1
00:00:00,292 --> 00:00:02,276
Nie tylko chemicy posługują się

2
00:00:02,276 --> 00:00:04,388
w pracy pojęciem rzędu wielkości.

3
00:00:04,890 --> 00:00:07,439
Na przykład słoń jest większy od mrówki

4
00:00:07,439 --> 00:00:08,986
o 3 rzędy wielkości.

5
00:00:09,252 --> 00:00:11,288
Nie każdy jednak wie, że to pojęcie

6
00:00:11,288 --> 00:00:13,548
ściśle wiąże się z logarytmami.

7
00:00:26,384 --> 00:00:28,481
W tej lekcji zajmiemy się wykonywaniem

8
00:00:28,481 --> 00:00:30,138
działań na logarytmach.

9
00:00:30,224 --> 00:00:31,388
Nie będzie tutaj nic

10
00:00:31,388 --> 00:00:32,914
co mogłoby Cię zaskoczyć.

11
00:00:34,048 --> 00:00:35,535
Spróbuj zatem rozwiązać

12
00:00:35,535 --> 00:00:37,481
najpierw każde zadanie samodzielnie

13
00:00:37,481 --> 00:00:39,492
a następnie włącz z powrotem film

14
00:00:39,492 --> 00:00:41,001
i sprawdź, czy twój wynik

15
00:00:41,001 --> 00:00:42,980
jest taki sam jak mój.

16
00:00:43,004 --> 00:00:45,074
Zacznijmy od takiego przykładu.

17
00:00:45,244 --> 00:00:47,983
Logarytm o podstawie 12 z liczby 3

18
00:00:47,983 --> 00:00:51,968
dodać logarytm o podstawie 12 z liczby 48.

19
00:00:55,232 --> 00:00:56,902
Zwróć uwagę, że nie jesteśmy

20
00:00:56,902 --> 00:00:58,949
w stanie powiedzieć, do jakiej potęgi

21
00:00:58,949 --> 00:01:00,841
należy podnieść liczbę 12

22
00:01:00,851 --> 00:01:02,166
aby otrzymać 3.

23
00:01:02,166 --> 00:01:04,240
Tak samo nie jesteśmy w stanie powiedzieć

24
00:01:04,240 --> 00:01:05,960
do jakiej potęgi należy podnieść

25
00:01:05,960 --> 00:01:09,118
liczbę 12, aby otrzymać 48.

26
00:01:09,422 --> 00:01:11,630
Musimy sobie poradzić jakoś inaczej.

27
00:01:11,840 --> 00:01:12,662
A jak?

28
00:01:12,668 --> 00:01:13,420
Zwróć uwagę

29
00:01:13,420 --> 00:01:15,308
że tutaj mamy takie same podstawy

30
00:01:15,308 --> 00:01:17,312
i mamy sumę dwóch logarytmów.

31
00:01:17,568 --> 00:01:19,360
Co robimy w takiej sytuacji?

32
00:01:19,652 --> 00:01:21,010
Sumę dwóch logarytmów

33
00:01:21,010 --> 00:01:22,525
o takich samych podstawach

34
00:01:22,525 --> 00:01:24,892
możemy zapisać jako jeden logarytm

35
00:01:24,892 --> 00:01:27,270
z iloczynu liczb logarytmowanych.

36
00:01:28,064 --> 00:01:31,392
3 razy 48 to 144.

37
00:01:31,774 --> 00:01:33,623
Otrzymujemy logarytm o podstawie

38
00:01:33,623 --> 00:01:36,512
12 z liczby 144.

39
00:01:36,512 --> 00:01:38,182
Aby obliczyć ten logarytm

40
00:01:38,182 --> 00:01:39,809
wystarczy zastanowić się

41
00:01:39,809 --> 00:01:42,756
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 12

42
00:01:42,778 --> 00:01:45,558
aby otrzymać liczbę 144.

43
00:01:46,276 --> 00:01:47,970
Tą liczbą jest 2

44
00:01:47,970 --> 00:01:51,872
ponieważ 12 do potęgi drugiej to 144.

45
00:01:52,640 --> 00:01:55,200
Liczba 2 jest wynikiem tego działania.

46
00:01:57,540 --> 00:01:59,812
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć

47
00:01:59,812 --> 00:02:01,789
ile to jest logarytm o podstawie

48
00:02:01,789 --> 00:02:03,744
5 z liczby 250

49
00:02:03,744 --> 00:02:06,720
odjąć logarytm o podstawie 5 z liczby 2.

50
00:02:10,560 --> 00:02:12,482
Zwróć uwagę, że znowu nie jesteśmy

51
00:02:12,482 --> 00:02:14,164
w stanie podać, do jakiej potęgi

52
00:02:14,164 --> 00:02:16,044
należy podnieść liczbę 5

53
00:02:16,044 --> 00:02:17,984
aby otrzymać 250.

54
00:02:18,532 --> 00:02:20,184
Tak samo nie potrafimy powiedzieć

55
00:02:20,184 --> 00:02:22,750
do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 5

56
00:02:22,750 --> 00:02:24,676
aby otrzymać liczbę 2.

57
00:02:25,248 --> 00:02:26,784
Co zatem możemy zrobić?

58
00:02:27,200 --> 00:02:28,683
Zwróć uwagę, że tutaj mamy

59
00:02:28,683 --> 00:02:30,426
odejmowanie dwóch logarytmów

60
00:02:30,426 --> 00:02:32,320
o takich samych podstawach.

61
00:02:33,344 --> 00:02:34,819
Różnicę dwóch logarytmów

62
00:02:34,819 --> 00:02:36,438
o takich samych podstawach

63
00:02:36,438 --> 00:02:38,598
możemy zapisać jako jeden logarytm

64
00:02:38,598 --> 00:02:39,948
o takiej samej podstawie

65
00:02:39,948 --> 00:02:42,348
z ilorazu liczb logarytmowanych.

66
00:02:42,560 --> 00:02:43,825
Otrzymaliśmy logarytm

67
00:02:43,825 --> 00:02:47,424
o podstawie 5 z ułamka 250/2.

68
00:02:47,992 --> 00:02:51,942
250/2 to inaczej 250 podzielić przez 2

69
00:02:51,942 --> 00:02:53,422
czyli 125.

70
00:02:53,824 --> 00:02:55,316
Otrzymujemy zatem logarytm

71
00:02:55,316 --> 00:02:58,688
o podstawie 5 z liczby 125.

72
00:02:58,744 --> 00:03:00,288
Aby obliczyć ten logarytmu

73
00:03:00,288 --> 00:03:02,464
należy zastanowić się, do jakiej potęgi

74
00:03:02,464 --> 00:03:04,278
należy podnieść liczbę 5

75
00:03:04,358 --> 00:03:07,006
aby otrzymać liczbę 125.

76
00:03:07,904 --> 00:03:10,302
Ta liczba to 3, ponieważ 5 podniesione

77
00:03:10,302 --> 00:03:13,024
do potęgi trzeciej to 125.

78
00:03:13,602 --> 00:03:16,216
Liczba 3 jest wynikiem tego działania.

79
00:03:17,492 --> 00:03:18,825
Kolejne zadanie dla Ciebie

80
00:03:18,825 --> 00:03:20,489
to logarytm o podstawie 2

81
00:03:20,489 --> 00:03:23,776
z logarytmu o podstawie 5 z liczby 25.

82
00:03:28,128 --> 00:03:29,920
Co jesteśmy w stanie obliczyć?

83
00:03:30,176 --> 00:03:31,972
Jesteśmy w stanie podać, ile to jest

84
00:03:31,972 --> 00:03:35,296
logarytm o podstawie 5 z liczby 25.

85
00:03:36,576 --> 00:03:39,949
Logarytm o podstawie 5 z liczby 25 to 2

86
00:03:39,949 --> 00:03:42,336
ponieważ 5 podniesione do potęgi drugiej

87
00:03:42,336 --> 00:03:44,286
da nam liczbę 25.

88
00:03:45,024 --> 00:03:46,100
Otrzymujemy zatem

89
00:03:46,100 --> 00:03:48,864
logarytm o podstawie 2 z liczby 2.

90
00:03:49,376 --> 00:03:51,779
Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2

91
00:03:51,779 --> 00:03:53,216
aby otrzymać 2?

92
00:03:53,728 --> 00:03:55,264
Do potęgi pierwszej.

93
00:03:55,776 --> 00:03:57,584
2 podniesione do potęgi pierwszej

94
00:03:57,584 --> 00:03:59,104
da nam liczbę 2.

95
00:04:00,128 --> 00:04:02,432
Liczba 1 jest naszym wynikiem.

96
00:04:07,552 --> 00:04:09,600
Oto kolejny przykład dla Ciebie.

97
00:04:09,856 --> 00:04:11,032
Oblicz, ile to jest

98
00:04:11,032 --> 00:04:13,387
1/7 podniesiona do potęgi

99
00:04:13,387 --> 00:04:14,790
logarytm o podstawie

100
00:04:14,790 --> 00:04:17,280
1/7 z pierwiastka z pięciu.

101
00:04:20,693 --> 00:04:21,651
Ten przykład

102
00:04:21,651 --> 00:04:23,935
tylko wygląda na skomplikowany.

103
00:04:24,447 --> 00:04:26,833
Zwróć uwagę, że podstawą tej potęgi

104
00:04:26,833 --> 00:04:28,799
jest ułamek 1/7.

105
00:04:29,081 --> 00:04:30,218
Podstawą logarytmu

106
00:04:30,218 --> 00:04:32,373
jest również ułamek 1/7.

107
00:04:33,167 --> 00:04:34,906
Skoro ta liczba jest taka sama

108
00:04:34,906 --> 00:04:35,660
jak ta liczba

109
00:04:35,660 --> 00:04:37,141
to wynikiem tego potęgowania

110
00:04:37,141 --> 00:04:38,941
jest liczba logarytmowana 

111
00:04:38,941 --> 00:04:41,145
czyli pierwiastek z pięciu.

112
00:04:41,855 --> 00:04:43,209
Oto nasz wynik.

113
00:04:44,671 --> 00:04:46,903
A teraz spróbuj samodzielnie obliczyć

114
00:04:46,903 --> 00:04:49,882
ile to jest 25 podniesione do potęgi

115
00:04:49,882 --> 00:04:51,590
logarytm o podstawie 5

116
00:04:51,590 --> 00:04:53,375
z pierwiastka z pięciu.

117
00:04:57,181 --> 00:04:58,881
Chciałoby się od razu powiedzieć

118
00:04:58,881 --> 00:05:00,377
że wynikiem tego potęgowania

119
00:05:00,377 --> 00:05:02,269
jest pierwiastek z pięciu

120
00:05:02,371 --> 00:05:03,449
ale nie jest.

121
00:05:03,651 --> 00:05:04,699
Dlaczego?

122
00:05:04,921 --> 00:05:06,814
Zwróć uwagę, że podstawą logarytmu

123
00:05:06,814 --> 00:05:09,203
jest liczba 5, a podstawą potęgi

124
00:05:09,203 --> 00:05:10,553
liczba 25.

125
00:05:11,807 --> 00:05:12,831
Co zatem robimy?

126
00:05:13,343 --> 00:05:15,647
Liczbę 25 zapisujemy w postaci

127
00:05:15,647 --> 00:05:17,136
takiego potęgowania

128
00:05:17,136 --> 00:05:19,487
którego podstawą jest liczba 5.

129
00:05:20,255 --> 00:05:23,327
25 to inaczej 5 do potęgi drugiej.

130
00:05:23,839 --> 00:05:24,863
Co otrzymamy?

131
00:05:25,375 --> 00:05:27,630
Otrzymamy 5 do potęgi drugiej

132
00:05:27,630 --> 00:05:29,820
do potęgi logarytm o podstawie 5

133
00:05:29,820 --> 00:05:31,389
z pierwiastka z pięciu.

134
00:05:32,031 --> 00:05:33,439
A co robimy w sytuacji

135
00:05:33,439 --> 00:05:34,842
gdy potęgowanie podnosimy

136
00:05:34,842 --> 00:05:36,639
do jeszcze jednej potęgi?

137
00:05:37,407 --> 00:05:39,382
Otrzymamy 5 do potęgi

138
00:05:39,382 --> 00:05:41,225
2 razy logarytm o podstawie

139
00:05:41,225 --> 00:05:43,295
5 z pierwiastka z pięciu.

140
00:05:43,807 --> 00:05:45,807
Wiesz już, że jeśli logarytm

141
00:05:45,807 --> 00:05:47,401
mnożymy przez liczbę

142
00:05:47,401 --> 00:05:49,131
to tę liczbę możemy zapisać

143
00:05:49,131 --> 00:05:51,487
w wykładniku liczby logarytmowanej.

144
00:05:52,511 --> 00:05:54,165
Otrzymamy 5 do potęgi

145
00:05:54,165 --> 00:05:56,455
logarytm o podstawie 5 z liczby

146
00:05:56,455 --> 00:05:59,215
pierwiastek z pięciu do potęgi drugiej.

147
00:05:59,725 --> 00:06:00,623
A ile to jest

148
00:06:00,623 --> 00:06:03,237
pierwiastek z pięciu do potęgi drugiej?

149
00:06:03,519 --> 00:06:04,361
5.

150
00:06:04,799 --> 00:06:06,605
Otrzymujemy 5 do potęgi 

151
00:06:06,605 --> 00:06:09,151
logarytm o podstawie 5 z pięciu.

152
00:06:10,175 --> 00:06:12,561
Zwróć uwagę, że teraz podstawa potęgowania

153
00:06:12,561 --> 00:06:15,039
jest taka sama jak podstawa logarytmu.

154
00:06:15,843 --> 00:06:17,799
Co będzie zatem naszym wynikiem?

155
00:06:17,819 --> 00:06:20,039
Liczba logarytmowana, czyli liczba 5.

156
00:06:21,183 --> 00:06:22,719
To jest nasz wynik.

157
00:06:23,487 --> 00:06:26,047
Możemy przejść do ostatniego zadania.

158
00:06:30,911 --> 00:06:33,150
Wiedząc, że logarytm o podstawie

159
00:06:33,150 --> 00:06:35,092
2 z liczby 3 równa się a

160
00:06:35,092 --> 00:06:37,475
i logarytm o podstawie 2 z liczby 5

161
00:06:37,475 --> 00:06:38,484
równa się b

162
00:06:38,484 --> 00:06:40,200
oblicz, ile to jest logarytm

163
00:06:40,200 --> 00:06:42,943
o podstawie 2 z liczby 75.

164
00:06:43,591 --> 00:06:45,205
Tego typu zadania pojawiają się

165
00:06:45,205 --> 00:06:47,571
bardzo często na różnych egzaminach.

166
00:06:47,571 --> 00:06:49,743
Na przykład na egzaminach maturalnych.

167
00:06:49,743 --> 00:06:51,701
Pokażę Ci jak je rozwiązywać.

168
00:06:52,415 --> 00:06:54,463
Zastanówmy się najpierw, co wiemy.

169
00:06:55,071 --> 00:06:57,100
Wiemy, że logarytm o podstawie

170
00:06:57,100 --> 00:06:59,583
2 z liczby 3 to pewna liczba a.

171
00:06:59,985 --> 00:07:02,206
Wiemy też, że logarytm o podstawie

172
00:07:02,206 --> 00:07:04,703
2 z liczby 5 to pewna liczba b.

173
00:07:05,215 --> 00:07:06,834
Chcemy obliczyć ile to jest

174
00:07:06,834 --> 00:07:10,335
logarytm o podstawie 2 z liczby 75.

175
00:07:11,059 --> 00:07:12,985
Najpierw zaczynamy od zapisania

176
00:07:12,985 --> 00:07:15,886
logarytmu o podstawie 2 z liczby 75

177
00:07:15,906 --> 00:07:18,463
czyli od tego, co chcemy obliczyć.

178
00:07:19,039 --> 00:07:21,410
Cały myk w tym zadaniu polega na tym

179
00:07:21,410 --> 00:07:24,413
aby liczbę 75 zapisać w postaci

180
00:07:24,413 --> 00:07:27,362
iloczynu lub ilorazu liczb logarytmowanych

181
00:07:27,382 --> 00:07:29,593
które mamy w treści zadania.

182
00:07:29,593 --> 00:07:32,097
Te liczby to liczby 3 oraz 5.

183
00:07:33,119 --> 00:07:35,693
Ostatnią cyfrą liczby 75 jest 5

184
00:07:35,693 --> 00:07:37,328
czyli liczba 75

185
00:07:37,328 --> 00:07:39,263
na pewno dzieli się przez 5.

186
00:07:41,055 --> 00:07:44,378
75 to inaczej 25 razy 3.

187
00:07:44,548 --> 00:07:46,949
Zapiszę ten iloczyn w tym miejscu.

188
00:07:46,949 --> 00:07:48,669
25 razy 3.

189
00:07:48,997 --> 00:07:50,477
To jeszcze nie wszystko.

190
00:07:50,553 --> 00:07:52,411
Wiemy, że liczba 25

191
00:07:52,411 --> 00:07:54,399
to inaczej 5 razy 5.

192
00:07:54,399 --> 00:07:57,027
Otrzymujemy 5 razy 5 razy 3.

193
00:07:57,495 --> 00:07:59,843
Zaraz się dowiesz, po co to robimy.

194
00:08:00,767 --> 00:08:03,954
Zamieniając liczbę 75 na taki iloczyn

195
00:08:03,954 --> 00:08:05,817
otrzymujemy logarytm o podstawie

196
00:08:05,817 --> 00:08:08,959
2 z iloczynu 5 razy 5 razy 3.

197
00:08:09,517 --> 00:08:11,255
Ten logarytm możemy rozbić

198
00:08:11,285 --> 00:08:13,055
na sumę trzech logarytmów.

199
00:08:13,663 --> 00:08:14,687
Czy wiesz jakich?

200
00:08:14,913 --> 00:08:17,427
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

201
00:08:21,399 --> 00:08:23,364
Ten logarytm możemy zapisać

202
00:08:23,414 --> 00:08:25,310
jako sumę trzech logarytmów

203
00:08:25,310 --> 00:08:27,413
o podstawach równych 2 

204
00:08:27,413 --> 00:08:30,101
z liczb 5, 5 oraz 3.

205
00:08:30,975 --> 00:08:33,433
Zwróć uwagę, że każda z tych trzech liczb

206
00:08:33,433 --> 00:08:35,583
brała udział w tym mnożeniu.

207
00:08:36,607 --> 00:08:37,375
Zobacz.

208
00:08:37,471 --> 00:08:38,431
Tutaj mamy sumę

209
00:08:38,481 --> 00:08:40,337
dwóch identycznych logarytmów.

210
00:08:40,959 --> 00:08:42,869
Zapiszmy ją w postaci mnożenia jako

211
00:08:42,869 --> 00:08:45,823
2 razy logarytm o podstawie 2 z liczby 5.

212
00:08:46,431 --> 00:08:47,381
Do tego dodajemy

213
00:08:47,381 --> 00:08:50,015
logarytm o podstawie 2 z liczby 3.

214
00:08:50,687 --> 00:08:51,711
Co nam to dało?

215
00:08:51,967 --> 00:08:53,407
Wiemy, że logarytm

216
00:08:53,407 --> 00:08:55,807
o podstawie 2 z liczby 3 to a.

217
00:08:56,063 --> 00:08:56,985
Zapiszmy to.

218
00:08:56,985 --> 00:08:59,903
Logarytm o podstawie 2 z liczby 3 to a.

219
00:09:00,927 --> 00:09:02,302
Wiemy też, że logarytm

220
00:09:02,302 --> 00:09:04,767
o podstawie 2 z liczby 5 to b.

221
00:09:05,535 --> 00:09:06,815
To również zapiszmy.

222
00:09:08,351 --> 00:09:10,468
No to, co otrzymamy, wstawiając w miejsce

223
00:09:10,468 --> 00:09:12,431
tego logarytmu literę b

224
00:09:12,431 --> 00:09:14,905
i w miejsce tego logarytmu literę a.

225
00:09:15,519 --> 00:09:17,091
Otrzymujemy 2b dodać a

226
00:09:17,091 --> 00:09:18,591
i to jest nasz wynik.

227
00:09:24,991 --> 00:09:26,645
Aby obliczać różne logarytmy

228
00:09:26,645 --> 00:09:28,760
wystarczy rozumieć, jak działa logarytm

229
00:09:28,760 --> 00:09:29,833
oraz jak działają

230
00:09:29,833 --> 00:09:32,085
różne wzory na logarytmach.

231
00:09:35,999 --> 00:09:36,700
Jeśli chcesz

232
00:09:36,700 --> 00:09:38,511
dowiedzieć się więcej o logarytmach

233
00:09:38,511 --> 00:09:40,102
to obejrzyj pozostałe lekcje

234
00:09:40,102 --> 00:09:41,669
z tej playlisty.

235
00:09:41,669 --> 00:09:43,046
Jeśli chcesz być na bieżąco

236
00:09:43,046 --> 00:09:44,135
z nowymi lekcjami

237
00:09:44,135 --> 00:09:46,815
zasubskrybuj nasz kanał na YouTubie.