1
00:00:00,082 --> 00:00:02,626
Matematyka jest pełna zwariowanych liczb.

2
00:00:02,672 --> 00:00:04,054
Przykładem takich liczb

3
00:00:04,064 --> 00:00:05,688
są liczby gnomoniczne.

4
00:00:05,958 --> 00:00:07,447
Jeśli taką liczbę dodasz

5
00:00:07,447 --> 00:00:09,423
do kwadratu jej liczby naturalnej

6
00:00:09,423 --> 00:00:10,836
otrzymasz kwadrat liczby

7
00:00:10,836 --> 00:00:12,532
większej o 1 od wyjściowej.

8
00:00:12,532 --> 00:00:14,952
Na przykład, liczbą gnomoniczną dla 3

9
00:00:14,982 --> 00:00:18,101
jest 7, bo 3 do kwadratu dodać 7

10
00:00:18,131 --> 00:00:22,156
równa się 16, a to jest 4 do kwadratu.

11
00:00:34,360 --> 00:00:36,334
Czasami mamy wyrażenie w nawiasie

12
00:00:36,334 --> 00:00:37,599
takie jak na przykład

13
00:00:37,599 --> 00:00:39,665
2x dodać 5 do kwadratu albo

14
00:00:39,715 --> 00:00:42,310
pierwiastek z trzech dodać 1 do kwadratu.

15
00:00:43,034 --> 00:00:44,267
Tego typu przykłady

16
00:00:44,277 --> 00:00:45,919
nazywamy kwadratami sumy.

17
00:00:45,969 --> 00:00:46,992
Niestety często

18
00:00:46,992 --> 00:00:48,644
tak jak w tych przypadkach

19
00:00:48,644 --> 00:00:51,064
nie możemy wykonać działania w nawiasie.

20
00:00:51,522 --> 00:00:54,014
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

21
00:00:54,014 --> 00:00:56,536
pozwoli nam obliczyć takie przykłady.

22
00:00:58,158 --> 00:01:00,586
Wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy

23
00:01:00,586 --> 00:01:02,832
wyprowadzamy z podniesionej do kwadratu

24
00:01:02,832 --> 00:01:03,980
sumy dwóch liczb.

25
00:01:04,006 --> 00:01:06,094
Wzór ten usprawnia nasze obliczenia

26
00:01:06,094 --> 00:01:08,459
i sprawia, że możemy sprytnie rozwiązywać

27
00:01:08,459 --> 00:01:10,434
z pozoru skomplikowane przykłady.

28
00:01:10,928 --> 00:01:12,518
Wyprowadźmy więc nasz wzór

29
00:01:12,518 --> 00:01:14,686
skróconego mnożenia na kwadrat sumy

30
00:01:14,686 --> 00:01:16,994
żebyśmy wiedzieli, skąd on się bierze.

31
00:01:19,632 --> 00:01:20,524
Wyprowadzamy go

32
00:01:20,524 --> 00:01:22,830
rozpoczynając od naszego nawiasu

33
00:01:22,830 --> 00:01:24,416
a dodać b do kwadratu.

34
00:01:25,470 --> 00:01:27,079
To potęgowanie możemy rozbić

35
00:01:27,079 --> 00:01:28,566
na dwa osobne nawiasy.

36
00:01:28,672 --> 00:01:30,976
a dodać b razy a dodać b

37
00:01:32,944 --> 00:01:35,082
Teraz nasze a z pierwszego nawiasu

38
00:01:35,112 --> 00:01:36,858
musimy przemnożyć razy a

39
00:01:36,888 --> 00:01:38,043
z drugiego nawiasu

40
00:01:38,073 --> 00:01:40,326
i razy b z drugiego nawiasu.

41
00:01:41,658 --> 00:01:45,242
Czyli otrzymamy a kwadrat dodać ab.

42
00:01:47,556 --> 00:01:49,753
Kolejnym krokiem będzie przemnożenie

43
00:01:49,753 --> 00:01:51,907
naszej liczby b z pierwszego nawiasu

44
00:01:51,957 --> 00:01:53,890
razy a z drugiego nawiasu

45
00:01:54,046 --> 00:01:55,838
i razy b z drugiego nawiasu.

46
00:01:56,832 --> 00:01:58,234
W ten sposób otrzymamy

47
00:01:58,234 --> 00:02:00,668
b razy a dodać b do kwadratu.

48
00:02:01,636 --> 00:02:04,052
W ten sposób wymnożyliśmy wszystkie wyrazy

49
00:02:04,082 --> 00:02:06,209
i otrzymaliśmy a do kwadratu

50
00:02:06,259 --> 00:02:09,086
dodać a razy b dodać b razy a

51
00:02:09,116 --> 00:02:10,666
dodać b do kwadratu.

52
00:02:11,394 --> 00:02:13,551
a razy b to to samo, co b razy a

53
00:02:13,601 --> 00:02:15,694
dlatego wynik naszego działania

54
00:02:15,694 --> 00:02:19,141
możemy zapisać jako a kwadrat dodać 2ab

55
00:02:19,651 --> 00:02:21,182
i dodać b kwadrat.

56
00:02:22,312 --> 00:02:25,640
A więc kwadrat sumy a dodać b do kwadratu

57
00:02:26,268 --> 00:02:28,578
równa się a kwadrat dodać 2ab

58
00:02:28,808 --> 00:02:30,242
dodać b kwadrat.

59
00:02:30,358 --> 00:02:32,030
Wzór skróconego mnożenia

60
00:02:32,030 --> 00:02:32,996
na kwadrat sumy

61
00:02:32,996 --> 00:02:35,296
możemy przedstawić w postaci graficznej.

62
00:02:36,206 --> 00:02:38,083
Mamy kwadrat o boku a.

63
00:02:38,093 --> 00:02:40,568
A więc jego pole to a kwadrat.

64
00:02:41,336 --> 00:02:44,920
Przedłużmy odcinek a o dodatkowe b.

65
00:02:45,804 --> 00:02:48,620
W takiej sytuacji długość jednego boku

66
00:02:48,696 --> 00:02:50,696
to będzie a dodać b.

67
00:02:52,128 --> 00:02:53,444
A więc pole kwadratu

68
00:02:53,444 --> 00:02:55,784
którego bok ma długość a dodać b

69
00:02:56,804 --> 00:02:58,878
to a dodać b do kwadratu.

70
00:03:00,230 --> 00:03:02,415
Możemy poprowadzić takie dwa odcinki

71
00:03:02,415 --> 00:03:04,187
które wydzielą z tego obszaru

72
00:03:04,187 --> 00:03:05,958
dwa prostokąty o bokach a i b.

73
00:03:06,956 --> 00:03:09,495
Został nam jeszcze taki mały kwadrat.

74
00:03:09,505 --> 00:03:10,782
Jeśli się przyjrzymy

75
00:03:10,782 --> 00:03:12,583
to zobaczymy, że długości boków

76
00:03:12,583 --> 00:03:14,202
tego małego kwadratu to b.

77
00:03:15,088 --> 00:03:17,688
W takim razie pole tego małego kwadratu

78
00:03:17,744 --> 00:03:19,314
wynosi b kwadrat.

79
00:03:20,188 --> 00:03:21,660
A więc pole kwadratu

80
00:03:21,660 --> 00:03:24,477
którego bok ma długość a dodać b

81
00:03:24,477 --> 00:03:27,622
to a kwadrat dodać 2ab.

82
00:03:27,978 --> 00:03:29,406
Bo mamy dwa prostokąty

83
00:03:29,406 --> 00:03:31,068
których pole wynosi a razy b

84
00:03:31,068 --> 00:03:32,316
i dodać b kwadrat.

85
00:03:32,712 --> 00:03:35,168
Zauważ, że a dodać b do kwadratu

86
00:03:35,218 --> 00:03:38,062
nie równa się a kwadrat dodać b kwadrat

87
00:03:38,434 --> 00:03:40,451
ponieważ pole tych dwóch kwadratów

88
00:03:40,451 --> 00:03:42,140
jest mniejsze.

89
00:03:45,084 --> 00:03:46,684
Rozwiążmy taki przykład.

90
00:03:47,384 --> 00:03:49,432
x dodać 3 do kwadratu

91
00:03:50,908 --> 00:03:53,378
Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia

92
00:03:53,378 --> 00:03:54,356
na kwadrat sumy.

93
00:03:54,592 --> 00:03:56,640
Niech nasz x, będzie liczbą a

94
00:03:57,188 --> 00:03:58,724
a 3, liczbą b.

95
00:03:59,170 --> 00:04:02,526
W takiej sytuacji podnosimy a do kwadratu

96
00:04:02,596 --> 00:04:06,697
a więc x do kwadratu dodać 2ab

97
00:04:06,747 --> 00:04:09,710
a więc 2 razy x razy 3

98
00:04:11,196 --> 00:04:12,731
i dodać b do kwadratu

99
00:04:12,751 --> 00:04:14,374
czyli 3 do kwadratu.

100
00:04:14,992 --> 00:04:17,018
Uprośćmy to trochę i wyjdzie nam

101
00:04:17,028 --> 00:04:20,121
x kwadrat dodać 6x dodać 9.

102
00:04:22,159 --> 00:04:24,463
W ten sposób rozwiązaliśmy przykład.

103
00:04:29,297 --> 00:04:31,414
Często przykłady wyglądają na trudne

104
00:04:31,434 --> 00:04:32,837
ale zaraz się przekonasz

105
00:04:32,847 --> 00:04:34,371
że to tylko pozory.

106
00:04:34,999 --> 00:04:37,131
Rozwiążmy podane przykłady.

107
00:04:37,805 --> 00:04:39,033
Pierwszy przykład to:

108
00:04:39,043 --> 00:04:41,123
2x dodać 5 do kwadratu.

109
00:04:42,865 --> 00:04:44,600
Skorzystajmy z naszego wzoru

110
00:04:44,600 --> 00:04:46,025
skróconego mnożenia.

111
00:04:47,207 --> 00:04:49,511
2x będzie naszą liczbą a.

112
00:04:49,797 --> 00:04:52,198
A więc musimy podnieść ją do kwadratu.

113
00:04:52,198 --> 00:04:53,803
Będzie to 2x do kwadratu.

114
00:04:54,219 --> 00:04:58,571
2ab to będzie 2 razy 2x razy 5.

115
00:04:59,475 --> 00:05:01,779
A b kwadrat to 5 do kwadratu.

116
00:05:04,319 --> 00:05:06,879
2x podnosimy do kwadratu

117
00:05:07,567 --> 00:05:10,639
i będzie to 4 razy x do kwadratu.

118
00:05:11,165 --> 00:05:15,005
2 razy 2x razy 5 daje nam 20x.

119
00:05:15,939 --> 00:05:18,499
I 5 do kwadratu to 25.

120
00:05:19,809 --> 00:05:21,761
Przejdźmy do drugiego przykładu.

121
00:05:21,817 --> 00:05:24,889
Pierwiastek z trzech dodać 1 do kwadratu.

122
00:05:25,833 --> 00:05:27,575
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

123
00:05:27,575 --> 00:05:29,526
samodzielnie rozpisać ten przykład

124
00:05:29,526 --> 00:05:31,652
zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia

125
00:05:31,652 --> 00:05:32,557
na kwadrat sumy

126
00:05:32,557 --> 00:05:34,977
a następnie sprawdź swój wynik z moim.

127
00:05:38,015 --> 00:05:40,575
Wyrazem a będzie pierwiastek z trzech.

128
00:05:40,721 --> 00:05:43,023
I podnosimy go do kwadratu.

129
00:05:45,505 --> 00:05:49,089
Dodać 2 razy pierwiastek z trzech razy 1

130
00:05:50,745 --> 00:05:52,318
i dodać b do kwadratu

131
00:05:52,368 --> 00:05:53,867
czyli 1 do kwadratu.

132
00:05:54,279 --> 00:05:55,433
Pierwiastek z trzech

133
00:05:55,433 --> 00:05:57,265
razy pierwiastek z trzech to 3

134
00:05:57,351 --> 00:06:00,167
dodać 2 pierwiastki z trzech i dodać 1.

135
00:06:00,739 --> 00:06:01,934
I to się równa

136
00:06:01,934 --> 00:06:04,579
4 dodać 2 pierwiastki z trzech.

137
00:06:05,939 --> 00:06:07,830
Pierwszy przykład mamy zrobiony.

138
00:06:07,830 --> 00:06:08,698
Drugi tak samo.

139
00:06:08,768 --> 00:06:11,183
Przejdźmy zatem do trzeciego przykładu.

140
00:06:11,255 --> 00:06:12,778
2 pierwiastki z pięciu

141
00:06:12,818 --> 00:06:14,479
dodać x do kwadratu.

142
00:06:17,299 --> 00:06:19,060
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

143
00:06:19,060 --> 00:06:21,127
samodzielnie obliczyć ten przykład

144
00:06:21,127 --> 00:06:23,355
a następnie sprawdź swój wynik z moim.

145
00:06:27,403 --> 00:06:28,693
2 pierwiastki z pięciu

146
00:06:28,693 --> 00:06:30,223
podnosimy do kwadratu.

147
00:06:30,867 --> 00:06:32,259
Dodać 2 razy

148
00:06:32,299 --> 00:06:35,067
2 pierwiastki z pięciu i razy x

149
00:06:36,273 --> 00:06:39,345
i dodać x do kwadratu to się równa

150
00:06:41,117 --> 00:06:43,388
2 pierwiastki z pięciu do kwadratu

151
00:06:43,418 --> 00:06:44,532
to 2 do kwadratu

152
00:06:44,532 --> 00:06:46,853
razy pierwiastek z pięciu do kwadratu

153
00:06:46,853 --> 00:06:48,541
a więc 4 razy 5.

154
00:06:50,403 --> 00:06:53,454
Dodać 4 razy x razy pierwiastek z pięciu

155
00:06:54,754 --> 00:06:56,291
i dodać x kwadrat.

156
00:06:57,395 --> 00:06:59,294
W takim razie otrzymaliśmy wynik

157
00:06:59,294 --> 00:07:02,086
20 dodać 4x pierwiastków z pięciu

158
00:07:02,156 --> 00:07:03,759
i dodać x kwadrat.

159
00:07:05,255 --> 00:07:06,150
W ten sposób

160
00:07:06,190 --> 00:07:08,201
rozwiązaliśmy trzeci przykład.

161
00:07:08,579 --> 00:07:10,336
Przejdźmy zatem do ostatniego.

162
00:07:10,336 --> 00:07:12,409
Podnieśmy 1001 do kwadratu.

163
00:07:12,941 --> 00:07:14,782
Moglibyśmy obliczyć ten przykład

164
00:07:14,782 --> 00:07:16,422
po prostu mnożąc go pisemnie

165
00:07:16,422 --> 00:07:18,151
ale jeśli skorzystamy ze wzoru

166
00:07:18,151 --> 00:07:20,237
skróconego mnożenia na kwadrat sumy

167
00:07:20,237 --> 00:07:21,685
zrobimy to sprytniej.

168
00:07:21,901 --> 00:07:24,126
Teraz zatrzymaj film i zastanów się

169
00:07:24,156 --> 00:07:26,951
jak możemy podzielić naszą liczbę 1001

170
00:07:27,337 --> 00:07:29,800
aby móc obliczyć 1001 do kwadratu

171
00:07:29,870 --> 00:07:31,815
używając wzoru skróconego mnożenia

172
00:07:31,815 --> 00:07:33,279
na kwadrat sumy.

173
00:07:36,327 --> 00:07:39,084
1001 do kwadratu możemy zapisać jako

174
00:07:39,104 --> 00:07:41,835
1000 plus 1 i razem do kwadratu.

175
00:07:42,637 --> 00:07:43,924
I użyjmy naszego wzoru

176
00:07:43,924 --> 00:07:45,208
skróconego mnożenia.

177
00:07:45,238 --> 00:07:47,174
1000 do kwadratu dodać

178
00:07:47,224 --> 00:07:51,813
2 razy 1000 razy 1 i dodać 1 do kwadratu.

179
00:07:54,579 --> 00:07:58,931
To daje nam 1000000 dodać 2000 dodać 1.

180
00:07:59,789 --> 00:08:01,472
A więc wynikiem potęgowania

181
00:08:01,472 --> 00:08:06,695
naszej liczby 1001 będzie liczba 1002001.

182
00:08:09,457 --> 00:08:10,323
W ten sposób

183
00:08:10,353 --> 00:08:12,383
rozwiązaliśmy ostatni przykład.

184
00:08:17,965 --> 00:08:19,886
Kwadrat sumy obliczamy poprzez

185
00:08:19,886 --> 00:08:21,888
przemnożenie nawiasu przez siebie.

186
00:08:21,888 --> 00:08:24,050
Nie trzeba koniecznie stosować wzoru

187
00:08:24,050 --> 00:08:25,299
skróconego mnożenia.

188
00:08:25,299 --> 00:08:27,489
Możemy po prostu pomnożyć każdą liczbę

189
00:08:27,489 --> 00:08:29,915
w nawiasie tak, jak pokazują to strzałki.

190
00:08:29,915 --> 00:08:31,819
Jednak wzory skróconego mnożenia

191
00:08:31,819 --> 00:08:33,882
bardzo ułatwiają nam obliczenia i

192
00:08:33,882 --> 00:08:36,279
pozwalają na szybsze rozwiązywanie zadań.

193
00:08:39,771 --> 00:08:41,279
Jeśli chcesz poznać więcej

194
00:08:41,319 --> 00:08:42,863
wzorów skróconego mnożenia

195
00:08:42,863 --> 00:08:44,411
zapraszam Cię do obejrzenia

196
00:08:44,411 --> 00:08:46,303
kolejnych filmów z tej playlisty

197
00:08:46,303 --> 00:08:47,541
i do zasubskrybowania

198
00:08:47,541 --> 00:08:49,291
naszego kanału na YouTube.