1
00:00:00,322 --> 00:00:02,542
Wzór na różnicę kwadratów jest często

2
00:00:02,542 --> 00:00:04,462
wykorzystywany przez architektów

3
00:00:04,462 --> 00:00:06,083
na przykład przy obliczaniu

4
00:00:06,083 --> 00:00:07,217
powierzchni działki

5
00:00:07,217 --> 00:00:09,396
która musi pozostać wolna od zabudowy.

6
00:00:09,478 --> 00:00:11,520
Łatwiej przecież odjąć od całości

7
00:00:11,520 --> 00:00:13,171
kwadratowy obrys budynku

8
00:00:13,221 --> 00:00:15,692
niż wyliczyć pole nieregularnej figury.

9
00:00:15,978 --> 00:00:17,896
W tej lekcji opowiem Ci o wzorze

10
00:00:17,896 --> 00:00:20,726
skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

11
00:00:32,698 --> 00:00:34,385
Czasami trafiamy na przykłady

12
00:00:34,385 --> 00:00:36,626
które wymagają od nas odjęcia od siebie

13
00:00:36,626 --> 00:00:38,966
dwóch wyrazów podniesionych do kwadratu.

14
00:00:38,966 --> 00:00:40,363
Takie jak y do kwadratu

15
00:00:40,363 --> 00:00:41,986
odjąć 52 do kwadratu

16
00:00:42,718 --> 00:00:46,046
czy 148 do kwadratu odjąć x do kwadratu.

17
00:00:47,200 --> 00:00:49,639
Nie możemy ich zapisać w prostszej formie.

18
00:00:49,639 --> 00:00:50,780
W takich sytuacjach

19
00:00:50,780 --> 00:00:52,126
bardzo nam się przydaje

20
00:00:52,126 --> 00:00:53,513
wzór skróconego mnożenia

21
00:00:53,513 --> 00:00:54,662
na różnicę kwadratów

22
00:00:54,662 --> 00:00:56,557
który pozwala nam w łatwy sposób

23
00:00:56,557 --> 00:00:58,939
obliczyć z pozoru skomplikowane przykłady

24
00:00:58,969 --> 00:01:00,116
i takie, w których

25
00:01:00,116 --> 00:01:02,378
podniesienie do kwadratu którejś liczby

26
00:01:02,378 --> 00:01:04,786
jest bardzo trudne bez użycia kalkulatora.

27
00:01:04,786 --> 00:01:06,339
Wyprowadźmy zatem nasz wzór

28
00:01:06,339 --> 00:01:08,804
skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

29
00:01:09,432 --> 00:01:11,342
Zacznijmy od wyprowadzenia wzoru

30
00:01:11,342 --> 00:01:12,694
na różnicę kwadratów.

31
00:01:13,096 --> 00:01:17,192
Zapiszmy a dodać b razy a odjąć b.

32
00:01:18,894 --> 00:01:21,454
Wyrażenia w nawiasach musimy przemnożyć.

33
00:01:22,026 --> 00:01:24,842
Przemnóżmy zatem a z pierwszego nawiasu

34
00:01:25,008 --> 00:01:27,056
razy a z drugiego nawiasu.

35
00:01:27,282 --> 00:01:29,074
To daje nam a do kwadratu.

36
00:01:31,212 --> 00:01:33,531
a z pierwszego nawiasu mnożymy jeszcze

37
00:01:33,541 --> 00:01:35,726
razy minus b z drugiego nawiasu.

38
00:01:36,718 --> 00:01:38,614
To daje nam minus ab.

39
00:01:39,726 --> 00:01:41,868
Przejdźmy do b z pierwszego nawiasu.

40
00:01:41,868 --> 00:01:43,644
Musimy je przemnożyć razy a

41
00:01:43,664 --> 00:01:45,234
z drugiego nawiasu

42
00:01:45,234 --> 00:01:46,978
co daje nam dodać ba

43
00:01:47,064 --> 00:01:49,368
i razy minus bez drugiego nawiasu

44
00:01:49,534 --> 00:01:52,078
co daje nam odjąć b do kwadratu.

45
00:01:53,730 --> 00:01:56,034
Te dwa wyrazy możemy skrócić.

46
00:01:56,526 --> 00:01:57,806
Czyli zostaje nam:

47
00:01:58,152 --> 00:02:00,712
a do kwadratu odjąć b do kwadratu.

48
00:02:01,430 --> 00:02:02,487
Taki wzór nazywamy

49
00:02:02,487 --> 00:02:04,111
wzorem na różnicę kwadratów

50
00:02:04,111 --> 00:02:05,264
ponieważ po redukcji

51
00:02:05,294 --> 00:02:06,719
otrzymaliśmy odejmowanie

52
00:02:06,719 --> 00:02:08,768
drugich potęg dwóch wyrazów.

53
00:02:09,406 --> 00:02:11,854
Zobaczmy, jak to wygląda graficznie.

54
00:02:14,054 --> 00:02:15,750
Mamy kwadrat o boku a.

55
00:02:15,836 --> 00:02:18,396
Jego pole wynosi więc a do kwadratu.

56
00:02:19,044 --> 00:02:20,314
Chcemy odjąć od niego

57
00:02:20,324 --> 00:02:21,896
pole kwadratu o boku b.

58
00:02:22,658 --> 00:02:24,654
Zróbmy to w ten sposób.

59
00:02:25,770 --> 00:02:28,074
Zobacz, że pole pozostałej figury

60
00:02:28,862 --> 00:02:30,758
to pole kwadratu o boku a

61
00:02:30,758 --> 00:02:32,958
odjąć pole kwadratu o boku b.

62
00:02:33,922 --> 00:02:35,618
A więc pole tej figury wynosi

63
00:02:35,628 --> 00:02:38,258
a do kwadratu odjąć b do kwadratu.

64
00:02:39,800 --> 00:02:42,104
Jest więc to różnica kwadratów.

65
00:02:42,872 --> 00:02:44,346
Proste, prawda?

66
00:02:45,984 --> 00:02:48,176
Skąd zatem wiemy, że różnica kwadratów

67
00:02:48,176 --> 00:02:49,557
to to samo, co iloczyn

68
00:02:49,557 --> 00:02:51,051
naszych dwóch nawiasów

69
00:02:51,051 --> 00:02:52,748
a dodać b razy a odjąć b?

70
00:02:53,222 --> 00:02:54,502
Zobaczmy.

71
00:02:55,356 --> 00:02:56,511
Mamy naszą figurę

72
00:02:56,511 --> 00:02:58,950
o polu a kwadrat odjąć b kwadrat.

73
00:02:59,868 --> 00:03:01,660
Narysujmy 2 odcinki.

74
00:03:03,036 --> 00:03:04,934
Jak myślisz, jak zmienią się

75
00:03:04,964 --> 00:03:06,580
długości tych odcinków?

76
00:03:07,192 --> 00:03:09,585
Teraz jeden bok ma długość a dodać b

77
00:03:09,615 --> 00:03:11,826
a od drugiego boku odejmiemy b.

78
00:03:13,642 --> 00:03:15,852
Narysujmy linie tak, aby powstał nam

79
00:03:15,872 --> 00:03:18,432
prostokąt o długości boków a dodać b

80
00:03:19,078 --> 00:03:20,358
i a odjąć b.

81
00:03:21,568 --> 00:03:23,413
Czy domyślasz się, co się stanie

82
00:03:23,413 --> 00:03:25,286
z tym niebieskim prostokątem?

83
00:03:25,594 --> 00:03:27,130
Przesuńmy go.

84
00:03:31,994 --> 00:03:33,274
I już gotowe.

85
00:03:33,836 --> 00:03:35,190
Z naszej figury o polu

86
00:03:35,190 --> 00:03:37,292
a do kwadratu odjąć b do kwadratu

87
00:03:37,292 --> 00:03:38,758
stworzyliśmy prostokąt

88
00:03:38,758 --> 00:03:40,490
którego boki mają długości

89
00:03:40,526 --> 00:03:43,342
a plus b i a minus b.

90
00:03:43,966 --> 00:03:45,590
Dokładnie tak, jak we wzorze

91
00:03:45,590 --> 00:03:46,952
na różnicę kwadratów.

92
00:03:49,638 --> 00:03:51,716
No dobrze, wiemy już skąd się wzięła

93
00:03:51,716 --> 00:03:52,820
różnica kwadratów.

94
00:03:52,820 --> 00:03:54,773
Możemy więc przećwiczyć nasz wzór

95
00:03:54,773 --> 00:03:56,222
na kilku przykładach.

96
00:04:00,184 --> 00:04:01,579
Mamy rozwiązać przykłady

97
00:04:01,579 --> 00:04:03,056
podstawiając je pod wzór

98
00:04:03,056 --> 00:04:05,584
skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

99
00:04:06,328 --> 00:04:08,524
Polecenie sugeruje, aby do rozwiązania

100
00:04:08,524 --> 00:04:11,236
tych przykładów użyć poznanego wzoru.

101
00:04:11,438 --> 00:04:12,925
Zobaczysz, że dzięki temu

102
00:04:12,925 --> 00:04:15,138
obliczenia będą szybsze i prostsze.

103
00:04:15,564 --> 00:04:17,881
Przepiszmy nasz pierwszy przykład.

104
00:04:18,123 --> 00:04:22,219
Mamy x plus 3 razy x odjąć 3.

105
00:04:24,789 --> 00:04:26,837
Przypomnijmy sobie nasz wzór.

106
00:04:29,131 --> 00:04:31,179
x będzie naszą liczbą a.

107
00:04:31,761 --> 00:04:34,577
Zaś 3 będzie naszą liczbą b.

108
00:04:36,309 --> 00:04:38,765
W takim razie ten przykład możemy zapisać

109
00:04:38,765 --> 00:04:42,815
jako x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu.

110
00:04:44,049 --> 00:04:46,865
To daje nam x do kwadratu odjąć 9.

111
00:04:49,049 --> 00:04:51,091
Przejdźmy do drugiego przykładu.

112
00:04:51,283 --> 00:04:52,098
Mamy tu

113
00:04:52,098 --> 00:04:56,403
137 do kwadratu odjąć 37 do kwadratu.

114
00:04:57,853 --> 00:05:00,194
Zauważ, że jest to sytuacja odwrotna

115
00:05:00,194 --> 00:05:01,949
niż w przykładzie pierwszym.

116
00:05:02,391 --> 00:05:03,941
Żeby obliczyć ten przykład

117
00:05:03,941 --> 00:05:05,896
musielibyśmy podnieść do kwadratu

118
00:05:05,896 --> 00:05:07,870
obie nasze liczby i dopiero wtedy

119
00:05:07,870 --> 00:05:09,689
moglibyśmy je od siebie odjąć.

120
00:05:10,327 --> 00:05:12,339
Zobacz jednak, że jeśli skorzystamy

121
00:05:12,339 --> 00:05:14,144
ze wzoru skróconego mnożenia

122
00:05:14,164 --> 00:05:16,601
nasze obliczenia będą dużo prostsze.

123
00:05:16,777 --> 00:05:18,439
Rozpiszmy więc nasz przykład

124
00:05:18,439 --> 00:05:19,903
zgodnie ze wzorem.

125
00:05:21,089 --> 00:05:25,059
W tym przypadku naszą liczbą a będzie 137

126
00:05:25,179 --> 00:05:27,353
zaś liczbą b będzie 37.

127
00:05:28,975 --> 00:05:30,774
W takim razie możemy zapisać

128
00:05:30,774 --> 00:05:35,070
w pierwszym nawiasie 137 dodać 37

129
00:05:35,840 --> 00:05:36,570
razy

130
00:05:36,670 --> 00:05:40,775
w drugim nawiasie 137 odjąć 37.

131
00:05:42,543 --> 00:05:45,375
137 dodać 37

132
00:05:45,615 --> 00:05:47,151
to 174

133
00:05:48,391 --> 00:05:52,487
razy 137 odjąć 37, to 100.

134
00:05:53,275 --> 00:05:56,347
I daje nam to 174 razy 100

135
00:05:56,899 --> 00:05:59,459
czyli 17400.

136
00:06:01,637 --> 00:06:02,386
W ten sposób

137
00:06:02,396 --> 00:06:04,497
rozwiązaliśmy drugi przykład.

138
00:06:05,377 --> 00:06:07,681
Przejdźmy zatem do kolejnych.

139
00:06:11,727 --> 00:06:12,807
Mamy przykład

140
00:06:12,847 --> 00:06:17,843
3x odjąć 2 razy 3x dodać 2.

141
00:06:19,149 --> 00:06:21,042
Zauważ, że tym razem odejmowanie

142
00:06:21,042 --> 00:06:23,182
jest w pierwszym nawiasie

143
00:06:23,182 --> 00:06:24,767
a dodawanie w drugim.

144
00:06:24,903 --> 00:06:27,463
Jak myślisz, czy ma to znaczenie?

145
00:06:28,949 --> 00:06:30,173
Oczywiście, że nie ma

146
00:06:30,183 --> 00:06:32,291
bo mnożenie jest przemienne.

147
00:06:32,513 --> 00:06:34,728
Czyli wszystko jedno, które wyrażenie

148
00:06:34,728 --> 00:06:36,395
jest pierwsze, a które drugie

149
00:06:36,505 --> 00:06:38,365
wynik będzie taki sam.

150
00:06:39,239 --> 00:06:41,347
Pamiętaj jednak, że liczbą b

151
00:06:41,397 --> 00:06:44,409
będzie zawsze ta liczba, którą odejmujemy.

152
00:06:48,229 --> 00:06:51,027
Tak więc naszą liczbą a jest tutaj 3x

153
00:06:51,177 --> 00:06:53,049
zaś liczbą b jest 2.

154
00:06:55,031 --> 00:06:56,805
Znamy nasze liczby a i b.

155
00:06:56,815 --> 00:06:58,742
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

156
00:06:58,742 --> 00:07:00,816
samodzielnie rozwiązać ten przykład

157
00:07:00,816 --> 00:07:03,183
a następnie sprawdź swój wynik z moim.

158
00:07:06,275 --> 00:07:09,603
a do kwadratu to 3x do kwadratu

159
00:07:10,567 --> 00:07:12,871
odjąć 2 do kwadratu.

160
00:07:13,769 --> 00:07:18,121
To daje nam 9x do kwadratu odjąć 4.

161
00:07:19,175 --> 00:07:21,223
Rozwiązaliśmy kolejny przykład.

162
00:07:22,895 --> 00:07:24,505
Został jeszcze jeden.

163
00:07:26,815 --> 00:07:27,733
Mamy przykład:

164
00:07:27,733 --> 00:07:29,015
pierwiastek z siedmiu

165
00:07:29,015 --> 00:07:30,868
dodać pierwiastek z trzech

166
00:07:30,868 --> 00:07:32,611
razy pierwiastek z trzech

167
00:07:32,611 --> 00:07:34,439
odjąć pierwiastek z siedmiu.

168
00:07:35,047 --> 00:07:37,159
Jak myślisz, czy w tym przykładzie

169
00:07:37,159 --> 00:07:38,751
możemy zastosować nasz wzór

170
00:07:38,751 --> 00:07:40,227
skróconego mnożenia?

171
00:07:40,659 --> 00:07:42,727
Zauważ, że w pierwszym nawiasie

172
00:07:42,727 --> 00:07:45,167
nasze wyrazy zapisane są odwrotnie.

173
00:07:45,523 --> 00:07:46,799
Na szczęście dodawanie

174
00:07:46,799 --> 00:07:48,871
tak, jak mnożenie jest przemienne.

175
00:07:48,997 --> 00:07:51,797
Możemy je wykonywać w dowolnej kolejności.

176
00:07:51,913 --> 00:07:53,666
Możemy więc zamienić miejscami

177
00:07:53,666 --> 00:07:55,261
przeszkadzające nam wyrazy.

178
00:07:55,457 --> 00:07:57,088
Zwróć uwagę, że ta sztuczka

179
00:07:57,138 --> 00:07:58,688
nie działa dla odejmowania.

180
00:07:58,748 --> 00:08:01,114
Ważne jest czy odejmujemy większą liczbę

181
00:08:01,114 --> 00:08:03,437
od mniejszej, czy mniejszą od większej.

182
00:08:03,729 --> 00:08:05,324
Dlatego zamienić miejscami

183
00:08:05,324 --> 00:08:06,480
możemy tylko wyrazy

184
00:08:06,480 --> 00:08:07,799
w pierwszym nawiasie.

185
00:08:08,041 --> 00:08:10,495
Zatrzymaj teraz film i zastanów się

186
00:08:10,535 --> 00:08:12,811
czym będzie nasze a, a czym b.

187
00:08:16,319 --> 00:08:19,159
Wyrazem a będzie pierwiastek z trzech

188
00:08:19,219 --> 00:08:21,831
wyrazem b będzie pierwiastek z siedmiu.

189
00:08:22,407 --> 00:08:24,787
Tak jak mówiłam wcześniej liczbą b

190
00:08:24,797 --> 00:08:27,391
będzie zawsze ta liczba, którą odejmujemy.

191
00:08:29,099 --> 00:08:30,858
Skoro znamy nasze a i b

192
00:08:30,858 --> 00:08:33,259
możemy rozwiązać dalej przykład.

193
00:08:33,325 --> 00:08:35,466
Zatrzymaj film i spróbuj samodzielnie

194
00:08:35,466 --> 00:08:36,818
obliczyć ten przykład

195
00:08:36,818 --> 00:08:39,417
a następnie sprawdź swój wynik z moim.

196
00:08:42,857 --> 00:08:44,712
Nasze równanie zapisujemy jako

197
00:08:44,712 --> 00:08:46,650
pierwiastek z trzech do kwadratu

198
00:08:46,650 --> 00:08:49,411
odjąć pierwiastek z siedmiu do kwadratu.

199
00:08:49,689 --> 00:08:51,305
Pierwiastek drugiego stopnia

200
00:08:51,305 --> 00:08:52,827
podniesiony do kwadratu

201
00:08:52,827 --> 00:08:54,783
daje nam liczbę pod pierwiastkiem.

202
00:08:55,125 --> 00:08:57,941
Otrzymamy więc 3 odjąć 7.

203
00:08:58,699 --> 00:09:00,491
A to jest minus 4.

204
00:09:01,505 --> 00:09:03,003
W ten sposób rozwiązaliśmy

205
00:09:03,003 --> 00:09:04,445
kolejny przykład.

206
00:09:08,653 --> 00:09:10,549
Rozwiążmy ostatnie zadanie.

207
00:09:10,791 --> 00:09:13,300
Zastanówmy się, jak rozwiązać równanie

208
00:09:13,320 --> 00:09:15,149
x do kwadratu równa się 9.

209
00:09:16,539 --> 00:09:18,145
Przepiszmy nasz przykład.

210
00:09:18,321 --> 00:09:20,625
x do kwadratu równa się 9.

211
00:09:21,423 --> 00:09:23,072
Przypomnijmy sobie nasz wzór

212
00:09:23,072 --> 00:09:25,427
skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

213
00:09:25,427 --> 00:09:27,444
i zastanówmy się, co możemy zrobić

214
00:09:27,464 --> 00:09:29,161
z tym przykładem.

215
00:09:30,895 --> 00:09:32,469
Możemy przenieść 9

216
00:09:32,529 --> 00:09:34,591
na lewą stronę naszego równania.

217
00:09:34,641 --> 00:09:35,865
Otrzymamy wtedy

218
00:09:36,557 --> 00:09:39,629
x do kwadratu odjąć 9 równa się zero.

219
00:09:39,985 --> 00:09:41,283
Czy to nam przypomina

220
00:09:41,283 --> 00:09:42,981
którąś stronę naszego wzoru?

221
00:09:43,233 --> 00:09:44,763
Według wzoru mamy

222
00:09:44,763 --> 00:09:47,264
a do kwadratu odjąć b do kwadratu.

223
00:09:47,264 --> 00:09:49,617
a do kwadratu to x do kwadratu.

224
00:09:51,129 --> 00:09:53,945
Czy 9 można zapisać jako kwadrat liczby?

225
00:09:54,959 --> 00:09:57,519
Tak, przecież to 3 do kwadratu.

226
00:09:58,141 --> 00:09:59,165
A więc mamy:

227
00:09:59,231 --> 00:10:02,047
x do kwadratu odjąć 3 do kwadratu

228
00:10:02,157 --> 00:10:03,181
równa się zero.

229
00:10:04,481 --> 00:10:06,273
Więc liczbą a będzie x

230
00:10:06,585 --> 00:10:09,145
zaś liczbą b będzie 3.

231
00:10:11,905 --> 00:10:14,027
Teraz już trochę lepiej, prawda?

232
00:10:14,425 --> 00:10:17,134
Rozpiszmy nasz przykład zgodnie ze wzorem.

233
00:10:17,194 --> 00:10:18,295
Otrzymamy wtedy:

234
00:10:18,391 --> 00:10:21,975
x dodać 3 razy x odjąć 3

235
00:10:22,853 --> 00:10:24,133
i to się równa zero.

236
00:10:25,985 --> 00:10:28,373
Zastanówmy się, kiedy wynik mnożenia

237
00:10:28,373 --> 00:10:29,719
jest równy zeru?

238
00:10:31,597 --> 00:10:33,933
Kiedy jedna z tych liczb równa się zero.

239
00:10:34,123 --> 00:10:37,049
W takim razie mamy tutaj dwie możliwości.

240
00:10:37,485 --> 00:10:38,765
Możemy zapisać

241
00:10:38,811 --> 00:10:41,115
x plus 3 równa się zero

242
00:10:41,651 --> 00:10:44,467
i x odjąć 3 równa się zero.

243
00:10:45,451 --> 00:10:46,987
To da nam dwa wyniki.

244
00:10:47,183 --> 00:10:50,511
x równe minus 3 i x równe 3.

245
00:10:50,797 --> 00:10:53,357
Jak myślisz, czy jest to błąd?

246
00:10:53,573 --> 00:10:54,597
Nie jest.

247
00:10:55,159 --> 00:10:57,080
Zarówno minus 3, jak i 3

248
00:10:57,080 --> 00:10:59,767
podniesione do kwadratu da nam 9.

249
00:11:00,093 --> 00:11:01,331
Po prostu to równanie

250
00:11:01,331 --> 00:11:02,693
ma dwa rozwiązania.

251
00:11:02,909 --> 00:11:03,766
W ten sposób

252
00:11:03,776 --> 00:11:05,991
rozwiązaliśmy ostatnie zadanie.

253
00:11:12,125 --> 00:11:14,091
Różnica kwadratów a do kwadratu

254
00:11:14,091 --> 00:11:15,299
odjąć b do kwadratu

255
00:11:15,299 --> 00:11:16,809
powstaje z przemnożenia

256
00:11:16,809 --> 00:11:18,319
dwóch nawiasów a plus b

257
00:11:18,395 --> 00:11:19,675
i a minus b.

258
00:11:19,951 --> 00:11:22,028
Nie zawsze musimy stosować ten wzór

259
00:11:22,028 --> 00:11:23,251
skróconego mnożenia.

260
00:11:23,251 --> 00:11:25,609
Możemy wyliczać takie działania po kolei

261
00:11:25,609 --> 00:11:27,375
przemnażając wszystkie wyrazy.

262
00:11:27,375 --> 00:11:29,441
Ale jak widzisz, wzór ten skraca nam

263
00:11:29,441 --> 00:11:31,906
obliczenia i pozwala intuicyjnie znajdować

264
00:11:31,906 --> 00:11:33,165
rozwiązania równań.

265
00:11:35,483 --> 00:11:37,051
Zapraszam Cię do obejrzenia

266
00:11:37,051 --> 00:11:38,952
wszystkich filmów z tej playlisty

267
00:11:38,952 --> 00:11:40,899
i do polubienia naszego fanpage'a

268
00:11:40,899 --> 00:11:43,009
na Facebook 'u PistacjaMatematyka.