1
00:00:00,256 --> 00:00:01,020
Dla wielomianów

2
00:00:01,020 --> 00:00:02,558
trzeciego i czwartego stopnia

3
00:00:02,558 --> 00:00:04,203
podobnie jak dla znanych Ci już

4
00:00:04,203 --> 00:00:05,539
funkcji kwadratowych

5
00:00:05,539 --> 00:00:07,824
można wyznaczyć miejsca zerowe.

6
00:00:07,976 --> 00:00:09,646
Istnieją do tego gotowe wzory

7
00:00:09,646 --> 00:00:11,264
zwane wzorami Cardano.

8
00:00:11,520 --> 00:00:13,328
Dla wielomianów wyższych stopni

9
00:00:13,328 --> 00:00:14,629
matematycy wykazali

10
00:00:14,629 --> 00:00:17,100
że nie ma takich gotowych wzorów.

11
00:00:17,408 --> 00:00:18,661
Wzory Cardano są jednak

12
00:00:18,661 --> 00:00:20,019
bardzo skomplikowane

13
00:00:20,019 --> 00:00:21,226
dlatego nikt nie będzie

14
00:00:21,226 --> 00:00:23,132
kazał Ci uczyć się ich na pamięć.

15
00:00:23,188 --> 00:00:24,299
W tej lekcji poznasz

16
00:00:24,299 --> 00:00:26,013
prostsze sposoby na wyznaczanie

17
00:00:26,013 --> 00:00:28,142
miejsc zerowych wielomianu.

18
00:00:39,480 --> 00:00:41,701
Wiesz już czym jest pierwiastek wielomianu

19
00:00:41,701 --> 00:00:43,715
i potrafisz sprawdzić, czy dana liczba

20
00:00:43,715 --> 00:00:45,056
jest takim pierwiastkiem.

21
00:00:45,312 --> 00:00:46,881
Szukanie pierwiastków wielomianu

22
00:00:46,881 --> 00:00:48,306
jednak nie jest proste

23
00:00:48,306 --> 00:00:50,176
i powstało wiele metod ich obliczania.

24
00:00:50,688 --> 00:00:52,713
W tym filmie pokażę Ci jeden ze sposobów

25
00:00:52,713 --> 00:00:54,019
wyznaczania pierwiastków

26
00:00:54,019 --> 00:00:55,746
dla szczególnych wielomianów.

27
00:00:56,064 --> 00:00:58,112
Szukamy pierwiastków takiego wielomianu.

28
00:00:58,624 --> 00:01:01,509
W od x równa się 2x do potęgi czwartej

29
00:01:01,509 --> 00:01:04,768
odjąć 5x do potęgi trzeciej dodać 5x

30
00:01:05,024 --> 00:01:05,792
odjąć 2.

31
00:01:06,560 --> 00:01:09,120
Jeśli pewna liczba, na przykład p

32
00:01:09,376 --> 00:01:10,759
jest jego pierwiastkiem

33
00:01:10,759 --> 00:01:12,758
to W od p jest równe zero.

34
00:01:13,472 --> 00:01:15,406
Podstawiając p w miejsce x

35
00:01:15,406 --> 00:01:17,056
możemy zatem napisać równanie:

36
00:01:17,568 --> 00:01:21,152
2p do czwartej odjąć 5p do potęgi trzeciej

37
00:01:21,408 --> 00:01:24,480
dodać 5p odjąć 2 równa się zero.

38
00:01:24,992 --> 00:01:26,016
Przekształćmy je.

39
00:01:26,272 --> 00:01:28,292
Przenieśmy minus dwójkę na prawą stronę

40
00:01:28,292 --> 00:01:30,368
pamiętając o zmianie znaku na przeciwny.

41
00:01:30,624 --> 00:01:32,231
Mamy więc 2p do czwartej

42
00:01:32,231 --> 00:01:35,744
odjąć 5p do trzeciej dodać 5p równa się 2.

43
00:01:36,768 --> 00:01:38,854
Teraz wyciągnijmy p przed nawias.

44
00:01:38,854 --> 00:01:39,904
Zapisujemy.

45
00:01:40,096 --> 00:01:42,776
p razy w nawiasie 2p do trzeciej

46
00:01:42,776 --> 00:01:45,384
odjąć 5p do kwadratu dodać 5

47
00:01:45,384 --> 00:01:46,558
zamknąć nawias

48
00:01:46,558 --> 00:01:47,884
równa się 2.

49
00:01:48,032 --> 00:01:50,025
Czy z takiego zapisu możemy wyłuskać

50
00:01:50,025 --> 00:01:52,128
jakieś informacje na temat pierwiastków?

51
00:01:52,640 --> 00:01:54,176
Mamy iloczyn dwóch wyrażeń.

52
00:01:54,432 --> 00:01:55,712
p oraz nawiasu.

53
00:01:56,224 --> 00:01:58,528
Teraz musimy przyjąć pewne założenie.

54
00:01:58,784 --> 00:02:00,512
Mianowicie nasze p musi być

55
00:02:00,512 --> 00:02:01,900
liczbą całkowitą.

56
00:02:02,368 --> 00:02:03,476
Wtedy mamy mnożenie

57
00:02:03,476 --> 00:02:04,701
dwóch liczb całkowitych

58
00:02:04,701 --> 00:02:05,952
bo to, co jest w nawiasie

59
00:02:06,208 --> 00:02:07,744
też musi być liczbą całkowitą.

60
00:02:08,256 --> 00:02:09,827
To mnożenie daje wynik 2

61
00:02:09,827 --> 00:02:10,874
a zatem na pewno

62
00:02:10,874 --> 00:02:12,691
dwójka podzielna jest przez p

63
00:02:12,691 --> 00:02:13,888
i wartość nawiasu.

64
00:02:14,400 --> 00:02:15,577
Zapisujemy to jako

65
00:02:15,577 --> 00:02:17,472
p jest dzielnikiem dwójki.

66
00:02:18,240 --> 00:02:21,312
Zawęża nam to wartość p do jedynki

67
00:02:21,568 --> 00:02:23,540
dwójki i liczb im przeciwnych

68
00:02:23,540 --> 00:02:25,920
czyli minus dwójki i minus jedynki.

69
00:02:26,432 --> 00:02:28,103
W skrócie możemy to zapisać jako

70
00:02:28,103 --> 00:02:30,784
plus minus 1 oraz plus minus 2.

71
00:02:31,552 --> 00:02:33,498
Pamiętasz, że p jest miejscem zerowym

72
00:02:33,498 --> 00:02:34,601
naszego wielomianu

73
00:02:34,601 --> 00:02:35,878
czyli jego pierwiastkiem.

74
00:02:36,160 --> 00:02:37,810
Jeśli W od x posiada

75
00:02:37,810 --> 00:02:39,470
jakieś całkowite pierwiastki

76
00:02:39,470 --> 00:02:41,263
to na pewno znajdą się one

77
00:02:41,273 --> 00:02:43,216
wśród wymienionych czterech liczb.

78
00:02:43,328 --> 00:02:45,613
Teraz należy sprawdzić, które z tych liczb

79
00:02:45,613 --> 00:02:47,680
są faktycznie pierwiastkami wielomianu.

80
00:02:48,192 --> 00:02:49,461
Możesz to zrobić na wiele

81
00:02:49,461 --> 00:02:50,418
różnych sposobów.

82
00:02:50,418 --> 00:02:52,046
Decyzję pozostawiam Tobie.

83
00:02:52,288 --> 00:02:54,080
Zatrzymaj film i sprawdź się.

84
00:02:58,176 --> 00:03:00,138
Najpierw zrobię tutaj trochę miejsca.

85
00:03:00,480 --> 00:03:02,681
Obliczmy wartość wielomianu dla argumentu

86
00:03:02,681 --> 00:03:04,832
minus 2, wykorzystując schemat Hornera.

87
00:03:05,520 --> 00:03:07,192
O wyznaczeniu wartości wielomianów

88
00:03:07,192 --> 00:03:08,672
z wykorzystaniem tej metody

89
00:03:08,928 --> 00:03:10,254
opowiadałem w innym filmie

90
00:03:10,254 --> 00:03:11,232
z tej playlisty.

91
00:03:11,744 --> 00:03:13,329
Rysuję tabelę, w której wpisuję

92
00:03:13,329 --> 00:03:15,072
współczynniki naszego wielomianu.

93
00:03:15,840 --> 00:03:17,605
Po lewej stronie wpisuję argument

94
00:03:17,605 --> 00:03:19,424
dla którego chcę wyznaczyć wartość.

95
00:03:20,192 --> 00:03:22,878
Dwójkę przepisuję, mnożę ją przez minus 2

96
00:03:22,878 --> 00:03:24,182
i odejmuję piątkę.

97
00:03:24,544 --> 00:03:25,824
Otrzymuję minus 9.

98
00:03:26,336 --> 00:03:27,906
Tę wartość mnożę przez minus 2

99
00:03:27,906 --> 00:03:30,176
i dodaję zero, otrzymując 18.

100
00:03:30,688 --> 00:03:35,296
18 razy minus 2 dodać 5, to minus 31.

101
00:03:36,064 --> 00:03:40,672
minus 31 razy minus 2 odjąć 2 to 60.

102
00:03:41,440 --> 00:03:44,353
Zatem W od minus 2, równa się 60

103
00:03:44,363 --> 00:03:46,304
co oczywiście nie jest równe zeru.

104
00:03:46,304 --> 00:03:48,461
Dlatego minus 2 nie jest pierwiastkiem

105
00:03:48,461 --> 00:03:49,376
tego wielomianu.

106
00:03:50,144 --> 00:03:51,593
Mam już narysowaną tabelkę

107
00:03:51,593 --> 00:03:53,156
więc po prostu zmienię sobie

108
00:03:53,156 --> 00:03:54,976
wartość argumentu na minus 1.

109
00:03:55,264 --> 00:03:56,544
Dwójkę przepisuję.

110
00:03:56,800 --> 00:03:59,429
2 razy minus 1 odjąć 5

111
00:03:59,429 --> 00:04:00,384
to minus 7.

112
00:04:00,896 --> 00:04:04,480
Minus 7 razy minus 1 dodać zero to 7.

113
00:04:05,248 --> 00:04:08,184
7 razy minus 1 dodać 5

114
00:04:08,184 --> 00:04:09,142
to minus 2.

115
00:04:09,600 --> 00:04:12,399
Minus 2 razy minus 1 odjąć 2

116
00:04:12,399 --> 00:04:13,184
daje nam zero.

117
00:04:13,440 --> 00:04:15,353
Zatem dla argumentu minus 1

118
00:04:15,353 --> 00:04:17,280
wielomian przyjmuje wartość zero.

119
00:04:17,536 --> 00:04:19,413
-1 jest pierwiastkiem całkowitym

120
00:04:19,413 --> 00:04:20,351
tego wielomianu.

121
00:04:21,119 --> 00:04:23,167
Idąc po kolei przyszła pora na jedynkę.

122
00:04:23,679 --> 00:04:24,959
Dwójkę przepisujemy.

123
00:04:25,215 --> 00:04:28,543
2 razy 1 odjąć 5 to minus 3.

124
00:04:29,311 --> 00:04:32,639
Minus 3 razy 1 dodać zero to minus 3.

125
00:04:33,407 --> 00:04:36,811
Minus 3 razy 1 dodać 5 to 2.

126
00:04:37,247 --> 00:04:40,575
I w końcu 2 razy 1 odjąć 2 to zero.

127
00:04:40,831 --> 00:04:42,451
Czyli jedynka również jest

128
00:04:42,451 --> 00:04:44,112
poszukiwanym pierwiastkiem

129
00:04:44,112 --> 00:04:46,463
ponieważ W od 1 równa się zero.

130
00:04:47,487 --> 00:04:49,665
I ostatnia liczba do sprawdzenia, czyli 2.

131
00:04:50,047 --> 00:04:52,607
Dwójkę przepisujemy, mnożymy ją przez 2

132
00:04:52,863 --> 00:04:55,423
i odejmujemy 5, otrzymując minus 1.

133
00:04:56,191 --> 00:04:59,118
Minus 1 razy 2 dodać zero

134
00:04:59,118 --> 00:05:00,201
to minus 2.

135
00:05:00,799 --> 00:05:04,387
Minus 2 razy 2 dodać 5 daje jedynkę.

136
00:05:04,639 --> 00:05:07,711
1 razy 2 odjąć 2 to zero.

137
00:05:08,133 --> 00:05:09,823
Dwójka również jest pierwiastkiem

138
00:05:09,823 --> 00:05:10,783
tego wielomianu.

139
00:05:11,295 --> 00:05:12,843
Zapiszmy to jeszcze.

140
00:05:12,843 --> 00:05:14,623
W od 2 równa się z zero.

141
00:05:15,135 --> 00:05:16,906
Jeśli współczynniki wielomianu

142
00:05:16,906 --> 00:05:18,565
W od x są całkowite

143
00:05:18,565 --> 00:05:20,733
i posiada on pierwiastki całkowite

144
00:05:20,733 --> 00:05:23,667
to są one dzielnikami wyrazu wolnego.

145
00:05:23,839 --> 00:05:25,520
Dla naszego wielomianu znaleźliśmy

146
00:05:25,520 --> 00:05:26,911
3 takie pierwiastki.

147
00:05:27,343 --> 00:05:29,664
W jednej z pierwszych lekcji w tej playliście

148
00:05:29,664 --> 00:05:31,263
mówiłem, że liczba pierwiastków

149
00:05:31,519 --> 00:05:33,017
może być maksymalnie taka

150
00:05:33,017 --> 00:05:34,335
jak stopień wielomianu.

151
00:05:34,717 --> 00:05:36,440
Czyli nasz wielomian może mieć ich

152
00:05:36,440 --> 00:05:37,657
maksymalnie 4.

153
00:05:38,175 --> 00:05:39,328
Nie wiemy, czy istnieje

154
00:05:39,328 --> 00:05:40,403
czwarty pierwiastek.

155
00:05:40,403 --> 00:05:41,594
A przynajmniej ta metoda

156
00:05:41,594 --> 00:05:42,595
nie pozwoli nam

157
00:05:42,595 --> 00:05:44,015
odpowiedzieć na to pytanie.

158
00:05:44,063 --> 00:05:45,543
Jednego możemy być pewni.

159
00:05:45,599 --> 00:05:47,643
Znaleźliśmy wszystkie pierwiastki

160
00:05:47,643 --> 00:05:49,979
które są liczbami całkowitymi.

161
00:05:54,047 --> 00:05:55,670
A co jeśli wielomian posiada

162
00:05:55,670 --> 00:05:57,479
niecałkowite pierwiastki?

163
00:05:57,631 --> 00:05:59,935
Sposób ich szukania jest bardzo podobny.

164
00:06:00,191 --> 00:06:02,070
Spróbujmy wyznaczyć je dla wielomianu

165
00:06:02,070 --> 00:06:03,519
z poprzedniego przykładu.

166
00:06:04,031 --> 00:06:06,123
Załóżmy, że pierwiastkiem wielomianu jest

167
00:06:06,123 --> 00:06:07,919
ułamek nieskracalny, czyli

168
00:06:07,919 --> 00:06:08,895
liczba wymierna.

169
00:06:09,151 --> 00:06:10,431
p dzielone przez q.

170
00:06:10,687 --> 00:06:12,416
Jeżeli jest ona pierwiastkiem

171
00:06:12,416 --> 00:06:14,067
wielomianu W od x

172
00:06:14,067 --> 00:06:16,523
to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego

173
00:06:16,523 --> 00:06:19,066
a q jest dzielnikiem współczynnika

174
00:06:19,066 --> 00:06:21,493
stojącego przy najwyższej potędze x.

175
00:06:21,951 --> 00:06:23,487
Dzielniki wyrazu wolnego

176
00:06:23,487 --> 00:06:24,767
wyznaczyliśmy poprzednio.

177
00:06:25,445 --> 00:06:26,676
Współczynnikiem stojącym

178
00:06:26,676 --> 00:06:28,464
przy najwyższej potędze x

179
00:06:28,464 --> 00:06:29,575
też jest dwójka

180
00:06:29,575 --> 00:06:31,330
więc q należy do zbioru

181
00:06:31,330 --> 00:06:33,390
plus minus 1, plus minus 2.

182
00:06:33,390 --> 00:06:35,755
Wynika z tego, że ułamek p przez q

183
00:06:35,755 --> 00:06:36,799
może równać się:

184
00:06:37,055 --> 00:06:41,151
plus minus 1 przez 1, plus minus 1 przez 2

185
00:06:41,407 --> 00:06:43,353
plus minus 2 przez 1

186
00:06:43,553 --> 00:06:45,597
plus minus 2 przez 2.

187
00:06:46,271 --> 00:06:48,188
Dzielenie przez 1 nic nam nie zmienia

188
00:06:48,188 --> 00:06:49,511
dlatego możemy pozbyć się

189
00:06:49,511 --> 00:06:50,623
jedynki z mianowników.

190
00:06:51,135 --> 00:06:52,069
2 przez 2 to 1

191
00:06:52,069 --> 00:06:53,803
a jedynkę w naszym zbiorze

192
00:06:53,803 --> 00:06:54,719
też już mamy.

193
00:06:55,231 --> 00:06:57,248
Otrzymaliśmy jednak jeszcze inne liczby

194
00:06:57,248 --> 00:06:58,668
które potencjalnie mogą być

195
00:06:58,668 --> 00:07:00,351
pierwiastkami naszego wielomianu.

196
00:07:00,863 --> 00:07:02,779
Wcześniej znaleźliśmy 3 pierwiastki.

197
00:07:02,911 --> 00:07:04,959
minus 1, 1 i 2.

198
00:07:05,215 --> 00:07:06,706
Mogliśmy je znaleźć również

199
00:07:06,706 --> 00:07:08,031
korzystając z tej metody.

200
00:07:08,287 --> 00:07:10,177
Szukanie pierwiastków wymiernych

201
00:07:10,177 --> 00:07:12,044
jest bardziej ogólną metodą

202
00:07:12,044 --> 00:07:13,585
i pozwala znaleźć pierwiastki

203
00:07:13,585 --> 00:07:14,821
nie tylko całkowite.

204
00:07:14,943 --> 00:07:17,673
Sprawdźmy czy minus 1/2 albo 1/2

205
00:07:17,703 --> 00:07:19,871
są pierwiastkami W od x.

206
00:07:20,063 --> 00:07:21,884
Wykonaj obliczenia samodzielnie

207
00:07:21,884 --> 00:07:24,317
a za chwilę podam Ci odpowiedź.

208
00:07:27,231 --> 00:07:29,023
Wykorzystajmy schemat Hornera.

209
00:07:29,279 --> 00:07:31,529
Rysujemy tabelkę ze współczynnikami

210
00:07:31,529 --> 00:07:33,631
a jako argument wpisujemy 1/2.

211
00:07:34,399 --> 00:07:37,215
Dwójkę przepisuję i mnożę ją przez 1/2.

212
00:07:37,727 --> 00:07:40,035
Odejmuje piątkę i otrzymuję minus 4.

213
00:07:40,799 --> 00:07:44,127
Minus 4 razy 1/2 dodać zero to minus 2.

214
00:07:45,151 --> 00:07:48,479
Minus 2 razy 1/2 dodać 5 daje 4.

215
00:07:48,991 --> 00:07:53,343
I w końcu 4 razy 1/2 odjąć 2 to zero.

216
00:07:53,855 --> 00:07:55,373
Zatem 1/2 jest pierwiastkiem

217
00:07:55,373 --> 00:07:56,737
tego wielomianu

218
00:07:56,737 --> 00:07:57,949
dlatego możemy napisać

219
00:07:57,949 --> 00:07:59,999
że W od 1/2 równa się zero.

220
00:08:01,023 --> 00:08:02,381
Czy warto sprawdzać

221
00:08:02,381 --> 00:08:03,470
czy minus 1/2

222
00:08:03,470 --> 00:08:05,609
będzie miejscem zerowym W od x?

223
00:08:05,631 --> 00:08:06,399
Jak myślisz?

224
00:08:06,911 --> 00:08:09,496
Na pewno nie, ponieważ wielomian stopnia 4

225
00:08:09,496 --> 00:08:12,031
może posiadać maksymalnie 4 pierwiastki

226
00:08:12,287 --> 00:08:13,823
a my już tyle znaleźliśmy.

227
00:08:14,079 --> 00:08:16,241
Dlatego nie musimy już liczyć wartości

228
00:08:16,241 --> 00:08:18,687
W od x dla argumentu minus 1/2.

229
00:08:19,199 --> 00:08:21,518
Jeśli jednak nie jesteś pewien rozwiązania

230
00:08:21,518 --> 00:08:23,280
to zawsze lepiej jest sprawdzić

231
00:08:23,280 --> 00:08:25,221
wszystkie potencjalne pierwiastki.

232
00:08:25,343 --> 00:08:26,415
Jeśli ich liczba

233
00:08:26,415 --> 00:08:28,066
przekracza stopień wielomianu

234
00:08:28,066 --> 00:08:29,646
to znaczy, że musisz sprawdzić

235
00:08:29,646 --> 00:08:31,811
swoje obliczenia jeszcze raz.

236
00:08:35,839 --> 00:08:37,689
W ostatnim zadaniu należy znaleźć

237
00:08:37,689 --> 00:08:39,465
wszystkie pierwiastki całkowite

238
00:08:39,465 --> 00:08:40,959
wielomianu W od x.

239
00:08:41,215 --> 00:08:43,105
Zrób to samodzielnie.

240
00:08:46,335 --> 00:08:48,292
Jeśli p jest całkowitym pierwiastkiem

241
00:08:48,292 --> 00:08:49,753
naszego wielomianu

242
00:08:49,753 --> 00:08:51,897
to musi być ono dzielnikiem wyrazu wolnego

243
00:08:51,897 --> 00:08:53,301
czyli dwunastki.

244
00:08:53,503 --> 00:08:55,039
Zatem p należy do zbioru:

245
00:08:55,551 --> 00:08:58,111
plus minus 1, plus minus 2

246
00:08:58,367 --> 00:09:01,183
plus minus 3, plus minus 4

247
00:09:01,439 --> 00:09:04,255
plus minus 6 i plus minus 12.

248
00:09:05,023 --> 00:09:07,327
Zacznijmy od sprawdzenia minus jedynki.

249
00:09:08,095 --> 00:09:10,001
Podstawiamy ją w miejsce x.

250
00:09:10,399 --> 00:09:12,575
Minus 1 podniesiony do parzystej potęgi

251
00:09:12,575 --> 00:09:13,949
daje nam jedynkę

252
00:09:13,949 --> 00:09:15,163
a do nieparzystej potęgi

253
00:09:15,163 --> 00:09:16,491
daje nam minus 1.

254
00:09:16,543 --> 00:09:17,455
Mamy:

255
00:09:17,567 --> 00:09:20,789
minus 1 odjąć 3 dodać 5

256
00:09:21,039 --> 00:09:25,022
dodać 15 odjąć 4 odjąć 12

257
00:09:25,022 --> 00:09:26,527
a to jest równe zeru.

258
00:09:27,295 --> 00:09:29,136
Stąd wynika, że minus 1

259
00:09:29,136 --> 00:09:31,405
jest pierwiastkiem W od x.

260
00:09:31,647 --> 00:09:32,927
Teraz kolej na jedynkę.

261
00:09:33,439 --> 00:09:35,438
Gdy podstawimy ją jako argument

262
00:09:35,438 --> 00:09:36,283
dostajemy:

263
00:09:36,283 --> 00:09:39,945
1 odjąć 3 odjąć 5 dodać 15

264
00:09:39,945 --> 00:09:42,042
dodać 4 odjąć 12

265
00:09:42,042 --> 00:09:43,935
co też jest równe zeru.

266
00:09:43,935 --> 00:09:45,470
Dlatego jedynka też jest

267
00:09:45,470 --> 00:09:47,007
miejscem zerowym wielomianu W.

268
00:09:47,263 --> 00:09:48,671
Dla kolejnych x-ów

269
00:09:48,671 --> 00:09:50,190
zastosujemy schemat Hornera

270
00:09:50,190 --> 00:09:52,127
ponieważ ułatwi nam to obliczenia.

271
00:09:52,383 --> 00:09:53,663
Narysujmy tabelę.

272
00:09:53,919 --> 00:09:55,967
Wypełnijmy ją współczynnikami

273
00:09:56,223 --> 00:09:58,271
i wpiszmy argument minus 2.

274
00:09:59,039 --> 00:10:00,575
Jedynkę przepisujemy niżej.

275
00:10:01,343 --> 00:10:05,183
1 razy minus 2 odjąć 3 to minus 5.

276
00:10:05,951 --> 00:10:09,457
Minus 5 razy minus 2 odjąć 5

277
00:10:09,457 --> 00:10:10,303
daje 5.

278
00:10:11,327 --> 00:10:14,662
5 razy minus 2 dodać 15

279
00:10:14,662 --> 00:10:15,387
to 5.

280
00:10:16,191 --> 00:10:19,237
5 razy minus 2 dodać 4

281
00:10:19,237 --> 00:10:20,543
daje minus 6.

282
00:10:21,055 --> 00:10:23,833
I w końcu minus 6 razy minus 2

283
00:10:23,833 --> 00:10:25,677
odjąć 12 to zero.

284
00:10:26,175 --> 00:10:28,512
W od minus 2 równa się zero

285
00:10:28,512 --> 00:10:29,811
dlatego minus 2

286
00:10:29,835 --> 00:10:32,181
również jest pierwiastkiem W od x.

287
00:10:32,781 --> 00:10:34,935
Teraz wyznaczmy wartość naszego wielomianu

288
00:10:34,935 --> 00:10:36,113
dla argumentu 2.

289
00:10:36,415 --> 00:10:37,739
Jedynkę przepisuję.

290
00:10:38,207 --> 00:10:41,279
1 razy 2 odjąć 3 to minus 1.

291
00:10:41,791 --> 00:10:45,631
Minus 1 razy 2 odjąć 5 daje minus 7.

292
00:10:46,143 --> 00:10:49,983
Minus 7 razy 2 dodać 15 to 1.

293
00:10:50,751 --> 00:10:53,823
1 razy 2 dodać 4 daje 6.

294
00:10:54,591 --> 00:10:58,175
I 6 razy 2 odjąć 12 to zero.

295
00:10:58,687 --> 00:11:00,899
Skoro W od 2 równa się zero

296
00:11:00,899 --> 00:11:03,221
to dwójka jest kolejnym pierwiastkiem

297
00:11:03,221 --> 00:11:04,211
 W od x.

298
00:11:05,087 --> 00:11:07,026
Teraz obliczmy wartość W od x

299
00:11:07,026 --> 00:11:08,671
dla x równego minus 3.

300
00:11:09,183 --> 00:11:10,719
Jedynkę przepisuję niżej.

301
00:11:11,487 --> 00:11:15,583
1 razy minus 3 odjąć 3 to minus 6.

302
00:11:16,095 --> 00:11:20,447
Minus 6 razy minus 3 odjąć 5 daje 13.

303
00:11:21,215 --> 00:11:25,823
13 razy minus 3 dodać 15 to minus 24.

304
00:11:26,335 --> 00:11:32,479
Minus 24 razy minus 3 dodać 4 daje 76.

305
00:11:32,991 --> 00:11:39,365
76 razy minus 3 odjąć 12 to minus 240.

306
00:11:39,647 --> 00:11:43,295
W od minus 3 równa się minus 240

307
00:11:43,331 --> 00:11:45,397
co oczywiście nie jest równe zeru

308
00:11:45,467 --> 00:11:47,483
dlatego minus 3 nie jest pierwiastkiem

309
00:11:47,523 --> 00:11:48,607
naszego wielomianu.

310
00:11:48,863 --> 00:11:49,631
Szukamy dalej.

311
00:11:49,887 --> 00:11:50,911
Sprawdźmy trójkę.

312
00:11:51,423 --> 00:11:52,703
Jedynkę przepisujemy.

313
00:11:53,471 --> 00:11:56,073
1 razy 3 odjąć 3 to zero.

314
00:11:56,799 --> 00:12:00,959
Zero razy 3 odjąć 5 to oczywiście -5.

315
00:12:01,663 --> 00:12:05,247
Minus 5 razy 3 dodać 15 daje zero.

316
00:12:05,759 --> 00:12:09,343
 Zero razy 3 dodać 4 to 4.

317
00:12:09,855 --> 00:12:13,439
I 4 razy 3 odjąć 12 daje zero.

318
00:12:14,207 --> 00:12:16,108
W od trzech równa się zero

319
00:12:16,108 --> 00:12:18,122
dlatego trójka też jest

320
00:12:18,122 --> 00:12:20,005
poszukiwanym przez nas pierwiastkiem.

321
00:12:20,005 --> 00:12:21,147
Co dalej?

322
00:12:21,147 --> 00:12:23,247
Czy musimy sprawdzać pozostałe liczby?

323
00:12:23,679 --> 00:12:24,541
Nie.

324
00:12:24,703 --> 00:12:27,066
Pamiętasz przecież, że stopień W od x

325
00:12:27,066 --> 00:12:28,381
równy jest 5.

326
00:12:28,543 --> 00:12:30,672
Wynika z tego, że nasz wielomian

327
00:12:30,672 --> 00:12:33,245
może posiadać maksymalnie 5 pierwiastków.

328
00:12:33,663 --> 00:12:34,872
A tyle znaleźliśmy

329
00:12:34,872 --> 00:12:36,203
dlatego nie ma potrzeby

330
00:12:36,203 --> 00:12:37,823
sprawdzać pozostałych liczb.

331
00:12:38,271 --> 00:12:40,155
Po tylu ćwiczeniach na pewno żaden

332
00:12:40,155 --> 00:12:41,392
pierwiastek wielomianu

333
00:12:41,392 --> 00:12:43,429
nie ujdzie Twojej uwadze.

334
00:12:48,767 --> 00:12:50,948
Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu

335
00:12:50,948 --> 00:12:52,211
są całkowite

336
00:12:52,211 --> 00:12:54,342
to jeśli ma on pierwiastki całkowite

337
00:12:54,342 --> 00:12:56,389
to muszą być one dzielnikami

338
00:12:56,389 --> 00:12:57,675
wyrazu wolnego.

339
00:12:57,827 --> 00:13:00,062
To, które z dzielników są pierwiastkami

340
00:13:00,062 --> 00:13:02,965
najprościej sprawdzić schematem Hornera.

341
00:13:06,943 --> 00:13:08,765
Czy po tej lekcji umiesz już szukać

342
00:13:08,765 --> 00:13:10,015
pierwiastków wielomianu?

343
00:13:10,527 --> 00:13:12,014
Pochwal się tym w komentarzu

344
00:13:12,014 --> 00:13:13,811
a jeśli chcesz wiedzieć więcej

345
00:13:13,811 --> 00:13:15,537
to zachęcam Cię do polajkowania

346
00:13:15,537 --> 00:13:17,459
naszego fanpage'a na Facebook'u

347
00:13:17,459 --> 00:13:18,689
PistacjaMatematyka.