1
00:00:01,536 --> 00:00:03,520
Liczba Eulera to stała matematyczna

2
00:00:03,520 --> 00:00:05,303
wykorzystywana w wielu dziedzinach

3
00:00:05,303 --> 00:00:06,912
matematyki i fizyki.

4
00:00:07,424 --> 00:00:10,034
W przybliżeniu wynosi 2,71

5
00:00:10,034 --> 00:00:12,544
i oznacza się ją literą e.

6
00:00:12,800 --> 00:00:14,859
Logarytm o podstawie e nazywa się

7
00:00:14,859 --> 00:00:16,241
logarytmem naturalnym

8
00:00:16,241 --> 00:00:18,688
i oznacza się go symbolem ln.

9
00:00:19,200 --> 00:00:20,795
Podstawy, czyli liczby e

10
00:00:20,795 --> 00:00:22,272
już nie zapisujemy.

11
00:00:36,096 --> 00:00:37,632
Spójrz na takie równanie.

12
00:00:37,964 --> 00:00:39,359
Logarytm o podstawie

13
00:00:39,359 --> 00:00:41,804
2 z liczby x równa się 3.

14
00:00:42,496 --> 00:00:44,235
W tym przypadku naszą niewiadomą

15
00:00:44,235 --> 00:00:47,104
jest liczba logarytmowana, czyli x.

16
00:00:47,592 --> 00:00:48,683
Chcemy się dowiedzieć

17
00:00:48,683 --> 00:00:50,539
jaką liczbę możemy tutaj wstawić

18
00:00:50,539 --> 00:00:52,566
aby ta równość była prawdziwa.

19
00:00:53,248 --> 00:00:54,636
Równania z logarytmami

20
00:00:54,636 --> 00:00:56,376
rozwiązujemy bazując na tym

21
00:00:56,376 --> 00:00:57,600
jak działa logarytm.

22
00:00:58,368 --> 00:01:00,672
Przypomnijmy sobie definicję logarytmu.

23
00:01:01,952 --> 00:01:04,197
Logarytm o podstawie a z liczby b

24
00:01:04,197 --> 00:01:06,312
równa się c wtedy i tylko wtedy

25
00:01:06,312 --> 00:01:08,356
gdy a podniesione do potęgi c

26
00:01:08,356 --> 00:01:10,308
daje liczbę b.

27
00:01:10,912 --> 00:01:13,141
Pamiętajmy o tym, że podstawa logarytmu

28
00:01:13,141 --> 00:01:15,924
musi być większa od zera i różna od 1

29
00:01:15,924 --> 00:01:17,296
a liczba logarytmowana

30
00:01:17,312 --> 00:01:19,104
musi być większa od zera.

31
00:01:20,384 --> 00:01:22,320
Łatwo pamiętać działanie logarytmu

32
00:01:22,320 --> 00:01:24,224
rysując sobie takie strzałki.

33
00:01:24,736 --> 00:01:27,808
a podniesione do potęgi c daje liczbę b.

34
00:01:28,576 --> 00:01:30,126
Korzystając z tego łatwo będzie

35
00:01:30,126 --> 00:01:32,672
rozwiązywać nam równania z logarytmami.

36
00:01:33,546 --> 00:01:34,463
Narysujmy sobie

37
00:01:34,463 --> 00:01:36,412
takie strzałki w tym przykładzie.

38
00:01:36,412 --> 00:01:39,328
2 podniesione do potęgi trzeciej da nam x.

39
00:01:41,888 --> 00:01:43,168
Teraz to zapiszemy.

40
00:01:43,680 --> 00:01:46,509
Ponieważ logarytm o podstawie a z x

41
00:01:46,509 --> 00:01:47,791
równa się 3

42
00:01:47,791 --> 00:01:50,592
to 2 do potęgi trzeciej równa się x. 

43
00:01:52,128 --> 00:01:54,688
A ile to jest 2 do potęgi trzeciej?

44
00:01:54,834 --> 00:01:55,544
8.

45
00:01:55,544 --> 00:01:58,272
Oznacza to, że 8 równa się x.

46
00:01:58,624 --> 00:01:59,780
Mamy już kandydata

47
00:01:59,780 --> 00:02:01,400
na rozwiązanie równania.

48
00:02:01,400 --> 00:02:02,880
Dlaczego kandydata?

49
00:02:02,880 --> 00:02:04,311
Na końcu musimy sprawdzić

50
00:02:04,311 --> 00:02:05,604
czy wszystko jest okej

51
00:02:05,610 --> 00:02:06,966
z naszym rozwiązaniem.

52
00:02:07,238 --> 00:02:08,296
Co to znaczy?

53
00:02:08,512 --> 00:02:10,119
Zwróć uwagę, że w tym przypadku

54
00:02:10,119 --> 00:02:12,608
niewiadomą była liczba logarytmowana.

55
00:02:12,864 --> 00:02:14,507
O liczbie logarytmowanej wiemy

56
00:02:14,507 --> 00:02:16,704
że ma ona być większa od zera.

57
00:02:17,548 --> 00:02:19,616
Czy ta liczba jest większa od zera?

58
00:02:19,826 --> 00:02:20,586
Tak.

59
00:02:20,650 --> 00:02:22,311
Oznacza to, że wszystko w porządku

60
00:02:22,311 --> 00:02:24,106
z naszym rozwiązaniem.

61
00:02:24,640 --> 00:02:26,449
Rozwiązując równania można już

62
00:02:26,449 --> 00:02:28,992
na początku podać dziedzinę rozwiązań.

63
00:02:29,836 --> 00:02:30,861
Jeszcze raz powtórzę

64
00:02:30,861 --> 00:02:32,865
że w naszym przypadku niewiadomą jest

65
00:02:32,865 --> 00:02:35,386
liczba logarytmowana, czyli x.

66
00:02:35,548 --> 00:02:37,236
Wiemy z definicji, że ta liczba

67
00:02:37,236 --> 00:02:39,744
logarytmowana ma być większa od zera.

68
00:02:41,130 --> 00:02:42,656
Zapisujemy to w ten sposób

69
00:02:42,656 --> 00:02:43,657
że x należy

70
00:02:43,657 --> 00:02:45,808
do przedziału obustronnie otwartego

71
00:02:45,808 --> 00:02:48,772
od zera do plus nieskończoności. 

72
00:02:49,216 --> 00:02:50,435
Zapisywanie dziedziny

73
00:02:50,435 --> 00:02:52,224
na początku rozwiązywania równania

74
00:02:52,224 --> 00:02:54,666
to taki formalizm matematyczny.

75
00:02:54,964 --> 00:02:56,705
My po rozwiązaniu tego równania

76
00:02:56,705 --> 00:02:58,642
sprawdziliśmy czy nasze rozwiązanie

77
00:02:58,642 --> 00:03:01,108
spełnia założenia definicji logarytmu.

78
00:03:01,560 --> 00:03:03,098
Sprawdzenie czy rozwiązanie

79
00:03:03,098 --> 00:03:04,159
należy do dziedziny

80
00:03:04,159 --> 00:03:06,166
jest dokładnie tym samym.

81
00:03:06,368 --> 00:03:07,882
My zrobiliśmy to na początku

82
00:03:07,882 --> 00:03:09,692
i bez formalizmów.

83
00:03:09,692 --> 00:03:11,120
Tego będziemy się trzymali

84
00:03:11,120 --> 00:03:12,784
w kolejnych przykładach.

85
00:03:12,784 --> 00:03:15,328
Spójrz teraz na następne równanie.

86
00:03:15,584 --> 00:03:19,424
Logarytm o podstawie 1/2 z x równa się 3.

87
00:03:19,706 --> 00:03:21,733
Ten przykład jest dla Ciebie.

88
00:03:21,733 --> 00:03:23,407
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

89
00:03:23,407 --> 00:03:25,718
samodzielnie rozwiązać to równanie.

90
00:03:30,688 --> 00:03:31,968
Jak działa logarytm?

91
00:03:32,736 --> 00:03:34,552
Jeśli podstawę, czyli 1/2

92
00:03:34,552 --> 00:03:36,447
podniesiemy do potęgi trzeciej

93
00:03:36,447 --> 00:03:38,112
to mamy otrzymać x.

94
00:03:40,416 --> 00:03:41,440
Zapiszmy to.

95
00:03:41,486 --> 00:03:43,179
Ponieważ logarytm o podstawie

96
00:03:43,179 --> 00:03:45,570
1/2 z x równa się 3

97
00:03:45,570 --> 00:03:47,356
to 1/2 do potęgi trzeciej

98
00:03:47,356 --> 00:03:48,864
równa się x.

99
00:03:50,938 --> 00:03:53,754
A ile to jest 1/2 do potęgi trzeciej?

100
00:03:54,240 --> 00:03:55,264
1/8.

101
00:03:55,330 --> 00:03:58,146
Wynika z tego, że 1/8 równa się x.

102
00:03:59,150 --> 00:04:00,850
W tym przypadku naszą niewiadomą

103
00:04:00,850 --> 00:04:02,990
znowu była liczba logarytmowana.

104
00:04:03,968 --> 00:04:05,943
Wiemy, że liczba logarytmowana

105
00:04:05,943 --> 00:04:07,808
ma być większa od zera.

106
00:04:08,832 --> 00:04:11,136
1/8 to liczba większa od zera.

107
00:04:12,160 --> 00:04:13,952
To jest nasze rozwiązanie.

108
00:04:15,232 --> 00:04:16,876
Po rozwiązaniu każdego równania

109
00:04:16,876 --> 00:04:18,484
możemy w miejsce niewiadomej

110
00:04:18,484 --> 00:04:20,095
wstawić naszą liczbę.

111
00:04:20,351 --> 00:04:21,402
Sprawdzimy tym samym

112
00:04:21,402 --> 00:04:22,754
czy otrzymana równość

113
00:04:22,754 --> 00:04:24,703
rzeczywiście jest prawdziwa.

114
00:04:25,045 --> 00:04:26,813
W tym przykładzie w miejsce x

115
00:04:26,813 --> 00:04:28,693
wstawimy 1/8.

116
00:04:28,845 --> 00:04:30,556
Otrzymamy logarytm o podstawie

117
00:04:30,556 --> 00:04:33,383
1/2 z 1/8 równa się 3.

118
00:04:35,199 --> 00:04:37,502
To równanie rzeczywiście jest prawdziwe

119
00:04:37,502 --> 00:04:38,658
ponieważ 1/2

120
00:04:38,658 --> 00:04:41,883
podniesiona do potęgi trzeciej da nam 1/8.

121
00:04:42,709 --> 00:04:43,831
W przykładzie powyżej

122
00:04:43,831 --> 00:04:46,719
w miejsce niewiadomej wstawimy liczbę 8.

123
00:04:47,071 --> 00:04:48,864
Otrzymamy logarytm o podstawie

124
00:04:48,864 --> 00:04:50,911
2 z liczby 8 równa się 3.

125
00:04:52,351 --> 00:04:53,955
Tak, ponieważ 2 podniesione

126
00:04:53,955 --> 00:04:56,447
do potęgi trzeciej da nam liczbę 8.

127
00:05:01,553 --> 00:05:03,345
Spójrz teraz na takie równanie.

128
00:05:03,871 --> 00:05:05,178
Logarytm o podstawie

129
00:05:05,178 --> 00:05:08,479
2 z wyrażenia x plus 1 równa się 3.

130
00:05:08,991 --> 00:05:10,527
Jak działa logarytm?

131
00:05:11,039 --> 00:05:13,052
2 podniesione do potęgi trzeciej

132
00:05:13,052 --> 00:05:15,391
dadzą nam wyrażenie x plus 1.

133
00:05:16,671 --> 00:05:18,360
Ponieważ logarytm o podstawie

134
00:05:18,360 --> 00:05:21,535
2 z wyrażenia x plus 1 równa się 3

135
00:05:21,791 --> 00:05:23,637
to 2 podniesione do potęgi trzeciej

136
00:05:23,637 --> 00:05:25,887
dadzą nam wyrażenie x plus 1.

137
00:05:27,679 --> 00:05:28,511
Ile to jest 2

138
00:05:28,511 --> 00:05:30,435
podniesione do potęgi trzeciej?

139
00:05:30,805 --> 00:05:31,655
8.

140
00:05:31,775 --> 00:05:34,335
Otrzymujemy 8 równa się x plus 1.

141
00:05:34,847 --> 00:05:37,220
No to jaką liczbę należy dodać do jedynki

142
00:05:37,220 --> 00:05:38,687
aby otrzymać 8?

143
00:05:38,943 --> 00:05:39,711
7.

144
00:05:39,967 --> 00:05:42,015
Oznacza to, że 7 równa się x.

145
00:05:43,883 --> 00:05:45,261
Sprawdźmy, co się stanie

146
00:05:45,261 --> 00:05:48,491
gdy w miejsce litery x wstawimy liczbę 7.

147
00:05:48,927 --> 00:05:51,231
Otrzymamy 7 dodać 1, czyli 8.

148
00:05:52,255 --> 00:05:54,851
Liczba logarytmowana jest większa od zera

149
00:05:54,851 --> 00:05:56,863
więc wszystko jest w porządku.

150
00:05:57,375 --> 00:05:59,146
Otrzymujemy logarytm o podstawie

151
00:05:59,146 --> 00:06:01,471
2 z liczby 8 równa się 3.

152
00:06:01,727 --> 00:06:04,062
Ta równość rzeczywiście jest prawdziwa

153
00:06:04,062 --> 00:06:06,309
ponieważ 2 podniesione do potęgi trzeciej

154
00:06:06,309 --> 00:06:07,871
dadzą nam liczbę 8.

155
00:06:09,087 --> 00:06:10,128
Teraz przyszła kolej

156
00:06:10,128 --> 00:06:11,635
na zadanie dla Ciebie.

157
00:06:11,807 --> 00:06:13,357
Spójrz na takie równanie.

158
00:06:13,759 --> 00:06:15,878
Logarytm dziesiętny z wyrażenia

159
00:06:15,878 --> 00:06:18,879
5 odjąć 4x równa się 0.

160
00:06:19,391 --> 00:06:21,951
Skąd wiem, że to jest logarytm dziesiętny?

161
00:06:21,951 --> 00:06:24,033
Nie ma tutaj zapisanej podstawy.

162
00:06:24,221 --> 00:06:26,474
Tak oznacza się logarytm dziesiętny.

163
00:06:26,474 --> 00:06:28,097
My jednak możemy w tym miejscu

164
00:06:28,097 --> 00:06:29,853
dopisać sobie liczbę 10.

165
00:06:30,505 --> 00:06:32,205
Ona ułatwi nam rozwiązywanie

166
00:06:32,205 --> 00:06:33,565
tego równania.

167
00:06:33,983 --> 00:06:35,715
Jak zatem działa logarytm?

168
00:06:35,715 --> 00:06:37,886
10 podniesione do potęgi zerowej

169
00:06:37,886 --> 00:06:40,895
da nam wyrażenie 5 odjąć 4x.

170
00:06:41,407 --> 00:06:42,431
Zapiszmy to.

171
00:06:42,723 --> 00:06:44,447
Ponieważ logarytm dziesiętny

172
00:06:44,447 --> 00:06:47,587
z wyrażenia 5 odjąć 4x równa się 0

173
00:06:47,793 --> 00:06:50,103
to 10 podniesione do potęgi zerowej

174
00:06:50,103 --> 00:06:52,631
równa się 5 odjąć 4x.

175
00:06:53,439 --> 00:06:55,743
10 do potęgi zerowej to 1.

176
00:06:56,255 --> 00:06:59,839
Otrzymujemy 1 równa się 5 odjąć 4x.

177
00:07:00,347 --> 00:07:03,871
Teraz -4x zapiszę po przeciwnej stronie

178
00:07:03,871 --> 00:07:06,103
tego równania z przeciwnym znakiem.

179
00:07:06,495 --> 00:07:08,543
Następnie przepisuję piątkę.

180
00:07:09,055 --> 00:07:11,404
Teraz jedynkę przerzucam na prawą stronę

181
00:07:11,404 --> 00:07:13,407
również ze zmienionym znakiem.

182
00:07:13,919 --> 00:07:16,479
Otrzymujemy 4x równa się 4.

183
00:07:16,735 --> 00:07:19,328
No to jaką liczbę należy pomnożyć przez 4

184
00:07:19,328 --> 00:07:20,831
aby otrzymać 4?

185
00:07:21,087 --> 00:07:21,855
1.

186
00:07:22,111 --> 00:07:24,671
Oznacza to, że x równa się 1.

187
00:07:25,183 --> 00:07:26,697
Sprawdźmy teraz co się stanie

188
00:07:26,697 --> 00:07:30,047
gdy w miejsce litery x wstawimy liczbę 1.

189
00:07:30,303 --> 00:07:31,910
4 razy 1 to 4

190
00:07:31,910 --> 00:07:33,887
a 5 odjąć 4 to 1.

191
00:07:36,011 --> 00:07:37,894
Otrzymujemy logarytm o podstawie

192
00:07:37,894 --> 00:07:40,503
10 z liczby 1 równa się 0.

193
00:07:41,055 --> 00:07:43,359
Liczbą logarytmowaną jest jedynka

194
00:07:43,359 --> 00:07:45,407
która jest większa od zera.

195
00:07:46,431 --> 00:07:48,889
Ta równość rzeczywiście jest prawdziwa

196
00:07:48,889 --> 00:07:51,288
ponieważ 10 podniesione do potęgi zerowej

197
00:07:51,288 --> 00:07:52,575
da nam liczbę 1.

198
00:07:55,859 --> 00:07:58,273
Przed nami ostatnie równanie w tej lekcji.

199
00:07:58,479 --> 00:07:59,707
Co tutaj mamy?

200
00:08:00,035 --> 00:08:01,895
Logarytm o podstawie 3

201
00:08:01,895 --> 00:08:04,368
z logarytmu o podstawie 2 z liczby x

202
00:08:04,368 --> 00:08:05,581
równa się 0.

203
00:08:06,139 --> 00:08:08,211
W tym przykładzie liczbą logarytmowaną

204
00:08:08,211 --> 00:08:10,256
jest logarytm o podstawie 2

205
00:08:10,256 --> 00:08:11,515
z niewiadomej x.

206
00:08:12,287 --> 00:08:14,605
Przypomnijmy sobie, jak działa logarytm.

207
00:08:14,605 --> 00:08:16,992
Jeśli liczbę 3 podniesiemy do potęgi

208
00:08:16,992 --> 00:08:18,960
zerowej, to otrzymamy logarytm

209
00:08:18,960 --> 00:08:21,361
o podstawie 2 z niewiadomej x.

210
00:08:21,759 --> 00:08:22,783
Zapiszmy to.

211
00:08:22,789 --> 00:08:24,697
Ponieważ logarytm o podstawie 3

212
00:08:24,697 --> 00:08:27,349
z logarytmu o podstawie 2 z niewiadomej x

213
00:08:27,349 --> 00:08:30,176
równa się 0, to 3 podniesione do potęgi

214
00:08:30,176 --> 00:08:32,779
zerowej dadzą nam logarytm o podstawie 2

215
00:08:32,779 --> 00:08:34,303
z niewiadomej x.

216
00:08:34,559 --> 00:08:37,119
Ile to jest 3 do potęgi zerowej?

217
00:08:37,375 --> 00:08:38,143
1.

218
00:08:38,143 --> 00:08:40,311
Oznacza to, że logarytm o podstawie 2

219
00:08:40,311 --> 00:08:42,239
z niewiadomej x równa się 1.

220
00:08:42,751 --> 00:08:44,287
Zapiszę to w ten sposób.

221
00:08:44,543 --> 00:08:45,345
Zobacz.

222
00:08:45,345 --> 00:08:47,117
Mamy tutaj kolejne równanie.

223
00:08:47,117 --> 00:08:48,491
Co należy zrobić?

224
00:08:48,639 --> 00:08:50,967
Przypominamy sobie, jak działa logarytm.

225
00:08:50,999 --> 00:08:52,609
Ponieważ logarytm o podstawie

226
00:08:52,609 --> 00:08:54,839
2 z niewiadomej x równa się 1

227
00:08:55,185 --> 00:08:57,183
to 2 podniesione do potęgi pierwszej

228
00:08:57,183 --> 00:08:58,939
dadzą nam x.

229
00:08:59,391 --> 00:09:00,927
Zapiszę to pod spodem.

230
00:09:01,439 --> 00:09:03,335
2 podniesione do potęgi pierwszej

231
00:09:03,335 --> 00:09:04,767
równa się x.

232
00:09:05,335 --> 00:09:07,639
A ile to jest 2 do potęgi pierwszej?

233
00:09:08,095 --> 00:09:08,887
2.

234
00:09:09,119 --> 00:09:10,655
2 równa się x.

235
00:09:11,167 --> 00:09:12,582
Sprawdźmy, co się stanie

236
00:09:12,582 --> 00:09:15,263
gdy wstawimy liczbę 2 w miejsce x.

237
00:09:16,799 --> 00:09:18,587
Otrzymujemy logarytm o podstawie

238
00:09:18,587 --> 00:09:21,280
3 z logarytmu o podstawie 2 z liczby 2

239
00:09:21,280 --> 00:09:22,751
równa się 0.

240
00:09:23,199 --> 00:09:26,015
Sprawdźmy, czy ta równość jest prawdziwa.

241
00:09:26,783 --> 00:09:28,575
Zaczynamy od tego logarytmu.

242
00:09:29,343 --> 00:09:32,415
Logarytm o podstawie 2 z liczby 2 to 1.

243
00:09:33,183 --> 00:09:34,984
Otrzymujemy logarytm o podstawie

244
00:09:34,984 --> 00:09:37,279
3 z liczby 1 równa się 0.

245
00:09:38,419 --> 00:09:40,497
Ta równość jest na pewno prawdziwa

246
00:09:40,497 --> 00:09:41,819
ponieważ 3 podniesione

247
00:09:41,819 --> 00:09:44,221
do potęgi zerowej da nam liczbę 1.

248
00:09:45,727 --> 00:09:48,024
Zauważ, że tutaj liczbą logarytmowaną

249
00:09:48,024 --> 00:09:51,103
jest jedynka, która jest większa od zera.

250
00:09:51,615 --> 00:09:53,407
Wszystko wykonaliśmy poprawnie.

251
00:09:59,321 --> 00:10:01,383
W rozwiązywaniu prostych równań

252
00:10:01,393 --> 00:10:03,280
logarytmicznych kluczowe jest

253
00:10:03,280 --> 00:10:05,339
rozumienie definicji logarytmu.

254
00:10:05,701 --> 00:10:07,695
Logarytm o podstawie a z liczby b

255
00:10:07,695 --> 00:10:09,831
równa się c wtedy i tylko wtedy

256
00:10:09,831 --> 00:10:12,105
gdy a podniesione do potęgi c

257
00:10:12,105 --> 00:10:13,409
równa się b.

258
00:10:13,887 --> 00:10:15,823
Pamiętaj, aby na końcu sprawdzić

259
00:10:15,823 --> 00:10:18,150
czy nasze rozwiązanie pasuje do założeń

260
00:10:18,150 --> 00:10:20,851
które występują w definicji logarytmu.

261
00:10:24,027 --> 00:10:26,075
Ta playlista dotyczyła logarytmów.

262
00:10:26,195 --> 00:10:28,165
Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej

263
00:10:28,165 --> 00:10:30,565
stronie internetowej pistacja.tv.