1
00:00:00,256 --> 00:00:02,520
Wjazd kolejką na Kasprowy Wierch

2
00:00:02,681 --> 00:00:04,809
to niemal obowiązkowy punkt programu

3
00:00:04,809 --> 00:00:06,930
pobytu w naszych polskich górach.

4
00:00:07,010 --> 00:00:08,329
Ale czy wiesz, że po to

5
00:00:08,329 --> 00:00:10,560
by sprawnie wwoziła turystów

6
00:00:10,560 --> 00:00:11,878
trzeba od czasu do czasu

7
00:00:11,878 --> 00:00:14,636
robić przegląd tak zwanych pajączków

8
00:00:14,848 --> 00:00:16,768
czyli urządzeń, które pozwalają

9
00:00:16,768 --> 00:00:18,688
utrzymywać się linom równolegle

10
00:00:18,944 --> 00:00:20,736
niezależnie od obciążenia.

11
00:00:21,360 --> 00:00:23,120
Dzisiaj opowiemy sobie także

12
00:00:23,120 --> 00:00:25,018
co w matematyce utrzymuje

13
00:00:25,179 --> 00:00:27,760
proste równolegle względem siebie.

14
00:00:38,470 --> 00:00:40,517
Na początku przypomnijmy sobie

15
00:00:40,517 --> 00:00:43,520
podstawowe informacje o funkcji liniowej.

16
00:00:44,032 --> 00:00:46,753
Funkcja liniowa określona jest wzorem

17
00:00:46,753 --> 00:00:49,360
y równa się ax plus b

18
00:00:49,360 --> 00:00:51,956
a jej wykresem jest prosta.

19
00:00:51,968 --> 00:00:53,357
Możemy też powiedzieć

20
00:00:53,357 --> 00:00:54,680
że prosta na rysunku

21
00:00:54,841 --> 00:00:56,371
opisana jest równaniem

22
00:00:56,371 --> 00:00:58,760
y równa się ax plus b

23
00:00:59,220 --> 00:01:01,268
albo krócej, że to równanie

24
00:01:01,268 --> 00:01:03,020
jest równaniem prostej.

25
00:01:03,488 --> 00:01:05,262
Współczynnik a nazywa się

26
00:01:05,262 --> 00:01:07,328
współczynnikiem kierunkowym prostej.

27
00:01:07,584 --> 00:01:09,519
Możemy go odczytać ze wzoru

28
00:01:09,519 --> 00:01:11,448
albo z wykresu funkcji.

29
00:01:11,680 --> 00:01:12,937
Przypomnijmy sobie

30
00:01:12,937 --> 00:01:15,042
jak odczytać to z wykresu.

31
00:01:15,776 --> 00:01:18,720
Z punktu przecięcia osi OX z wykresem

32
00:01:18,881 --> 00:01:20,896
zaznaczmy odcinek jednostkowy.

33
00:01:21,152 --> 00:01:22,784
Następnie połączmy go

34
00:01:22,784 --> 00:01:25,744
z odcinkiem prostopadłym do osi OX.

35
00:01:26,016 --> 00:01:28,108
Obserwowana zmiana wartości

36
00:01:28,108 --> 00:01:30,006
jest właśnie równa wartości

37
00:01:30,006 --> 00:01:32,724
współczynnika kierunkowego.

38
00:01:33,184 --> 00:01:34,159
Dorysujmy teraz

39
00:01:34,159 --> 00:01:36,240
na naszym układzie współrzędnych

40
00:01:36,401 --> 00:01:37,520
prostą równoległą

41
00:01:37,520 --> 00:01:39,232
do wykresu naszej funkcji.

42
00:01:39,584 --> 00:01:41,258
Jak myślisz, jaki warunek

43
00:01:41,258 --> 00:01:43,936
powinny spełniać wzory funkcji liniowych

44
00:01:44,192 --> 00:01:47,086
aby ich wykresy były równoległe?

45
00:01:49,824 --> 00:01:52,451
Oczywiście ich współczynniki kierunkowe

46
00:01:52,451 --> 00:01:53,664
powinny być równe.

47
00:01:53,920 --> 00:01:55,456
To widać na rysunku.

48
00:01:55,712 --> 00:01:58,183
Ale w matematyce nie można uzasadniać

49
00:01:58,183 --> 00:02:00,720
twierdzeń słowami „bo to widać”.

50
00:02:00,832 --> 00:02:03,380
Spróbujmy to uzasadnić inaczej.

51
00:02:03,392 --> 00:02:04,633
Dorysujmy do drugiego

52
00:02:04,633 --> 00:02:06,800
wykresu trójkąt prostokątny

53
00:02:06,961 --> 00:02:08,246
pozwalający odczytać

54
00:02:08,246 --> 00:02:10,560
współczynnik kierunkowy tej prostej.

55
00:02:11,002 --> 00:02:12,196
Co możemy powiedzieć

56
00:02:12,196 --> 00:02:14,116
o naszych trójkątach?

57
00:02:14,912 --> 00:02:16,472
Są przystające.

58
00:02:16,472 --> 00:02:17,584
Możemy to stwierdzić

59
00:02:17,584 --> 00:02:20,342
na podstawie cechy kąt-bok-kąt.

60
00:02:20,544 --> 00:02:22,139
Proste są równoległe

61
00:02:22,139 --> 00:02:25,408
więc kąty utworzone przez wykresy i oś OX

62
00:02:25,920 --> 00:02:27,600
są tej samej miary.

63
00:02:28,224 --> 00:02:31,009
Odcinki leżące na osi odciętych

64
00:02:31,009 --> 00:02:33,344
są odcinkami jednostkowymi

65
00:02:33,600 --> 00:02:36,160
a kolejne kąty – kątami prostymi.

66
00:02:36,672 --> 00:02:38,811
Skoro trójkąty są przystające

67
00:02:38,811 --> 00:02:41,024
to ich boki są równej długości

68
00:02:41,280 --> 00:02:42,755
a więc i współczynniki

69
00:02:42,755 --> 00:02:44,456
kierunkowe są równe.

70
00:02:46,144 --> 00:02:48,400
Analogicznie możemy uzasadnić

71
00:02:48,561 --> 00:02:49,940
że jeżeli dwie funkcje

72
00:02:49,940 --> 00:02:52,448
mają identyczne współczynniki kierunkowe

73
00:02:52,800 --> 00:02:55,872
to zarówno odcinki równoległe do osi OX

74
00:02:56,128 --> 00:02:59,187
jak i odcinki równoległe do osi OY

75
00:02:59,187 --> 00:03:00,298
są równe

76
00:03:00,298 --> 00:03:02,528
więc trójkąty są przystające.

77
00:03:02,784 --> 00:03:03,881
Co za tym idzie

78
00:03:03,881 --> 00:03:06,808
kąty nachylenia wykresów do osi OX

79
00:03:06,880 --> 00:03:08,420
mają te same miary

80
00:03:08,420 --> 00:03:11,232
co oznacza, że proste są równoległe.

81
00:03:11,744 --> 00:03:13,953
Na podstawie zdobytych informacji

82
00:03:13,953 --> 00:03:16,296
możemy sformułować stwierdzenie:

83
00:03:16,608 --> 00:03:18,633
wykresy funkcji liniowych

84
00:03:18,633 --> 00:03:20,960
o tym samym współczynniku kierunkowym

85
00:03:21,121 --> 00:03:23,202
są prostymi równoległymi.

86
00:03:23,264 --> 00:03:26,592
Lub: dwie proste opisane tymi równaniami

87
00:03:26,848 --> 00:03:29,656
są równoległe, gdy spełniony jest warunek

88
00:03:29,656 --> 00:03:32,428
a1 równa się a2.

89
00:03:32,992 --> 00:03:35,523
Znajomość tej własności jest sprawdzana

90
00:03:35,523 --> 00:03:38,040
bardzo często podczas egzaminów.

91
00:03:38,112 --> 00:03:40,852
Po przerwie rozwiążemy zadanie tego typu

92
00:03:40,852 --> 00:03:43,566
dla utrwalenia zdobytej wiedzy.

93
00:03:47,072 --> 00:03:48,904
Wyznacz równanie prostej

94
00:03:48,904 --> 00:03:50,587
przechodzącej przez punkt P

95
00:03:50,587 --> 00:03:52,720
o współrzędnych 3, 8

96
00:03:52,720 --> 00:03:55,196
i równoległej do prostej k:

97
00:03:55,196 --> 00:03:58,560
y równa się 5x minus 1.

98
00:03:58,592 --> 00:04:01,152
Niech l będzie szukaną prostą.

99
00:04:01,408 --> 00:04:02,944
Zapiszmy jej wzór.

100
00:04:03,456 --> 00:04:04,770
Tak wygląda.

101
00:04:04,992 --> 00:04:06,365
Wiemy, że prosta l

102
00:04:06,365 --> 00:04:08,576
jest równoległa do prostej k.

103
00:04:08,832 --> 00:04:10,011
Ma więc ten sam

104
00:04:10,011 --> 00:04:12,132
współczynnik kierunkowy, 5.

105
00:04:12,672 --> 00:04:14,720
Zapiszmy to we wzorze prostej:

106
00:04:14,976 --> 00:04:18,100
y równa się 5x plus b.

107
00:04:18,100 --> 00:04:19,920
Wiemy, że prosta l

108
00:04:19,920 --> 00:04:21,887
przechodzi przez punkt P

109
00:04:22,143 --> 00:04:23,968
więc współrzędne tego punktu

110
00:04:23,968 --> 00:04:25,947
spełniają równanie prostej.

111
00:04:26,239 --> 00:04:27,969
Wstawmy je do wzoru.

112
00:04:28,287 --> 00:04:33,151
Otrzymujemy 8 równa się 5 razy 3 plus b.

113
00:04:33,663 --> 00:04:34,934
Stąd po wymnożeniu

114
00:04:34,934 --> 00:04:37,759
i przeniesieniu iloczynu na drugą stronę

115
00:04:38,015 --> 00:04:40,575
mamy -7 równa się b.

116
00:04:41,087 --> 00:04:43,903
Tak więc równanie naszej prostej ma postać

117
00:04:44,159 --> 00:04:47,611
y równa się 5x minus 7.

118
00:04:49,023 --> 00:04:51,071
Kolejne zadanie jest dla Ciebie.

119
00:04:51,327 --> 00:04:52,966
Wyznacz wartość m

120
00:04:52,966 --> 00:04:55,340
dla której proste o równaniach

121
00:04:55,340 --> 00:04:56,807
y równa się

122
00:04:56,807 --> 00:04:57,854
w nawiasie m minus 5

123
00:04:57,854 --> 00:04:59,707
razy x plus 7

124
00:04:59,707 --> 00:05:01,225
oraz y równa się

125
00:05:01,225 --> 00:05:02,866
w nawiasie 2m plus 3

126
00:05:02,866 --> 00:05:04,895
razy x minus 13

127
00:05:05,151 --> 00:05:06,951
są równoległe.

128
00:05:10,271 --> 00:05:12,526
Oczywiście proste są równoległe

129
00:05:12,526 --> 00:05:15,135
gdy współczynniki kierunkowe są równe.

130
00:05:15,647 --> 00:05:17,887
Porównując współczynniki kierunkowe

131
00:05:17,887 --> 00:05:19,531
otrzymujemy równanie:

132
00:05:19,743 --> 00:05:23,667
m minus 5 równa się 2m plus 3

133
00:05:23,839 --> 00:05:26,147
z którego wyliczamy wartość m.

134
00:05:27,167 --> 00:05:29,123
Przenosząc niewiadome na lewą

135
00:05:29,123 --> 00:05:32,092
a liczby na prawą stronę dostajemy:

136
00:05:32,092 --> 00:05:36,383
m minus 2m równa się 5 plus 3

137
00:05:36,745 --> 00:05:40,363
z czego wynika, że m równa się -8

138
00:05:40,479 --> 00:05:42,027
i dla tego parametru

139
00:05:42,027 --> 00:05:44,087
proste będą równoległe.

140
00:05:44,407 --> 00:05:45,559
Możemy to sprawdzić

141
00:05:45,559 --> 00:05:47,647
licząc współczynniki kierunkowe.

142
00:05:48,159 --> 00:05:50,158
Dla pierwszej prostej

143
00:05:50,158 --> 00:05:53,080
a1 równa się m minus 5

144
00:05:53,401 --> 00:05:58,493
czyli -8 minus 5, czyli -13.

145
00:05:58,655 --> 00:06:00,425
A dla drugiej prostej

146
00:06:00,425 --> 00:06:03,519
a2 równa się 2m plus 3

147
00:06:03,775 --> 00:06:07,359
równa się 2 razy -8 plus 3

148
00:06:07,871 --> 00:06:10,175
czyli -16 plus 3

149
00:06:10,687 --> 00:06:13,763
czyli otrzymujemy wynik -13.

150
00:06:14,015 --> 00:06:18,367
Widzisz, że współczynniki a1 i a2 są równe

151
00:06:18,623 --> 00:06:21,061
więc proste są równoległe.

152
00:06:24,511 --> 00:06:27,071
Mamy przed sobą teraz taki problem:

153
00:06:27,327 --> 00:06:29,030
czy prosta o równaniu

154
00:06:29,030 --> 00:06:31,679
y równe -2/3x

155
00:06:31,935 --> 00:06:33,757
jest równoległa do prostej

156
00:06:33,757 --> 00:06:35,401
przechodzącej przez punkty

157
00:06:35,401 --> 00:06:38,625
A(0,4) i B(3,2)?

158
00:06:39,103 --> 00:06:40,954
Spróbuj znaleźć rozwiązanie

159
00:06:40,954 --> 00:06:42,290
a później sprawdź

160
00:06:42,290 --> 00:06:44,639
czy Twój wynik zgadza się z moim.

161
00:06:47,807 --> 00:06:50,000
Aby odpowiedzieć na zadane pytanie

162
00:06:50,001 --> 00:06:51,251
musimy ustalić

163
00:06:51,251 --> 00:06:54,075
współczynnik kierunkowy prostej AB.

164
00:06:54,207 --> 00:06:56,625
Wykonujemy rysunek pomocniczy.

165
00:06:57,023 --> 00:06:58,774
Zauważ, że odczytanie

166
00:06:58,774 --> 00:07:00,194
współczynnika kierunkowego

167
00:07:00,194 --> 00:07:02,363
prostej AB z rysunku

168
00:07:02,399 --> 00:07:04,033
jest obarczone błędem

169
00:07:04,033 --> 00:07:06,333
bo nasz współczynnik jest ułamkiem.

170
00:07:06,751 --> 00:07:08,799
Spróbujmy obliczyć go inaczej.

171
00:07:09,567 --> 00:07:12,989
Narysujmy trójkąt prostokątny ABF

172
00:07:13,151 --> 00:07:15,001
tak, aby boki tego trójkąta

173
00:07:15,001 --> 00:07:16,262
były równoległe

174
00:07:16,262 --> 00:07:18,285
do osi układu współrzędnych.

175
00:07:19,039 --> 00:07:21,995
Punkt F ma współrzędne (3,4)

176
00:07:22,367 --> 00:07:23,903
a trójkąt ABF

177
00:07:24,159 --> 00:07:26,975
jest podobny do trójkąta DCE.

178
00:07:27,487 --> 00:07:29,023
To znaczy, że długości

179
00:07:29,023 --> 00:07:31,327
odpowiednich boków tych trójkątów

180
00:07:31,393 --> 00:07:33,469
są proporcjonalne.

181
00:07:33,631 --> 00:07:37,215
Możemy więc zapisać, że DE do DC

182
00:07:37,471 --> 00:07:40,455
jest równe BF do FA.

183
00:07:42,079 --> 00:07:44,685
Podstawmy teraz wartości liczbowe

184
00:07:44,685 --> 00:07:47,343
zaczynając od mianowników ułamków.

185
00:07:47,455 --> 00:07:50,185
DC jest odcinkiem jednostkowym

186
00:07:50,185 --> 00:07:53,221
więc przyrost argumentów wynosi 1.

187
00:07:53,343 --> 00:07:55,325
Odejmując pierwsze współrzędne

188
00:07:55,325 --> 00:07:57,161
punktów A i F

189
00:07:57,183 --> 00:08:01,023
obliczymy, że odcinek AF ma długość 3.

190
00:08:01,279 --> 00:08:04,095
A więc przyrost argumentów wynosi 3.

191
00:08:04,607 --> 00:08:06,162
Natomiast odpowiadający temu

192
00:08:06,162 --> 00:08:09,625
przyrost wartości wynosi -2.

193
00:08:09,625 --> 00:08:11,864
Możemy to obliczyć, odejmując

194
00:08:11,864 --> 00:08:14,335
od drugiej współrzędnej punktu B

195
00:08:14,591 --> 00:08:17,009
drugą współrzędną punktu F.

196
00:08:17,919 --> 00:08:19,777
Zmiana wartości w funkcji

197
00:08:19,777 --> 00:08:22,527
odpowiadająca wzrostowi argumentu o 1

198
00:08:22,783 --> 00:08:24,975
jest równa współczynnikowi.

199
00:08:25,087 --> 00:08:28,317
A więc w puste miejsce wpisujemy a.

200
00:08:29,247 --> 00:08:31,752
Obliczyliśmy, że współczynnik kierunkowy

201
00:08:31,752 --> 00:08:35,657
prostej AB wynosi -2/3.

202
00:08:35,657 --> 00:08:38,143
Możemy odpowiedzieć na pytanie z zadania.

203
00:08:38,399 --> 00:08:41,495
Tak. Obie proste są równoległe.

204
00:08:41,727 --> 00:08:44,287
Przy okazji wyprowadziliśmy też wzór

205
00:08:44,543 --> 00:08:45,950
pozwalający obliczyć

206
00:08:45,950 --> 00:08:48,056
współczynnik kierunkowy prostej

207
00:08:48,056 --> 00:08:51,359
przechodzącej przez dwa dowolne punkty.

208
00:08:56,063 --> 00:08:58,114
Po dzisiejszej lekcji wiemy już

209
00:08:58,114 --> 00:09:00,201
że aby wykresy funkcji liniowej

210
00:09:00,201 --> 00:09:01,937
były do siebie równoległe

211
00:09:01,937 --> 00:09:03,720
to ich współczynniki

212
00:09:03,720 --> 00:09:05,535
powinny być sobie równe.

213
00:09:08,351 --> 00:09:10,208
Obejrzyj pozostałe filmy

214
00:09:10,208 --> 00:09:11,600
o funkcji liniowej

215
00:09:11,600 --> 00:09:13,198
a po więcej materiałów

216
00:09:13,198 --> 00:09:16,736
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv.