarytmem.

135
00:05:23,071 --> 00:05:25,375
Zostanie nam licznik, czyli liczba 1.

136
00:05:26,143 --> 00:05:28,191
Spójrz teraz na te 2 logarytmy.

137
00:05:29,471 --> 00:05:31,353
Tutaj podstawą jest liczba 2

138
00:05:31,353 --> 00:05:33,567
a liczbą logarytmowaną jest 5.

139
00:05:34,335 --> 00:05:36,420
Tutaj podstawą jest liczba 5

140
00:05:36,420 --> 00:05:38,431
a liczba logarytmowana to 2.

141
00:05:38,943 --> 00:05:40,828
Iloczyn takich dwóch logarytmów

142
00:05:40,828 --> 00:05:42,271
jest równy 1.

143
00:05:43,551 --> 00:05:45,071
To dość ciekawa własność

144
00:05:45,071 --> 00:05:46,879
która wynika z tego wzoru.

145
00:05:51,743 --> 00:05:53,647
Wzór na zamianę podstawy logarytmu

146
00:05:53,647 --> 00:05:55,023
przydaje się do obliczania

147
00:05:55,023 --> 00:05:57,073
na przykład takich logarytmów.

148
00:05:57,375 --> 00:05:58,428
Tutaj mamy logarytm

149
00:05:58,428 --> 00:06:01,983
o podstawie 25 z liczby 125.

150
00:06:02,325 --> 00:06:03,610
Nie potrafimy powiedzieć

151
00:06:03,610 --> 00:06:06,585
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 25

152
00:06:06,585 --> 00:06:08,639
aby otrzymać 125.

153
00:06:09,919 --> 00:06:12,181
A czy istnieje liczba, która podniesiona

154
00:06:12,181 --> 00:06:16,063
do jakiejś potęgi da nam liczbę 25 i 125?

155
00:06:17,087 --> 00:06:17,855
Istnieje.

156
00:06:18,111 --> 00:06:19,647
Taką liczbą jest 5.

157
00:06:20,159 --> 00:06:22,625
5 do potęgi drugiej to 25

158
00:06:22,625 --> 00:06:25,535
i 5 do potęgi trzeciej to 125.

159
00:06:26,303 --> 00:06:28,351
Do czego jest nam to potrzebne?

160
00:06:28,863 --> 00:06:30,373
Zapiszę teraz ten logarytm

161
00:06:30,373 --> 00:06:32,106
jako iloraz dwóch logarytmów

162
00:06:32,106 --> 00:06:33,727
o podstawie 5.

163
00:06:34,239 --> 00:06:35,944
W liczniku otrzymam logarytm

164
00:06:35,944 --> 00:06:38,698
o podstawie 5 z liczby 125

165
00:06:38,698 --> 00:06:39,651
a w mianowniku

166
00:06:39,651 --> 00:06:42,943
logarytm o podstawie 5 z liczby 25.

167
00:06:43,711 --> 00:06:45,140
Zatrzymaj teraz lekcję

168
00:06:45,140 --> 00:06:46,669
i spróbuj samodzielnie obliczyć

169
00:06:46,669 --> 00:06:48,463
te 2 logarytmy.

170
00:06:52,159 --> 00:06:55,920
Logarytm o podstawie 5 z liczby 125 to 3

171
00:06:55,920 --> 00:06:58,173
ponieważ 5 podniesione do potęgi trzeciej

172
00:06:58,173 --> 00:06:59,873
da nam 125.

173
00:07:00,909 --> 00:07:04,282
Logarytm o podstawie 5 z liczby 25 to 2

174
00:07:04,282 --> 00:07:06,663
ponieważ 5 podniesione do potęgi drugiej

175
00:07:06,663 --> 00:07:08,031
da nam 25. 

176
00:07:09,055 --> 00:07:10,544
Otrzymaliśmy 3/2

177
00:07:10,544 --> 00:07:13,151
a to jest to samo co 1 i 1/2.

178
00:07:13,919 --> 00:07:17,777
Logarytm o podstawie 25 z liczby 125

179
00:07:17,777 --> 00:07:19,551
to 1 i 1/2.

180
00:07:20,063 --> 00:07:22,917
Oznacza to, że jeżeli liczbę 25

181
00:07:22,917 --> 00:07:24,902
podniesiemy do potęgi 1 i 1/2

182
00:07:24,902 --> 00:07:27,487
to otrzymamy 125. 

183
00:07:28,005 --> 00:07:29,797
Mam teraz zadanie dla Ciebie.

184
00:07:31,659 --> 00:07:33,296
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

185
00:07:33,296 --> 00:07:35,296
analogicznie obliczyć logarytm

186
00:07:35,296 --> 00:07:37,983
o podstawie 100 z liczby 1000.

187
00:07:42,491 --> 00:07:44,779
Nie wiem do jakiej liczby podnieść 100

188
00:07:44,779 --> 00:07:46,331
aby otrzymać 1000.

189
00:07:47,069 --> 00:07:48,480
Szukamy zatem takiej liczby

190
00:07:48,480 --> 00:07:50,316
która podniesiona do jakiejś potęgi

191
00:07:50,316 --> 00:07:53,087
da nam liczbę 100 i liczbę 1000.

192
00:07:53,855 --> 00:07:55,391
Ta liczba to 10.

193
00:07:55,903 --> 00:07:57,737
10 do potęgi drugiej to 100

194
00:07:57,737 --> 00:08:00,359
i 10 do potęgi trzeciej to 1000.

195
00:08:01,023 --> 00:08:03,121
Ten logarytmy zapisuję zatem

196
00:08:03,121 --> 00:08:06,243
jako logarytm o podstawie 10 z liczby 1000

197
00:08:06,243 --> 00:08:08,254
przez logarytm o podstawie 10

198
00:08:08,254 --> 00:08:09,851
z liczby 100.

199
00:08:10,239 --> 00:08:12,472
Ten logarytm jest równy 3

200
00:08:12,472 --> 00:08:14,079
a ten jest równy 2.

201
00:08:14,847 --> 00:08:16,895
Znowu otrzymujemy 3/2.

202
00:08:17,919 --> 00:08:20,394
Logarytm o podstawie 100 z liczby 1000

203
00:08:20,394 --> 00:08:22,501
to 1 i 1/2.

204
00:08:28,671 --> 00:08:30,870
Wzór na zamianę podstawy logarytmu

205
00:08:30,870 --> 00:08:32,302
pozwala nam na zapisanie

206
00:08:32,302 --> 00:08:34,215
dowolnego logarytmu w postaci

207
00:08:34,215 --> 00:08:36,430
dwóch logarytmów o innej podstawie

208
00:08:36,430 --> 00:08:38,911
większej od zera i różnej od 1.

209
00:08:39,423 --> 00:08:41,494
W wielu przypadkach tylko dzięki

210
00:08:41,494 --> 00:08:43,618
znajomości tego wzoru będziemy mogli

211
00:08:43,618 --> 00:08:46,207
obliczyć dokładną wartość logarytmu.

212
00:08:50,687 --> 00:08:52,596
Chcesz bliżej poznać logarytmy?

213
00:08:52,596 --> 00:08:55,295
Obejrzyj pozostałe lekcje z tej playlisty.

214
00:08:55,953 --> 00:08:57,761
Zapraszam Cię również do odwiedzenia

215
00:08:57,761 --> 00:09:00,461
naszej strony internetowej pistacja.tv.