1
00:00:00,166 --> 00:00:02,076
W dawnych polskich podręcznikach

2
00:00:02,076 --> 00:00:03,582
liczby rzeczywiste opisywano

3
00:00:03,582 --> 00:00:05,214
jako liczby względne.

4
00:00:05,376 --> 00:00:07,063
Zapewne chodziło o położenie

5
00:00:07,063 --> 00:00:08,613
liczby dodatniej lub ujemnej

6
00:00:08,613 --> 00:00:10,000
względem zera.

7
00:00:10,000 --> 00:00:12,538
W przeciwieństwie do liczb względnych

8
00:00:12,544 --> 00:00:15,730
liczby bezwzględne nie posiadają znaku.

9
00:00:15,872 --> 00:00:17,533
Stąd pewnie wzięła się nazwa

10
00:00:17,533 --> 00:00:19,450
wartość bezwzględna.

11
00:00:30,720 --> 00:00:32,334
Najwyższym szczytem na Ziemi

12
00:00:32,334 --> 00:00:34,016
jest Mount Everest.

13
00:00:34,048 --> 00:00:36,364
W Europie przyjmuje się, że jego wysokość

14
00:00:36,364 --> 00:00:40,266
to 8 848 metrów nad poziomem morza.

15
00:00:40,704 --> 00:00:42,724
Najniżej położonym punktem na Ziemi

16
00:00:42,724 --> 00:00:44,025
względem poziomu morza

17
00:00:44,025 --> 00:00:46,018
jest Głębia Challengera

18
00:00:46,018 --> 00:00:48,158
położona na dnie Rowu Mariańskiego.

19
00:00:48,384 --> 00:00:49,724
Szacuje się, że sięga ona

20
00:00:49,724 --> 00:00:53,724
aż 10 911 metrów poniżej poziomu morza.

21
00:00:54,016 --> 00:00:56,269
A skoro dno Rowu Mariańskiego znajduje się

22
00:00:56,269 --> 00:00:59,648
10 911 metrów pod powierzchnią morza

23
00:00:59,904 --> 00:01:02,217
to możemy zapisać wysokość tego punktu

24
00:01:02,217 --> 00:01:05,344
jako -10 911 merów

25
00:01:05,354 --> 00:01:07,416
nad poziomem morza.

26
00:01:07,580 --> 00:01:09,386
A jaka jest różnica poziomów

27
00:01:09,386 --> 00:01:11,386
między tymi dwoma punktami?

28
00:01:11,680 --> 00:01:14,173
Przypuśćmy, oczywiście hipotetycznie

29
00:01:14,173 --> 00:01:15,529
że znajdujemy się na dnie

30
00:01:15,529 --> 00:01:17,034
Rowu Mariańskiego.

31
00:01:17,056 --> 00:01:18,848
Żeby dotrzeć do poziomu morza

32
00:01:19,104 --> 00:01:21,408
musimy pokonać odległość tego punktu

33
00:01:21,408 --> 00:01:22,912
od poziomu morza.

34
00:01:22,944 --> 00:01:25,248
Odległość nie może być liczbą ujemną

35
00:01:25,540 --> 00:01:27,424
ale przecież odległość od zera

36
00:01:27,424 --> 00:01:29,388
w tym wypadku od poziomu morza

37
00:01:29,388 --> 00:01:32,294
to nic innego jak wartość bezwzględna.

38
00:01:32,672 --> 00:01:34,759
Zapiszmy odległość Głębi Challengera

39
00:01:34,759 --> 00:01:36,134
od poziomu morza.

40
00:01:36,134 --> 00:01:40,722
GC to wartość bezwzględna z -10 911

41
00:01:40,864 --> 00:01:43,924
czyli 10 911.

42
00:01:44,278 --> 00:01:46,240
Jak już pokonaliśmy tę odległość

43
00:01:46,496 --> 00:01:48,485
i znajdujemy się na poziomie morza

44
00:01:48,485 --> 00:01:50,592
wznosimy się na szczyt Mount Everest

45
00:01:50,848 --> 00:01:54,486
na wysokość 8 848 metrów.

46
00:01:54,688 --> 00:01:56,996
Tę odległość również możemy zapisać

47
00:01:56,996 --> 00:01:59,740
za pomocą wartości bezwzględnej.

48
00:01:59,808 --> 00:02:03,904
ME to wartość bezwzględna z 8 848

49
00:02:04,160 --> 00:02:06,976
czyli 8 848.

50
00:02:08,000 --> 00:02:10,168
A żeby obliczyć różnicę poziomów

51
00:02:10,168 --> 00:02:12,608
między tymi dwoma skrajnymi punktami

52
00:02:13,120 --> 00:02:14,890
wystarczy, że dodamy do siebie

53
00:02:14,890 --> 00:02:16,914
te dwie zapisane odległości.

54
00:02:17,472 --> 00:02:18,802
ME dodać GC

55
00:02:18,802 --> 00:02:24,025
to 8 848 dodać 10 911

56
00:02:24,025 --> 00:02:28,438
czyli w sumie 19 759 metrów.

57
00:02:28,992 --> 00:02:31,012
Tak więc różnica poziomów między

58
00:02:31,012 --> 00:02:32,488
szczytem Mount Everest

59
00:02:32,488 --> 00:02:33,830
a Głębią Challengera

60
00:02:33,856 --> 00:02:37,876
wynosi 19 759 metrów.

61
00:02:38,976 --> 00:02:40,738
We wcześniejszym etapie nauczania

62
00:02:40,738 --> 00:02:43,120
dowiedziałeś się już, jak liczyć wartość

63
00:02:43,120 --> 00:02:44,384
bezwzględną z liczb

64
00:02:44,384 --> 00:02:46,954
dodatnich i ujemnych.

65
00:02:47,168 --> 00:02:48,474
Wiesz, że na przykład

66
00:02:48,474 --> 00:02:51,008
wartość bezwzględna z ośmiu to 8

67
00:02:51,264 --> 00:02:52,968
albo wartość bezwzględna

68
00:02:52,968 --> 00:02:55,604
z minus dwudziestu pięciu to 25

69
00:02:55,616 --> 00:02:58,440
a wartość bezwzględna z zera to 0.

70
00:02:58,688 --> 00:03:00,139
Zauważ, że jeżeli

71
00:03:00,139 --> 00:03:02,528
x są większe bądź równe zeru

72
00:03:02,784 --> 00:03:04,576
to wartość bezwzględna z x

73
00:03:04,832 --> 00:03:06,130
to po prostu x.

74
00:03:06,624 --> 00:03:09,184
Natomiast, jeżeli x są mniejsze od zera

75
00:03:09,200 --> 00:03:10,870
to wartość bezwzględna z x

76
00:03:10,976 --> 00:03:12,902
równa jest -x.

77
00:03:13,024 --> 00:03:15,065
Czyli wtedy wartość bezwzględna

78
00:03:15,065 --> 00:03:18,252
jest liczbą przeciwną do liczby ujemnej x.

79
00:03:18,400 --> 00:03:21,267
Zatem -x jest jako odległość

80
00:03:21,267 --> 00:03:22,886
liczbą dodatnią.

81
00:03:23,776 --> 00:03:25,292
Spróbujmy zgodnie z tą regułą

82
00:03:25,292 --> 00:03:26,763
obliczyć wartość bezwzględną

83
00:03:26,763 --> 00:03:28,478
z minus dwudziestu pięciu.

84
00:03:28,896 --> 00:03:31,749
Ponieważ -25 jest mniejsze od zera

85
00:03:31,749 --> 00:03:33,870
to korzystamy z drugiej instrukcji

86
00:03:33,870 --> 00:03:35,883
otrzymując, że wartość bezwzględna

87
00:03:35,883 --> 00:03:37,649
z minus dwudziestu pięciu równa się

88
00:03:37,649 --> 00:03:41,172
minus -25, czyli 25.

89
00:03:41,440 --> 00:03:42,976
Wyszło tyle, ile powinno.

90
00:03:43,208 --> 00:03:45,051
Teraz ta metoda obliczeń może Ci się

91
00:03:45,051 --> 00:03:47,460
wydawać dziwna i nadmiernie skomplikowana

92
00:03:47,460 --> 00:03:49,722
jednak ta własność jest bardzo przydatna

93
00:03:49,722 --> 00:03:50,675
przy rozwiązywaniu

94
00:03:50,675 --> 00:03:52,134
trudniejszych przykładów.

95
00:03:52,134 --> 00:03:54,918
Zobaczysz to w dalszej części filmu.

96
00:03:58,422 --> 00:04:00,169
Razem zdefiniowaliśmy więc

97
00:04:00,169 --> 00:04:01,522
wartość bezwzględną.

98
00:04:01,780 --> 00:04:03,633
Zapiszmy definicję, którą znajdziesz

99
00:04:03,633 --> 00:04:06,194
w podręcznikach i tablicach maturalnych.

100
00:04:06,272 --> 00:04:08,304
Wartość bezwzględna z x

101
00:04:08,320 --> 00:04:11,392
to x, gdy x jest większe bądź równe zeru

102
00:04:11,648 --> 00:04:14,608
i -x, gdy x jest mniejsze od zera.

103
00:04:15,002 --> 00:04:16,725
W poprzednich etapach kształcenia

104
00:04:16,725 --> 00:04:18,257
dowiedziałeś się też zapewne

105
00:04:18,257 --> 00:04:20,973
że wartość bezwzględna z konkretnej liczby

106
00:04:20,973 --> 00:04:23,447
to nic innego jak jej odległość od zera.

107
00:04:23,557 --> 00:04:25,572
Spróbujmy więc policzyć kilka wartości

108
00:04:25,572 --> 00:04:27,619
bezwzględnych i zobrazować je

109
00:04:27,619 --> 00:04:29,473
na osi liczbowej.

110
00:04:29,567 --> 00:04:32,951
Wartość bezwzględna z 2,3

111
00:04:32,951 --> 00:04:35,017
to 2,3 całości.

112
00:04:35,249 --> 00:04:39,043
Na osi liczbowej zaznaczmy 2,3.

113
00:04:39,295 --> 00:04:40,430
Odległość od zera

114
00:04:40,430 --> 00:04:45,081
czyli nasza wartość bezwzględna to 2,3.

115
00:04:47,401 --> 00:04:50,949
Wartość bezwzględna z -2/3 to 2/3.

116
00:04:51,071 --> 00:04:53,375
Na osi zaznaczamy -2/3.

117
00:04:53,887 --> 00:04:55,623
Odległość tej liczby od zera

118
00:04:55,623 --> 00:04:57,705
to oczywiście 2/3.

119
00:05:00,031 --> 00:05:01,967
A ile wynosi wartość bezwzględna

120
00:05:01,967 --> 00:05:03,799
z pierwiastka z trzech odjąć 1?

121
00:05:04,077 --> 00:05:06,304
Żeby obliczyć tę wartość bezwzględną

122
00:05:06,304 --> 00:05:08,052
musimy dowiedzieć się czy wyrażenie

123
00:05:08,052 --> 00:05:09,427
pod wartością bezwzględną

124
00:05:09,427 --> 00:05:11,565
czyli pierwiastek z trzech odjąć 1

125
00:05:11,565 --> 00:05:14,079
jest liczbą dodatnią, czy ujemną.

126
00:05:14,367 --> 00:05:15,927
Ale łatwo możesz zauważyć

127
00:05:15,927 --> 00:05:17,320
że pierwiastek z trzech

128
00:05:17,320 --> 00:05:19,471
jest większy od pierwiastka z jednego

129
00:05:19,487 --> 00:05:20,997
czyli pierwiastek z trzech

130
00:05:21,023 --> 00:05:22,929
jest większy od jedynki.

131
00:05:23,071 --> 00:05:25,375
Tak więc pierwiastek z trzech odjąć 1

132
00:05:25,631 --> 00:05:27,151
jest większy od zera.

133
00:05:27,589 --> 00:05:29,367
Możemy też obliczyć na kalkulatorze

134
00:05:29,367 --> 00:05:31,457
przybliżoną wartość tego wyrażenia.

135
00:05:31,519 --> 00:05:33,775
Jest to około 0,7.

136
00:05:34,079 --> 00:05:36,583
Otrzymujemy zatem wartość bezwzględna

137
00:05:36,583 --> 00:05:38,173
z pierwiastka z trzech odjąć 1

138
00:05:38,173 --> 00:05:40,387
to pierwiastek z trzech odjąć 1.

139
00:05:40,735 --> 00:05:43,753
Przedstawmy tę wartość na osi liczbowej.

140
00:05:44,831 --> 00:05:47,903
Zaznaczmy, pierwiastek z trzech odjąć 1.

141
00:05:48,159 --> 00:05:49,893
Odległość od zera to oczywiście

142
00:05:49,893 --> 00:05:52,277
pierwiastek z trzech odjąć 1.

143
00:05:53,029 --> 00:05:54,891
Spróbuj teraz samodzielnie pozbyć się

144
00:05:54,891 --> 00:05:57,239
wartości bezwzględnej z wyrażenia

145
00:05:57,239 --> 00:05:58,334
wartość bezwzględna

146
00:05:58,334 --> 00:05:59,763
z dwóch pierwiastków z trzech

147
00:05:59,763 --> 00:06:01,875
odjąć 3 pierwiastki z dwóch.

148
00:06:05,407 --> 00:06:07,232
Sprawdźmy czy wyrażenie pod wartością

149
00:06:07,232 --> 00:06:09,569
bezwzględną jest mniejsze czy większe

150
00:06:09,569 --> 00:06:10,519
od zera.

151
00:06:10,687 --> 00:06:13,089
Żeby to zrobić wystarczy porównać liczby

152
00:06:13,089 --> 00:06:14,463
2 pierwiastki z trzech

153
00:06:14,463 --> 00:06:16,031
i 3 pierwiastki z dwóch

154
00:06:16,063 --> 00:06:18,740
a żeby to zrobić przedstawmy obie liczby

155
00:06:18,740 --> 00:06:20,262
jako pierwiastek kwadratowy

156
00:06:20,262 --> 00:06:21,623
z jakiejś wartości.

157
00:06:21,951 --> 00:06:23,231
2 pierwiastki z trzech

158
00:06:23,487 --> 00:06:25,791
to inaczej pierwiastek z czterech razy 3

159
00:06:26,043 --> 00:06:27,947
czyli pierwiastek z dwunastu.

160
00:06:28,095 --> 00:06:29,770
A 3 pierwiastki z dwóch

161
00:06:29,770 --> 00:06:31,969
to pierwiastek z dziewięciu razy 2

162
00:06:31,969 --> 00:06:33,861
czyli pierwiastek z osiemnastu.

163
00:06:33,949 --> 00:06:35,648
Teraz już łatwo możemy porównać

164
00:06:35,648 --> 00:06:36,577
obie liczby.

165
00:06:36,577 --> 00:06:38,566
Pierwiastek z dwunastu jest mniejszy

166
00:06:38,566 --> 00:06:40,401
od pierwiastka z osiemnastu.

167
00:06:40,401 --> 00:06:42,209
Czyli 2 pierwiastki z trzech

168
00:06:42,209 --> 00:06:44,533
są mniejsze niż 3 pierwiastki z dwóch.

169
00:06:44,533 --> 00:06:45,772
Tak więc dostaliśmy

170
00:06:45,772 --> 00:06:47,376
że 2 pierwiastki z trzech

171
00:06:47,376 --> 00:06:49,203
odjąć 3 pierwiastki z dwóch

172
00:06:49,203 --> 00:06:51,003
to liczba mniejsza od zera.

173
00:06:51,371 --> 00:06:53,352
Wyrażenie pod wartością bezwzględną

174
00:06:53,352 --> 00:06:55,923
jest ujemne, czyli wartość bezwzględna

175
00:06:55,923 --> 00:06:57,476
z dwóch pierwiastków z trzech

176
00:06:57,476 --> 00:06:59,877
odjąć 3 pierwiastki z dwóch to minus

177
00:06:59,877 --> 00:07:01,767
w nawiasie 2 pierwiastki z trzech

178
00:07:01,767 --> 00:07:03,507
odjąć 3 pierwiastki z dwóch

179
00:07:03,507 --> 00:07:05,100
czyli 3 pierwiastki z dwóch

180
00:07:05,100 --> 00:07:06,993
odjąć 2 pierwiastki z trzech.

181
00:07:07,193 --> 00:07:08,120
Moglibyśmy również

182
00:07:08,120 --> 00:07:09,601
skorzystać z kalkulatora.

183
00:07:09,601 --> 00:07:11,452
Otrzymamy, że wyrażenie pod wartością

184
00:07:11,452 --> 00:07:14,555
bezwzględną to około -0,8.

185
00:07:14,943 --> 00:07:16,622
Zaznaczmy jeszcze na osi liczbowej

186
00:07:16,622 --> 00:07:18,345
wartości 2 pierwiastki z trzech

187
00:07:18,345 --> 00:07:20,237
odjąć 3 pierwiastki z dwóch.

188
00:07:20,237 --> 00:07:22,267
Odległość tej wartości od zera

189
00:07:22,267 --> 00:07:24,404
to oczywiście 3 pierwiastki z dwóch

190
00:07:24,404 --> 00:07:26,387
odjąć 2 pierwiastki z trzech

191
00:07:26,463 --> 00:07:28,389
czyli około 0,8.

192
00:07:32,269 --> 00:07:33,711
Spróbujmy teraz pozbyć się

193
00:07:33,711 --> 00:07:35,370
wartości bezwzględnej z wyrażenia

194
00:07:35,370 --> 00:07:37,887
wartość bezwzględna z x odjąć 1.

195
00:07:38,495 --> 00:07:40,340
Wiemy, że wartość wyrażenia

196
00:07:40,340 --> 00:07:42,267
x odjąć 1 zależy od tego

197
00:07:42,267 --> 00:07:43,875
co podstawimy za x.

198
00:07:44,127 --> 00:07:46,687
Korzystając z definicji, musimy sprawdzić

199
00:07:46,687 --> 00:07:49,199
kiedy wyrażenie pod wartością bezwzględną

200
00:07:49,199 --> 00:07:51,699
jest nieujemne, czyli większe bądź równe

201
00:07:51,699 --> 00:07:53,767
zeru, a kiedy ujemne.

202
00:07:53,855 --> 00:07:55,935
Sprawdźmy na początek kiedy wyrażenie

203
00:07:55,935 --> 00:07:58,999
x odjąć 1 jest większe bądź równe zeru.

204
00:07:59,487 --> 00:08:01,165
Przenosząc jedynkę na prawą stronę

205
00:08:01,165 --> 00:08:03,712
otrzymujemy, że x odjąć 1 jest większe

206
00:08:03,712 --> 00:08:06,040
bądź równe zeru, za x większego

207
00:08:06,040 --> 00:08:07,537
bądź równego jednemu.

208
00:08:07,679 --> 00:08:10,227
Dla takich x-ów wartość bezwzględna

209
00:08:10,227 --> 00:08:11,318
z x odjąć 1

210
00:08:11,318 --> 00:08:13,055
to poprostu x odjąć 1.

211
00:08:13,823 --> 00:08:15,950
Teraz zobaczmy dla jakich x-ów

212
00:08:15,950 --> 00:08:18,441
wyrażenie x odjąć 1 jest ujemne

213
00:08:18,441 --> 00:08:19,967
czyli kiedy x odjąć 1

214
00:08:20,223 --> 00:08:21,953
jest mniejsze od zera.

215
00:08:22,015 --> 00:08:23,810
Oczywiście, gdy x jest

216
00:08:23,810 --> 00:08:25,131
mniejsze od jednego.

217
00:08:25,343 --> 00:08:27,740
Dla tych x-ów, wartość bezwzględna

218
00:08:27,740 --> 00:08:28,927
z x odjąć 1

219
00:08:29,183 --> 00:08:31,743
to minus, w nawiasie x odjąć 1

220
00:08:31,743 --> 00:08:33,865
czyli inaczej 1 odjąć x.

221
00:08:34,303 --> 00:08:36,189
Zapiszmy więc, co otrzymaliśmy.

222
00:08:36,351 --> 00:08:38,655
Wartość bezwzględna z x odjąć 1

223
00:08:38,911 --> 00:08:40,357
to x odjąć 1

224
00:08:40,357 --> 00:08:43,263
dla x-ów większych bądź równych jednemu

225
00:08:43,519 --> 00:08:47,167
a 1 odjąć x, dla x-ów mniejszych od 1.

226
00:08:48,007 --> 00:08:49,852
Spróbuj teraz samodzielnie pozbyć się

227
00:08:49,852 --> 00:08:51,872
wartości bezwzględnej z wyrażenia

228
00:08:51,872 --> 00:08:55,071
wartość bezwzględna z trzech odjąć 2x.

229
00:08:58,297 --> 00:09:00,423
Zobaczymy czy zrobiłeś to poprawnie.

230
00:09:00,423 --> 00:09:02,791
Sprawdzamy, kiedy 3 odjąć 2x

231
00:09:02,791 --> 00:09:04,721
jest większe bądź równe zeru.

232
00:09:04,767 --> 00:09:06,997
Czyli kiedy 2x jest mniejsze

233
00:09:06,997 --> 00:09:08,351
bądź równe trzem.

234
00:09:08,607 --> 00:09:10,867
Otrzymujemy, że warunek ten jest spełniony

235
00:09:10,867 --> 00:09:14,047
dla x mniejszego bądź równego 3/2.

236
00:09:14,495 --> 00:09:16,547
Wtedy wartość bezwzględna z trzech

237
00:09:16,547 --> 00:09:20,127
odjąć 2x, to po prostu 3 odjąć 2x.

238
00:09:20,639 --> 00:09:23,301
Następnie sprawdźmy, dla jakich x-ów

239
00:09:23,301 --> 00:09:26,836
wyrażenie 3 odjąć 2x jest mniejsze od zera

240
00:09:26,836 --> 00:09:29,556
czyli inaczej, kiedy 2x jest większe

241
00:09:29,556 --> 00:09:30,727
od trzech.

242
00:09:31,135 --> 00:09:34,075
Oczywiście dla x-ów większych od 3/2.

243
00:09:34,207 --> 00:09:36,333
Dla takich x-ów mamy więc

244
00:09:36,333 --> 00:09:39,071
wartość bezwzględna z trzech odjąć 2x

245
00:09:39,327 --> 00:09:42,019
to minus, w nawiasie 3 odjąć 2x

246
00:09:42,019 --> 00:09:44,189
czyli 2x odjąć 3.

247
00:09:44,447 --> 00:09:46,827
Mamy zatem wartość bezwzględna

248
00:09:46,827 --> 00:09:50,027
z trzech odjąć 2x, to 3 odjąć 2x

249
00:09:50,027 --> 00:09:52,895
dla x-ów mniejszych bądź równych 3/2

250
00:09:53,151 --> 00:09:54,751
a 2x odjąć 3

251
00:09:54,751 --> 00:09:57,555
dla x-ów większych od 3/2.

252
00:10:02,879 --> 00:10:04,978
Wartość bezwzględna z liczby dodatniej

253
00:10:04,978 --> 00:10:06,773
jest tą samą liczbą.

254
00:10:06,773 --> 00:10:08,575
Natomiast wartość bezwzględna

255
00:10:08,575 --> 00:10:09,815
z liczby ujemnej

256
00:10:09,815 --> 00:10:11,583
to liczba do niej przeciwna.

257
00:10:12,351 --> 00:10:13,441
Żeby pozbyć się

258
00:10:13,441 --> 00:10:15,683
wartości bezwzględnej z wyrażenia

259
00:10:15,683 --> 00:10:16,898
musimy się dowiedzieć

260
00:10:16,898 --> 00:10:18,553
jakiego znaku jest wyrażenie

261
00:10:18,553 --> 00:10:20,491
pod wartością bezwzględną.

262
00:10:20,799 --> 00:10:22,335
Jeżeli jest nieujemne

263
00:10:22,591 --> 00:10:25,561
to wartość bezwzględną możemy wymazać.

264
00:10:25,919 --> 00:10:27,199
Jeżeli jest ujemne

265
00:10:27,455 --> 00:10:30,251
to pozbywając się wartości bezwzględnej

266
00:10:30,251 --> 00:10:33,151
dopisujemy minus przed całym wyrażeniem.

267
00:10:37,183 --> 00:10:38,808
Jeśli ten film Ci się spodobał

268
00:10:38,808 --> 00:10:40,409
polub nas na Facebooku.

269
00:10:40,421 --> 00:10:42,623
A może chciałbyś nam zadać jakieś pytanie?

270
00:10:42,623 --> 00:10:44,584
Jeżeli tak, zrób to w komentarzu

271
00:10:44,584 --> 00:10:46,707
pod filmem.