1
00:00:00,106 --> 00:00:00,991
Chcesz wiedzieć

2
00:00:00,991 --> 00:00:02,534
ile za rok będzie kosztować

3
00:00:02,534 --> 00:00:03,914
elektryczna hulajnoga?

4
00:00:03,914 --> 00:00:06,145
Czy bardziej opłaci się na nią odkładać

5
00:00:06,145 --> 00:00:08,447
i kupić za rok czy lepiej poprosić teraz

6
00:00:08,447 --> 00:00:10,240
rodziców o małą pożyczkę?

7
00:00:10,376 --> 00:00:12,326
Oczywiście nikt nie jest w stanie

8
00:00:12,326 --> 00:00:14,268
przewidzieć, co wydarzy się jutro

9
00:00:14,268 --> 00:00:16,010
ale mogą w tym pomóc tak zwane

10
00:00:16,010 --> 00:00:17,786
metody regresji wielomianowej.

11
00:00:17,806 --> 00:00:18,697
Posiadając dane

12
00:00:18,697 --> 00:00:20,361
dotyczące zmian cen w czasie

13
00:00:20,361 --> 00:00:21,798
możemy do nich dopasować

14
00:00:21,798 --> 00:00:23,942
wielomian i na tej podstawie określić

15
00:00:23,942 --> 00:00:26,360
bardziej prawdopodobną wersję przyszłości.

16
00:00:26,360 --> 00:00:28,015
W tej wideolekcji opowiem Ci

17
00:00:28,015 --> 00:00:29,394
o dodawaniu, odejmowaniu

18
00:00:29,394 --> 00:00:30,888
oraz mnożeniu wielomianów.

19
00:00:41,472 --> 00:00:43,264
Zacznijmy od dodawania.

20
00:00:43,520 --> 00:00:44,738
Polecenie brzmi:

21
00:00:44,800 --> 00:00:46,592
dodaj do siebie dwa wielomiany:

22
00:00:46,848 --> 00:00:49,408
3x do piątej dodać 2x do czwartej

23
00:00:49,664 --> 00:00:52,992
dodać 2x kwadrat odjąć 9x odjąć 1

24
00:00:53,248 --> 00:00:55,101
oraz minus 3x do piątej

25
00:00:55,101 --> 00:00:56,632
odjąć x do czwartej

26
00:00:56,632 --> 00:00:59,392
odjąć 2x do kwadratu dodać 8x.

27
00:01:00,160 --> 00:01:01,440
Zapiszę to działanie.

28
00:01:01,696 --> 00:01:04,137
3x do piątej dodać 2x do czwartej

29
00:01:04,137 --> 00:01:07,255
dodać 2x kwadrat odjąć 9x odjąć 1

30
00:01:07,255 --> 00:01:09,704
dodać minus 3x do piątej

31
00:01:09,704 --> 00:01:11,642
odjąć x do czwartej

32
00:01:11,642 --> 00:01:14,997
odjąć 2x do kwadratu dodać 8x

33
00:01:14,997 --> 00:01:16,497
i pokażę Ci krok po krok

34
00:01:16,497 --> 00:01:18,080
jak otrzymać wynik.

35
00:01:18,080 --> 00:01:19,118
Pierwszy krok.

36
00:01:19,118 --> 00:01:20,943
Trzeba zsumować współczynniki

37
00:01:20,943 --> 00:01:23,200
przy takich samych potęgach zmiennej x.

38
00:01:23,456 --> 00:01:25,452
Co to znaczy w naszym przykładzie?

39
00:01:25,504 --> 00:01:27,962
Znajdź wszystkie x w potędze piątej.

40
00:01:28,064 --> 00:01:29,312
Są one tutaj.

41
00:01:29,600 --> 00:01:31,250
Przy jednym stoi trójka

42
00:01:31,392 --> 00:01:33,102
a przy tym minus trójka.

43
00:01:33,440 --> 00:01:34,841
3 dodać minus 3 to zero

44
00:01:34,841 --> 00:01:36,671
dlatego w wyniku nie pojawi się

45
00:01:36,671 --> 00:01:37,792
x w potędze piątej.

46
00:01:38,560 --> 00:01:40,315
Teraz szukamy kolejnej potęgi

47
00:01:40,315 --> 00:01:41,590
mniejszej od pięciu.

48
00:01:41,632 --> 00:01:42,656
U nas to 4.

49
00:01:43,168 --> 00:01:45,416
Przy tym x-ie do czwartej stoi dwójka

50
00:01:45,472 --> 00:01:46,496
a przy tym minus.

51
00:01:46,752 --> 00:01:48,437
Minus przed liczbą oznacza

52
00:01:48,437 --> 00:01:50,946
że naszym współczynnikiem jest minus 1.

53
00:01:51,104 --> 00:01:52,896
2 dodać minus 1 to 1.

54
00:01:53,664 --> 00:01:55,268
Po znaku równości zapisujemy

55
00:01:55,268 --> 00:01:56,480
1x do czwartej.

56
00:01:56,992 --> 00:01:58,737
Jedynkę bardzo często pomijamy

57
00:01:58,737 --> 00:02:00,720
i piszemy po prostu x do czwartej.

58
00:02:01,088 --> 00:02:01,990
Co dalej?

59
00:02:02,112 --> 00:02:03,712
Szukamy x-ów do trzeciej.

60
00:02:03,712 --> 00:02:05,704
Udało Ci się jakiś znaleźć?

61
00:02:06,976 --> 00:02:08,792
Mnie też nie, idziemy dalej.

62
00:02:08,792 --> 00:02:10,578
Pora na x w drugiej potędze.

63
00:02:10,578 --> 00:02:12,623
Przy tym x-ie kwadrat stoi dwójka

64
00:02:12,623 --> 00:02:14,128
a przy tym minus dwójka.

65
00:02:14,144 --> 00:02:15,936
2 dodać minus 2 to zero.

66
00:02:16,082 --> 00:02:17,859
Innymi słowy możesz powiedzieć

67
00:02:17,859 --> 00:02:19,940
że te dwa wyrazy się zredukowały.

68
00:02:20,032 --> 00:02:21,569
Nie musimy zatem zapisywać

69
00:02:21,569 --> 00:02:23,029
x kwadrat w naszym wyniku

70
00:02:23,029 --> 00:02:25,408
ponieważ jego współczynnik wynosi zero.

71
00:02:26,432 --> 00:02:28,651
Następnie mamy x do potęgi pierwszej

72
00:02:28,651 --> 00:02:29,970
czyli po prostu x.

73
00:02:30,272 --> 00:02:32,201
Przy pierwszym stoi minus 9

74
00:02:32,201 --> 00:02:33,344
a przy drugim 8.

75
00:02:33,856 --> 00:02:36,416
Minus 9 dodać 8 to minus 1.

76
00:02:36,928 --> 00:02:38,976
Do wyniku dopisujemy minus x.

77
00:02:39,488 --> 00:02:41,700
Popatrzmy jeszcze na wyrazy wolne.

78
00:02:41,792 --> 00:02:43,149
A właściwie to na jeden

79
00:02:43,149 --> 00:02:44,864
bo występuje tylko tutaj.

80
00:02:45,376 --> 00:02:47,310
Przepisujemy go do naszego wyniku

81
00:02:47,310 --> 00:02:48,860
i otrzymujemy x do czwartej

82
00:02:48,860 --> 00:02:50,572
odjąć x odjąć 1.

83
00:02:51,004 --> 00:02:53,178
Jak widzisz działania na wielomianach

84
00:02:53,178 --> 00:02:55,403
rozwiązuje się tak samo, jak działania

85
00:02:55,403 --> 00:02:57,180
na wyrażeniach algebraicznych.

86
00:02:57,180 --> 00:02:58,938
Jeśli chcesz przypomnieć sobie

87
00:02:58,938 --> 00:03:01,362
jak to było z wyrażeniami algebraicznymi

88
00:03:01,362 --> 00:03:03,920
to obejrzyj odpowiednią playlistę.

89
00:03:07,648 --> 00:03:09,238
Kolej na odejmowanie.

90
00:03:09,440 --> 00:03:11,592
Zacznijmy od takiego przykładu:

91
00:03:11,744 --> 00:03:13,595
od wielomianu 5x do czwartej

92
00:03:13,595 --> 00:03:16,697
odjąć 3x kwadrat dodać x odjąć 2

93
00:03:16,777 --> 00:03:19,287
odejmij wielomian minus x do piątej

94
00:03:19,287 --> 00:03:22,714
dodać 3x do czwartej odjąć 3x kwadrat

95
00:03:22,714 --> 00:03:24,288
odjąć 2x odjąć 2.

96
00:03:25,056 --> 00:03:26,144
Zapiszmy to.

97
00:03:26,336 --> 00:03:29,296
5x do czwartej odjąć 3x kwadrat

98
00:03:29,376 --> 00:03:32,188
dodać x odjąć 2 odjąć

99
00:03:32,218 --> 00:03:34,528
otwieramy nawias, to bardzo ważne

100
00:03:34,784 --> 00:03:37,645
minus x do piątej dodać 3x do czwartej

101
00:03:37,645 --> 00:03:41,502
odjąć 3x kwadrat odjąć 2x odjąć 2

102
00:03:41,532 --> 00:03:43,250
i zamykamy nawias.

103
00:03:43,744 --> 00:03:45,464
Aby uzyskać prawidłowy wynik

104
00:03:45,464 --> 00:03:46,893
musimy pozbyć się nawiasu

105
00:03:46,893 --> 00:03:48,117
zamieniając znak

106
00:03:48,117 --> 00:03:49,956
każdego składnika na przeciwny.

107
00:03:49,956 --> 00:03:50,956
Zaczynamy.

108
00:03:50,956 --> 00:03:52,715
Ten minus zamieniamy na plus

109
00:03:52,715 --> 00:03:54,926
piszemy więc dodać x do piątej.

110
00:03:55,008 --> 00:03:56,852
Tego plusa zamieniamy na minus

111
00:03:56,852 --> 00:03:59,278
zatem mamy odjąć 3x do czwartej.

112
00:03:59,616 --> 00:04:01,884
Dalej piszemy dodać 3x kwadrat

113
00:04:01,920 --> 00:04:03,656
i dodać dwa x dodać 2.

114
00:04:03,968 --> 00:04:05,961
Zobacz, nasze działanie stało się

115
00:04:05,961 --> 00:04:08,076
podobne do tego, które zapisywaliśmy

116
00:04:08,076 --> 00:04:09,548
w poprzednim przykładzie.

117
00:04:09,600 --> 00:04:11,727
Tu też musimy zsumować współczynniki

118
00:04:11,727 --> 00:04:13,710
przy x w takiej samej potędze.

119
00:04:13,952 --> 00:04:15,586
Zrób to samodzielnie.

120
00:04:18,815 --> 00:04:20,521
Szukamy największej potęgi.

121
00:04:20,607 --> 00:04:21,841
Jest nią piątka.

122
00:04:21,887 --> 00:04:23,553
Podkreślamy wszystkie wyrazy

123
00:04:23,553 --> 00:04:25,043
zawierające x do piątej.

124
00:04:25,471 --> 00:04:26,519
Jest tylko jeden

125
00:04:26,519 --> 00:04:28,285
dlatego możemy go przepisać.

126
00:04:28,543 --> 00:04:30,319
Następnie podkreślamy wyrazy

127
00:04:30,319 --> 00:04:32,863
w których występuje x w potędze czwartej.

128
00:04:33,151 --> 00:04:34,851
Tutaj i tutaj.

129
00:04:35,455 --> 00:04:37,587
Dodajemy współczynniki przy x-ach.

130
00:04:37,759 --> 00:04:39,151
5 dodać minus 3 to 2

131
00:04:39,151 --> 00:04:40,683
więc po znaku równości

132
00:04:40,683 --> 00:04:42,465
piszemy 2x do czwartej.

133
00:04:42,879 --> 00:04:44,961
Teraz szukamy x w potędze trzeciej.

134
00:04:45,439 --> 00:04:47,109
Taki wyraz nie występuje.

135
00:04:47,231 --> 00:04:48,535
Szukam x-ów kwadrat.

136
00:04:48,535 --> 00:04:50,303
Są one tutaj i tutaj.

137
00:04:50,815 --> 00:04:52,765
Zwróć uwagę, że stojące przy nich

138
00:04:52,765 --> 00:04:54,935
współczynniki są liczbami przeciwnymi

139
00:04:54,935 --> 00:04:56,447
więc się zredukują.

140
00:04:56,959 --> 00:04:59,343
Szukamy teraz x-ów w pierwszej potędze

141
00:04:59,343 --> 00:05:01,561
jeden jest tutaj, a drugi tutaj.

142
00:05:02,335 --> 00:05:04,437
Dodajemy je do siebie i mamy 3x.

143
00:05:04,895 --> 00:05:06,493
Pozostały nam wyrazy wolne.

144
00:05:06,493 --> 00:05:08,483
Jeden wynosi 2, a drugi minus 2

145
00:05:08,513 --> 00:05:09,760
co w sumie daje zero

146
00:05:09,760 --> 00:05:11,133
dlatego w naszym wyniku

147
00:05:11,133 --> 00:05:12,913
wyraz wolny się nie pojawi.

148
00:05:13,343 --> 00:05:14,631
Przyjrzyj się stopniom

149
00:05:14,631 --> 00:05:16,105
odejmowanych wielomianów

150
00:05:16,105 --> 00:05:17,417
i stopniowi wielomianu

151
00:05:17,417 --> 00:05:18,741
który jest wynikiem.

152
00:05:18,741 --> 00:05:21,535
Stopień pierwszego to 4, drugiego 5

153
00:05:22,047 --> 00:05:24,233
a wynikiem odejmowania jest wielomian

154
00:05:24,233 --> 00:05:25,453
stopnia piątego.

155
00:05:25,631 --> 00:05:27,903
Przypomnijmy sobie poprzednie zadanie.

156
00:05:27,935 --> 00:05:30,147
Tutaj stopień pierwszego oraz drugiego

157
00:05:30,147 --> 00:05:31,839
składnika wynosi 5.

158
00:05:32,287 --> 00:05:34,971
Wynikiem jest wielomian stopnia czwartego.

159
00:05:35,103 --> 00:05:36,753
Jaki z tego wniosek?

160
00:05:36,895 --> 00:05:39,131
Stopień wielomianu otrzymanego w wyniku

161
00:05:39,131 --> 00:05:41,292
dodawania lub odejmowania wielomianów

162
00:05:41,292 --> 00:05:42,502
nie może być wyższy

163
00:05:42,502 --> 00:05:44,267
niż stopnie składników.

164
00:05:44,319 --> 00:05:46,857
Wynika to z tego, że w efekcie dodawania

165
00:05:46,857 --> 00:05:49,071
lub odejmowania nie może powstać wyraz

166
00:05:49,071 --> 00:05:51,231
w którym x będzie w potędze wyższej

167
00:05:51,487 --> 00:05:53,233
niż w składnikach działania.

168
00:05:53,279 --> 00:05:55,301
Wyrazy mogą się natomiast skrócić.

169
00:05:55,583 --> 00:05:57,693
Wtedy stopień wielomianu wynikowego

170
00:05:57,693 --> 00:05:58,943
będzie niższy.

171
00:06:01,983 --> 00:06:04,275
Przyszła pora na mnożenie wielomianów.

172
00:06:04,287 --> 00:06:06,148
Pomnóż wielomian 2x do trzeciej

173
00:06:06,148 --> 00:06:08,139
dodać 2x kwadrat odjąć 4

174
00:06:08,139 --> 00:06:11,045
przez wielomian minus x do kwadratu

175
00:06:11,045 --> 00:06:12,373
dodać x odjąć 1.

176
00:06:12,991 --> 00:06:14,983
Tak jak poprzednio, zapiszmy to.

177
00:06:15,295 --> 00:06:18,803
Nawias 2x do trzeciej dodać 2x kwadrat

178
00:06:18,803 --> 00:06:21,695
odjąć 4, zamykamy nawias razy

179
00:06:21,951 --> 00:06:23,502
otwieramy kolejny

180
00:06:23,502 --> 00:06:24,871
minus x kwadrat dodać

181
00:06:24,881 --> 00:06:26,051
x odjąć 1.

182
00:06:26,559 --> 00:06:28,740
Zapisując mnożenie dwóch wielomianów

183
00:06:28,740 --> 00:06:31,011
ważne jest, aby wziąć je oba w nawias

184
00:06:31,167 --> 00:06:33,443
ponieważ kolejnym naszym krokiem będzie

185
00:06:33,443 --> 00:06:35,012
mnożenie każdego składnika

186
00:06:35,012 --> 00:06:37,407
w pierwszym nawiasie przez każdy składnik

187
00:06:37,407 --> 00:06:38,685
w drugim nawiasie.

188
00:06:38,847 --> 00:06:41,373
Innymi słowy mnożymy każdy wyraz stąd

189
00:06:41,373 --> 00:06:43,313
przez każdy wyraz stąd.

190
00:06:43,455 --> 00:06:45,325
Zacznijmy od 2x do trzeciej

191
00:06:45,325 --> 00:06:47,063
razy minus x kwadrat.

192
00:06:47,551 --> 00:06:48,377
Czy pamiętasz

193
00:06:48,377 --> 00:06:50,111
jak mnożymy takie jednomiany?

194
00:06:50,623 --> 00:06:52,479
Współczynniki stojące przy x-ach

195
00:06:52,479 --> 00:06:55,487
należy pomnożyć, a wykładniki x dodać.

196
00:06:55,999 --> 00:06:58,047
2 razy minus 1 to minus 2

197
00:06:58,303 --> 00:06:59,583
3 dodać 2 to 5

198
00:06:59,839 --> 00:07:01,687
Wynikiem tego mnożenie jest więc

199
00:07:01,687 --> 00:07:03,447
minus 2x do potęgi piątej.

200
00:07:03,935 --> 00:07:05,315
Przechodzimy do mnożenia

201
00:07:05,315 --> 00:07:06,443
kolejnych wyrazów.

202
00:07:06,495 --> 00:07:08,287
2x do trzeciej razy x.

203
00:07:08,543 --> 00:07:10,591
Otrzymujemy 2 razy 1, czyli 2.

204
00:07:11,103 --> 00:07:12,842
x do trzeciej razy x

205
00:07:12,862 --> 00:07:14,173
czyli x do czwartej.

206
00:07:14,431 --> 00:07:15,629
Idziemy dalej.

207
00:07:15,711 --> 00:07:17,633
2x do trzeciej razy minus 1

208
00:07:17,633 --> 00:07:19,039
to minus 2x do trzeciej.

209
00:07:20,063 --> 00:07:22,602
2x kwadrat razy minus x kwadrat

210
00:07:22,602 --> 00:07:24,403
to minus 2x do czwartej.

211
00:07:24,671 --> 00:07:27,231
2x kwadrat razy x to 2x do trzeciej.

212
00:07:27,743 --> 00:07:29,757
2x kwadrat razy minus 1

213
00:07:29,757 --> 00:07:31,071
to minus 2x kwadrat.

214
00:07:31,583 --> 00:07:33,917
Minus 4 razy minus x kwadrat

215
00:07:33,917 --> 00:07:35,167
to 4x kwadrat.

216
00:07:35,935 --> 00:07:38,519
Minus 4 razy x to minus 4x.

217
00:07:39,007 --> 00:07:42,073
I wreszcie minus 4 razy minus 1 to 4.

218
00:07:42,847 --> 00:07:44,301
Mam dla Ciebie radę.

219
00:07:44,639 --> 00:07:46,363
Żeby nie zgubić żadnego wyrazu

220
00:07:46,383 --> 00:07:47,369
mnożąc wielomiany

221
00:07:47,369 --> 00:07:48,931
ustal sobie jakiś porządek.

222
00:07:48,931 --> 00:07:50,977
Ja na przykład biorę pierwszy wyraz

223
00:07:50,977 --> 00:07:53,265
z pierwszego nawiasu i mnożę go po kolei

224
00:07:53,265 --> 00:07:55,367
przez każdy wyraz w drugim nawiasie.

225
00:07:55,367 --> 00:07:56,912
Następnie biorę drugi wyraz

226
00:07:56,912 --> 00:07:58,108
z pierwszego nawiasu

227
00:07:58,108 --> 00:07:59,791
i też go mnożę kolejno przez

228
00:07:59,791 --> 00:08:01,907
wszystkie wyrazy w drugim nawiasie.

229
00:08:01,907 --> 00:08:03,369
I tak dalej i tak dalej.

230
00:08:03,369 --> 00:08:05,617
Jeśli chcesz, możesz wybrać swój własny

231
00:08:05,617 --> 00:08:07,695
sposób, ale ważne żeby konsekwentnie

232
00:08:07,695 --> 00:08:08,559
się go trzymać.

233
00:08:08,559 --> 00:08:10,193
Wracając do naszego wyniku.

234
00:08:10,239 --> 00:08:11,989
Musimy go jeszcze uprościć.

235
00:08:12,031 --> 00:08:14,111
Robimy to tak samo, jak w przypadku

236
00:08:14,111 --> 00:08:16,441
dodawania lub odejmowania wielomianów.

237
00:08:16,441 --> 00:08:18,911
Zatrzymaj film i zrób to samodzielnie.

238
00:08:22,271 --> 00:08:24,319
Szukamy x w najwyższej potędze.

239
00:08:24,575 --> 00:08:25,819
Jest nim x do piątej.

240
00:08:25,855 --> 00:08:27,348
Występuje on tylko tutaj

241
00:08:27,348 --> 00:08:28,863
więc po znaku równości

242
00:08:28,863 --> 00:08:30,723
mogę napisać minus2x do piątej.

243
00:08:31,231 --> 00:08:33,755
Następnie szukam x-ów w potędze czwartej.

244
00:08:34,047 --> 00:08:36,219
Są tutaj i tutaj, ale suma ich

245
00:08:36,219 --> 00:08:37,806
współczynników wynosi zero

246
00:08:37,806 --> 00:08:39,829
ponieważ 2 dodać minus 2 to zero.

247
00:08:39,865 --> 00:08:41,333
Dlatego w naszym wyniku

248
00:08:41,333 --> 00:08:43,671
x w potędze czwartej się nie pojawi.

249
00:08:43,775 --> 00:08:46,279
Dalej mamy x do trzeciej, tutaj i tutaj.

250
00:08:46,657 --> 00:08:48,373
W tym przypadku współczynniki

251
00:08:48,373 --> 00:08:49,987
również się zredukują.

252
00:08:49,987 --> 00:08:51,845
Następną potęgą jest dwójka.

253
00:08:51,921 --> 00:08:53,713
Mamy ją tutaj i tutaj.

254
00:08:54,015 --> 00:08:55,862
Minus 2 dodać 4 to 2

255
00:08:55,862 --> 00:08:57,339
dlatego w wyniku

256
00:08:57,379 --> 00:08:59,831
pojawi się dodać 2x kwadrat.

257
00:09:00,159 --> 00:09:01,535
x w pierwszej potędze

258
00:09:01,535 --> 00:09:02,911
występuje tylko tutaj

259
00:09:02,911 --> 00:09:05,023
więc dopisuję minus 4x do wyniku.

260
00:09:05,535 --> 00:09:07,202
Pozostał jeszcze wyraz wolny

261
00:09:07,202 --> 00:09:08,385
który wynosi 4.

262
00:09:08,607 --> 00:09:10,841
Zwróć uwagę na stopnie czynników

263
00:09:10,841 --> 00:09:12,737
oraz wyniku naszego iloczynu.

264
00:09:13,215 --> 00:09:15,307
Ten wielomian jest stopnia trzeciego

265
00:09:15,307 --> 00:09:16,551
a ten drugiego.

266
00:09:16,799 --> 00:09:18,635
Wynik jest stopnia piątego.

267
00:09:18,847 --> 00:09:20,639
I jak myślisz, dlaczego?

268
00:09:21,151 --> 00:09:22,207
Otóż przy mnożeniu

269
00:09:22,207 --> 00:09:24,187
wykładniki zmiennych dodajemy.

270
00:09:24,369 --> 00:09:26,099
Stopień wielomianu powstałego

271
00:09:26,099 --> 00:09:28,070
przez pomnożenie dwóch wielomianów

272
00:09:28,070 --> 00:09:29,771
jest zatem zawsze sumą stopni

273
00:09:29,771 --> 00:09:30,707
tych czynników.

274
00:09:31,135 --> 00:09:33,666
Przyszedł czas, aby sprawdzić swoją wiedzę

275
00:09:33,666 --> 00:09:35,639
w kolejnych przykładach.

276
00:09:38,303 --> 00:09:39,327
Polecenie brzmi:

277
00:09:39,583 --> 00:09:41,119
dane są trzy wielomiany.

278
00:09:41,375 --> 00:09:43,461
W od x równa się x do trzeciej

279
00:09:43,461 --> 00:09:45,471
odjąć x kwadrat dodać 5

280
00:09:45,727 --> 00:09:48,543
P od x równa się x kwadrat dodać 3

281
00:09:49,055 --> 00:09:50,490
oraz Q od x równa się

282
00:09:50,490 --> 00:09:52,151
x do trzeciej odjąć 5.

283
00:09:52,639 --> 00:09:53,873
Wykonaj działanie.

284
00:09:53,919 --> 00:09:57,503
4 razy W od x odjąć P od x razy Q od x.

285
00:09:57,759 --> 00:10:00,473
Wynik przedstaw w postaci uporządkowanej.

286
00:10:01,087 --> 00:10:03,163
Na początku nasz pierwszy wielomian

287
00:10:03,163 --> 00:10:05,283
czyli W od x mnożymy przez 4.

288
00:10:05,695 --> 00:10:08,480
Piszemy 4 razy nawias x do trzeciej

289
00:10:08,480 --> 00:10:11,757
odjąć x kwadrat dodać 5, zamykamy nawias.

290
00:10:12,095 --> 00:10:13,759
Od tego odejmujemy iloczyn

291
00:10:13,759 --> 00:10:15,221
wielomianów Q i P.

292
00:10:15,423 --> 00:10:16,507
Piszemy więc minus

293
00:10:16,507 --> 00:10:17,471
otwieramy nawias

294
00:10:17,983 --> 00:10:19,527
x kwadrat dodać 3

295
00:10:19,527 --> 00:10:20,799
zamykamy nawias

296
00:10:21,055 --> 00:10:23,230
razy, otwieramy nawias x do trzeciej

297
00:10:23,230 --> 00:10:25,561
odjąć 5 i zamykamy nawias.

298
00:10:26,175 --> 00:10:28,346
Rozwiąż ten przykład, pamiętając

299
00:10:28,346 --> 00:10:30,585
o kolejności wykonywania działań.

300
00:10:33,599 --> 00:10:35,060
Pomnóżmy każdy składnik

301
00:10:35,060 --> 00:10:36,927
pierwszego nawiasu przez 4.

302
00:10:37,439 --> 00:10:40,885
Mamy 4x do trzeciej odjąć 4x kwadrat

303
00:10:40,885 --> 00:10:42,047
dodać 20.

304
00:10:42,559 --> 00:10:44,655
Od tego musimy odjąć wynik mnożenia

305
00:10:44,655 --> 00:10:46,399
P od x przez Q od x.

306
00:10:46,911 --> 00:10:49,163
Jako, że przed wyrażeniem jest minus

307
00:10:49,215 --> 00:10:50,893
to warto wynik tego mnożenia

308
00:10:50,893 --> 00:10:52,031
zapisać w nawiasie.

309
00:10:52,177 --> 00:10:54,108
Wtedy łatwiej będzie nam pamiętać

310
00:10:54,108 --> 00:10:55,181
o zmianie znaków.

311
00:10:55,181 --> 00:10:57,236
Wiesz już, że musisz pomnożyć

312
00:10:57,236 --> 00:10:59,352
każdy składnik pierwszego nawiasu

313
00:10:59,352 --> 00:11:01,783
przez każdy składnik drugiego nawiasu.

314
00:11:02,015 --> 00:11:03,661
x kwadrat razy x do trzeciej

315
00:11:03,661 --> 00:11:04,575
to x do piątej.

316
00:11:04,831 --> 00:11:06,812
x kwadrat razy minus 5

317
00:11:06,812 --> 00:11:08,163
to minus 5x kwadrat.

318
00:11:08,671 --> 00:11:11,231
3 razy x do trzeciej to 3x do trzeciej.

319
00:11:11,999 --> 00:11:14,303
I 3 razy minus 5 to minus 15.

320
00:11:15,071 --> 00:11:16,863
Zanim pozbędziemy się nawiasu

321
00:11:17,119 --> 00:11:19,579
musimy zmienić wszystkie znaki jednomianów

322
00:11:19,579 --> 00:11:21,449
wewnątrz nawiasu na przeciwne.

323
00:11:21,727 --> 00:11:23,775
Mamy więc 4x do trzeciej

324
00:11:24,031 --> 00:11:26,847
odjąć 4x kwadrat dodać 20

325
00:11:27,103 --> 00:11:29,833
odjąć x do piątej dodać 5x kwadrat

326
00:11:29,919 --> 00:11:32,473
odjąć 3x do trzeciej dodać 15.

327
00:11:32,735 --> 00:11:34,826
Ostatnim krokiem będzie dokonanie

328
00:11:34,826 --> 00:11:36,543
redukcji wyrazów podobnych.

329
00:11:36,575 --> 00:11:38,367
Szukamy największej potęgi x.

330
00:11:38,623 --> 00:11:39,571
Jest nią 5.

331
00:11:39,903 --> 00:11:42,207
W tej potędze występuje on tylko raz

332
00:11:42,463 --> 00:11:43,972
dlatego po znaku równości

333
00:11:43,972 --> 00:11:45,689
zapisujemy minus x do piątej.

334
00:11:45,791 --> 00:11:47,792
W potędze czwartej x nie występuje

335
00:11:47,792 --> 00:11:50,347
a w potędze trzeciej jest tutaj i tutaj

336
00:11:50,347 --> 00:11:52,275
więc piszemy dodać x do trzeciej.

337
00:11:52,447 --> 00:11:55,263
x kwadrat występuje tutaj oraz tutaj.

338
00:11:55,519 --> 00:11:57,311
Minus 4 dodać 5 to 1

339
00:11:57,567 --> 00:12:00,241
więc w wyniku dodajemy x do kwadratu.

340
00:12:00,895 --> 00:12:03,199
x w potędze pierwszej nie występuje

341
00:12:03,455 --> 00:12:06,015
a 20 dodać 15 to 35.

342
00:12:06,783 --> 00:12:08,831
Czy ten wynik jest uporządkowany?

343
00:12:09,087 --> 00:12:10,785
Tak, dlatego nie musimy z nim

344
00:12:10,785 --> 00:12:12,529
już nic więcej robić.

345
00:12:15,743 --> 00:12:17,725
Ostatni przykład jest dla Ciebie.

346
00:12:17,791 --> 00:12:20,554
Sprawdź, czy iloczyn wielomianów W od x

347
00:12:20,554 --> 00:12:23,679
równa się 3x kwadrat dodać x odjąć 1

348
00:12:23,935 --> 00:12:26,751
i Q od x równa się minus x dodać 4

349
00:12:27,007 --> 00:12:29,055
równy jest wielomianowi P od x

350
00:12:29,311 --> 00:12:31,933
równa się minus 3x do trzeciej dodać

351
00:12:31,933 --> 00:12:35,455
11x kwadrat dodać 4x odjąć 4.

352
00:12:38,783 --> 00:12:41,114
W od x razy Q od x równa się

353
00:12:41,114 --> 00:12:41,946
w nawiasie

354
00:12:41,946 --> 00:12:44,627
3x do drugiej dodać x odjąć 1

355
00:12:44,627 --> 00:12:47,192
zamknąć nawias, razy w nawiasie

356
00:12:47,268 --> 00:12:48,807
minus x dodać 4.

357
00:12:49,279 --> 00:12:51,567
Mnożymy wszystkie składniki w nawiasie.

358
00:12:51,583 --> 00:12:53,869
Mamy minus 3x do trzeciej

359
00:12:53,869 --> 00:12:55,423
dodać 12x kwadrat

360
00:12:55,449 --> 00:12:59,975
odjąć x kwadrat dodać 4x dodać x odjąć 4.

361
00:13:00,287 --> 00:13:02,329
Teraz dodajemy wyrazy podobne.

362
00:13:02,511 --> 00:13:04,247
x do trzeciej jest tylko tutaj

363
00:13:04,247 --> 00:13:05,564
więc po znaku równości

364
00:13:05,564 --> 00:13:07,363
piszemy minus 3x do trzeciej.

365
00:13:07,455 --> 00:13:09,336
x w potędze drugiej znajduje się

366
00:13:09,336 --> 00:13:10,385
tutaj i tutaj.

367
00:13:10,527 --> 00:13:12,708
Po dodaniu współczynników otrzymujemy

368
00:13:12,708 --> 00:13:15,455
11x kwadrat, które dopisujemy do wyniku.

369
00:13:15,903 --> 00:13:17,439
Następnie szukamy x-ów.

370
00:13:17,695 --> 00:13:18,463
Są tutaj.

371
00:13:18,719 --> 00:13:20,511
4 dodać 1 to 5

372
00:13:20,767 --> 00:13:22,949
więc w wyniku będziemy mieli 5x.

373
00:13:23,327 --> 00:13:25,173
Wyraz wolny też przepisujemy.

374
00:13:25,375 --> 00:13:27,111
Czy ten iloczyn równy jest

375
00:13:27,111 --> 00:13:28,447
wielomianowi P od x?

376
00:13:28,703 --> 00:13:29,739
Wielomiany są sobie równe

377
00:13:29,739 --> 00:13:30,893
jeśli współczynniki

378
00:13:30,893 --> 00:13:32,471
przy odpowiednich potęgach

379
00:13:32,471 --> 00:13:33,701
są sobie równe.

380
00:13:34,079 --> 00:13:36,267
Przy x-ach do trzeciej mamy minus 3.

381
00:13:36,383 --> 00:13:38,130
Przy x-ach kwadrat mamy 11

382
00:13:38,130 --> 00:13:40,479
czyli wszystko do tej pory się zgadza.

383
00:13:40,735 --> 00:13:42,989
Ale przy x-ach mamy 5

384
00:13:42,989 --> 00:13:45,377
a w P od x jest czwórka.

385
00:13:45,599 --> 00:13:47,141
Zatem te dwa wielomiany

386
00:13:47,141 --> 00:13:48,415
nie są sobie równe.

387
00:13:48,671 --> 00:13:51,487
Możemy zapisać, że W od x razy Q od x

388
00:13:51,743 --> 00:13:53,023
nie równa się P od x.

389
00:13:53,535 --> 00:13:56,086
Zwróć uwagę, że porównywanie wielomianów

390
00:13:56,086 --> 00:13:57,815
jest znacznie prostsze

391
00:13:57,815 --> 00:13:59,929
jeśli są one uporządkowane.

392
00:14:04,287 --> 00:14:06,075
Wielomiany dodajemy, odejmujemy

393
00:14:06,075 --> 00:14:08,653
i mnożymy tak, jak wyrażenia algebraiczne.

394
00:14:08,895 --> 00:14:11,218
Jeśli dodajemy lub odejmujemy wielomiany

395
00:14:11,218 --> 00:14:13,174
to otrzymujemy wielomian o stopniu

396
00:14:13,174 --> 00:14:15,303
nie większym niż stopnie składników.

397
00:14:15,551 --> 00:14:17,634
W przypadku mnożenia stopień wyniku

398
00:14:17,634 --> 00:14:19,513
to suma stopni czynników.

399
00:14:23,177 --> 00:14:25,612
Mam nadzieję, że działania na wielomianach

400
00:14:25,612 --> 00:14:27,825
nie stanowią już dla Ciebie problemu.

401
00:14:27,825 --> 00:14:29,681
Jeśli ten film Cię zainteresował

402
00:14:29,681 --> 00:14:31,871
to nie zapomnij zostawić łapki w górę.

403
00:14:31,871 --> 00:14:33,362
Po więcej zapraszam Cię

404
00:14:33,362 --> 00:14:35,382
na naszą stronę pi-stacja.tv