1
00:00:00,242 --> 00:00:02,470
Słynny angielski uczony Izaak Newton

2
00:00:02,470 --> 00:00:04,615
wyprowadził wzór, który nazywany jest

3
00:00:04,615 --> 00:00:05,932
dwumianem Newtona.

4
00:00:05,954 --> 00:00:07,626
Wygląda paskudnie, prawda?

5
00:00:07,626 --> 00:00:09,493
Ale czy wiesz, że za jego pomocą

6
00:00:09,493 --> 00:00:10,897
możemy wyprowadzić wzory

7
00:00:10,897 --> 00:00:13,188
skróconego mnożenia dla dowolnej potęgi

8
00:00:13,188 --> 00:00:14,910
nie tylko drugiej i trzeciej?

9
00:00:14,910 --> 00:00:16,276
W tej lekcji opowiem Ci

10
00:00:16,276 --> 00:00:18,071
o wzorze skróconego mnożenia

11
00:00:18,071 --> 00:00:19,350
na kwadrat różnicy.

12
00:00:31,092 --> 00:00:32,482
Wzór skróconego mnożenia

13
00:00:32,482 --> 00:00:33,745
na kwadrat różnicy

14
00:00:33,745 --> 00:00:35,987
wyprowadzamy z podniesienia do kwadratu

15
00:00:35,987 --> 00:00:37,280
różnicy dwóch liczb.

16
00:00:37,432 --> 00:00:39,770
Korzystając z niego, nauczysz się szybko

17
00:00:39,770 --> 00:00:41,356
podnosić do drugiej potęgi

18
00:00:41,356 --> 00:00:44,076
bardzo duże liczby, takie jak 999.

19
00:00:44,580 --> 00:00:45,947
Wyprowadźmy więc wzór

20
00:00:45,947 --> 00:00:48,140
skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

21
00:00:48,140 --> 00:00:50,342
żebyśmy wiedzieli skąd on się bierze.

22
00:00:50,774 --> 00:00:51,869
Tak jak wspomniałam

23
00:00:51,869 --> 00:00:53,346
wzór skróconego mnożenia

24
00:00:53,346 --> 00:00:54,513
na kwadrat różnicy

25
00:00:54,513 --> 00:00:56,123
wyprowadzamy z podniesienia

26
00:00:56,123 --> 00:00:58,362
do drugiej potęgi różnicy dwóch liczb. 

27
00:00:58,374 --> 00:01:00,695
Chociaż z kolejności wykonywania działań

28
00:01:00,695 --> 00:01:02,910
wynika, że powinniśmy najpierw wykonać

29
00:01:02,910 --> 00:01:05,298
działanie w nawiasie, a więc odejmowanie

30
00:01:05,336 --> 00:01:07,238
to czasem nie możemy tego zrobić.

31
00:01:07,264 --> 00:01:09,160
Tak jak w tym przypadku.

32
00:01:09,382 --> 00:01:11,611
Na szczęście potęgowanie, to nic innego

33
00:01:11,611 --> 00:01:13,352
jak skrócony zapis mnożenia.

34
00:01:13,478 --> 00:01:14,891
Możemy więc je rozpisać

35
00:01:14,901 --> 00:01:16,940
jako iloczyn dwóch nawiasów.

36
00:01:17,082 --> 00:01:19,054
A mnożyć nawiasy już umiemy.

37
00:01:19,130 --> 00:01:23,994
A więc mamy a odjąć b, razy a odjąć b.

38
00:01:25,540 --> 00:01:27,758
Zacznijmy od a, z pierwszego nawiasu.

39
00:01:27,784 --> 00:01:29,502
Musimy je przemnożyć razy a

40
00:01:29,512 --> 00:01:32,229
z drugiego nawiasu i razy minus b

41
00:01:32,239 --> 00:01:33,696
z drugiego nawiasu.

42
00:01:34,806 --> 00:01:39,414
Da nam to, a do kwadratu, odjąć a razy b.

43
00:01:42,210 --> 00:01:44,122
Teraz przemnóżmy jeszcze minus b

44
00:01:44,182 --> 00:01:46,458
z pierwszego nawiasu, razy a

45
00:01:46,478 --> 00:01:50,127
z drugiego nawiasu i razy minus b

46
00:01:50,157 --> 00:01:52,036
z drugiego nawiasu.

47
00:01:52,892 --> 00:01:55,685
Da nam to minus b razy a

48
00:01:55,685 --> 00:01:58,012
dodać b do kwadratu.

49
00:01:59,342 --> 00:02:01,646
Bo minus razy minus, daje nam plus.

50
00:02:03,016 --> 00:02:04,511
Zauważ, że minus ab

51
00:02:04,511 --> 00:02:06,320
to to samo, co minus ba

52
00:02:06,340 --> 00:02:08,606
bo mnożenie jest przemienne.

53
00:02:08,940 --> 00:02:11,067
W takim razie, nasz wyznaczony wzór

54
00:02:11,067 --> 00:02:13,422
skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

55
00:02:14,150 --> 00:02:17,062
to a do kwadratu odjąć 2ab

56
00:02:17,298 --> 00:02:18,834
i dodać b do kwadratu.

57
00:02:22,146 --> 00:02:22,936
Zobacz.

58
00:02:22,936 --> 00:02:24,194
Możemy za każdym razem

59
00:02:24,194 --> 00:02:25,986
mnożyć wszystko razy wszystko.

60
00:02:26,082 --> 00:02:27,706
Ale wzór skróconego mnożenia

61
00:02:27,736 --> 00:02:30,048
to jest taka sztuczka, która pozwala nam

62
00:02:30,048 --> 00:02:31,276
zrobić to szybciej.

63
00:02:32,562 --> 00:02:34,324
Będą też trudniejsze przykłady

64
00:02:34,324 --> 00:02:36,123
które bez skorzystania ze wzoru

65
00:02:36,123 --> 00:02:37,315
skróconego mnożenia

66
00:02:37,315 --> 00:02:39,376
bardzo trudno będzie nam obliczyć.

67
00:02:42,842 --> 00:02:44,673
Zobaczmy reprezentacje graficzną

68
00:02:44,673 --> 00:02:46,578
naszego wzoru skróconego mnożenia

69
00:02:46,578 --> 00:02:47,926
na kwadrat różnicy.

70
00:02:50,080 --> 00:02:51,872
Mamy kwadrat o boku a.

71
00:02:52,058 --> 00:02:54,618
A więc jego pole, wynosi a do kwadratu.

72
00:02:57,268 --> 00:02:59,208
Odetnijmy od każdego z boków

73
00:02:59,248 --> 00:03:00,848
odcinek o długości b.

74
00:03:01,550 --> 00:03:02,739
O, w ten sposób.

75
00:03:02,769 --> 00:03:05,633
Jeśli odetniemy od boku a, odcinek b

76
00:03:05,655 --> 00:03:08,086
to jaką długość będzie miał ten fragment?

77
00:03:08,156 --> 00:03:10,157
Ten fragment będzie miał długość

78
00:03:10,177 --> 00:03:11,388
a odjąć b.

79
00:03:12,056 --> 00:03:14,334
To samo zrobimy z tym odcinkiem.

80
00:03:14,440 --> 00:03:16,771
Odcinamy odcinek o długości b

81
00:03:16,811 --> 00:03:20,657
i otrzymujemy 2 odcinki, jeden o długości

82
00:03:20,687 --> 00:03:23,476
b, a drugi: a odjąć b.

83
00:03:24,058 --> 00:03:26,675
Podzieliliśmy nasz kwadrat o polu a

84
00:03:26,715 --> 00:03:27,995
na trzy figury.

85
00:03:28,325 --> 00:03:31,317
Kwadrat o polu a odjąć b do kwadratu

86
00:03:31,407 --> 00:03:34,610
i dwa prostokąty, o polu a razy b.

87
00:03:35,608 --> 00:03:37,892
Zauważ, że nasze prostokąty

88
00:03:37,892 --> 00:03:39,336
o polu a razy b,

89
00:03:39,336 --> 00:03:41,110
nakładają się na siebie.

90
00:03:41,782 --> 00:03:43,523
Oznacza to, że ten fragment

91
00:03:43,523 --> 00:03:45,981
który się pokrywa, odcięliśmy dwa razy

92
00:03:46,011 --> 00:03:47,706
a to przecież niemożliwe.

93
00:03:47,732 --> 00:03:50,176
Pole tego kwadratu, to b do kwadratu.

94
00:03:50,918 --> 00:03:52,465
W takim razie odcięliśmy

95
00:03:52,485 --> 00:03:54,090
2 razy b do kwadratu.

96
00:03:54,316 --> 00:03:56,736
A więc, żeby to działanie było poprawne

97
00:03:56,792 --> 00:03:59,200
musimy jeszcze dodać b do kwadratu.

98
00:03:59,888 --> 00:04:02,006
A więc pole tego małego kwadratu

99
00:04:02,072 --> 00:04:05,254
a odjąć b do kwadratu równa się polu

100
00:04:05,274 --> 00:04:07,214
naszego początkowego kwadratu

101
00:04:07,234 --> 00:04:11,013
a do kwadratu odjąć dwa prostokąty

102
00:04:11,053 --> 00:04:14,649
o polu a razy b i dodać mały kwadrat

103
00:04:14,709 --> 00:04:15,960
b do kwadratu.

104
00:04:17,837 --> 00:04:20,556
Pamiętaj, że a odjąć b do kwadratu

105
00:04:20,596 --> 00:04:21,604
nie równa się

106
00:04:21,634 --> 00:04:24,191
a do kwadratu odjąć b do kwadratu.

107
00:04:24,513 --> 00:04:26,305
Pola tych figur są różne.

108
00:04:30,843 --> 00:04:33,256
Przećwiczmy nasz wzór skróconego mnożenia

109
00:04:33,256 --> 00:04:34,551
na kwadrat różnicy.

110
00:04:36,249 --> 00:04:37,709
Rozwiążmy przykład.

111
00:04:37,775 --> 00:04:39,823
x odjąć 7 do kwadratu

112
00:04:41,379 --> 00:04:43,531
Przypomnijmy sobie nasz wzór.

113
00:04:44,441 --> 00:04:47,460
a odjąć b do kwadratu, równa się a kwadrat

114
00:04:47,480 --> 00:04:49,733
odjąć 2ab i dodać b kwadrat.

115
00:04:51,629 --> 00:04:53,421
x będzie naszym a.

116
00:04:53,933 --> 00:04:55,725
Zaś 7, będzie b.

117
00:04:56,769 --> 00:04:59,151
Na początek podnosimy do kwadratu a

118
00:04:59,241 --> 00:05:01,221
a więc mamy, x do kwadratu

119
00:05:02,381 --> 00:05:07,757
odjąć 2 razy a, czyli x i razy b, czyli 7.

120
00:05:10,503 --> 00:05:11,945
I dodać b do kwadratu

121
00:05:11,995 --> 00:05:13,369
czyli 7 do kwadratu.

122
00:05:14,945 --> 00:05:17,249
x do kwadratu pozostaje bez zmian.

123
00:05:18,037 --> 00:05:20,622
Minus 2 razy x i razy 7

124
00:05:20,622 --> 00:05:22,645
daje nam minus 14x

125
00:05:23,087 --> 00:05:26,159
i dodać 7 do kwadratu, czyli 49.

126
00:05:30,817 --> 00:05:31,866
Dla utrwalenia

127
00:05:31,866 --> 00:05:33,864
rozwiążmy jeszcze kilka przykładów

128
00:05:33,864 --> 00:05:36,168
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia

129
00:05:36,168 --> 00:05:37,561
na kwadrat różnicy.

130
00:05:37,629 --> 00:05:39,129
Zacznijmy od przykładu

131
00:05:39,209 --> 00:05:41,129
3t odjąć 5 do kwadratu.

132
00:05:42,689 --> 00:05:44,932
Przypomnijmy sobie nasz wzór skróconego

133
00:05:44,932 --> 00:05:46,616
mnożenia na kwadrat różnicy

134
00:05:46,636 --> 00:05:48,405
i już możemy zaczynać.

135
00:05:52,055 --> 00:05:53,735
Przepiszmy nasz przykład.

136
00:05:53,775 --> 00:05:55,615
3t odjąć 5 do kwadratu.

137
00:05:56,899 --> 00:05:57,923
To się równa.

138
00:05:59,429 --> 00:06:00,433
Jak myślisz

139
00:06:00,463 --> 00:06:02,711
czym w tym wypadku będą a i b?

140
00:06:04,639 --> 00:06:06,687
3t, jest naszą liczbą a.

141
00:06:07,169 --> 00:06:09,198
Zaś 5, naszą liczbą b.

142
00:06:09,258 --> 00:06:11,443
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

143
00:06:11,453 --> 00:06:12,803
samodzielnie podstawić

144
00:06:12,803 --> 00:06:14,483
nasze a i b do wzoru.

145
00:06:19,437 --> 00:06:20,467
a do kwadratu

146
00:06:20,547 --> 00:06:22,845
to 3t podniesione do kwadratu

147
00:06:23,759 --> 00:06:26,575
odjąć 2 razy a i razy b.

148
00:06:27,097 --> 00:06:30,937
A więc odjąć 2 razy 3t i razy 5.

149
00:06:33,005 --> 00:06:34,710
I dodać b do kwadratu

150
00:06:34,730 --> 00:06:36,353
a więc 5 do kwadratu.

151
00:06:38,145 --> 00:06:40,237
3t do kwadratu, to to samo

152
00:06:40,267 --> 00:06:43,205
co 3 do kwadratu razy t do kwadratu.

153
00:06:45,829 --> 00:06:50,881
Odjąć 2 razy 3t i razy 5, a więc 30t.

154
00:06:52,647 --> 00:06:55,719
I dodać 5 do kwadratu, czyli 25.

155
00:07:00,733 --> 00:07:02,834
3 do kwadratu, to 9.

156
00:07:02,864 --> 00:07:07,163
Razy t do kwadratu, odjąć 30t

157
00:07:07,239 --> 00:07:08,775
i dodać 25.

158
00:07:10,371 --> 00:07:12,675
W ten sposób, rozwiązaliśmy przykład.

159
00:07:13,463 --> 00:07:15,585
Przejdźmy więc do kolejnego.

160
00:07:18,357 --> 00:07:20,223
Zapiszmy nasz przykład.

161
00:07:20,867 --> 00:07:22,343
Mamy pierwiastek z trzech

162
00:07:22,343 --> 00:07:24,927
odjąć pierwiastek z dwóch do kwadratu. 

163
00:07:26,047 --> 00:07:28,607
Pierwiastek z trzech, to nasza liczba a.

164
00:07:28,773 --> 00:07:31,333
Zaś pierwiastek z dwóch, to liczba b.

165
00:07:34,907 --> 00:07:36,112
Zatrzymaj teraz film

166
00:07:36,112 --> 00:07:37,437
i spróbuj samodzielnie

167
00:07:37,437 --> 00:07:39,962
podstawić liczby a i b do naszego wzoru

168
00:07:39,962 --> 00:07:42,591
skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

169
00:07:46,989 --> 00:07:49,803
Podnosimy do kwadratu a, czyli zapiszmy

170
00:07:49,803 --> 00:07:52,003
pierwiastek z trzech do kwadratu.

171
00:07:52,631 --> 00:07:55,419
Odjąć 2 razy pierwiastek z trzech

172
00:07:55,459 --> 00:07:57,399
i razy pierwiastek z dwóch.

173
00:07:58,755 --> 00:08:00,321
I dodać pierwiastek z dwóch

174
00:08:00,321 --> 00:08:02,147
podniesiony do kwadratu.

175
00:08:04,241 --> 00:08:06,133
Pierwiastek z trzech do kwadratu

176
00:08:06,133 --> 00:08:07,475
to pierwiastek z trzech

177
00:08:07,475 --> 00:08:09,125
razy pierwiastek z trzech.

178
00:08:09,773 --> 00:08:12,397
Odjąć 2 razy pierwiastek z trzech

179
00:08:12,437 --> 00:08:14,335
i razy pierwiastek z dwóch.

180
00:08:14,687 --> 00:08:16,162
Liczby pod pierwiastkiem

181
00:08:16,192 --> 00:08:17,959
możemy ze sobą przemnożyć.

182
00:08:18,005 --> 00:08:20,363
Więc da nam to, pierwiastek z sześciu

183
00:08:21,037 --> 00:08:23,371
i dodać pierwiastek z dwóch do kwadratu

184
00:08:23,441 --> 00:08:24,949
czyli pierwiastek z dwóch

185
00:08:24,949 --> 00:08:26,467
razy pierwiastek z dwóch.

186
00:08:27,497 --> 00:08:28,684
Pierwiastek z trzech

187
00:08:28,684 --> 00:08:30,147
razy pierwiastek z trzech

188
00:08:30,147 --> 00:08:32,375
daje nam pierwiastek z dziewięciu.

189
00:08:32,401 --> 00:08:33,681
A to jest 3.

190
00:08:34,605 --> 00:08:38,701
Odjąć 2 pierwiastki z sześciu i dodać 2.

191
00:08:39,765 --> 00:08:40,946
Bo pierwiastek z dwóch

192
00:08:40,956 --> 00:08:42,903
przemnożony przez siebie, to 2.

193
00:08:44,915 --> 00:08:46,070
Otrzymaliśmy więc

194
00:08:46,070 --> 00:08:48,243
5 odjąć 2 pierwiastki z sześciu.

195
00:08:48,931 --> 00:08:50,474
W ten sposób rozwiązaliśmy

196
00:08:50,494 --> 00:08:52,007
kolejny przykład.

197
00:08:53,243 --> 00:08:55,811
Przejdźmy zatem do ostatniego przykładu.

198
00:08:56,601 --> 00:09:00,185
Mamy podnieść do kwadratu liczbę 999.

199
00:09:01,877 --> 00:09:03,785
Chociaż tutaj nie musimy stosować

200
00:09:03,785 --> 00:09:05,247
wzoru skróconego mnożenia

201
00:09:05,247 --> 00:09:07,250
to warto to zrobić, bo dzięki temu

202
00:09:07,250 --> 00:09:09,021
unikniemy żmudnych obliczeń.

203
00:09:09,225 --> 00:09:11,703
Zastanów się, czy liczbę 999

204
00:09:11,703 --> 00:09:13,611
podniesioną do kwadratu

205
00:09:13,611 --> 00:09:15,519
możemy zapisać inaczej?

206
00:09:15,565 --> 00:09:17,227
Tak, abyśmy mogli skorzystać

207
00:09:17,227 --> 00:09:19,629
z naszego wzoru skróconego mnożenia.

208
00:09:23,571 --> 00:09:24,595
Oczywiście.

209
00:09:24,731 --> 00:09:28,315
Liczba 999, to 1000 odjąć 1.

210
00:09:29,449 --> 00:09:33,545
Zapiszmy więc, że 999 do kwadratu

211
00:09:33,857 --> 00:09:36,161
to 1000 odjąć 1 do kwadratu.

212
00:09:38,379 --> 00:09:40,603
1000 będzie naszą liczbą a

213
00:09:40,819 --> 00:09:42,867
zaś 1, będzie liczbą b.

214
00:09:43,273 --> 00:09:45,045
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

215
00:09:45,045 --> 00:09:47,233
samodzielnie rozwiązać ten przykład.

216
00:09:47,289 --> 00:09:50,143
A następnie sprawdź swój wynik z moim.

217
00:09:54,025 --> 00:09:55,921
Rozpiszmy nasz przykład.

218
00:09:56,761 --> 00:09:59,321
a do kwadratu, to 1000 do kwadratu.

219
00:10:01,645 --> 00:10:04,556
Odjąć 2 razy a, czyli 1000

220
00:10:04,596 --> 00:10:06,449
i razy b, czyli 1.

221
00:10:07,257 --> 00:10:08,830
I dodać b do kwadratu

222
00:10:08,880 --> 00:10:10,379
czyli 1 do kwadratu.

223
00:10:11,749 --> 00:10:13,797
1000 do kwadratu to 1000000.

224
00:10:16,749 --> 00:10:19,680
Odjąć 2 razy 1000 i razy 1

225
00:10:19,720 --> 00:10:23,408
czyli odjąć 2000 i dodać 1

226
00:10:23,468 --> 00:10:25,897
bo 1 do kwadratu, to 1.

227
00:10:28,013 --> 00:10:31,853
Daje nam to wynik 998001.

228
00:10:32,843 --> 00:10:35,241
Zobacz, jak prosto udało nam się podnieść

229
00:10:35,241 --> 00:10:37,057
taką dużą liczbę do kwadratu.

230
00:10:39,031 --> 00:10:40,311
To już wszystko.

231
00:10:46,425 --> 00:10:48,361
Kwadrat różnicy obliczamy poprzez

232
00:10:48,361 --> 00:10:50,318
przemnożenie przez siebie nawiasu.

233
00:10:50,318 --> 00:10:52,439
Nie musimy koniecznie stosować wzoru

234
00:10:52,439 --> 00:10:54,736
skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

235
00:10:54,836 --> 00:10:56,834
ale jak widzisz bardzo nam ułatwia

236
00:10:56,834 --> 00:10:58,626
obliczenia i pozwala na szybsze

237
00:10:58,626 --> 00:11:00,187
rozwiązywanie zadań.

238
00:11:03,959 --> 00:11:06,278
Zachęcam Cię do obejrzenia innych filmów

239
00:11:06,278 --> 00:11:08,491
z tej playlisty i do zasubskrybowania

240
00:11:08,491 --> 00:11:10,744
naszego kanału na YouTubie.